北京市东城区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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第一部分
一､选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集定义求解即可.
【详解】全集，集合，
.
故选：C.
2. 设复数z满足，则z的共轭复数
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
算出，即可得.
【详解】由得，，所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.
3. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 1B. 5C. 10D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由二项展开式的通项计算即可得.
【详解】二项展开式的通项为，
令，即，有，
故的系数为10.
故选：C.
4. 设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，则（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】结合等比数列的性质可计算出公比，由等比数列前项和的定义即可得.
【详解】设公比为，则，则，
又的各项均为正数，故，
则.
故选：D.
5. 已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】非零向量，，满足，且，
对于A，不恒为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，不恒为，故C错误；
对于D，不恒为，故D错误.
故选：B.
6. 如图，在正方体中，，，分别是，的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取的中点，连接，，，证明平面平面，进而求出截面面积.
【详解】取的中点，连接，，，
正方体，平面，
平面，，
是的中点，，且，
四边形是矩形，
且，四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
，平面，平面，
平面平面，
即平面为过点且平行于平面的平面截正方体所得平面，
，，，
.
故选：A.
7. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，结合逻辑用语判断即可.
【详解】，，
函数在单调递增，函数在上单调递减，
由得，得，满足充分性；
由得，得，满足必要性.
“”是“”的充要条件.
故选：C.
8. 一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据粒子的运动轨迹得到周期，进而得到和的周期，观察图象即可.
【详解】由题知，粒子从为一个周期，
对应由为一个周期，
对应由为两个周期，
函数的周期是函数的周期的倍.
对于A，的周期为，的周期为，故A错误；
对于B，的周期为，的周期为，故B正确；
对于C，的周期为，的周期为，故C错误；
对于D，的周期为，的周期为，故D错误.
故选：B.
9. 已知线段的长度为是线段上的动点（不与端点重合）.点在圆心为，半径为的圆上，且不共线，则的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，结合图形分析可得，利用正弦函数的性质以及二次函数的性质即可得最值.
【详解】如图：设，圆M的半径为r，
则，
所以的面积，
当为时取等号，再结合二次函数的性质可得当时S有最大值，
故选：A.
10. 设函数，对于下列四个判断：
①函数的一个周期为；
②函数的值域是；
③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；
④当时，函数图象与直线有且仅有一个公共点．
正确的判断是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断①；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断②；利用，结合两点间距离公式可判断③；结合解，根据解的情况判断④，即得答案.
【详解】对于①，，，
故不是函数的一个周期，①错误；
对于②，，
需满足，即，
令，，则即为，
当时，在上单调递增，则；
当时，，
（，故）
此时在上单调递减，则，
综上，的值域是，②错误；
对于③，由②知，，
当时，,
满足此条件下的图象上的点到的距离；
当时，
满足此条件下的图象上的点到的距离，
当且仅当且时等号成立，
而时，或，
满足此条件的x与矛盾，即等号取不到，
故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误；
对于④，由②的分析可知，则，即，
又，故当且仅当时，，
即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，④正确．
故选：D
【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数的知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解.
第二部分
二､填空题共5小题.
11. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不为，对数的真数大于求解即可.
【详解】，
解得且，
函数的定义域为.
故答案为：.
12. 已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是__________；直线与双曲线相交于，两点，则__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由已知可判断双曲线为焦点在轴上的双曲线，可知，，表示渐近线方程即可；由可求的值，从而得到交点坐标，即可得到距离.
【详解】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，，
即，，所以双曲线的渐近线方程为；
当时，，
设，则，所以.
故答案为：；.
13. 已知函数，若，则的一个取值为__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用和角的正弦公式和诱导公式化简，求出即可求解.
【详解】，
即，解得，
，，.
的一个取值为.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 设函数
①若，则的最小值为__________.
②若有最小值，则实数的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在段，结合二次函数的性质即可得.
【详解】①当时，，
则当时，，
当时，，
故的最小值为；
②由，则当时，，
由有最小值，故当时，的最小值小于等于，
则当且时，有，符合要求；
当时，，故不符合要求，故舍去.
综上所述，.
故答案为：；.
15. 一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期.给出下列四个判断：
①对于数列，若，则为周期数列；
②若满足：，则为周期数列；
③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；
④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列.
其中所有正确判断的序号是__________.
【答案】②③
【解析】
【分析】根据题设条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于①，因为，取数列：，
显然满足，但数列不是周期函数，所以①错误；
对于②，因为数列满足：，
不妨令，
则数列为，故，所以②正确；
对于③，为周期数列，不妨设周期为，
所以数列中项的值有个，即数列中的项是个数重复出现，
故存在正整数，使得恒成立，所以③正确；
对于④，取数列为首项2， 当时，，
则当为奇数时，，当为偶数时，，取，
则恒成立，但不为周期数列.
故答案为：②③.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于对新概念的理解，然后再结合各个选项中的条件，通过取特殊数列可得出①和④的正误；再利用周期数列的定义可得出②和③的正误.
三､解答题共6小题，解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）通过取的中点构建平面平面即得；
（2）由题设易于建系，运用空间向量的夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，解方程即得.
【小问1详解】
如图，取线段的中点，连接,因分别为的中点,故有,
又因为平面，平面,故平面，平面，
又,则平面平面,因平面，则平面.
【小问2详解】
如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.
则,设点,则，代入坐标得：，即，
于是,,设平面的法向量为，则有故可取，
依题意得，，解得：，即线段的长为1.
17. 在中，
（1）求；
（2）若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：的周长为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）若选条件①，则；若选条件③，则.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理计算即可得；
（2）若选条件①，由正弦定理可计算出，结合三角形内角和与面积公式即可得面积；若选条件③，由余弦定理结合条件可计算出、，由面积公式计算即可得；不能选条件②，计算出到的距离，故该三角形不唯一，不符合题意.
【小问1详解】
，故；
【小问2详解】
若选条件①：，
由，，，故，即，
，
此时三角形唯一确定，符合要求，
.
若选条件③：的周长为,
由，故，
则，化简得，
即有，解得，故，
此时三角形唯一确定，符合要求，
.
不能选条件②，理由如下：
若选条件②：，
由，，，设点到直线的距离为，
则，即，
此时，，
故该三角形不唯一，故②不符合要求.
18. 某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：
假设每次考试是否通过相互独立.
（1）从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；
（2）小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；
（3）若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立的事件的概率求解即可；
（2）根据相互独立的事件的概率求解即可；
（3）分别求出2022年和2023年考生成绩的合格率，列出不等式即可求解.
【小问1详解】
记事件：“2022年第次参加考试的考生通过考试”，，
记事件：“2023年第次参加考试的考生通过考试”，，
则，，
从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为；
【小问2详解】
，，
，
小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为
；
【小问3详解】
2022年考生成绩合格的概率为,
2023年考生成绩合格的概率为，
要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，
则，解得.
故的最小值为.
19. 已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是坐标原点，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，分别为线段的中点，直线与椭圆交于另一点.证明：三点共线.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得，结合平方关系即可得解.
（2）由题意不妨设，则，将直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理得点坐标，要证三点共线，只需证明即可，在化简时注意利用，由此即可顺利得证.
【小问1详解】
由题意，
所以，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题意不妨设，其中，即，
则，且直线的方程为，
将其与椭圆方程联立得，
消去并化简整理得，
由韦达定理有，
所以，，
即点，
而，
，
所以三点共线
20. 已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若，求证：函数在上有极大值，且.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；
（2）先对求导，然后构造函数，再对求导，根据导数判断函数的单调性，进而判断的单调性，最后根据对勾函数的单调性求出极大值的取值范围.
小问1详解】
当时，，，即切点为，
，，即在处切线的斜率为，
故曲线在处的切线方程为；
【小问2详解】
，
令，，，
在单调递增，且，
在单调递增，且，
在单调递减，
，，
即，，
存在唯一的，使，即，
当时，，即，在单调递增，
当时，，即，在单调递减，
在处取得极大值，设极大值，
即，
令，，
，
对勾函数在单调递增，
，
，
，
，
即，.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数的极值.解题的关键是掌握导数与单调性的关系，当导数的符号不容易确定时，构造新的函数，利用导数研究新函数的单调性.确定极值点时，需要满足极值点的导数为，极值点左右两侧附近的导数值异号.
21. 若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.
（1）若数列具有性质，求的值；
（2）设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；
（3）把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
【答案】（1）2；2；4
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）由数列具有性质的定义可得；
（2）由数列具有性质的定义和等差数列的定义可得.
（3）分、和三种情况讨论即得.
【小问1详解】
由已知可得数列共有5项，所以，
当时，有，
当时，有，所以，
当时，有，所以，
【小问2详解】
数列A具有性质，且为奇数，令，
可得，
设，
由于当时，存在正整数，使得，
所以这项均为数列A中的项，
且，
因此一定有
即，
这说明：为公差为的等差数列，再数列A具有性质，
以及可得，数列A为等差数列；
【小问3详解】
当时，
设A：，，， ，，
由于数列具有性质，且满足，
由和，得，
当时，不妨设，此时：，，此时结论成立，
当时，同理可证，所以结论成立.
当时，不妨设，反例如下：
当时，不妨设，反例如下：
综上所述，符合题意.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.2022年
2023年
通过
未通过
通过
未通过
第一次
60人
40人
50人
50人
第二次
70人
30人
60人
40人
第三次
80人
20人
人
人
的值
83
88
93