72，吉林省辽源市西安区2023-—2024学年上学期八年级期末数学试卷

这是一份72，吉林省辽源市西安区2023-—2024学年上学期八年级期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是( )
A. 1，1，1B. 1，1，8C. 1，2，2D. 2，2，2
2.京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介.在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. (−1)0=−1B. (−1)−1=1
C. 2a−3=12a3D. (−a3)÷(−a)7=1a4
4.下列分式中是最简分式的是( )
A. xx2+1B. 42xC. x−1x2−1D. 1−xx−1
5.如图，已知△ABC≌△DEF(点A、B、C的对应点分别为点D、E、F)，若∠A=25°，∠B=35°，则∠F的度数是( )
A. 120°
B. 115°
C. 110°
D. 100°
6.如图，在△ABC中，∠ABC=52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为( )
A. 115°
B. 116°
C. 117°
D. 118°您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3/份二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.计算：3x(x−2)= ______．
8.生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有______性．
9.如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点(0,1)，△ABC关于直线l对称，点B的坐标为(−1,−1)，则点C的坐标为______．
10.若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形是正______边形．
11.如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，CD⊥AD.若AD=2cm，则△ABC的周长为______cm．
12.如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为______．
13.如图，AD=AE，∠1=∠2，请你添加一个条件______(只填一个即可)，使△ABD≌△ACE．
14.如图所示，一个窗户被装饰布挡住了一部分，其中窗户的长a与宽b的比是3：2，装饰布由一个半圆和两个四分之一圆组成，圆的直径都是0.5b，那么当b=4时，这个窗户未被遮挡的部分的面积是______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解方程：3x−1−x+2x(x−1)=0．
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
因式分解：1+x+x(1+x)．
17.(本小题5分)
计算：a3⋅a+(a2)3÷a2．
18.(本小题5分)
如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，AE=CE，求证：AB//CF．
19.(本小题7分)
已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc−2b2，试说明△ABC是等边三角形．
20.(本小题7分)
先化简，再求值：a−1a+2÷a2−2aa2−4−a+1a，其中a=3．
21.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠B=25°，∠BAC=31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D．
(1)求∠ACD的度数；
(2)若CE平分∠ACD，交AD于点E，求∠AEC的度数．
22.(本小题7分)
如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
(1)求证：△ABM≌△BCN．
(2)求∠APN的度数．
23.(本小题8分)
五月初，某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4 000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同．
(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？
(2)经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这4000件物品，需筹集资金多少元？
24.(本小题8分)
如图，在等腰△ABC中，BA=BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD=BE，∠ABC=∠DBE．
(1)求证：AD=CE；
(2)若∠ABC=30°，∠AFC=45°，求∠EAC的度数．
25.(本小题10分)
我们约定：a⊗b=10a÷10b，如4⊗3=104÷103=10
(1)试求：12⊗3和10⊗4的值；
(2)试求：21⊗5×102和19⊗3⊗4；
(3)想一想，(a⊗b)⊗c和a⊗(b⊗c)是否相等，验证你的结论．
26.(本小题10分)
如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
根据三角形的三边关系逐项判定即可．
【解答】
解：A、∵1+1+1=3<5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；
B、∵1+1+5=7<8，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；
C、∵1+2+2=5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；
D、∵2+2+2=6>5，
∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故符合题意．
2.【答案】A
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】D
【解析】解：A、(−1)0=1，
故本选项不符合题意；
B、(−1)−1=−1，
故本选项不符合题意；
C、2a−3=2a3，
故本选项不符合题意；
D、(−a3)÷(−a7)=1a4，
故本选项符合题意，
故选：D．
根据零指数幂、负指数幂、同底数幂除法进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了整式的除法，掌握零指数幂、负指数幂、同底数幂除法是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解；A、xx2+1是最简二次根式，符合题意；
B、42x=2x，不是最简二次根式，不符合题意；
C、x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)=1x+1，不是最简二次根式，不符合题意；
D、1−xx−1=−1，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的概念判断即．
本题考查的是最简二次根式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠A=25°，∠B=35°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−25°−35°=120°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠ACB=120°，
故选：A．
根据三角形的内角和定理和全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠ABC=52°，
∴∠BMN+∠BNM=128°．
∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM=PM，PN=CN．
∴∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN．
∵∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，
∴∠MPA=12∠BMN，∠CPN=12∠BNM．
∴∠MPA+∠CPN=12(∠BMN+∠BNM)=12×128°=64°．
∴∠APC=180°−64°=116°．
故选：B．
根据三角形的内角和得到∠BMN+∠BNM=128°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM，PN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，可得∠MPA=12∠BMN，∠CPN=12∠BNM，推出∠MPA+∠CPN=12∠BMN+12∠BNM=12×128°=64°，从而由平角定义得到结论．
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．
7.【答案】3x2−6x
【解析】解：3x(x−2)
=3x⋅x−3x×2=3x2−6x，
故答案为：3x2−6x．
根据单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可求解．
本题主要考查了单项式乘多项式，掌握相关的法则是解题的关键．
8.【答案】稳定
【解析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形具有稳定性解答．
解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
9.【答案】(−1,3)
【解析】解：根据题意得出点A和点B是关于直线y=1对称的对应点，它们到y=1的距离相等是2个单位长度，
所以点C的坐标是(−1,1+2)，即(−1,3)．
故答案为：(−1,3)．
根据轴对称的两点到对称轴的距离相等，即可得出答案．
此题考查了坐标与图形变化−对称，解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标．
10.【答案】六
【解析】解：外角是180°−120°=60°，
360°÷60=6，则这个多边形是六边形．
故答案为：六．
一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
11.【答案】12
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=60°．
∵AD/​/BC，CD⊥AD，
∴∠D+∠DCB=180°，∠D=90°．
∴∠DCB=90°．
∴∠ACD=∠∠DCB−∠ACB=30°．
在Rt△ACD中，
∵AD=2cm，∠ACD=30°，
∴AC=2AD=4cm．
C△ABC=AB+AC+BC=12cm．
故答案为：12．
利用平行线的性质和CD⊥AD，先得到∠DCB的度数，再求出∠ACD的度数，再直角三角形中，利用30°角所对的边与斜边的关系求出AC，最后求出等边三角形的周长．
本题考查了等边三角形、直角三角形及性质，题目综合性较强，掌握在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半是解决本题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE=CE．
∵△EDC的周长为24，
∴ED+DC+EC=24，①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴(AB+AC+BC)−(AE+ED+DC+AC)=(AB+AC+BC)−(AE+DC+AC)−DE=12，
∴BE+BD−DE=12，②
∵BE=CE，BD=DC，
∴①−②得，DE=6．
故答案为：6．
运用线段垂直平分线定理可得BE=CE，再根据已知条件“△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12”表示出线段之间的数量关系，联立关系式后求解．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
13.【答案】AB=AC或∠ADB=∠E或∠B=∠C
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，AD=AE，∠BAD=∠CAE，若添加AB=AC，根据SAS可以判定△ABD≌△ACE．
在△ABD与△ACE中，AD=AE，∠BAD=∠CAE，若添加∠ADB=∠E，根据ASA可以判定△ABD≌△ACE．
在△ABD与△ACE中，AD=AE，∠BAD=∠CAE，若添加∠B=∠C，根据AAS可以判定△ABD≌△ACE．
综上所述，若添加AB=AC或∠ADB=∠E或∠B=∠C都可以判定△ABD≌△ACE．
故答案为：AB=AC或∠ADB=∠E或∠B=∠C．
已知一对应边和对应角相等，所以根据全等三角形的判定定理AAS或SAS填空即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14.【答案】24−π
【解析】解：依题意得，这个窗户未被遮挡的部分的面积是：6×4−π×12=24−π．
一个半圆和两个四分之一圆组成一个圆．∵b=4，长a与宽b的比是3：2，∴a=6.圆的直径都是0.5b=2，那么半径为1.∴这个窗户未被遮挡的部分的面积=窗户面积−圆的面积．
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
本题的易错点在于判断装饰布的面积的组成．
15.【答案】解：方程两边同乘x(x−1)，得
3x−(x+2)=0，
解得：x=1．
检验：x=1代入x(x−1)=0．
∴x=1是增根，原方程无解．
【解析】观察可得方程最简公分母为x(x−1).方程两边同乘x(x−1)去分母转化为整式方程去求解．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
(2)解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：原式=(1+x)+x(1+x)
=(1+x)2．
【解析】将1+x看作一个整体，再提取公因式，即可进行解答．
本题主要考查了用提取公因式法进行因式分解，解题的关键是将1+x看作一个整体．
17.【答案】解：a3⋅a+(a2)3÷a2
=a4+a6÷a2=a4+a4=2a4．
【解析】先算同底数幂的乘法，幂的乘方，再算同底数幂的除法，最后合并同类项即可．
本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】证明：∵DE=EF，AE=CE，∠AED=∠FEC，
∴△AED≌△FEC．
∴∠ADE=∠CFE．
∴AD/​/FC．
∵D是AB上一点，
∴AB/​/CF．
【解析】由已知条件，可证明△AED≌△FEC，则有∠ADE=∠CFE，AD/​/FC，又因为D是AB上一点，故AB//CF．
三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
19.【答案】解：∵原式可化为a2+c2−2ab−2bc+2b2=0，
a2+b2−2ab+c2−2bc+b2=0，
即(a−b)2+(b−c)2=0，
∴a−b=0且b−c=0，即a=b且b=c，
∴a=b=c．
故△ABC是等边三角形．
【解析】先把原式化为完全平方的形式再求解．
此题要转化为偶次方的和，根据非负数的性质解答．
非负数的性质：
有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1+a2+…+an=0，则必有a1=a2=…=an=0．
20.【答案】解：a−1a+2÷a2−2aa2−4−a+1a
=a−1a+2×(a+2)(a−2)a(a−2)−a+1a=a−1a−a+1a=−2a，
当a=3时，原式=−23．
【解析】原式先根据除法法则变形，再利用同分母分式的减法法则计算，同时利用约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵∠B=25°，∠BAC=31°，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=56°．
(2)∵AD是BC边上的高，
∴∠D=90°．
又∵CE平分∠ACD，∠ACD=56°，
∴∠ECD=12∠ACD=28°，
∴∠AEC=∠ECD+∠D=118°．
【解析】(1)直接根据三角形外角的性质即可得出结论；
(2)根据AD是BC边上的高得出∠D=90°，再由CE平分∠ACD得出∠ECD的度数，利用三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题关键是熟知基础知识能根据图形选择合适的性质进行角的计算和转化．
22.【答案】证明：(1)∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
AB=BC∠ABM=∠CBM=CN，
∴△ABM≌△BCN(SAS)；
(2)∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=(5−2)×180°5=108°．
即∠APN的度数为108°．
【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
(1)利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可；
(2)利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案．
23.【答案】解：(1)设甲种救灾物品每件的价格为x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为(x−10)元/件，
可得：450x=400x−10，
解得：x=90，
经检验，x=90是原方程的解，
答：甲种救灾物品每件的价格为90元/件，乙种救灾物品每件的价格为80元/件．
(2)设甲种物品件数y件，可得：
y+3y=4000，
解得：y=1000，
所以筹集资金=90×1000+80×3000=330000 元，
答：筹集资金330000 元．
【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次方程解决实际问题，正确列出方程是解题关键．
(1)设甲种救灾物品每件的价格为x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为(x−10)元/件，根据已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同，可列方程求解．
(2)设甲种物品件数为y件，根据灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，可列出方程求解．
24.【答案】(1)证明：∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠ABE=∠DBE+∠ABE，
∴∠ABD=∠CBE．
在△ADB和△CEB中，
AB=CB∠ABD=∠CBEBD=BE，
∴△ADB≌△CEB(SAS)，
∴AD=CE；
(2)解：∵BA=BC，∠ABC=30°，
∴∠BAC=∠BCA=12(180°−30°)=75°，
∵∠AFC=45°，
∴∠BCE=∠AFC−∠ABC=45°−30°=15°，
∵△ADB≌△CEB，
∴∠BAD=∠BCE=15°，
∴∠EAC=∠BAD+∠BAC=15°+75°=90°．
【解析】(1)根据已知条件证明△ADB≌△CEB即可得结论；
(2)根据等腰三角形的性质可得∠BAC=75°，根据△ADB≌△CEB，可得∠BAD=∠BCE=15°，进而可得∠EAC的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△ADB≌△CEB．
25.【答案】解：(1)根据题中的新定义得：12⊗3=1012÷103=109；10⊗4=1010÷104=106；
(2)21⊗5×102=1021÷105×102=1016×102=1018；19⊗3⊗4=(1019÷103)⊗4=101016÷104=101016−4
(3)(a⊗b)⊗c和a⊗(b⊗c)不相等，理由如下：
(a⊗b)⊗c=(10a÷10b)⊗c=1010a−b÷10c=1010a−b−c，
a⊗(b⊗c)=a⊗(10b÷10c)=10a÷1010b−c=10a−10b−c，
∴(a⊗b)⊗c和a⊗(b⊗c)不相等．
【解析】(1)根据a⊗b=10a÷10b，可得答案；
(2)根据a⊗b=10a÷10b，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的乘除法，可得答案；
(3)根据a⊗b=10a÷10b，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，利用a⊗b=10a÷10b得出同底数幂的除法是解题关键．
26.【答案】(1)证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
(2)解：△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α，
∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°，
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°−α=α−60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°−α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α−60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【解析】(1)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
(2)根据全等易得∠ADC=∠BOC=∠α=150°，结合(1)中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
(3)根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．