北京市东城区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附答案）

这是一份北京市东城区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附答案），共13页。


高 三 数 学 2024.1
本试卷共6页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知全集U={x|0 (A){x|2(2)若复数 z 满足z(1+i)=i,则 z 的共轭复数z=
A12+12i B−12−12i C−12+12i D12−12i
3x+1x5的展开式中，x的系数为
(A)1 (B)5 (C)10 (D)20
(4)设等比数列{an}的各项均为正数. Sₙ 为其前 n 项和，若 a₁=2,a₂a₃a₄=a₉,则 S₃=
(A)6 (B)8 (C)12 (D)14
(5)已知非零向量 a,b满足|a|=|b|,且a·b=0,对任意实数λ,μ,下列结论正确的是
Aλa−μb⋅λa−μb=0 Bλa−μb⋅μa+λb=0
Cλa−μb⋅λa+μb=0 Dλa+μb⋅μa+λb=0
(6)如图，在正方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁ 中,AB=2,E,F 分别是 DD₁,BB₁的中点.用过点 F 且平行于平面ABE 的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为
A25
B6
C5
D52
高三数学 第1 页 (共6 页 )(7)已知 a>0,b>0,则 a12>b12,是 412a<12b”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在 t=0时刻,粒子从点 A(0,1)出发，沿着轨迹曲线运动到. B1−1,再沿着轨迹曲线途经 A 点运动到C(-1，-1)，之后便沿着轨迹曲线在 B，C两点之间循环往复运动.设该粒子在t时刻的位置对应点P(x，y)，则坐标x，y随时间t(t≥0)变化的图象可能是
(9)已知线段AB的长度为 10，M是线段 AB上的动点(不与端点重合).点 N 在圆心为 M，半径为 MA 的圆上,且 B,M,N不共线,则 △BMN的面积的最大值为
A252 B254 C2532 D2534
高三数学 第 2 页(共6 页)(10)设函数. fx=csx+cs2x,对于下列四个判断：
①函数 f(x)的一个周期为π;
②函数 f(x)的值域是 −222;
③函数 f(x)的图象上存在点 P(x,y),使得其到点(1,0)的距离为 22;
④当 x∈−π4π4时，函数 f(x)的图象与直线 y=2有且仅有一个公共点正确的判断是
A.① B.② C.③ D. ④
第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25分。
(11)函数 fx=1xlnx的定义域为 .
(12)已知双曲线 C:y24−x22=1,则双曲线 C的渐近线方程是 ；直线 x=1与双曲线相交于 M,N两点,则|MN|= .
(13)已知函数f(x)=sin(x+∞)(φ>0),若 f−π6=fπ2,则φ的一个取值为 .
(14)设函数 fx=2x−1,x①若a=-2,则f(x)的最小值为 ;
②若f(x)有最小值，则实数a 的取值范围是
(15)一般地，对于数列{an}，如果存在一个正整数 t，使得当n取每一个正整数时，都有 aₙ₊ₜ=aₙ,那么数列{an}就叫做周期数列，t叫做这个数列的一个周期. 给出下列四个判断：
①对于数列{an},若 aᵢ∈{1,2}(i=1,2,3,…),则{an}为周期数列；
②若{an}满足:( a2n=a2n+2,a2n−1=a2n+1n∈N∗,则{an}为周期数列；
③若{an}为周期数列，则存在正整数 M，使得|a。|④已知数列{an}的各项均为非零整数，Sₙ为其前 n项和，若存在正整数 M，使得 |Sₙ|其中所有正确判断的序号是 .
高三数学 第 3 页(共6 页)三、解答题共6 小题，共85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(16)(本小题 14 分)
如图，在直三棱柱 ABC−A₁B₁C₁中, ∠ABC=90°,AB=BC=BB₁=2,E,F 分别为AB, B₁C₁的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥平面 ACC₁A₁;
(Ⅱ)若点 P 是棱. BB₁上一点，且直线 AP 与平面BEF 所成角的正弦值为 15,求线段BP 的长.
(17)(本小题 13 分)
在 △ABC中, BC=4,AC=13,AB=1
(Ⅰ)求∠B;
(Ⅱ)若 D为BC 边上一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 △ABD存在且唯一确定，求 △ABD的面积.
条件①: ∠ADB=π4;
条件②: AD=223;
条件③:△ABD的周长为 3+3.
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
高三数学 第 4 页(共6 页)(18)(本小题 13 分)
某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从 2022年和 2023 年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取 100 位考生，获得数据如下表：
假设每次考试是否通过相互独立.
(Ⅰ)从2022年和2023 年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；
(Ⅱ)小明在2022 年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；
(Ⅲ)若 2023 年考生成绩合格的概率不低于 2022 年考生成绩合格的概率，则 m 的最小值为下列数值中的哪一个?(直接写出结果)
高三数学 第 5 页(共6 页)
2022 年
2023 年
通过
未通过
通过
未通过
第一次
60 人
40 人
50 人
50 人
第二次
70 人
30 人
60 人
40 人
第三次
80 人
20 人
m 人
(100-m)人
m的值
83
88
93
(19)(本小题 15 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab>0)的右焦点为 F，左、右顶点分别为 A，B， |AF|=2+3,|BF|=2−3.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)设O是坐标原点，M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且关于x轴对称，E，G 分别为线段 OM,MB 的中点,直线 AE 与椭圆C 交于另一点 D.证明:D,G,N三点共线.


(20)(本小题 15 分)
已知函数 fx=x−1x+1−kex,k>0.
(Ⅰ)若k=1,求曲线 y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)若1≤k<2,求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上有极大值 m,且-3(21)(本小题 15 分)
若有穷数列 A:a1,a2,⋯,ann4)满足： ai+an+1−i=cc∈Ri=12⋯n,则称此数列具有性质 Pc.
(Ⅰ)若数列 A:-2,a₂,a₃,2,6具有性质 P.,求a₂,a₃,c 的值;
(Ⅱ)设数列 A 具有性质 P₀,且( a101≤ij≤n时,存在正整数 k，使得 aⱼ−aᵢ=aₖ,求证：数列 A 为等差数列；
(Ⅲ)把具有性质 P。，且满足 |a2k−1+a2k|=m(k∈N∗,k≤n2,m为常数)的数列 A 构成的集合记作 Tf(n,m).求出所有的 n,使得对任意给定的 m,c,当数列 A∈Tₜ(n,m)时，数列 A中一定有相同的两项，即存在 aᵢ=aⱼi≠j1≤ij≤n.
高三数学 第 6 页(共 6 页)东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测
高三数学参考答案及评分标准 2024.1
一、选择题(共 10 小题, 每小题4分, 共40分)
(1) C (2) D (3) C (4) D (5) B
(6) A (7) C (8) B (9) A (10) D
二、填空题(共5 小题，每小题5分，共25分)
(11)(0,1)∪(1,+∞) 12y=±2x 13π3(答案不唯 一 )
(14)①-2 ② (-∞,-1] (15) ②③
三、解答题(共6小题，共85分)
(16)(共 14分)
解: (I)取A₁C₁中点G, 连接FG, AG.
在直三棱柱. ABC−A₁B₁C₁中,
因为E,F,G 分别为AB,B₁C₁, A₁C₁的中点,
所以 AEA1B1,GF//A1B1,GF=12A1B1,AE=12A1B1.
所以GF ∥AE, GF =AE.
所以四边形EFGA为平行四边形，所以EF ∥AG.
又因为EF ⊄平面ACC₁A₁, AG⊂平面ACC₁A₁,所以EF∥平面ACC₁A₁.……………6分
(Ⅱ) 在直三棱柱 ABC−A₁B₁C₁中,BB₁⊥平面ABC.
而BA平面ABC, BC⊂平面ABC,
所以BB₁⊥BA, BB₁⊥BC
因为∠ABC=90°, BA⊥BC,
所以BA, BC,BB₁两互相垂直.
如图，建立空间直角坐标系B-xyz.
则A(0, 2, 0), B(0, 0, 0), C(2, 0, 0), E(0, 1, 0), r\1, U, ∠).
设P(0, 0, m) ,m∈[0,2],
则 AP=0−2m,BE=010,BF=102.
设平面 BEF的一个法向量为n=(x,y,z),
高三数学参考答案及评分标准 第 1 页 (共6 页) 所以 n⋅BE=0,n⋅BF=0,即 y=0,x+2z=0.
设z=-1, 则n=(2,0,-1)
设AP与平面BEF所成的角为θ，
则 sinθ=|csAPn|=|AP⋅n||AP|⋅|n|=|−m|5−22+m2=15
解得 m²=1,m=±1..因为m∈[0,2], 所以m=1.
于是, BP=1. ……………………………………………………………14分
(17) (本小题13分)
解: (I)在△ABC中,由余弦定理得
csB=BC2+AB2−AC22BC⋅AB
又因为 BC=4,AC=13,AB=1,
所以 csB=42+12−1322×4×1=12.
又B∈(0,π),所以 ∠B=π3. ……………………………………………………5分
(Ⅱ) 选择条件①: ∠ADB=π4.
在△ADB中，由正弦定理 ADsinB=ABsin∠ADB, 得 AD32=122,所以 AD=62.
所以sin∠BAD=sin(∠B+∠ADB)
=sin Bcs∠ADB+cs B sin∠ADB
=32×22+12×22
=6+24:.
所以 SABD=12AB⋅ADsin∠BAD.
=12×1×62×6+24
=3+38 ……………………………………………………13分
高三数学参考答案及评分标准 第 2 页 (共6页)选择条件③：由余弦定理 AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcsB,AB+BD+AD=33得 2+3−BD2=1+BD2−BD,
解得 BD=2,
所以 SABD=12AB⋅BDsinB=12×1×2×32=32.…13分
(18)(本小题13分)
解：(I) 由表格中的数据可 知 ：
2022 年 100 名参加第一次考试的考生中有60 名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为 60100=35;
2023 年 100 名参加第一次考试的考生中有50 名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为 50100=12;
从 2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为 35×12=310. ………………………………………4分
(Ⅱ) 记“2022年考生在第i次考试通过”为事件A₁(i=1,2,3),
“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件 A，
则 PA1=35,PA2=70100=710,PA3=80100=45.
小明一次考试该科目成绩合格的概率 PA1=35,
小明两次考试该科目成绩合格的概率
PA1A2=1−35×710=725,
所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率
PA=PA1∪A1A2=PA1+PA1A2=35+725=2225. …………………………10分
(Ⅲ) 88. .13 分
(19)(本小题 15分)
解: (Ⅰ) 由题意得 a+c=2+3,a−c=2−3,a2=b2+c2,
解得 a=2,b=1,c=3.
所以椭圆C的标准方程为 x24+y2=1. ………………………………………………5分
高三数学参考答案及评分标准 第 3 页 (共6 页)(Ⅱ) 证明: 由(Ⅰ) 得, A(-2,0),B(2,0).
设M(m,n), 则N(m,-n), 且满足; m²+4n²=4.
因为E为线段OM的中点，所以 Em2n2.
所以直线AE :y=nm+4x+2.
设D(x₁,y₁),
由 y=nm+4x+2x2+4y2=4 得 m+4²+4n²x²+16n²x+16n²−4m+4²=0.
因为 m²+4n²=4, 所以 2m+5x²+4−m²x−2m²+8m+12=0.
所以 −2x1=−2m2+8m+122m+5, 解得 x1=m2+4m+62m+5, 则 y1=nm+42m+5,
所以 Dm2+4m+62m+5nm+42m+5.
因为G为线段MB的中点，所以 Gm+22n2.
所以直线 GN的方程为 y+n=−3nm−2x−m,
代入D点坐标，得
左式 =nm+42m+5+n=3nm+32m+5,
右式 =3n2−mm2+4m+62m+5−m=3nm+32m+5.
所以左式=右式.
所以D,G,N三点共线. ……………………………………15分
(20)(本小题 15分)
解: (I) 若k=1, 则 fx=x−1x+1−ex,
所以 f'x=2x+12−ex,
所以 f'0=20+12−e0=1,
又因为 f0=0−10+1−e0=−2,
所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 y-(-2)=(x-0),
高三数学参考答案及评分标准 第 4 页 (共6 页) 即y=x-2. .6分
(Ⅱ) 若1≤k<2, 因为 f'x=2x+12−kex,
设函数 gx=2x+12−kex,
则 g'x=−4x+13−kex<0x∈0+∞
所以 f'x=2x+12−kex为(0,+∞)上的减函数.
当时1≤k<2时, f'0=20+12−ke0=2−k≤0,
f'12=212+12−ke12=89−ke12<89−e12<0
所以存在 x0∈012, 使得 f'x₀=0, 即 2x0+12−kex0=0.
当x变化时有
所以当1≤k<2时, 函数y=f(x)在(0,+∞)上有极大值.
m=fx0=x0−1x0+1−kex0,
由 2x0+12−kex0=0,得 m=x0−1x0+1−2x0+12=−2x0+12−2x0+1+1.
因为 x₀>0,所以 1x0+1∈01.
得-3(21)(本小题15分)
解: (I) 由于数列A:-2, a₂, a₃,2,6具有性质 Pc,所以 a₁+a₅=−2+6=4=c.
高三数学参考答案及评分标准 第 5 页 (共 6 页)x
(0,x₀)
x₀
(x₀,+∞)
f'(x)
+
0
—
f(x)
↗
极大值
>
由 a₂+a₄=4以及 a₄=2,得 a₂=2.
由 a₃+a₃=4, 得 a₃=2. ………………4分
(Ⅱ)由于数列A具有性质P₀，且 a1由于当 aᵢ,aⱼ>01≤ij≤n时，存在正整数k，使得 aⱼ−aᵢ=aₖ,
所以 ak+3−ak+2,ak+4−ak+2,ak+5−ak+2,⋯,a2k+1−ak+2这k-1项均为数列A中的项，
且 )a k+3−ak+2=ak+2,ak+4−ak+2=ak+3',ak+5−ak+2=ak+4,⋯,a2k+1−ak+2=a2k,
即: ak+3−ak+2=ak+2,ak+4−ak+3=ak+2,ak+5−ak+4=ak+2,⋯,a2k+1−a2k=ak+2 ,
这说明： ak+2,ak+3,⋯,a2k+1为公差为ak+₂ 的等差数列，再由数列A具有性质 P₀，以及 aₖ₊₁=0可得，数列A为等差数列.………………………………………………………………9分
(Ⅲ)(1) 当 n=4k+2k∈N∗时,
设A :a1,a2,,a2k−1,a2k,a2k+1,a2k+3,a2k+4,⋯,a4k−1,a4k+2 ·
由于此数列具有性质 Pr，且满足 |a₂ₖ₊₁+a₂ₖ₊₂|=m,
由 |a₂ₖ₊₁+a₂ₖ₊₂|=m和 a₂ₖ₊₁+a₂ₖ₊₂=c得c=±m.
① c=m时, 不妨设 a₁+a₂=m, 此时有： a₂=m−a₁,a₄ₖ₊₁=a₁, 此时结论成立.
② c=-m时, 同理可证.
所以结论成立.
(2)当 n=4kk∈N∗时, 不妨设c=0, m=1. 反例如下:
-2k,2k-1,-2k+2,2k-3,…,1,-1,2,…,-2k+3,2k-2,-2k+1,2k.
(3)当 n=2k+3k∈N∗时, 不妨设c=0, m=1. 反例如下:
(-1)ᵏ⁺¹.(k+1),(-1)ᵏ·k,(-1)ᵏ⁻¹.(k-1),⋯,-1,0,1,-2,⋯,(-1)ᵏ⁻².(k-1),
−1ᵏ⁻¹⋅k,−1ᵏ⋅k+1
高三数学参考答案及评分标准 第6 页 ( 共6 页 ) 综上所述， n=4k+2k∈N∗符合题意. ………………………………15分.