浙江省杭州市八年级(上)精品期末数学试卷合集-

这是一份浙江省杭州市八年级(上)精品期末数学试卷合集-，共263页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

题号
得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 在直角坐标系中，已知点 P（2，a）在第四象限，则（ ）
A. a<0 B. a≤0 C. a>0
D. a≥0
2. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴
对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 已知 y 关于 x 成正比例，且当 x=2 时，y=-6，则当 x=1 时，y 的值为（ ）
B. −3 C. 12 D. −12
4. 一个三角形的两条边长分别为 3 和 7，则第三边的长可能是（ ）
A. 3
A. 3
B. 7
C. 10
D. 11
5. 不等式组 x>−2x<−1 的解集为（ ）
A. x>−2 B. x<−1
C. −2D. 无解
6. 将以点 A（-3，7），B（-3，-3）为端点的线段 AB 向右平移 5 个单位得到线段
A'B′，则线段 A'B′的中点坐标是（ ）
A. (2,5)
7. 已知 a＜0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A. 2a0 C. 1−2a<1
B. (2,2)
C. (−8,5)
D. (−8,2)
D. a−2<0
8. 如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=9，将△ABC 折
叠，使点 C 与 AB 的中点 D 重合，折痕交 AC 于点 M，
交 BC 于点 N，则线段 BN 的长为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M，N，P，Q 的位置
如图所示．若直线 y=kx 经过第一、三象限，则直线
y=kx-2 可能经过的点是（ ）
A. 点 M
B. 点 N
C. 点 P
D. 点 Q
10. 如图，在△ABC 中，AE⊥BC 于点 E，BD⊥AC 于点 D；点 F
是 AB 的中点，连结 DF，EF，设∠DFE=x°，∠ACB=y°，则
（ ）
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A. y=x
B. y=−12x+90
C. y=−2x+180
D. y=−x+90
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
11. 点 P（2，3）关于 x 轴的对称点的坐标为______．
12. 用不等式表示“a 的 2 倍与 3 的差是非负数”：______．
13. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，若
∠B=72°，∠DAE=16°，则∠C=______度．
14. 若 A（x ，y ），B（x ，y ）是直线 y=3x 上不同的两点，记 m=x1−x2y1−y2，则
1
1
2
2
函数 y=mx-2 的图象经过第______象限．
15. 如图，数轴上 A 点表示数 7，B 点表示数 5，C 为 OB 上一点，当以 OC、CB、BA
三条线段为边，可以围成等腰三角形时，C 点表示数______．
16. 小婷家与学校之间是一条笔直的公路，小婷从家步行前往学校的途中发现忘记带昨
天的回家作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上
赶往学校，同时小婷沿原路返回．两人相遇后，小婷立即赶往学校，妈妈沿原路返
回家，并且小婷到达学校比妈妈到家多用了 5 分钟，若小婷步行的速度始终是每分
钟 100 米，小婷和妈妈之间的距离 y 与小婷打完电话后步行的时间 x 之间的函数关
系如图所示
（1）妈妈从家出发______分钟后与小婷相遇；
（2）相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟______米，小婷家离学校的距离为______
米．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 52.0 分）
17. 解不等式组 x−2(x−3)＜4x2−(x+1)≤2−x 并写出它的整数解．
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18. 判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请给出证明．
①若 a＞b，则 a2＞b2；
②三个角对应相等的两个三角形全等．
19. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，BE 和 CD 相交于点 O，OB=OC，连
AO，求证：
（1）△ODB≌△OEC；
（2）∠1=∠2．
20. 已知 y 是 x 的一次函数，且当 x=-2 时，y=7；当 x=3 时，y=-8．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求当-2＜x＜4 时 y 的取值范围．
21. 格点△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示．
（1）直接写出点 A，B，C 的坐标和△ABC 的面积；
（2）作出△ABC 关于 y 轴对称的△A B C ．
1
1
1
第 3 页，共 13 页

22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：y=3x+1
与 y 轴交于点 A．直线 l ：y=-x+b 与直线 l 交于点 B
2
1
（1，m），与 y 轴交于点 C．
（1）求 m 的值和点 C 的坐标；
（2）已知点 M（a，0）在 x 轴上，过点 M 作直线 l3∥y
轴，分别交直线 l ，l 于 D，E，若 DE=6，求 a 的
1
2
值．
23. 已知△ABC 是等边三角形，点 D 是 BC 边上一动点，连结 AD
（1）如图 1，若 BD=2，DC=4，求 AD 的长；
（2）如图 2，以 AD 为边作∠ADE=∠ADF=60°，分别交 AB，AC 于点 E，F．
①小明通过观察、实验，提出猜想：在点 D 运动的过程中，始终有 AE=AF，小明
把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法 1：利用 AD 是∠EDF 的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然
后通过全等三角形的相关知识获证．
想法 2：利用 AD 是∠EDF 的角平分线，构造△ADF 的全等三角形，然后通过等腰
三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明 AE=AF．（一种方法即可）
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形 AEDF 的面积与 AD 长存在很
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好的关系．若用 S 表示四边形 AEDF 的面积，x 表示 AD 的长，请你直接写出 S 与
x 之间的关系式．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：∵点 P（2，a）在第四象限，
∴a＜0．
故选：A．
直接利用第四象限内点的坐标特点分析得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
2.【答案】D
【解析】
解：A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选：D．
根据轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】
解：设 y=kx，
∵当 x=2 时，y=-6，
∴2k=-6，解得 k=-3，
∴y=-3x，
∴当 x=1 时，y=-3×1=-3．
故选：B．
先利用待定系数法求出 y=-3x，然后计算 x=1 对应的函数值．
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为 y=kx
（k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出 k 即可．
4.【答案】B
【解析】
解：根据三角形的三边关系，得
第三边应＞4，而＜10．
下列答案中，只有 7 符合．
故选：B．
根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进
行分析求解．
此题考查了三角形的三边关系．
5.【答案】C
【解析】
解：不等式组
故选：C．
的解集为-2＜x＜-1，
根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集．
本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握确定不等式组解集的口诀．
6.【答案】B
【解析】
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解：∵线段 AB 的中点坐标为（-3，2），则线段 A'B′的中点坐标是（-3+5，2）即（2，
2），
故选：B．
先求得线段 AB 的中点坐标，再根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，
下移减求解可得．
本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握平移变换下点的坐
标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
7.【答案】C
【解析】
解：A、∵a＜0，
∴2a＜a，正确，不合题意；
B、∵a＜0，
∴a2＞0，正确，不合题意；
C、∵a＜0，
∴1-2a＞1，原式错误，符合题意；
D、∵a＜0，
∴a-2＜0，正确，不合题意；
故选：C．
直接利用不等式的基本性质分别判断得出答案．
此题主要考查了不等式的性质，正确应用不等式基本性质是解题关键．
8.【答案】B
【解析】
解：∵D 是 AB 中点，AB=6，
∴AD=BD=3，
∵折叠
∴DN=CN，
∴BN=BC-CN=9-DN，
在 Rt△DBN 中，DN2=BN2+DB2
∴DN2=（9-DN）2+9，
，
∴DN=5
∴BN=4，
故选：B．
由折叠的性质可得 DN=CN，根据勾股定理可求 DN 的长，即可求 BN 的长．
本题考查了翻折变换，折叠的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题
的关键．
9.【答案】A
【解析】
解：∵直线 y=kx 经过第一、三象限，
∴直线 y=kx-2 平行直线 y=kx，且经过（0，-2），
观察图象可知直线 y=kx-2 不经过点 N、P、Q，
∴直线 y=kx-2 经过点 M，
故选：A．
根据直线 y=kx-2 的位置，利用排除法即可解决问题．
本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、正比例函数的
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性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】B
【解析】
解：∵AE⊥BC 于点 E，BD⊥AC 于点 D；
∴∠ADB=∠BEA=90°，
∵点 F 是 AB 的中点，
∴AF=DF，BF=EF，
∴∠DAF=∠ADF，∠EFB=∠BEF，
∴∠AFD=180°-2∠CAB，∠BFE=180°-2∠ABC，
∴x°=180°-∠AFD-∠BFE=2（∠CAB+∠CBA）-180°=2（180°-y°）-180°=180°-2y°，
∴y=- x+90，
故选：B．
由垂直的定义得到∠ADB=∠BEA=90°，根据直角三角形的性质得到 AF=DF，
BF=EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠ADF，∠EFB=∠BEF，于是得到
结论．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确
的识别图形是解题的关键．
11.【答案】（2，-3）
【解析】
解：∵点 P（2，3）
∴关于 x 轴的对称点的坐标为：（2，-3）．
故答案为：（2，-3）．
根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点 P（x，
y）关于 x 轴的对称点 P′的坐标是（x，-y）得出即可．
此题主要考查了关于 x 轴、y 轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关
键．
12.【答案】2a-3≥0
【解析】
解：由题意得：2a-3≥0．
故答案为：2a-3≥0．
首先表示出 a 的 2 倍与 3 的差为 2a-3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式
2a-3≥0．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要
抓住题目中的关键词“非负数”正确选择不等号．
13.【答案】40
【解析】
解：∵AD 是高，∠B=72°，
∴∠BAD=18°，
∴∠BAE=18°+16°=34°，
∵AE 是角平分线，
∴∠BAC=68°，
∴∠C=180°-72°-68°=40°．
故答案为：40
根据三角形的内角和得出∠BAD=18°，再利用角平分线得出∠BAC=68°，利用
三角形内角和解答即可．
本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内
角和等于 180°是解题的关键．
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14.【答案】一、三、四
【解析】
解：∵A（x ，y ），B（x ，y ）是直线 y=3x 上不同的两点，
1
1
2
2
∴y =3x ，y =3x ，
1
1
2
2
∴m=
=
= ＞0，
∴函数 y=mx-2 的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四
将点 A，点 B 坐标代入解析式，可得 y =3x ，y =3x ，可得 m= ，即可求解．
1
1
2
2
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数性质，熟练运用一次函
数性质是本题的关键．
15.【答案】2 或 2.5 或 3
【解析】
解：∵数轴上 A 点表示数 7，B 点表示数 5，
∴BA=2，
∵以 OC、CB、BA 三条线段为边围成等腰三角形时，
若 CB=BA=2，则 OC=5-2=3，所以 C 点表示数为 3，
若 OC=BA=2，所以 C 点表示数为 2，
若 OC=CB，则 OC=5÷2=2.5，所以 C 点表示数为 2.5，
故答案为：2 或 2.5 或 3．
根据等腰三角形的两边相等进行解答即可．
本题考查了等腰三角形两边相等的性质，注意分类讨论得出是解题关键．
16.【答案】8 60 2100
【解析】
解：（1）当 x=8 时，y=0，
故妈妈从家出发 8 分钟后与小婷相遇，
（2）当 x=0 时，y=1400，
∴相遇后 18-8=10 分钟小婷和妈妈的距离为 1600 米，
1600÷（18-8）-100=60（米/分），
∴相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟 60 米；
1600+（23-18）×100=2100（米），
∴小婷家离学校的距离为 2100 米．
故答案为：8；60；2100．
由当 x=8 时，y=0，可得出妈妈从家出发 8 分钟后与小婷相遇；
利用速度=路程÷时间结合小婷的速度，可求出小婷和妈妈相遇后，妈妈回家
的速度为 60 米/分；
根据路程=1600+小婷步行的速度×（23-18），即可得出小婷家离学校的距离．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】解：x−2(x−3)＜4①x2−(x+1)≤2−x②，
由①得 x＞2，
由②得 x≤6，
故不等式组的整数解为：2＜x≤6，
它的整数解有 3，4，5，6．
【解析】
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分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再其公共解集内找出符合条
件的 x 的整数解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：①若 a＞b，则 a2＞b2 是假命题，
例如：a=-1，b=-2，
a＞b，但 a2＜b2；
②三个角对应相等的两个三角形全等是假命题，
例如：两个边长不相等的等边三角形不全等．
【解析】
①根据乘方法则举例即可；
②根据全等三角形的概念、等边三角形的性质举例．
本题考查的是命题的真假判断，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论
证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
19.【答案】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°，
在△ODB 和△OEC 中，
∠ODB=∠OEC∠DOB=∠EOCOB=OC，
∴△ODB≌△OEC（AAS）．
（2）∵△ODB≌△OEC，
∴OD=OE，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠1=∠2．
【解析】
（1）根据 AAS 证明△ODB≌△OEC 即可；
（2）利用角平分线的判定定理证明即可；
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关
键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】解：（1）设一次函数解析式为 y=kx+b，
根据题意得−2k+b=73k+b=−8，解得 k=−3b=1，
所以这个一次函数的表达式为 y=-3x+1；
（2）当 x=4 时，y=-3x+1=-11，
所以当-2＜x＜4 时 y 的取值范围为-11＜y＜7．
【解析】
（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先计算出 x=4 时的函数值，然后根据一次函数的性质求解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次
函数的解析式时，先设 y=kx+b；将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值
代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求
出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数的性质．
21.【答案】解：（1）由图知 A（2，3），B（3，1），C（-2，-2），
△ABC 的面积为 5×5-12×1×2-12×3×5-12×5×4=132；
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（2）如图所示，△A B C 即为所求．
1
1
1
【解析】
（1）由图可得三顶点的坐标，再根据割补法求解可得；
（2）分别作出点 A，B，C 关于 y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得．
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解
题关键．
22.【答案】解：（1）把点 B（1，m）代入 y=3x+1 得，m=4，
∴点 C 的坐标为：（0，5）；
（2）由（1）得，直线 l2 的解析式为：y=-x+5，
∵过点 M 作直线 l ∥y 轴，分别交直线 l ，l 于 D，E，
3
1
2
∴D（a，3a+1），E（a，-a+5），
∵DE=6，
∴|3a+1-（-a+5）|=6，
∴a=52 或 a=-12．
【解析】
（1）把点 B（1，m）代入 y=3x+1 即可得到结论；
（2）由（1）得到直线 l 的解析式为 y=-x+4，过点 M 作直线 l ∥y 轴，分别交直线
2
3
l ，l 于 D，E，得到 D（a，3a+1），E（-a+4），列方程即可得到结论．
1
2
本题考查了两条直线相交或平行，正确的识别图象是解题的关键．
23.【答案】解：（1）如图，过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，
∵BD=2，DC=4，
∴BC=6，
∵△ABC 是等边三角形，AG⊥BC，
∴AB=BC=6，BG=12BC=3，
∴DG=BG-BD=3-2=1，
在 Rt△ABG 中，AG=AB2−BG2=33，
在 Rt△ADG 中，AD=AG2+DG2=27
（2）①想法 1：如图，过点 A 作 AM⊥DF 于点 M，作 AH⊥DE，交 DE 的延长线于点
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H，
∵AD 平分∠EDF，AH⊥DE，AM⊥DF
∴AH=AM，
∵∠ADE=∠ADF=60°，
∴∠EDF=120°，
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，
∴∠AED+∠AFD=180°，且∠AED+∠AEH=180°，
∴∠AEH=∠AFD，且 AH=AM，∠H=∠AMF=90°，
∴Rt△AHE≌Rt△AMF（AAS）
∴AE=AF
想法 2：如图，延长 DE 至 N，使 DN=DF，
∵DN=DF，AD=AD，∠ADE=∠ADF=60°，
∴△ADN≌△ADF（SAS）
∴AN=AF，∠AFD=∠N，
∵∠ADE=∠ADF=60°，
∴∠EDF=120°，
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，
∴∠AED+∠AFD=180°，且∠AED+∠AEN=180°，
∴∠AEN=∠AFD，
∴∠AEN=∠N，
∴AN=AE=AF，
②如图，
由①中想法 1 可得 Rt△AHE≌Rt△AMF，
∴S△AHE=S△AMF
，
∴S 四边形 AEDF=S 四边形 AHDM，
∵∠ADF=60°，AM⊥DF，
∴DM=12AD，AM=3DM=32AD，
∴S△ADM=12×DM×AM=38AD2=38x2，
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∵AD=AD，AH=AM，
∴Rt△ADH≌Rt△ADM（HL）
∴S△ADH=S△ADM
，
∴S 四边形 AEDF=S 四边形 AHDM=2S△ADM=34x2．
【解析】
（1）由等边三角形的性质可求 AB=BC=6，BG= BC=3，DG=1，由勾股定理可
求 AG，AD 的长；
（2）①想法 1：过点 A 作 AM⊥DF 于点 M，作 AH⊥DE，交 DE 的延长线于点
H，由角平分线的性质可得 AH=AM，由“AAS”可证 Rt△AHE≌Rt△AMF，可得
AE=AF；
想法 2：延长 DE 至 N，使 DN=DF，由“SAS”可证△ADN≌△ADF，可得
AN=AF，∠AFD=∠N，由四边形内角和为 360°，可得∠AEN=∠AFD=∠N，可得
AN=AE=AF；
②由想法 1 可得 S 四边形 AEDF=S 四边形 AHDM=2S△ADM
=
2
x ．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 点 P（-2，4）所在的象限是（ ）
A. 第三象限
2. 已知 a＜b，下列式子正确的是（ ）
A. a+3>b+3 B. a−3B. 第二象限
C. 第一象限
C. −3a<−3b
D. 第四象限
D. a3>b3
3. 如图，△ABC≌△ADE，∠C=40°，则∠E 的度数为（ ）
A. 80∘
B. 75∘
C. 40∘
D. 70∘
4. 若三角形三个内角度数比为 2：3：4，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
5. 如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断
△ABC≌△DBE 的是（ ）
A. BC=BE
B. ∠A=∠D
C. ∠ACB=∠DEB
D. AC=DE
6. 下列命题：
（1）三边长为 5，12，13 的三角形是直角三角形；
（2）等边三角形是轴对称图形，它只有一条对称轴；
（3）有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等；
（4）把正比例函数 y=2x 的图象向上平移两个单位所得的直线表达式为 y=2x+2．
其中真命题的是（ ）
A. (1)(2)(3)
B. (1)(3)(4)
C. (1)(2)(4)
D. (1)(4)
7. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明∠D′O′C′=∠DOC 的依据是
（ ）
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
8. 一次函数 y=（m-3）x+m+2 的图象经过第一、二、四象限，则 m 的取值范围在数轴
上表示为（ ）
A.
C.
B.
D.
9. 如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB=AC=BD，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）
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A. ∠1=2∠2
10. 已知关于x的不等式组x−a>03−2x>0的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ）
A. −4二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
11. “内错角相等，两直线平行”的逆命题是______．
B. ∠1+∠2=180∘
C. ∠1+3∠2=180∘ D. 3∠1−∠2=180∘
12. 三角形两边长分别是 2，4，第三边长为偶数，第三边长为______．
13. 等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为 40°，则这个三角形的底角为
______．
14. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直
角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm，则正方形
A，B，C，D 的面积之和为______cm2．
15. 一次函数 y=kx-2k+1 的图象必经过一个定点，该定点的坐标是______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限角平分线
上的一点，且 P 点的横坐标为 3．把一块三角板的直
角顶点固定在点 P 处，将此三角板绕点 P 旋转，在旋
转的过程中设一直角边与 x 轴交于点 E，另一直角边
与 y 轴交于点 F，若△POE 为等腰三角形，则点 F 的
坐标为______．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）
17. 解不等式组 x−32+3≥x+11−3(x−1)＜8−x．
四、解答题（本大题共 7 小题，共 61.0 分）
18. 解下列不等式，并将解集用数轴表示出来．
2（5x+3）≤x-3（1-2x）．
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19. 已知：如图，在△ABC、△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，
AB=AC，AD=AE，点 C、D、E 三点在同一直线上，连接
BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断 BD、CE 有何大小、位置关系，并证明．
20. 如图所示，△ABC 在正方形网格中，若点 A 的坐标为（0，3），按要求回答下列问
题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点 B 和点 C 的坐标；
（2）求△ABC 的面积．
21. 在一条笔直的公路上有 A、B 两地，甲骑自行车从 A 地到 B 地；乙骑摩托车从 B 地
到 A 地，到达 A 地后立即按原路返回．如图是甲、乙两人离 B 地的距离 y（km）
与行驶时间 x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）直接写出 y ，y 与 x 之间的函数关系式（不写过程）；
甲
乙
（2）①求出点 M 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
②根据图象判断，x 取何值时，y ＞y ．
乙
甲
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22. 如图，已知 AC⊥BC，AD⊥BD，E 为 AB 的中点，
（1）如图 1，求证：△ECD 是等腰三角形；
（2）如图 2，CD 与 AB 交点为 F，若 AD=BD，EF=3，DE=4，求 CD 的长．
23. 某校八年级举行英语演讲比赛，购买 A，B 两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的
单价分别是 12 元和 8 元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共 30 本，并且所购买
A 笔记本的数量要不多于 B 笔记本数量的 45，但又不少于 B 笔记本数量 15，设买
A 笔记本 n 本，买两种笔记本的总费为 w 元．
（1）写出 w（元）关于 n（本）的函数关系式，并求出自变量 n 的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？
（3）商店为了促销，决定仅对 A 种类型的笔记本每本让利 a 元销售，B 种类型笔
记本售价不变．问购买这两种笔记本各多少本时花费最少？
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24. 李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题：如图 1，在△ABC 中，AB=AC，
点 P 为边 BC 上的任一点，过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为 D、E，过点 C
作 CF⊥AB，垂足为 F．求证：PD+PE=CF．
小兵的证明思路是：如图 2，连接 AP，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面
积可以证得：PD+PE=CF．
小鹏的证明思路是：如图 2，过点 P 作 PG⊥CF，垂足为 G，先证△GPC≌△ECP，
可得：PE=CG，而 PD=GF，则 PD+PE=CF．
请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题：
（1）如图 3，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 落在点 B 上，点 C 落在点 C′处，
点 P 为折痕 EF 上的任一点，过点 P 作 PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为 G、H，若
AD=16，CF=6，求 PG+PH 的值；
（2）如图 4，P 是边长为 6 的等边三角形 ABC 内任一点，且 PD⊥AB，PF⊥AC，
PE⊥BC，求 PD+PE+PF 的值．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：∵-2＜0，4＞0，
∴点 P（-2，4）在第二象限，
故选：B．
点 P（-2，4）横坐标为负，纵坐标为正，根据象限内点的符号，确定象限．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的
坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二
象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2.【答案】B
【解析】
解：A、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故本选项错误；
B、∵a＜b，∴a-3＜b-3，故本选项正确；
C、∵a＜b，-3a＞-3b，故本选项错误；
D、∵a＜b，∴
，故本选项错误．
故选：B．
由于 a＜b，根据不等式的性质可以分别判定 A、B、C、D 是否正确．
此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），
不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】C
【解析】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠C=40°，
故选：C．
根据全等三角形的性质：对应角相等解答即可．
本题考查了三角形全等的性质；解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求
联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及内角之间的关系联系起来．
4.【答案】A
【解析】
解：设三个内角度数为 2x、3x、4x，
由三角形内角和定理得，2x+3x+4x=180°，
解得，x=20°，
则三个内角度数为 40°、60°、80°，
则这个三角形一定是锐角三角形，
故选：A．
设三个内角度数为 2x、3x、4x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可．
本题主要考查的是三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解
题的关键．
5.【答案】D
【解析】
解：A、添加 BC=BE，可根据 SAS 判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加∠A=∠D，可根据 ASA 判定△ABC≌△DBE，故正确；
C、添加∠ACB=∠DEB，可根据 ASA 判定△ABC≌△DBE，故正确；
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D、添加 AC=DE，SSA 不能判定△ABC≌△DBE，故错误．
故选：D．
本题要判定△ABC≌△DBE，已知 AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应
相等，对选项一一分析，选出正确答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形
全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6.【答案】B
【解析】
解：（1）三边长为 5，12，13 的三角形是直角三角形，是真命题；
（2）等边三角形是轴对称图形，它只有三条对称轴，是假命题；
（3）有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等，是真命题；
（4）把正比例函数 y=2x 的图象向上平移两个单位所得的直线表达式为
y=2x+2，是真命题；
故选：B．
根据全等三角形的判定、轴对称的性质、直角三角形的判定及正比例函数的
平移分别判断各项说法，即可得解．
本题主要考查全等三角形的判定，涉及到轴对称的性质、直角三角形的判定
及正比例函数的平移等知识点，要求学生们灵活掌握并运用全等三角形的判
定定理．
7.【答案】A
【解析】
解：如图，在△D′O′C′与△DOC 中，
，
∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），
∴∠D′O′C′=∠DOC，
故选：A．
如图，证明△D′O′C′≌△DOC，得到∠D′O′C′=∠DOC，即可解决问题．
该题主要考查了 SSS 公理及其应用问题；应牢固掌握判断两个三角形全等的
方法，这是灵活运用解题的基础和关键．
8.【答案】C
【解析】
解：由题意：由题意：
，
解得-2＜x＜3
故选：C．
根据一次函数的性质构建不等式组即可解决问题．
本题考查一次函数的图象与系数的关系，不等式组的解集等知识，解题的关
键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
9.【答案】D
【解析】
解：∵AB=AC=BD，
∴∠1=∠BAD，∠C=∠B，
∠1 是△ADC 的外角，
∴∠1=∠2+∠C，
∵∠B=180°-2∠1，
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∴∠1=∠2+180°-2∠1
即 3∠1-∠2=180°．
故选：D．
由已知 AB=AC=BD，结合图形，根据等腰三角形的性质、内角与外角的关系
及三角形内角和定理解答．
主要考查了等腰三角形的性质及三角形的外角、内角和等知识；
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是 180 度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180°
这一隐含的条件．
10.【答案】B
【解析】
解：解不等式 x-a＞0，得：x＞a，
解不等式 3-2x＞0，得：x＜1.5，
∵不等式组的整数解有 5 个，
∴-4≤a＜-3．
故选：B．
求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有 5 个
即可得出 a 的取值范围是-4≤a＜-3．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的
整数解等知识点，关键是能根据不等式组的解集和已知得出 a 的取值范围．
11.【答案】两直线平行，内错角相等
【解析】
解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题
叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12.【答案】4
【解析】
解：设第三边为 a，根据三角形的三边关系知，4-2＜a＜4+2．
即 2＜a＜6，
由周长为偶数，
则 a 为 4．
故答案为：4．
利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的
长．
此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大
于第三边，任意两边之差小于第三边．
13.【答案】65°或 25°
【解析】
解：有两种情况；
（1）如图，当△ABC 是锐角三角形时，BD⊥AC 于 D，
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则∠ADB=90°，
已知∠ABD=40°，
∴∠A=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= ×（180°-50°）=65°；
（2）如图，当△EFG 是钝角三角形时，FH⊥EG 于 H，
则∠FHE=90°，
已知∠HFE=40°，
∴∠HEF=90°-40°=50°，
∴∠FEG=180°-50°=130°，
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠G= ×（180°-130°）=25°，
故答案为 65°或 25°；
分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两
底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
本题考查了等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是能否利用三角形的
内角和定理和等腰三角形的性质．解题时注意分类讨论思想的运用．
14.【答案】49
【解析】
解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形 A，B，C，D 的面积之和=49cm2．
故答案为：49cm2．
根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等
于最大正方形的面积．
熟练运用勾股定理进行面积的转换．
15.【答案】（2，1）
【解析】
解：根据题意可把直线解析式化为：y=k（x-2）+1，
故函数一定过点（2，1）．
故答案为：（2，1）．
把一次函数解析式转化为 y=k（x-2）+1，可知点（2，1）在直线上，且与系数无
关．
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本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是把一次函数进
行整理变形．
16.【答案】（0，0）或（0，3）或（0，6-32）或（0，6+32）
【解析】
解：△POE 是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO 其中有两段相等，分情况讨论：
①当 PE=OE 时，PE⊥OC，则 PF⊥y 轴，则 OF=PE=3，故 F 的坐标是（0，3）；
②当 OP=PE 时，∠OPE=90°=∠FPE，则 F 与 O 重合，即点 F 坐标为（0，0）；
③当 OP=OE，点 E 在 x 轴正半轴上时，过 P 作 PA⊥x 轴，PB⊥y 轴，易得
△PAE≌△PBF，
∴BF=AE=OE-AO=3
此时，OF=3-（3 -3）=6-3
当点 E 在 x 轴负半轴上时，同理可得，BF=AE=OE+AO=3
-3，
，
+3，
此时，OF=3+（3
-3）=6+3
，
∴点 F 的坐标是：（0，6-3
）或（0，6+3
）．
故答案为：（0，0）或（0，3）或（0，6-3
）或（0，6+3
）．
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根据题意，结合图形，分情况讨论：①PE=OE；②OP=PE；③OP=OE，依据 OF
的长即可得到点 F 的坐标．
本题考查坐标与图形变化、等腰三角形的判定等知识的综合运用，解决问题
的关键是画出图形进行分类讨论．
17.【答案】解：x−32+3≥x+1①1−3(x−1)＜8−x②，
∵解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞-2，
∴不等式组的解集为-2＜x≤1．
【解析】
根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出
即可．
本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等
式的解集找出不等式组的解集，题目比较好，难度也适中．
18.【答案】解：去括号得，10x+6≤x-3+6x，
移项得，10x-x-6x≤-3-6，
合并同类项得，3x≤-9，
系数化为 1 得，x≤-3．
在数轴上表示为：
．
【解析】
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关
键．
19.【答案】证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD 和△CAE 中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则 BD⊥CE．
【解析】
（1）要证△BAD≌△CAE，现有 AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，
而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．
（2）BD、CE 有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努
力．要证 BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提
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供．
本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在
图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
20.【答案】解：（1）如右图所示，
点 B 的坐标是（-3，-1），点 C 的坐标为（1，1）；
（2）由图可得，
△ABC 的面积是：4×4-4×22−1×22−3×42=5．
【解析】
（1）根据题意可以建立平面直角坐标系，从而
可以写出点 B 和点 C 的坐标；
（2）根据图形可以求得△ABC 的面积．
本题考查三角形的面积、坐标与图形的性质，解
答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：（1）设甲离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系式为y=kx+b，
把（0，20），（2，0）代入得：b=202k+b=0，
解得：k=−10b=20，
∴y 甲=-10x+20．
同法可得当 0＜x≤1 时，y =20x，当 1＜x≤2 时，y =-20x+40，
乙
乙
（2）①由 y=−10x+20y=−20x+40，解得 x=23y=403
∴M（23，403）．
表示 23 小时时两车相遇，此时距离 B 地 403 千米．
②观察图象可知：23＜x＜2 时，y ＞y ．
乙
甲
【解析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①构建方程组确定交点坐标即可；
②利用图象法即可解决问题；
本题考查了一次函数的应用，相遇问题的数量关系的运用，待定系数法求一
次函数的解析式的运用，解答时认真分析函数图象，弄清函数图象的意义是
关键．
22.【答案】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E 为 AB 的中点，
∴CE=12AB，DE=12AB
∴CE=DE，即△ECD 是等腰三角形；
（2）∵AD=BD，E 为 AB 的中点，
∴DE⊥AB，
已知 DE=4，EF=3，
∴DF=5，
过点 E 作 EH⊥CD，
∵∠FED=90°，EH⊥DF，
∴EH=EF⋅EDDF=125，
∴DH=DE2−EH2=165，
∵△ECD 是等腰三角形，
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∴CD=2DH=325．
【解析】
（1）根据直角三角形的性质得到 CE= AB，DE= AB，得到 CE=DE，证明结
论；
（2）过点 E 作 EH⊥CD，根据三角形的面积公式求出 EH，根据勾股定理求出
DH，根据等腰三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，
斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
23.【答案】解：（1）由题意可知：w=12n+8（30-n），
∴w=4n+240，
又∵A 笔记本的数量要不多于 B 笔记本数量的 45，但又不少于 B 笔记本数量的 15．
∴n≤45(30−n)n≥15(30−n)，解得 5≤n≤403，
（2）w=4n+240，
∵k=4＞0，
∴w 随 n 的增大而增大，
∴当 n=5 时，w 取到最小值为 260 元．
（3）w=（12-a）n+8（30-n），
∴w=（4-a）n+240，
当 4-a＞0，即 a＜4 时，n=5，即买 A 笔记本 5 本，B 笔记本 25 本，花费最少，
当 4-a=0，即 a=4 时，5≤n≤13，即买 A 笔记本 5-13 本，B 笔记本 25-17 本，花费为 240
元，
当 4-a＜0，即 a＞4 时，n=13，即买 A 笔记本 13 本，B 笔记本 17 本，花费最少．
【解析】
（1））①总费用=12×A 种笔记本的本数+8×B 种笔记本的本数；=列出不等式组
可得自变量的取值范围；
（2）两条一次函数的性质即可解决问题；
（3）分三种情形分别讨论即可解决问题；
本题考查一次函数的应用，不等式组等知识，解题的关键是学会构建一次函
数解决实际问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：（1）如图 3，过点 E 作 EQ⊥BC 于 Q，
连接 BP，
∵四边形 ABCD 是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折叠可得，∠DEF=∠BEF，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BE=BF，
∵PG⊥BE、PH⊥BC，
∴S△BEF=S△BEP+S△BFP=12BE•PG+12BF•PH=12BF（PG+PH），
∵S△BEF=12BF•EQ，
∴PG+PH=EQ，
∵四边形 ABCD 是长方形，
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．
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∵AD=16，CF=6，
∴BF=BC-CF=AD-CF=10．
由折叠易知，△DCF≌△BC'F≌△BAE，
∴C'F=CF=6，
∴C'B=AB=EQ=8；
（2）过 A 作 AM⊥BC，连接 PA，PB，PC，如图 4 所示：
∵△ABC 为等边三角形的边长为 6，AM⊥BC，
∴M 为 BC 的中点，即 BM=CM=3，
在 Rt△ABM 中，AB=6，BM=3，
根据勾股定理得：AM=33
又∵S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
=12PE•BC+12PF•AC+12PD•AB=12AB（PE+PF+PD）=12BC•AM，
∴（PE+PF+PD）=AM=33．
【解析】
（1）先由折叠判断出 BE=BF，进而利用等面积法得出 PG+PH=EQ，再求出 BF，
最后利用折叠的性质，即可得出结论；
（2）先求出等边三角形的高 AM，再判断出 PD+PE+PF=AM 即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三
角形的面积的计算，折叠的性质，解本题的关键是利用等面积法判断出
PG+PH=EQ．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（ ）
A. 5，5，5 B. 5，7，7 C. 5，12，13
3. 一次函数 y=2x-1 的图象经过的象限是（ ）
D. 5，7，12
A. 第一、二、三象限
C. 第一、三、四象限
B. 第一、二、四象限
D. 第二、三、四象限
4. 用不等式表示“a 的一半不小于-7”，正确的是（ ）
A. 12a≥−7 B. 12a≤−7 C. 12a>−7
D. 12a<−7
5. 已知△ABC 是直角坐标系中任意位置的一个三角形，现将△ABC 各顶点的纵坐标乘
以-1，得到△A B C ，则它与△ABC 的位置关系是（ ）
1
1
1
A. 关于 x 轴对称
B. 关于 y 轴对称
C. 关于直线 x=−1 对称
6. 已知 x＞2，则下列变形正确的是（ ）
A. −x<2
D. 关于直线 y=−1 对称
B. 若 y>2，则 x−y>0
D. 若 y>2，则 xy>1
C. −12x+2<1
7. 在国内投寄平信应付邮资如下表，则 y 关于 x 的函数图象正确的是（ ）
0＜
20＜
x≤40
40＜
x≤60
信件质量 x（克）
x≤20
邮资 y/（元/封） 1.20
2.40
3.60
A.
B.
D.
C.
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8. 如图，已知直线 y =k x+m 和直线 y =k x+n 交于点 P
1
1
2
2
（-1，2），则关于 x 的不等式（k -k ）x＞-m+n 的
1
2
解是（ ）
A. x>2
B. x>−1
C. −1D. x<−1
9. 给出下列命题：①两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②底边和顶角
对应相等的两个等腰三角形全等；③斜边和斜边上的高线对应相等的两个直角三角
形全等，其中属于真命题的是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
10. 如图，射线 AB∥射线 CD，∠CAB 与∠ACD 的平分线
交于点 E A，C=4点，P 是射线 AB 上的一动点，连结 PE
并延长交射线 CD 于点 Q．给出下列结论：①△ACE
是直角三角形；②S 四边形 APQC=2S△ACE；③设 AP=x，
CQ=y，则 y 关于 x 的函数表达式是 y=-x+4
（0≤x≤4），其中正确的是（ ）
A. ①②③
二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
11. 已知正比例函数 y=-2x，则当 x=-1 时，y=______．
B. ①②
C. ①③
D. ②③
12. 已知等腰三角形的一个内角是 100°，则其余两个角的度数分别是______度，______
度．
13. 如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿着直线 AD 对折，点 C 落在点
E 的位置，如果 BC=2，那么线段 BE 的长度为______．
14. 已知点 A 是直线 x=2 上的点，且到 x 轴的距离等于 3，则点 A 的坐标为______．
15. 已知 2x+y=3，且 x≥y．
（1）x 的取值范围是______；
（2）若设 m=3x+4y，则 m 的最大值是______．
16. 在△ABC 中，∠BAC=α，边 AB 的垂直平分线交边 BC 于点 D，边 AC 的垂直平分线
交边 BC 于点 E，连结 AD，AE，则∠DAE 的度数为______．（用含 α 的代数式表
示）
三、计算题（本大题共 1 小题，共 6.0 分）
17. 解不等式组 5x−2＞3(x+1)12x−1≤7−32x，并求其整数解．
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四、解答题（本大题共 6 小题，共 60.0 分）
18. 如图，已知线段 a，b 和∠1，用直尺和圆规作△ABC，使 AB=a，AC=b，
∠A=∠1．（不写作法，保留作图痕迹）
19. 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE
交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；
②BE=CD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等
腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
20. 如图，把△ABC 平移，使点 A 平移到点 O．
（1）作出平移后的△OB'C'；
（2）写出△OB'C'的顶点坐标，并描述这个平移过程．
第 3 页，共 14 页

21. 已知△ABC 中，BC=m-n（m＞n＞0），AC=2mn，AB=m+n．
（1）求证：△ABC 是直角三角形；
（2）当∠A=30°时，求 m，n 满足的关系式．
22. 已知 y 是关于 x 的一次函数，且点（0，-8），（1，2）在此函数图象上．
（1）求这个一次函数表达式；
（2）若点（-2，y ），（2，y ）在此函数图象上，试比较 y ，y 的大小；
1
2
1
2
（3）求当-3＜y＜3 时 x 的取值范围．
23. 如图①，已知∠MON=Rt∠，点 A，P 分别是射线 OM，ON 上两定点，且 OA=2，
OP=6，动点 B 从点 O 向点 P 运动，以 AB 为斜边向右侧作等腰直角△ABC，设线段
OB 的长 x，点 C 到射线 ON 的距离为 y．
（1）若 OB=2，直接写出点 C 到射线 ON 的距离；
第 4 页，共 14 页

（2）求 y 关于 x 的函数表达式，并在图②中画出函数图象；
（3）当动点 B 从点 O 运动到点 P，求点 C 运动经过的路径长．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A、是轴对称图形，故 A 符合题意；
B、不是轴对称图形，故 B 不符合题意；
C、不是轴对称图形，故 C 不符合题意；
D、不是轴对称图形，故 D 不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全
重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】
解：A、5+5＞5，能构成三角形；
B、5+7＞7，能构成三角形；
C、5+12＞13，能构成三角形；
D、7+5=12，不能构成三角形．
故选：D．
看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．
本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足
两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
3.【答案】C
【解析】
解：在一次函数 y=2x-1 中，k=2＞0，b=-1＜0，
∴一次函数 y=2x-1 的图象经过第一、三、四象限．
故选：C．
根据k=2＞0、b=-1＜0即可得出一次函数y=2x-1的图象经过第一、三、四象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握“k＞0，b＜0⇔y=kx+b 的图
象在一、三、四象限”是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】
解：根据题干“a 的一半”可以列式为： a；
“不小于-7”是指“大于等于-7”；
那么用不等号连接起来是： a≥-7．
故选：A．
抓住题干中的“不小于-7”，是指“大于”或“等于-7”，由此即可解决问题．
此题考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识，属于基础题，理解“不小
于”的含义是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】
解：∵△ABC 各顶点的纵坐标乘以-1，得到△A B C ，
1
1 1
∴△ABC 与△A B C 的各顶点横坐标相同，纵坐标互为相反数，
1
1 1
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∴△A B C 与△ABC 的位置关系是关于 x 轴对称．
1
1 1
故选：A．
纵坐标乘以-1 变为原来的相反数再根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵
坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点
的坐标规律：（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关
于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
6.【答案】C
【解析】
解：A、两边乘以不同的数，故 A 不符合题意；
B、x，y 无法比较，故 B 不符合题意；
C、两边都除以-2，不等号的方向改变，故 C 符合题意；
D、x，y 无法比较，故 D 不符合题意；
故选：C．
根据不等式的性质，可得答案．
主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的
问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不
等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变．
7.【答案】B
【解析】
解：由表格发现：当 0＜x≤20 时，y=1.20，
当 20＜x≤40，y=2.40，
当 40＜x≤60，y=3.60，
故选：B．
观察表格发现函数的解析式，然后确定正确的选项即可．
本题考查了函数的图象，解题的关键是了解该函数为分段函数，且为常函数，
难度不大．
8.【答案】B
【解析】
解：由图形可知，当 x＞-1 时，k x+m＞k x+n，即（k -k ）x＞-m+n，
1
2
1
2
所以，关于 x 的不等式（k -k ）x＞-m+n 的解集是 x＞-1．
1
2
故选：B．
根据图形，找出直线 l 在直线 l 上方部分的 x 的取值范围即可．
1
2
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象在上方的函数值比函
数图象在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】
解：①两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题；
②底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等是真命题；
③斜边和斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等是真命题，
故选：D．
根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
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本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命
题，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】
解：如图延长 CE 交 AB 于 K．
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°，
∵∠ACE= ∠DCA，∠CAE= ∠BAC，
∴∠ACE+∠CAE= （∠DCA+∠BAC）=90°，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CK，△AEC 是直角三角形，故①正确，
∵∠QCK=∠AKC=∠ACK，
∴AC=AK，
∵AE⊥CK，
∴CE=EK，
在△QCE 和△PKE 中，
，
∴△QCE≌△PKE，
∴CQ=PK，S△QCE=S△PEK
，
∴S 四边形 APQC=S△ACK=2S△ACE，故②正确，
∵AP=x，CQ=y，AC=4，
∴AP+CQ=AP+PK=AK=AC，
∴x+y=4，
∴y=-x+4（0≤x≤4），故③正确，
故选：A．
①正确．由 AB∥CD，推出∠BAC+∠DCA=180°，由∠ACE= ∠DCA，∠CAE=
∠BAC，即可推出∠ACE+∠CAE= （∠DCA+∠BAC）=90°，延长即可解决问题．
②正确．首先证明 AC=AK，再证明△QCE≌△PKE，即可解决问题．
③正确．只要证明 AP+CQ=AC 即可解决问题．
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等
三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】2
【解析】
解：x=-1 时，
y=-2×（-1）=2
故答案为：2
将 x=-1 代入正比例函数中即可求出答案．
本题考查正比例函数的定义，解题的关键是将 x=-1 代入正比例函数中，本题
属于基础题型．
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12.【答案】40 40
【解析】
解：已知等腰三角形的一个内角是 100°，
根据等腰三角形的性质，则其余两个角相等，
当 100°的角为顶角时，三角形的内角和是 180°，所以其余两个角的度数是
（180-100）× =40；
当 100°的角为底角时，此时不能满足三角形内角和定理，这种情况不成了．
故填 40．
已知给出了一个内角是 100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨
论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和为 180 度．分类讨论是
正确解答本题的关键．
13.【答案】2
【解析】
解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，
∴∠CDE=∠BDE=90°，
∵BD=CD，BC=6，
∴BD=ED=1，
即△EDB 是等腰直角三角形，
∴BE= BD=
故答案为：
，
．
根据折叠的性质判定△EDB 是等腰直角三角形，然后再求 BE．
本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对
称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不
变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．
14.【答案】（2，3）或（2，-3）
【解析】
解：∵点 A 是直线 x=2 上的点，且到 x 轴的距离等于 3，
∴点 A 的横坐标为 2，纵坐标为±3，
∴点 A 的坐标为（2，3）或（2，-3）．
故答案为：（2，3）或（2，-3）．
根据平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相同求出点 A 的横坐标，点到 x 轴的
距离等于纵坐标的绝对值求出纵坐标，然后写出点 A 的坐标即可．
本题考查了点的坐标，熟记点到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到 y 轴的距
离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
15.【答案】x≥1 7
【解析】
解：（1）∵2x+y=3，
∴y=-2x+3，
∵x≥y，
∴x≥-2x+3，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1；
（2）∵y=-2x+3，
∴m=3x+4y
=3x+4（-2x+3）
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=3x-8x+12
=-5x+12，
∵x≥1，
∴-5x≤-5，
则-5x+12≤7，
即 m 的最大值为 7，
故答案为：7．
（1）由 2x+y=3 知 y=-2x+3，依据 x≥y 得 x≥-2x+3，解之可得；
（2）将 y=-2x+3 代入 m=3x+4y 得 m=-5x+12，结合 x≥1 可得答案．
本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两
边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边
要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于 0 进行分类讨论．
16.【答案】2α-180°或 180°-2α
【解析】
解：分两种情况：
①如图所示，当∠BAC≥90°时，
∵DM 垂直平分 AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-α，
∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=α-（180°-α）=2α-180°；
②如图所示，当∠BAC＜90°时，
∵DM 垂直平分 AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-α，
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE-∠BAC=180°-α-α=180°-2α．
故答案为：2α-180°或 180°-2α．
分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，
∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-α，再根据角的和差关系进
行计算即可．
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直
平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
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17.【答案】解：不等式组可化成 5x−2＞3(x+1)，①12x−1≤7−32x，②，
解不等式①得 x＞2.5
解不等式②得 x≤4，
∴不等式组的解集 2.5＜x≤4，
整数解为 4，3．
【解析】
首先解不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决本
题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小
大大小中间找，大大小小解不了．
18.【答案】解：如图所示，△ABC 即为所求．
【解析】
可先用基本作图法作出∠A=∠1，然后在∠A 的两边上分别截取线段 AB，AC 使
得 AB=a，AC=b，最后连接 BC，得出三角形即可．
本题考查的是运用基本作图知识来作复杂图的能力，本题中作图的理论依据
是全等三角形判定中的边角边（SAS）．
19.【答案】解：（1）①②；①③．
（2）选①③证明如下，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC 是等腰三角形．
【解析】
（1）由①②；①③．两个条件可
以判定△ABC 是等腰三角形，
（2）先求出∠ABC=∠ACB，即可
证明△ABC 是等腰三角形．
本题主要考查了等腰三角形
的判定，解题的关键是找出
相等的角求∠ABC=∠ACB．
20.【答案】解：（1）如图，
△OB′C′即为所求；

（2）由图可知，O（0，0），B′（-3，-2），C′（-1，-5）．
将△ABC 先向左平移 5 个单位，再向下平移 7 个单位即可得到△OB′C′．
【解析】
（1）根据平移的性质画出平移后的△OB'C'即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标，再由平移的方向和距离即可
得出结论．
本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
21.【答案】解：（1）∵BC=m-n（m＞n＞0），AC=2mn，AB=m+n，
∴AC2+CB2=（m-n）2+4mn=m2+n2-2mn+4mn=m2+n2+2mn=（m+n）2=AB2．
∴∠C=90°．
∴△ABC 是为直角三角形；
（2）∵∠A=30°，
∴BCAB=m−nm+n=12，
∴m=3n．
【解析】
（1）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．
题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
22.【答案】解：（1）设该一次函数表达式为 y=kx+b（k≠0），
将（0，-8）、（1，2）代入 y=kx+b，
b=−8k+b=2，解得：k=10b=−8，
∴该一次函数表达式为 y=10x-8．
（2）∵在一次函数 y=10x-8 中 k=10＞0，
∴y 随 x 的增大而增大．
∵-2＜2，
∴y ＜y ．
1
2
（3）当-3＜y＜3 时，有-3＜10x-8＜3，
解得：0.5＜x＜1.1．
∴当-3＜y＜3 时 x 的取值范围为 0.5＜x＜1.1．
【解析】
（1）由点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）由一次项系数 k=10＞0 即可得出一次函数 y=10x-8 为单调递增函数，结合
-2＜2 即可得出 y ＜y ；
1
2
（3）将 y=10x-8 代入-3＜y＜3 中即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得
出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质以及解一元一次
不等式，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数关系
式；（2）根据 k=10＞0 找出该一次函数为单调递增函数；（3）根据 y 的取值范围
找出关于 x 的一元一次不等式．
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23.【答案】解：（1）如图①中，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，△ACB 是等腰直角三角形，
∴四边形 OACB 是正方形，
∴点 C 到 ON 的距离为 2．
（2）如图③中，作 CE⊥OA 于 E，CF⊥ON 于 F．
∵∠ACB=∠ECF=90°，CA=CB，∠CEA=∠CFB=90°，
∴△CEA≌△CFB，
∴AE=CF，CE=CF，
∵∠CEO=∠CFO=∠EOF=90°，
∴四边形 OECF 是矩形，∵CE=CF，
∴四边形 OECF 是正方形，
∴CF=CE=OE=OF=y，
∵AE=y-2，FB=x-y，
∴y-2=x-y，
∴y=12x+1，可得函数图象如图②所示，
（3）如图④中，
第 13 页，共 14 页

∵CE=CF，
∴OC 平分∠MON，
∴点 C 的运动轨迹是线段 C′C，
∵x=6，y=4，
∴OC=42，OC′=2，CC′=32
∴点 C 运动经过的路径长为 32．
【解析】
（1）OB=2 时，四边形 OACB 是正方形，由此即可解决问题．
（2）如图③中，作 CE⊥OA 于 E，CF⊥ON 于 F．由△CEA≌△CFB，推出 AE=CF，
CE=CF，由∠CEO=∠CFO=∠EOF=90°，推出四边形 OECF 是矩形，由 CE=CF，
推出四边形 OECF 是正方形，根据 AE=y-2，FB=x-y，可得 y-2=x-y，即 y=
x+1（0≤x≤6），画出图象即可．
（3）如图③中，由 CE=CF，推出 OC 平分∠MON，推出点 C 的运动轨迹是线段
CC，因为 x=6，y=4，可得 C′C=3
．
本题考查动点问题函数图象、一次函数的应用，全等三角形的判定和性质，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考
题型．
第 14 页，共 14 页

八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 下列函数中是一次函数的是（ ）
A. t=200v
2. 若 x＞y，则下列变形正确的是（ ）
A. 2x<2y B. −3x<−3y
B. s=t(50−t)
C. y=x2+2x
C. x3≤y3
D. y=6−2x
D. x+23. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 所有的命题都有逆命题
B. 所有的定理都有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题
D. 假命题的逆命题一定是假命题
4. 把点 A（-2，1）向下平移 2 个单位后得到点 B，则点 B 的坐标是（ ）
A. (−2,3) B. (−2,−1) C. (0,1) D. (−4,1)
5. 在△ABC 中，∠A，∠C 与∠B 的外角度数如图所示，则 x 的值是（ ）
A. 60
B. 65
C. 70
D. 80
6. 如图，函数 y =mx 和 y =x+3 的图象相交于点 A（-1，2）
1
2
则关于 x 的不等式 mx＞x+3 的解集是（ ）
A. x<−1
B. x>−1
C. x<−2
D. x>−2
7. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2、3、6
C. 3、4、7
B. 3、4、5
D. 2、3、4
8. 已知 a，b 为实数，则解是-1＜x＜1 的不等式组可以是（ ）
A. ax<1bx>1 B. ax>1bx<1 C. ax>1bx>1 D. ax<1bx<1
9. 在一次函数 y=（2k+3）x+k+1 的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：
甲认为当 k＜-32 时，y 随 x 的增大而减小；
乙认为无论 k 取何值，函数必定经过定点（-12，-12）．
则下列判断正确的是（ ）
A. 甲正确，乙错误
C. 甲乙都正确
B. 甲错误，乙正确
D. 甲乙都错误
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，将边 AB 沿 AE 翻折，使点 B 落
在 BC 上的点 D 处，再将边 AC 沿 AF 翻折，使点 C 落在 AD 延长线上的点 C′处，
两条折痕与斜边 BC 分别交于点 E，F，则线段 C′F 的长为（ ）
第 1 页，共 13 页

A. 85
B. 32
C. 35
D. 45
二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
11. 将语句“比 x 的 3 倍小 1 的数小于 x 的 2 倍”用不等式表示为______．
12. 写出命题“对顶角相等”的逆命题______．
13. 已知函数 y=-3x+b，当 x=-13 时，y=1，则 b=______．
14. 若等腰三角形的一个内角为 50°，则它的底角的度数为______．
15. 已知一个直角三角形的斜边与直角边相差 8cm，有一条直角边长为 12cm，斜边上
的中线长为______．
16. 如图，已知点 C（0，1），直线 y=x+5 与两坐标轴分别交于 A，B 两点．点 D，E
分别是 OB，AB 上的动点，则△CDE 周长的最小值是______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 66.0 分）
17. 如图，已知△ABC，请按下列要求作出图形：
（1）用刻度尺画 BC 边上的高线．
（2）用直尺和圆规画∠B 的平分线．
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18. 解下列不等式（组）：
（1）3x-5＞2（2+3x）
（2）5x−3＞1−3xx−14≤1−1+2x3
19. 已知点 P（8-2m，m-1）．
（1）若点 P 在 x 轴上，求 m 的值．
（2）若点 P 到两坐标轴的距离相等，求 P 点的坐标．
20. 如图，已知 BD⊥AC，CF⊥AB．
（1）若 BE=AC，求证：△BFE≌△CFA．
（2）取 BC 中点为 G，连结 FG，DG，求证：
FG=DG．
21. 现计划把一批货物用一列火车运往某地．已知这列火车可挂 A，B 两种不同规格的
货车厢共 40 节，使用 A 型车厢每节费用 6000 元，使用 B 型车厢每节费用为 8000
元．
（1）设运送这批货物的总费用为 y 元，这列火车挂 A 型车厢 x 节，写出 y 关于 x
的函数表达式，并求出自变量 x 的取值范围；
（2）已知 A 型车厢数不少于 B 型车厢数，运输总费用不低于 276000 元，问有哪
些不同运送方案？
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22. 设一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的图象过 A（1，3），B（-5，-3）两点．
（1）求该函数表达式；
（2）若点 C（a+2，2a-1）在该函数图象上，求 a 的值；
（3）设点 P 在 x 轴上，若 S△ABP=12，求点 P 的坐标．
23. 背景：在数学课堂上，李老师给每个同学发了一张边长为 6cm 的正方形纸片，请同
学们纸片上剪下一个有一边长为 8cm 的等腰三角形，要求等腰三角形的三个顶点都
落在正方形的边上，且其中一个顶点与正方形的顶点重合，最终，通过合作讨论，
同学们一共提供了 5 种不同的剪法（若剪下的三角形全等则视为同一种）．
注：正方形的每条边都相等，每个角都等于 90°．
（1）如图 1 是小明同学率先给出的剪法，其中 AE=AF，EF=8cm，△AEF 即为满足
要求的等腰三角形，则小明同学剪下的三角形纸片的面积为______cm2．
（2）如图 2 是小王同学提出的另一种剪法，其中 AE=8cm，且 AF=EF，请帮助小
王同学求出所得等腰△AEF 的腰长；
（3）请在下列三个正方形中画出其余的三种剪法，并直接写出每种剪法所得的三
角形纸片的面积．（注：每种情况的图和对应的面积都正确才得分）
面积=______面积=______面积=______
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：A、是反比例函数，故此选项错误；
B、是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项错误；
D、是一次函数，故此选项正确；
故选：D．
根据形如 y=kx+b（k≠0，k、b 是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可．
此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数解析式 y=kx+b 的结构
特征：k≠0；自变量的次数为 1；常数项 b 可以为任意实数．
2.【答案】B
【解析】
解：A、两边都乘以 2，不等号的方向不变故 A 错误；
B、两边都乘以 13，不等号的方向改变，故 B 正确；
C、两边都除以 3，不等号的方向不变，故 C 错误；
D、两边都加 2，不等号的方向不变，故 D 错误；
故选：B．
根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边
都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须
熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别
是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于 0，而
且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改
变．
3.【答案】A
【解析】
解：A、每个命题都有逆命题，所以 A 选项正确；
B、每个定理不一定有逆定理，所以 B 选项错误；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，所以 C 选项错误；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，所以 D 选项错误．
故选：A．
根据互逆命题的定义对 A 进行判断；根据命题与逆命题的真假没有联系可对
B、C、D 进行判断．
本题考查了命题与定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设
和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个
命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，
这样的真命题叫做定理．
4.【答案】B
【解析】
解：把点 A（-2，1）向下平移 2 个单位后得到点 B，则点 B 的坐标是（-2，1-2），
即（-2，-1），
故选：B．
根据向右平移，横坐标加，向下平移，纵坐标减，进行计算即可．
本题考查了点的坐标的平移，熟记左减右加，下减上加是解题的关键，是基
础题，难度不大．
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5.【答案】C
【解析】
解：∵与∠ABC 相邻的外角=∠A+∠C，
∴x+65=x-5+x，
解得 x=70．
故选：C．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．
本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两
个内角的和是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】
解：∵函数 y =mx 和 y =x+3 的图象相交于点 A（-1，2），
1
2
∴不等式 mx＞x+3 的解集为 x＜-1．
故选：A．
以交点为分界，结合图象写出不等式 mx＞x+3 的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是以交点为分界．
7.【答案】C
【解析】
解：A、（
） （
2+
） （
2≠
）2，不能构成直角三角形；
B、（
）2+（
）2≠（
）2，不能构成直角三角形；
C、（
）2+（
）2+（
）2=（
）2≠（
）2，能构成直角三角形，故本选项正确；
）2，不能构成直角三角形．
D、（
故选：C．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等
于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三
角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
8.【答案】D
【解析】
解：A、∵所给不等式组的解集为-1＜x＜1，那么 a，b 同号，
设 a＞0，则 b＞0，
解得 x＞ ，x＜ ，
解集都是正数；若同为负数可得到解集都是负数，故此选项错误；
B、∵所给不等式组的解集为-1＜x＜1，那么 a，b 同号，
设 a＞0，则 b＞0，
解得 x＞ ，x＜ ，
解集都是正数；若同为负数可得到解集都是负数；故此选项错误；
C、所给不等式组的解集为-1＜x＜1，那么 a，b 为一正一负，
设 a＞0，则 b＜0，
解得：x＞ ，x＜ ，
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∴原不等式组无解，同理得到把 2 个数的符号全部改变后也无解，故此选项错
误；
D、∵所给不等式组的解集为-1＜x＜1，那么 a，b 为一正一负，
设 a＞0，则 b＜0，解得 x＜ ，x＞ ，
∴原不等式组有解，可能为-1＜x＜1，把 2 个数的符号全部改变后也如此，故
此选项正确；
故选：D．
可根据不等式组解集为-1＜x＜1，分别分析每个不等式组，得到正确选项．
此题考查了不等式的解集，学生的逆向思维，由解来判断不等式，是一道好
题；用到的知识点为：大小小大中间找；大大小小无解．
9.【答案】C
【解析】
解：当 k＜- 时，2k+3＜0，即 y 随 x 的增大而减小，故甲的说法正确；
在 y=（2k+3）x+k+1 中，当 x=- 时，y=- ，
即无论 k 取何值，函数必定经过定点（- ，- ），故乙的说法正确．
故选：C．
依据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到正确结论．
本题考查了一次函数的性质，解答本题的关键是掌握：k＞0，y 随 x 的增大而
增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随 x 的增大而减小．
10.【答案】A
【解析】
解：∵Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=10
∵将边 AB 沿 AE 翻折，使点 B 落在 BC 上的点 D 处，
∴∠AEC=∠AEB，∠BAE=∠DAE
∵∠AED=180°
∴∠CED=90°，即 CE⊥AB
∵S△ABC= AB×AC= AE×BC
∴AE=4.8
在 Rt△ACE 中，CE=
=6.4
∵将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′处
∴CF=C'F，∠CAF=∠C'AF
∵∠BAE+∠DAE+∠CAF+∠C'AF=∠ACB=90°
∴∠EAF=45°，且 CE⊥AE
∴∠EAF=∠EFA=45°
∴AE=EF=4.8
∵CF=CE-EF=6.4-4.8=1.6
∴C'F=1.6=
故选：A．
由题意可得 BC=10，根据 S△ABC= AB×BC= AE×BC，可得 AE=4.8，根据勾
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股定理可求 BE=6.4，由折叠可求∠ECF=45°，可得 EC=CF=4.8，即可求 B'F 的
长．
本题考查了翻折变换，勾股定理，直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是
本题的关键．
11.【答案】3x-1＜2x
【解析】
解：由题意得，该不等式为：3x-1＜2x．
故答案为 3x-1＜2x．
比 x 的 3 倍小 1 的数即 3x-1，x 的 2 倍即 2x，据此列不等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄
清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符
号表示的不等式．
12.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【解析】
解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
根据逆命题的定义可以写出命题“对顶角相等”的逆命题，本题得以解决．
本题考查命题与定理，解题的关键是明确逆命题的定义，可以写出一个命题
的逆命题．
13.【答案】-2
【解析】
解：把 x=- ，y=1 代入 y=-3x+b，
可得：1=-3×
+b，
解得：b=-2，
故答案为：-2
根据待定系数法得出函数解析式即可．
本题考查了待定系数法求一次函数，代入解析式确定出 b 的值，是解答本题
的关键．
14.【答案】65°或 50°
【解析】
解：∵等腰三角形的一个内角为 50°，
若这个角为顶角，则底角为：（180°-50°）÷2=65°，
若这个角为底角，则另一个底角也为 50°，
∴其一个底角的度数是 65°或 50°．
故答案为：65°或 50°．
由等腰三角形的一个内角为 50°，可分别从 50°的角为底角与 50°的角为顶角
去分析求解，即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质，比较简单，注意等边对等角的性质和分类讨
论思想的应用．
15.【答案】10cm 或 6.5cm
【解析】
解：①若直角三角形的斜边与 12cm 长的直角边相差 8cm，则斜边长为 20cm，
∴斜边上的中线长为 10cm；
②若直角三角形的斜边与 xcm 长的直角边相差 8cm，则斜边长为（x+8）cm，
由勾股定理可得，12
2+x2= x+8 2
） ，
（
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解得 x=5，
∴斜边长为 13cm，
∴斜边上的中线长为 6.5cm；
故答案为：10cm 或 6.5cm．
分两种情况讨论：：①直角三角形的斜边与 12cm 长的直角边相差 8cm，②直角
三角形的斜边与 xcm 长的直角边相差 8cm，依据勾股定理以及直角三角形斜
边上中线的性质，即可得到结论．
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，注意在直角三角形中，斜边
上的中线等于斜边的一半．
16.【答案】213
【解析】
解：如图，作点 C 关于 OB 的对称点 C'（0，-1），作点 C 关于 AB 的对称点 C''，
连接 C'C''，交 AB 于点 E，交 OB 于点 D，
∵直线 y=x+5 与两坐标轴分别交于 A，B 两点
∴点 A（0，5），点 B（-5，0）
∴AO=BO，且∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
∵点 C 关于 OB 的对称点 C'（0，-1），
∴AC'=6
∵点 C 关于 AB 的对称点 C''，
∴AC=AC''=4，∠BAO=∠C''AB=45°
∴∠C''AO=90°
∴点 C''（-4，5）
∵由轴对称的性质，可得 CE=C''E，CD=DC'，
∴当点 C''，点 E，点 D，点 C'共线时，△CDE 的周长
=CD+CE+DE=C''E+DE+C'D=C'C''，
此时△CDE 的周长最小，
在 Rt△AC'C''中，C'C''=
=2
∴△CDE 的周长最小值为 2
故答案为：2
作点 C 关于 OB 的对称点 C'（0，-1），作点 C 关于 AB 的对称点 C''（-4，5），连
接 C'C''，交 AB 于点 E，交 OB 于点 D，此时△DEC 周长最小，可以证明这个最
小值就是线段 C′C″，根据勾股定理可求△CDE 周长的最小值．
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本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短问题等知识，解题的关
键是利用对称性在找到点 D、点 E 位置，属于中考常考题型．
17.【答案】解：（1）如图，AD 为所作．
（2）如图，BE 为所作．
【解析】
（1）根据高的定义画图；
（2）利用基本作图作 BE 平分∠ABC．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉
基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，
逐步操作．
18.【答案】解：（1）去括号，得 3x-5＞4+6x，
移项、合并同类项，得-3x＞9，
系数化为，1 得 x＜-3；
（2）5x−3＞1−3x①x−14≤1−1+2x3②，
解①得 x＞12；
解②得 x≤1，
所以，不等式组的解集为 12＜x≤1．
【解析】
（1）去括号，移项、合并同类项、系数化为 1 即可；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
此题考查一元一次不等式解集的求法，切记同乘负数时变号；一元一次不等式
组的解集求法，其简单的求法就是利用口诀求解，“同大取大，同小取小，大
小小大中间找，大大小小找不到（无解）”．
19.【答案】解：（1）∵点 P（8-2m，m-1）在 x 轴上，
∴m-1=0，
解得：m=1；
（2）∵点 P 到两坐标轴的距离相等，
∴|8-2m|=|m-1|，
∴8-2m=m-1 或 8-2m=1-m，
解得：m=3 或 m=7，
∴P（2，2）或（-6，6）．
【解析】
（1）直接利用 x 轴上点的坐标特点得出 m-1=0，进而得出答案；
（2）直接利用点 P 到两坐标轴的距离相等得出等式求出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键．
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20.【答案】证明：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFE=∠CFA=∠EDC=90°，
∵∠BEF=∠CED，
∴∠FBE=∠FCA，
在△BFE 和△CFA 中，
∠BFE=∠CFA∠FBE=∠FCABE=CA
∴△BFE≌△CFA（AAS）；
（2）∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴△BFC 和△BDC 都是直角三角形，
∵点 G 是 BC 边的中点，
∴BC=2FG，BC=2DG，
∴FG=DG．
【解析】
（1）根据题意和图形，可以得到△BFE 和△CFA 全等的条件，从而可以证明结
论成立；
（2）根据直角三角形斜边和斜边上的中线的关系，即可证明结论成立．
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形
结合的思想解答．
21.【答案】解：（1）设用 A 型车厢 x 节，则用 B 型车厢（40-x）节，总运费为 y 元，
依题意，得 y=6000x+8000（40-x）=-2000x+320000；
∵x≥040−x≥0，
∴x 的取值范围是 0≤x≤40 且 x 为整数，
∴函数关系式为 y=-2000x+320000（0≤x≤40 且 x 为整数）
（2）由题意得：x≥40−x2000x+320000≥276000，
解得：20≤x≤22，
∵x 为整数，
∴运送方案有：A 型车厢 20 节，B 型车厢 20 节；
A 型车厢 21 节，B 型车厢 19 节；
A 型车厢 22 节，B 型车厢 18 节．
【解析】
（1）总费用=6000×A 型车厢节数+8000×B 型车厢节数．
（2）根据题意列出不等式组，进而解答即可．
此题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等
量关系及符合题意的不等关系式组．
22.【答案】解：（1）根据题意得：k+b=3−5k+b=−3
解得：k=1b=2
∴函数表达式为 y=x+2
（2）∵点 C（a+2，2a-1）在该函数图象上，
∴2a-1=a+2+2
∴a=5
（3）设点 P（m，0）
∵直线 y=x+2 与 x 轴相交
∴交点坐标为（-2，0）
∵S△ABP=12|m+2|×|3|+12|m+2|×|-3|=12
∴|m+2|=4
∴m=2 或-6
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∴点 P 坐标（2，0）或（-6，0）
【解析】
（1）根据一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（-1，-1）两点，
可以求得该函数的表达式；
（2）将点 C 坐标代入（1）中的解析式可以求得 a 的值；
（3）由题意可求直线 y=x+2 与 x 轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点
P 坐标．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解
答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解
答．
23.【答案】16 （242-16）cm2 （32-1637）cm2 4cm2
【解析】
解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠A=90°，
∵AE=AF，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴S△AEF= ×8×8× =16，
故答案为 16；
（2）根据题意得，∠B=90°，AB=6，AE=8，
∴由勾股定理可得 BE=2
设 AF=EF=x，则 BF=6-x，
，
∵Rt△BFE 中，BF2+BE2=EF2，
∴（6-x）2+（2 ）2=x2，
解得 x=
∴等腰△AEF 的腰长为 cm；
（3）如图所示，S△CEF=（24 -16）cm2；
，
如图所示，S△AEF=（32-
）cm2；
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如图所示，S△AEF=4cm2；
故答案为：（24
-16）cm2；（
32-
）
； ．
cm2 4cm2
（1）依据△AEF 是等腰直角三角形，EF=8cm，即可得到三角形纸片的面积；
（2）设 AF=EF=x，则 BF=6-x，依据勾股定理可得 Rt△BFE 中，BF2+BE2=EF2
，
可得方程，进而得出等腰△AEF 的腰长；
（3）依据等腰三角形的性质以及三角形面积计算公式，即可得到每种剪法所
得的三角形纸片的面积．
此题主要考查了应用与设计作图，本题需仔细分析题意，运用等腰三角形的
性质以及勾股定理是解决问题的关键．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 平面直角坐标系内有一点 P（-2019，-2019），则点 P 在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知线段 a=6cm，b=8cm，则下列线段中，能与 a、b 组成三角形的是（ ）
A. 2cm
B. 12cm
C. 14cm
D. 16cm
3. 下列四个手机品牌商标中，属于轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 若 x＜y，则下列式子不成立的是（ ）
A. 푥−1 < 푦−1 B. −2푥 < −2푦 C. 푥 + 3 < 푦 + 3 D.
푥
푦
<
2
2
5. 能说明命题“对于任何实数 a，|a|＞-a”是假命题的一个反例可以是（ ）
1
A. 푎 = −2
B. 푎 =
C. 푎 = 1
D. 푎 = 2
3
6. 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中
所标 1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一
块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去．
A. 第 1 块
B. 第 2 块
C. 第 3 块
D. 第 4 块
1
7. 已知点 A（1，y ）、B（-3，y ）都在直线 y=- x+2 上，则（ ）
1
2
2
A. 푦1 < 푦2
B. 푦1 = 푦2
C. 푦1 > 푦2
D. 不能比较
8. 已知 y=kx+k2（k≠0）的图象与 y=-2x 的图象平行，则 y=kx+k2 的大致图象是（ ）
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A.
C.
B.
D.
9. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，CD 是 AB 边上
的高，则线段 AD 的长度为（ ）
12
A.
5
24
B.
5
13
C.
5
7
D.
5
10. 已知等边△ABC 中，在射线 BA 上有一点 D，连接 CD，
以 CD 为边向上作等边△CDE，连接 BE 和 AE，下列结
论：①AE=BD；②AE 与 AB 的夹角为 60°；③当 D 在线
段 AB 或 BA 延长线上时，总有∠BED-∠AED=2∠BDC；
④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的结论序号
有（ ）
A.
B.
C.
D.
①②③④
①②
①②③
①②④
二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
11. 在平面直角坐标系中，点 A（1，-3）关于 x 轴的对称点的坐标为______．
1
12. 函数푦 =
的自变量 x 的取值范围是______．
푥−3
푥−3
13. 同时满足 ＞푥−3和 3x+4＞x 的最大整数是______．
2
14. 已知直角三角形两边直角边长为1和 3，则此直角三角形斜边上的中线长是______．
15. 如图 2，小靓用边长为 16 的七巧板（如图 1）拼成一幅装饰图，放入长方形 ABCD
内拼成一个“木马”形状（如图 2），图中的三角形顶点 E 在边 CD 上，三角形的
边 AM、GF 分别在边 AD、BC 上，则 AB 的长是______．
第 2 页，共 19 页

16. 如图 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B A C
1
1 1
的平分线 A B 折叠，剪掉重叠部分；……，将余下部分沿∠B A C 的平分线 A B
n n+1
1
2
n
n
折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC
是△ABC 的好角．
（1）如图 2，在△ABC 中，∠B＞∠C，若经过两次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角，
则∠B 与∠C 的等量关系是______；
（2）如果一个三角形的最小角是 20°，则此三角形的最大角为______°，该三角形
的三个角均是此三角形的好角．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 10.0 分）
17. 小强打算找印刷公司设计一款新年贺卡并印刷．如图 1 是甲印刷公司设计与印刷卡
片计价方式的说明（包含设计费与印刷费），乙公司的收费与印刷卡片数量的关系
如图 2 所示．
（1）分别写出甲乙两公司的收费 y（元）与印刷数量 x 之间的关系式；
（2）如果你是小强，你会选择哪家公司？并说明理由．
第 3 页，共 19 页

四、解答题（本大题共 7 小题，共 56.0 分）
1 + 푥
1 + 2푥
18. 解下列不等式：
≤
+1，并把解集在数轴上表示出来．
2
3
19. 在△ABC 和△DEF 中，点 B，E，C，F 在同一条直线
上，下面给出四个论断：①AB=DE；②AC=DF；
③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．从中选三个作为已知条
件，剩余的一个作为结论，请写出一个真命题（用
序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式表示），并给出证明．
20. 如图，在△ABC 中，∠B=∠C=60°，AD⊥BC 于 D，E 为 AC
的中点，CB=8，求 DE 的长．
第 4 页，共 19 页

21. 某学校的平面示意图如图所示，实验楼所在位置的坐标为（-2，-3），教学楼所在
位置的坐标为（-1，2）．
（1）请确定图书馆所在位置的坐标；
（2）某人在校门位置，请用方向与距离的方法表示实验楼；
（3）连接图书馆与校门的线段向右平移 5 个单位，则平移后的线段上任意一点怎
样表示？
22. 如图，是某汽车距离目的地的路程 S（千米）与时
间 t（分钟）的函数关系图．观察图中所提供的信
息，解答下列问题：
（1）汽车在前 9 分钟内的平均速度是______；
（2）汽车在中途停了多长时间？
（3）当 16≤t≤30，求 S 关于 t 的函数关系式．
第 5 页，共 19 页

23. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 D 与点 B 在 AC 同侧，
∠DAC＞∠BAC，且 DA=DC，过点 B 作 BE∥DA 交 DC 于
点 E，过 E 作 EM∥AC 交 AB 于点 M，连结 MD．
（1）当∠ADC=80°时，求∠CBE 的度数；
（2）当∠ADC=α 时：
①求证：BE=CE；
②求证：∠ADM=∠CDM；
③当 α 为多少度时，DM= EM．
3
3
3
24. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l：y＝ 푥 + 与 x 轴交于点 A，且经过点 B（2，
4
2
m）、点 C（3，0）．
（1）求直线 BC 的函数解析式；
（2）在线段 BC 上找一点 D，使得△ABO 与△ABD 的面积相等，求出点 D 的坐标；
（3）y 轴上有一动点 P，直线 BC 上有一动点 M，若△APM 是以线段 AM 为斜边的
等腰直角三角形，求出点 M 的坐标；
（4）如图 2，E 为线段 AC 上一点，连结 BE，一动点 F 从点 B 出发，沿线段 BE
以每秒 1 个单位运动到点 E 再沿线段 EA 以每秒 2个单位运动到 A 后停止，设点 F
在整个运动过程中所用时间为 t，请直接写出 t 的最小值．
第 6 页，共 19 页

答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：P（-2019，-2019）在第三象限，
故选：C．
根据四个象限的特点解答即可．
此题考查点的坐标，关键是根据四个象限的特点解答．
2.【答案】B
【解析】
解：设三角形的第三边为 m．
由题意：8-6＜m＜6+8，
即 2＜m＜14，
故选：B．
根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．
本题考查三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
3.【答案】A
【解析】
解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合．
4.【答案】B
【解析】
解：由 x＜y，
可得：x-1＜y-1，-2x＞-2y，x+3＜y+3，
故选：B．
，
各项利用不等式的基本性质判断即可得到结果．
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．
第 7 页，共 19 页

5.【答案】A
【解析】
解：说明命题“对于任何实数 a，|a|＞-a”是假命题的一个反例可以是 a=-2，
故选：A．
反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题
设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一
个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，
这样的真命题叫做定理． 任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，
一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6.【答案】B
【解析】
解：1、3、4 块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以
不能带它们去，
只有第 2 块有完整的两角及夹边，符合 ASA，满足题目要求的条件，是符合题
意的．
故选：B．
本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
本题主要考查三角形全等的判定，看这 4 块玻璃中哪个包含的条件符合某个
判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
7.【答案】A
【解析】
解：由直线 y=- x+2 可知 k＜0，y 随 x 的增大而减小，
∵1＞-3，
∴y ＜y ．
1
2
故选：A．
由已知可得 k＜0，所以 y 随 x 的增大而减小，依据此性质可进行判断．
本题主要考查一次函数图象性质以及点坐标特征．
8.【答案】B
【解析】
解：∵y=kx+k2（k≠0
）的图象与
y=-2x
的图象平行，
∴k=-2，
∴该直线解析式为 y=-2x+4，
∴该直线从左往右下降，与 y 轴交于正半轴，
第 8 页，共 19 页

∴该直线经过第一二四象限，
故选：B．
根据 y=kx+k2（k≠0
）的图象与
y=-2x
的 象平行，即可得到 的值，进而得出
图
k
该直线经过第一二四象限．
本题考查了一次函数的图象：一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）的图象为直
线，当 k＞0，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0，图象经过
第二、四象限，y 随 x 的减小而减小；当 b＞0，图象与 y 轴的正半轴相交；当
b=0，图象过原点；当 b＜0，图象与 y 轴的负半轴相交．
9.【答案】D
【解析】
解：设 AD=x
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，
∴82-（5+x）2=52-x2，
∴x= ，
∴AD= ，
故选：D．
设 AD=x，根据 CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，构建方程即可解决问题．
本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数
构建方程解决问题．
10.【答案】C
【解析】
解：如图，设 CD 交 AE 于 O．
∵△ABC，△CED 都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠BDC=∠AEC，故①正确，
第 9 页，共 19 页

∵∠EOC=∠DOA，
∴∠OAD=∠OCE=60°，
∴AE 与 AB 的夹角为 60°，故②正确，
∵∠BED-∠AED=∠AEB＜∠AEC，∠AEC=∠BDC，
∴∠BED-∠AED＜∠BDC，故③错误，
当∠BCD=90°时，易证 AC=AD，
∵CE=DE，
∴CE2+AD2=AC2+DE2 故④正确，
故选：C．
利用△BCD≌△ACE（SAS），可以证明①②正确，③错误， 当∠BCD=90°时，易知
AC=AD，根据 EC=DE 即可判断④正确．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等
知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】（1，3）
【解析】
解：点 A（1，-3）关于 x 轴的对称点的坐标为：（1，3）．
故答案为：（1，3）．
直接利用关于 x 轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关
键．
12.【答案】x≠3
【解析】
解：由题意得，x-3≠0，
解得 x≠3．
故答案为：x≠3．
根据分母不等于 0 列不等式求解即可．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整
式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不
能为 0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】2
【解析】
解：由题意得
，
解不等式①，得：x＜3，
解不等式②，得：x＞-2，
第 10 页，共 19 页

则不等式组的解集为-2＜x＜3，
∴该不等式组的最大整数解为 x=2，
故答案为：2．
根据题意联立不等式组，解不等式组可得．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，属于基础题，关键是先求出同时满
足不等式组的解，再求整数解．
14.【答案】1
【解析】
解：由勾股定理得，斜边=
=2，
所以，斜边上的中线长= ×2=1．
故答案为：1．
利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟
记性质是解题的关键．
15.【答案】12 2+12
【解析】
解：如图 2，
∵图 1 中正方形的边长为 16，
∴MR=4
∴AB=MR+RK+KO+SG=
故答案为：
，RK=8
，KO=4，SG=8，
．
．
根据七巧板的边长为 16，在图 2 中分别求出 MR，RK，
KO，SG 的长，即可得出 AB 的长．
本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟悉七巧板的特征，在图 2 中分别表
示出 MR，RK，KO，SG 的长．
16.【答案】∠B=2∠C 80 或 120 或 140
【解析】
解：（1）∠B=2∠C；
理由如下：
∵沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，
∴∠B=∠AA B ；
1
1
又∵将余下部分沿∠B A C 的平分线 A B 折叠，此时点 B 与点 C 重合，
1
1
1
2
1
第 11 页，共 19 页

∴∠A B C=∠C；
1
1
∵∠AA B =∠C+∠A B C（外角定理），
1
1
1 1
∴∠B=2∠C，
故答案为：∠B=2∠C；
（2）如图所示，
在△ABC 中，沿∠BAC 的平分线
AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下
部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，
1
1
1 2
剪掉重复部分，将余下部分沿∠B A C 的平分线 A B 折叠，点 B 与点 C 重
2
2
2
3
2
合，则∠BAC 是△ABC 的好角．
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA B ，∠C=∠A B C，
1
1
2 2
∠A B C=∠A A B ，
1
1
1 2 2
∴根据三角形的外角定理知，∠A A B =∠C+∠A B C=2∠C；
1
2
2
2 2
∵根据四边形的外角定理知，
∠BAC+∠B+∠AA B -∠A B C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
1
1
1 1
根据三角形 ABC 的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C．
通过以上证明可知：
①当∠B=∠C 时，∠BAC 是△ABC 的好角；
②当∠B=2∠C 时，∠BAC 是△ABC 的好角；
③当∠B=3∠C 时，∠BAC 是△ABC 的好角；
……
故若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间
的等量关系为∠B=n∠C．
设∠A=20°，∵∠C 是好角，∴∠B=20n°；
∵∠A 是好角，∴∠C=m∠B=20mn°，其中 m、n 为正整数．
根据三角形内角和定理，得 20+20n+20mn=180．
所以 n（m+1）=8．
因为 m、n 都是正整数，所以 n 与 m+1 是 8 的整数约数，
因此有：n=1，m+1=8；n=2，m+1=4；n=4，m+1=2；
所以 n=1，m=7；n=2，m=3；n=4，m=1；
所以 20n=20，20mn=140；20n=40，20mn=120；20n=80，20mn=80．
所以此三角形的另外两个角的度数分别为：20°，140°或 40°，120°或 80°，80°．
所以此三角形的最大角的度数为：140°或 120°或 80°．
（1）根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；
第 12 页，共 19 页

（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A A B =∠C+∠A B C=2∠C；
1
2
2
2 2
根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和
定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，
根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C．若∠B=n∠C，则∠BAC 是△ABC
的好角；若∠C=n∠A，则∠ABC 是△ABC 的好角；若∠A=n∠B，则∠BCA 是△ABC
的好角．然后根据三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数，即可确定
最大角的度数．
本题考查了三角形的翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内
角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．
17.【答案】解：（1）由题意得，当 x≤200 时，y 甲=5x+1000；
当 x＞200 时，y 甲=200×5+（x-200）×3+1000=3x+1400；
5푥 + 1000(푥 ≤ 200)
3푥 + 1400(푥 > 200)
{
∴甲公司的收费 y （元）与印刷数量 x 之间的关系式为：y =
，
甲
甲
设乙公司的收费 y （元）与印刷数量 x 之间的关系式 y =kx，
乙
乙
∵图象经过点（200，1600），
∴200k=1600，
解得：k=8，
∴y 乙=8x，
∴乙公司的收费 y （元）与印刷数量 x 之间的关系式为：y =8x．
乙
乙
（2）当 0≤x≤280 时，选择乙公司；
当 x=280 时，都可以；
当 x＞280 时，选择甲公司．
【解析】
（1）先对甲印刷公司的收费分段表示出与印刷数量 x 之间的关系式，对于乙公
司的收费与印刷卡片数量的关系则设出解析式利用待定系数法代入解答即
可；
（2）先求出两家印刷公司的收费相同时的份数，再分情况讨论．列出不等式解
答即可．
本题考查的是一次函数的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题
目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数式，再求解．
1 + 푥
1 + 2푥
18.【答案】解：
≤
+1，
2
3
去分母，得：3（1+x）≤2（1+2x）+6，
去括号，得：3+3x≤2+4x+6，
移项、合并，得：-x≤5，
系数化为 1，得：x≥-5，
表示在数轴上如下：
第 13 页，共 19 页

【解析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化
为 1 可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤
是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改
变．
19.【答案】解：（1）①③④⇒②为结论；
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即 BC=EF，
在△ABC 和△DEF 中，
퐴퐵 = 퐷퐸
{
∠퐴퐵퐶 = 퐷퐸퐹
，
퐵퐶 = 퐸퐹
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF；故本命题为真命题；
（2）①②④⇒③；
∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即 BC=EF，
퐴퐵 = 퐷퐸
퐴퐶 = 퐷퐹
퐵퐶 = 퐸퐹
{
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC=∠DEF；故本命题为真命题；
【解析】
任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可组合得到 4 个命题，其中真命
题有 2 种，分别为：
（1）①③④为条件，②为结论；（2）①②④为条件，③为结论；
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性
质，本题中求证△ABC≌△DEF 是解题的关键．
20.【答案】解：∵∠B=∠C=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AE=EC，
第 14 页，共 19 页

1
∴DE= AC=4．
2
【解析】
首先证明△ABC 是等边三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质即可解决
问题．
本题考查勾股定理，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：（1）如图所示，图书馆所在位置的坐标为（-5，3）．
（2）从校门口向东走 3 个单位，再向南走 3 个单位即可到达实验楼；
（3）由图形知，平移后的线段即为 OP，其任意一点可表示为（0，a）（0≤a≤3）．
【解析】
（1）根据已知点的坐标建立坐标系，结合坐标系可得答案；
（2）根据方向和网格可得答案；
（3）由图形知，平移后的线段即为 OP，将其任意一点的纵坐标表示为 a，结合
图形得出其范围．
本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是根据已知点的坐标建立平
面直角坐标系及点的坐标的表示．
4
22.【答案】 千米/分钟
3
【解析】
解：（1）由图象得汽车在前 9 分钟内的平均速度是：
12÷9= 千米/分钟；
故答案是： 千米/分钟．
（2）由图象得汽车在中途停止的时间为：
16-9=7 分钟．
第 15 页，共 19 页

（3）由图象得在 16≤t≤30 时，汽车所行驶的路程为：
40-12=28km
平均速度为：28÷14=2km/分钟．
（1）通过观察图象可以得出汽车前 9 分钟行驶的路程是 12km，由速度=路程÷
时间可以得出结论；
（2）由图象可以得出从第 9 分钟至 16 分钟汽车没有行驶，从而可以得出汽车
停止的时间；
（3）由图象可以得出汽车在 16≤t≤30 时行驶的路程是 40-12km，所用的时间为：
30-16 分钟，从而可以由路程求出平均速度．
本题是一道一次函数的应用，考查了速度=路程÷时间的运用，在解答本题时
读懂图象的含义是关键．
23.【答案】（1）解：∵DA=DC，∠ADC=80°，
∴∠DAC=∠DCA=50°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠ACB-∠ACD=90°-50°=40°，
∵AD∥BE，
∴∠BED=∠ADC=80°，
∴∠EBC=∠BED-∠ECB=80°-40°=40°，
（2）证明：①∵DA=DC，∠ADC=α，
180°−훼
훼
∴∠DAC=∠DCA=
∵∠ACB=90°，
= 90°− ，
2
2
훼
훼
∴∠ECB=∠ACB-∠ACD=90°-(90°− )= ，
2
2
∵AD∥BE，
∴∠BED=∠ADC=α，
훼
훼
∴∠EBC=∠BED-∠ECB=α- = ，
2
2
∴∠ECB=∠EBC，
∴EB=EC；
证明：②如图，延长 EM 交 AD 于 F，延长 BE 交 AC 于点 G，
∵∠BCG=90°，BE=CE，
∴CE=CG，
∴E 为 BG 的中点，
∵ME∥AC，
∴AM=BM，
∵BE∥DA，
∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，
∴△AMF≌△BME（ASA），
第 16 页，共 19 页

∴MF=ME，
∵EF∥AC，
∴∠FED=∠DFE=∠ACD=∠DAC，
∴DF=DE，
∴DM⊥EF，DM 平分∠ADC，
∴∠ADM=∠CDM；
解：③当 α 为 60°时，DM= 3EM，理由如下：
∵∠ADC=60°，
由②知：DM⊥EF，DM 平分∠ADC，
∴∠MDE=30°，
在 Rt△MDE 中，tan∠MDE=푀퐸
=
3，
푀퐷
3
∴DM= 3ME．
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质可求出∠ACD=50°，则∠BCE=40°，由 BE∥DA 可得
∠ADC=∠BED，再根据∠BED=∠EBC+∠ECB 可求得∠CBE 的度数；
（2）①根据等腰三角形的性质可求出∠ACD=90°- ，则∠BCE= ，由 BE∥DA
可得∠ADC=∠BED=α，再根据∠BED=∠EBC+∠ECB 可求得∠CBE= ，则
BE=CE 得证；
②延长 BE 交 AC 于点 G，则 E 为 BG 中点，ME∥AC，可得 M 为 AB 的中点，
证△AMF≌△BME 得出 ME=MF，由等腰三角形的性质可得证；
③当 α 为 60°时，可证得∠MDE=30°，可得 DM=
EM．
本题主要考查了全等三角形的判断和性质，平行线的性质、等腰三角形的判
断和性质，锐角三角函数等知识．解题的关键是灵活应用这些知识解决问
题．
3
3
24.【答案】解：（1）将点 B 坐标代入直线 l 的表达式得：m= 푥 + =3，点 B（2，3），
4
2
令 y=0，则 x=-2，即点 A（-2，0），
3 = 2푘 + 푏
0 = 3푘 + 푏
푘 = −3
푏 = 9
将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b 得：{
，解得：{
，
故：直线 BC 的表达式为：y=-3x+9；
（2）过点 O 作 OD∥AB 交 BC 于点 D，则 D 点为所求，
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3
3
直线 AB 表达式得 k 值为 ，则直线 OD 的表达式为 y= x，
4
4
12
将直线 BC 与 OD 表达式联立并解得：x= ，
5
12
9
即：点 D 的坐标为（ ， ）；
5
5
（3）过点 P 作 x 轴的平行线分别于过点 A、M 与 y 轴的平行线于点 G、H，
设点 P 的坐标为（0，n）、点 M（m，9-3m），
∵∠GPA+∠GAP=90°，∠GPA+∠HPM=90°，∴∠HPM=∠GAP，
又 PA=PM，∠G=∠H=90°，∴△AGP≌△PHM（AAS），
GP=HM=2，GA=PH，
3푚 + 푛−9 =± 2
푚 = ± 푛
即：{
，
11
7
解得：m= 或 ，
4
2
11
3
7
3
即点 M 的坐标为（ ， ）或（ ，- ）；
4
4
2
2
퐵퐸 퐴퐸
2
（4）t= + =AB+ AE，
1
2
2
过点 A 作倾斜角为 45 度的直线 l ，过点 E 作 EF⊥l 交于点 F，
2
2
2
则：EF= AE，即 t=BE+EF，
2
当 B、E、F 三点共线且垂直于直线 l2 时，t 最小，即：t=BF′，
同理，直线 l2 的表达式为：y=-x-2，直线 BF 表达式为：y=x+1，
3
3
1
将上述两个表达式联立并解得：x=- ，即：点 F′（- ，- ），
2
2
2
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3
1
7
2．
t=BF′= (2 + )
2 + (3 + )2
=
2
2
2
【解析】
（1）将点 B 坐标代入直线 l 的表达式得：m=
x=-2，即点 A（-2，0），即可求解；
=3，点 B（2，3），令 y=0，则
（2）过点 O 作 OD∥AB 交 BC 于点 D，则 D 点为所求，直线 AB 表达式得 k 值
为 ，则直线 OD 的表达式为 y= x，将直线 BC 与 OD 表达式联立即可求解；
（3）证明△AGP≌△PHM（AAS），GP=HM=2，GA=PH，即可求解；
（4）t=
+
=AB+
AE，当 B、E、F 三点共线且垂直于直线 l2 时，t 最小，
即：t=BF′，即可求解．
本题为一次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、三角形全等等知识，
其中（4），构造适当路径，是求解此类题目的一个基本方法．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 由下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 1cm，2cm，3cm
C. 5cm，15cm，8cm
B. 3cm，4cm，5cm
D. 6cm，8cm，1cm
3. 一元一次不等式组 x+5>23−x≥1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.
C.
B.
D.
4. 在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF 的是（ ）
A. AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F
B. AC=DF，BC=EF，∠A=∠D
C. AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E
D. AB=DE，BC=EF，AC=DF
5. 若 x 轴上的点 P 到 y 轴的距离为 2，则点 P 的坐标为（ ）
A. (2,0)
B. (2,0)或(−2,0)
C. (0,2)
D. (0,2)或(0,−2)
6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB 的
边 OA、OB 上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺的两边相同
的刻度分别与 M、N 重合，得到∠AOB 的平分线 OP，做法中用
到三角形全等的判定方法是（ ）
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. HL
7. 已知下列命题：①若|a|=|b|，则 a2=b2；②若 am2＞bm2，则 a＞b；③对顶角相等；④
等腰三角形的两底角相等．其中原命题和逆命题均为真命题的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 将直线 y＝2x 向右平移 2 个单位，再向上移动 4 个单位，所得的直线的解析式是
（）
A. y=2x
B. y=2x+2
C. y=2x−4
D. y=2x+4
9. 观察图，可以得出不等式组 ax+b>0cx+d<0 的解集是 （ ）
A. x<4
B. x<−1
C. −1D. −1第 1 页，共 17 页

10. 如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分
∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边
的中点，连结 DH、BE 与相交于点 G，以下结论中正确的
结论有（ ）
（1）△ABC 是等腰三角形
（3）BH：BD：BC=1：2：3
GE2+CE2=BG2．
（2）BF=AC
（4）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
11. 如果等腰三角形的一个底角是 40°，它的顶角是______．
12. 请用不等式表示“x 的 2 倍与 3 的和不大于 1”：______．
13. 写出一个过点（0，0）且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小的一次函数关系式
______．
14. 直角坐标系内点 P（-2，3）关于 x 轴的对称点 Q 的坐标为______．
15. 若点（-1，y ） ．与（2，y ）在一次函数 y=-2x+1 的图象上，则 y ______y （填＞、＜或
1
2
1
2
=）．
16. 如图，△ABC 内有一点 D，且 DA＝DB＝DC．若∠DAB＝20°，∠DAC
＝30°，则∠BDC＝_________．
17. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是 3cm 和 4cm，则它的面积是______．
18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将
△ABC 折叠，使点 B 恰好落
在边 AC 上，与点 B′重合，AE 为折痕，则
EB′=______．
19. 直线 y=k x+b 与直线 y=k x+c 在同一平面直角坐标系中的
1
2
图象如图所示，则关于 X 的不等式 k x+b＞k x+c 的解集
1
2
为______．
20. 如图，已知正方形 ABCD 的边长是 2 厘米，E 是 CD 边的
中点，F 在 BC 边上移动，当 AE 恰好平分∠FAD 时，
CF=______厘米．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 6.0 分）
21. 解不等式（组）：
（1）9x-2≤7x+3
（2）3x+2＞x13x≤2．
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四、解答题（本大题共 5 小题，共 34.0 分）
22. 已知 y 是 x 的一次函数，且当 x=0 时，y=-4；且图象通过点（1，-2）
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点（a，2a-4）是否在该函数图象上，并说明理由．
23. 图 1、图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长
均为 1，点 A 和点 B 在小正方形的顶点上．
（1）在图 1 中画出△ABC（点 C 在小正方形的顶点上），使△ABC 为直角三角形
（画一个即可）；
（2）在图 2 中画出△ABD（点 D 在小正方形的顶点上），使△ABD 为等腰三角形
（画一个即可）．
24. 如图，△ABC 中，AB=2AC，AD 平分∠BAC，且
AD=BD．求证：CD⊥AC．
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25. 一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动．快
车离乙地的路程 y1（km）与行驶的时间 x（h）之间的函数关系，如图中线段 AB 所
示；慢车离乙地的路程 y2（km）与行驶的时间 x（h）之间的函数关系，如图中线
段 OC 所示．根据图象进行以下研究．
解读信息：
（1）甲、乙两地之间的距离为______km；
（2）线段 AB 的解析式为______；线段 OC 的解析式为______；
问题解决：
（3）设快、慢车之间的距离为 y（km），并画出函数的大致图象．
26. 如图，在直角坐标系中，△ABC 满足∠BCA=90°，AC=BC=5，点 A、C 分别在 x 轴
和 y 轴上，当点 A 从原点开始沿 x 轴的正方向运动时，则点 C 始终在 y 轴上运动，
点 B 始终在第一象限运动．
（1）当 AB∥y 轴时，求 B 点坐标．
（2）随着 A、C 的运动，当点 B 落在直线 y=3x 上时，求此时 A 点的坐标．
（3）在（2）的条件下，在 y 轴上是否存在点 D，使以 O、A、B、D 为顶点的四边
形面积是 4？如果存在，请直接写出点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：A 不属于轴对称图形，故错误；
B 不属于轴对称图形，故错误；
C 不属于轴对称图形，故错误；
D 属于轴对称图形，故正确；
故选：D．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】
解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2=3，不能组成三角形；
B、3+4＞5，能够组成三角形；
C、5+8＜15，不能组成三角形；
D、1+6＜8，不能组成三角形．
故选：B．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三
边”，进行分析．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的
两个数的和是否大于第三个数．
3.【答案】C
【解析】
解：
第一个不等式的解集为：x＞-3；
第二个不等式的解集为：x≤2；
所以不等式组的解集为：-3＜x≤2．
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
故选：C．
先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不
包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行比较
可得到答案．
把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上
的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等
式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解
集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4.【答案】B
【解析】
解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以利用 AAS 定理证明△ABC≌△DEF，故
此选项不合题意；
B、AC=DF，BC=EF，∠A=∠D 不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
C、AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，可以利用 ASA 定理证明△ABC≌△DEF，故此
选项不合题意；
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D、AB=DE，BC=EF，AC=DF 可以利用 SSS 定理证明△ABC≌△DEF，故此选
项不合题意；
故选：B．
根据题目所给的条件结合判定三角形全等的判定定理分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有
边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.【答案】B
【解析】
解：∵点 P 在 x 轴上，
∴点 P 的纵坐标等于 0，
又∵点 P 到 y 轴的距离是 2，
∴点 P 的横坐标是±2，
故点 P 的坐标为（2，0）或（-2，0）．
故选：B．
先根据 P 在 x 轴上判断出点 P 纵坐标为 0，再根据点 P 到 y 轴上的距离的意
义可得横坐标的绝对值为 2，即可求出点 P 的坐标．
本题主要考查了平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的
距离，比较简单．
6.【答案】A
【解析】
解：做法中用到的三角形全等的判定方法是 SSS
证明如下
∵OM=ON
PM=PN
OP=OP
∴△ONP≌△OMP（SSS）
所以∠NOP=∠MOP
故 OP 为∠AOB 的平分线．
故选：A．
已知两三角形三边分别相等，可考虑 SSS 证明三角形全等，从而证明角相等．
本题考查全等三角形在实际生活中的应用．对于难以确定角平分线的情况，利
用全等三角形中对应角相等，从而轻松确定角平分线．
7.【答案】B
【解析】
解：若|a|=|b|，则 a2=b2，的逆命
命题；
题为 a2=b2 则|a|=|b|
若
，
，原命题和逆命题均为真
若 am2＞
，
＞ 的逆命
bm2 则 a b
题为 a b 则 am2
若 ＞ ，
＞bm2，原命
题为真命题，逆
命题为假命题；
对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，原命题为真命题，逆命题为假命
题；
等腰三角形的两底角相等的逆命题为有两角相等的三角形为等腰三角形，原
命题和逆命题均为真命题．
故选：B．
先分别写出四个命题的逆命题，然后根据绝对值的意义、不等式的性质、对
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顶角的定义和等腰三角形的判定与性质对各命题进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题
设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个
命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样
的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
8.【答案】A
【解析】
解：y=2（x-2）+4=2x．
故选：A．
根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题
得解．
本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”
是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】
解：∵直线 y=ax+b 交 x 轴于点（4，0），
∴ax+b＞0 的解集为：x＜4，
∵直线 y=cx+d 交 x 轴于点（-1，0），
∴cx+d＜0 的解集为：x＜-1，
∴不等式组
的解集是：x＜-1．
故选：B．
根据直线 y=ax+b 交 x 轴于点（4，0），直线 y=cx+d 交 x 轴于点（-1，0），再结合
图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是正确根据图象
解题．
10.【答案】C
【解析】
解：（1）∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE+∠A=90°，∠CBE+∠ACB=90°，
∴∠A=∠BCA，
∴AB=BC，
∴△ABC 是等腰三角形；
故（1）正确；
（2）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF 和△CDA 中
，
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∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC；
故（2）正确；
（3）∵在△BCD 中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，
∴∠DCB=45°，
∴BD=CD，BC= BD．
由点 H 是 BC 的中点，
∴DH=BH=CH= BC，
∴BD=
BH，
∴BH：BD：BC=BH：
故（3）错误；
BH：2BH=1：
：2．
（4）由（2）知：BF=AC，
∵BF 平分∠DBC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
在△ABE 与△CBE 中，
，
∴△ABE≌△CBE（AAS），
∴CE=AE= AC，
∴CE= AC= BF；
连接 CG．
∵BD=CD，H 是 BC 边的中点，
∴DH 是 BC 的中垂线，
∴BG=CG，
在 Rt△CGE 中有：CG2=CE2+GE2
∴CE2+GE2=BG2．
，
故（4）正确．
综上所述，正确的结论由 3 个．
故选：C．
（1）根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，根据等角的余角相等求出
∠A=∠BCA，再根据等角对等边可得 AB=BC，从而得证；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出 BD=DC，根据 AAS 证出
△BDF≌△CDA 即可；
（3）根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；
（4）由（2）得出 BF=AC，再由 BF 平分∠DBC 和 BE⊥AC 通过 ASA 证得
△ABE≌△CBE，即得 CE=AE= AC，连接 CG，由 H 是 BC 边的中点和等腰直
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角三角形△DBC 得出 BG=CG，再由直角△CEG 得出 CG2=CE2+GE2，从而得
出 CE，GE，BG 的关系．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形
全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
11.【答案】100°
【解析】
解：180°-40°×2=100°，
答：顶角是 100°．
故答案为：100°
等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和即可解决问题．
此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和的应用，解答此题的关键：根据
三角形的内角和、等腰三角形的两底角和顶角三个量之间的关系进行解答即
可．
12.【答案】2x+3≤1
【解析】
解：x 的 2 倍表示为 2x，与 3 的和表示为 2x+3，
由题意得：2x+3≤1，
故答案为：2x+3≤1．
首先表示 x 的 2 倍，再表示“与 3 的和”，然后根据不大于 1 列出不等式即可．
此题主要考查了由实际问题列一元一次不等式，关键是抓住题目中的关键词，
如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选
择不等号．
13.【答案】y=-2x（答案不唯一）
【解析】
解：设一次函数关系式为 y=kx+b，
∵函数图象过点（0，0），且 y 随 x 的增大而减小，
∴k＜0，b=0．
取 k=-2．
故答案为：y=-2x（答案不唯一）．
根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质可得出 k＜0，b=0，任
取一个小于 0 的 k 值即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函
数的性质找出 k＜0 是解题的关键．
14.【答案】（-2，-3）
【解析】
解：点 P（-2，3）关于 x 轴的对称点 Q 的坐标为（-2，-3）．
故答案为：（-2，-3）．
关于 x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可解答．
本题考查了关于 x 轴、y 轴的对称点的坐标，关于 x 轴对称的两个点横坐标相
同，纵坐标互为相反数．
15.【答案】＞
【解析】
解：∵点（-1，y ）与（2，y ）在一次函数 y=-2x+1 的图象上，
1
2
∴y =-2×（-1）+1=3，y =-2×2+1=-3，
1
2
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∴y ＞y ，
1
2
故答案是：＞．
根据一次函数图象上点的坐标特征，将点（-1，y ）与（2，y ）分别代入已知函数
1
2
的解析式，分别求得 y 、y 的值，然后再比较 y 、y 的大小．
1
2
1
2
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐
标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
16.【答案】100°
【解析】
【分析】
本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质，解答的关键是掌握外角和
内角的关系．
如图，延长 BD 交 AC 于 E，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和，得∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，所以
∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD，又 DA=DB=DC，根据等腰三角形等边对等角
的性质得出∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°，进而得出结果．
【解答】
解：如图，延长 BD 交 AC 于 E．
∵DA=DB=DC，
∴∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°．
又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°，
∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°．
故答案为 100°．
17.【答案】12cm2
【解析】
解：∵在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，CE 是△ACB 中线，CE=4cm，
∴AB=2CE=8cm，
∴△ACB 的面积是 ×AB×CD= ×8cm×3cm=12cm2，
故答案为：12cm2．
根据直角三角形斜边上中线性质求出 AB，根据三角形面积公式求出即可．
第 11 页，共 17 页

本题考查了直角三角形斜边上中线性质和三角形面积的应用，注意：直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半．
18.【答案】3
【解析】
解：设 EB′=x，
∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=
10，
由折叠的性质可知，BE=EB′=x，AB′=AB=6，
则 CB′=AC-AB′=4，EC=BC-BE=8-x，
由勾股定理得，x
2+42= 8-x 2
） ，
（
解得 x=3，
∴EB′=3．
故答案为：3．
设 EB′=x，根据勾股定理求出 AC 的长，根据翻折变换的性质用 x 表示出 EC、
EB′、CB′，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠
前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19.【答案】x＞1
【解析】
解：由图形可知，当 x＞1 时，k x+b＞k x+c，
1
2
所以，不等式的解集是 x＞1．
故答案为：x＞1．
根据图形，找出直线 k x+b 在直线 k x+c 上方部分的 x 的取值范围即可．
1
2
本题考查了两直线相交的问题，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在
下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．
20.【答案】12
【解析】
解：如图，连接 EF，过点 E 作 EM⊥AF 于点 M；
∵四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且点 E 为 DC 的
中点，
∴∠D=90°，DE=1；
∵AE 平分∠FAD，
∴ME=DE=1；在△ADE 与△AME 中，
，
∴△ADE≌△AME（HL），
∴∠AED=∠AEM，AM=AD=2，
同理可证：∠MEF=∠CEF，CF=MF；
∴∠AEF= ×180°=90°，
即△AEF 为直角三角形，
∴ME2=AM•MF，而 ME=1．AM=2，
第 12 页，共 17 页

∴MF= ，CF=MF= ．
故答案为 ．
如图，作辅助线；首先证明△ADE≌△AME，得到∠AED=∠AEM；同理可证
∠MEF=∠CEF，进而证明△AEF 为直角三角形，运用射影定理即可解决问题．
该题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质、射影定理等几
何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，为运用射
影定理创造条件．
21.【答案】解：（1）移项得 9x-7x≤3+2，
合并得 2x≤5，
系数化为 1 得 x≤52；
（2）3x+2＞x①13x≤2②，
解①得 x＞-1，
解②得 x≤6，
所以不等式组的解集为-1＜x≤6．
【解析】
（1）先移项得到 9x-7x≤3+2，然后合并同类项后把 x 的系数化为 1 即可；
（2）分别解两个不等式得到 x＞-1 和 x≤6，然后根据大于小的小于大的取中间
得到不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大
取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不
等式组的解集．
22.【答案】解：（1）设这个一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0），
将（0，-4），（1，-2）代入 y=kx+b，得：b=−4k+b=−2，
解得：k=2b=−4．
∴这个一次函数的解析式为 y=2x-4．
（2）点（a，2a-4）在该函数图象上，理由如下：
∵当 x=a 时，y=2a-4，
∴点（a，2a-4）在函数图象上．
【解析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出该一次函数解析式；
（2）代入 x=a 可得出 y=2a-4，进而可得出点（a，2a-4）在函数图象上．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特
征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析
式；（2）代入 x=a 求出 y 值．
23.【答案】解：（1）如图 1，①、②，画一个即可；
（2）如图 2，①、②，画一个即可．
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【解析】
（1）利用网格结构，过点 A 的竖直线与过点 B 的水平线相交于点 C，连接即可，
或过点 A 的水平线与过点 B 的竖直线相交于点 C，连接即可；
（2）根据网格结构，作出 BD=AB 或 AB=AD，连接即可得解．
本题考查了应用与设计作图，（1）中作直角三角形时根据网格的直角作图即
可，比较简单，（2）中根据网格结构作出与 AB 相等的线段是解题的关键，灵
活性较强．
24.【答案】解：过 D 作 DE⊥AB 于 E，
∵AD=BDDE ⊥AB
∴AE=12AB，∠DEA=90°，
∵2AC=AB
∴AE=AC
∵AD 平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD，
在△DEA 和△DCA 中，
AE=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△DEA≌△DCA，
∴∠ACD=∠AED，
∴∠ACD=90°，
∴AC⊥DC．
【解析】
过 D 作 DE⊥AB 于 E，根据等腰三角形性质推出 AE= AB，∠DEA=90°，求出
AE=AC，根据 SAS 证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED 即可．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求
出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，
难度适中．
25.【答案】450 y=-150x+450 y=75x
【解析】
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解：（1）由图象可得，
甲、乙两地之间的距离为 450km，
故答案为：450；
（2）设线段 AB 对应的函数解析式为 y=kx+b，
，得
，
即线段 AB 对应的函数解析式为 y=-150x+450，
设线段 OC 对应的函数解析式为 y=ax，
450=6a，得 a=75，
即线段 OC 对应的函数解析式为 y=75x，
故答案为：y=-150x+450，y=75x；
（3）甲车的速度为：450÷3=150km/h， 乙车
的速度为：450÷6=75km/h，
故甲乙两车相遇的时间为：450÷
（150+75）=2h，
设快、慢车之间的距离为 y（km），这个函数的大致图象如右图所示．
（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以分别求得线段 AB 和线段 OC 对应的函数解析
式；
（3）根据图象中的数据和题意可以画出相应的函数图象．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性
质和数形结合的思想解答．
26.【答案】解：（1）∵∠BCA=90°，AC=BC=5，
∴∠BAC=45°，AB=AC2+BC2=10
∵AB∥y 轴，
∴∠BAO=90°=∠COA
∴∠CAO=45°=∠OCA
∴CO=AO
∵AO2+CO2=AC2，
∴2AO2=5
∴AO=102
∴点 B 坐标为（102，10）
（2）如图，过点 B，作 BE⊥y 轴，垂足为点 E，
∵∠BCE+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°
∴∠BCE=∠CAO，且 AC=BC，∠BEO=∠AOC
∴△AOC≌△CEB（AAS）
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∴BE=CO，AO=CE
∵点 B 落在直线 y=3x 上
∴设 B（x，3x）
∴BE=x=OC，OE=3x，
∴CE=OA=2x，
∵OA2+OC2=AC2
∴（2x）2+x2=5
∴x=1
∴OA=2x=2
∴点 A（2，0）
（3）设点 D（0，y）
当点 D 在 y 轴正半轴上，如图，连接 OB，
∵S 四边形 ABDO=S△AOB+S△BDO=4
∴12×y×1+12×2×3=4
∴y=2
∴点 D（0，2）
若点 D 在 y 轴负半轴上，如图，连接 OB，
∵S 四边形 ABDO=S△AOB+S△ADO=4
∴12×2×3+12×2×（-y）=4
∴y=-1
∴点 D 坐标为（0，-1）
【解析】
（1）根据勾股定理，可得 AB 的长，根据勾股定理，可得 AO 的长，可得 B 点坐
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标；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得 BE=OC=x，EC=OA=x，根据勾股定
理，可得 x 的长，可得 A 点坐标；
（3）分类讨论：①D 在 y 轴的正半轴上；②D 在 y 轴的负半轴上，根据面积的和
差，可得关于 y 的方程，根据解方程，可得答案．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，全
等三角形的判定和性质，利用面积的和差得出关于 y 的方程是解题关键，注
意分类讨论，以防遗漏．
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市八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 在直角坐标系中，点（2，1）在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 下列选项中可以用来说明命题“若 x2＞1，则 x＞1”是假命题的反例是（ ）
A. x=1
3. 若 a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A. a+1−3b
B. x=−1
C. x=2
D. x=−2
D. a2>b2
4. 一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α 的度数是
（ ）
A. 75∘
B. 105∘
C. 110∘
D. 120∘
5. 已知点（-1，y ），（-0.5，y ），（1.5，y ）是直线 y=-2x+1 上的三个点，则 y ，
1
2
3
1
y ，y 的大小关系是（ ）
2
3
A. y3>y2>y1
B. y1>y2>y3
C. y1>y3>y2
D. y3>y1>y2
6. 如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，若∠A=36°，则∠DCB 的
度数为（ ）
A. 54∘
B. 64∘
C. 72∘
D. 75∘
7. 对于一次函数 y=mx-m（m＞0），下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象经过第一、二、三象限
C. 函数图象一定交于 y 轴的负半轴
B. 函数图象 y 随 x 的增大而减小
D. 函数图象一定经过点(−1,0)
8. 如图，在钝角三角形 ABC 中，∠ABC 为钝角，以点 B 为圆心，
AB 长为半径面弧；再以点 C 为圆心，AC 长为半径画弧；两弧
交于点 D，连结 AD，CB 的延长线交 AD 于点 E．下列结论错误
的是（ ）
A. CE 垂直平分 AD
B. CE 平分∠ACD
C. △ABD 是等腰三角形
D. △ACD 是等边三角形
9. 某商店将定价为 3 元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过 5 件，按原价付
款；若一次性购买 5 件以上，超过部分打八折．小聪有 27 元钱想购买该种商品，
那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品 x 件，则根据题意，可列
不等式为（ ）
A. 3×5+3×0.8x≤27
B. 3×5+3×0.8x≥27
C. 3×5+3×0.8(x−5)≤27
D. 3×5+3×0.8(x−5)≥27
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10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，分别以 AB、AC 为腰向外
作等腰直角三角形△ABD 和△ACE，连结 DE，CA 的延长线
交 DE 于点 F，则与线段 AF 相等的是（ ）
A. 23AC
B. 25AB
C. 12BC
D. 12AB
二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
11. 平面直角坐标系中，点 A（1，-2）到 x 轴的距离是______．
12. 如图是不等式组 x≥ax此不等式组的整数解是______．
13. 命题“对顶角相等”的逆命题是______．
14. 如图，已知点 A、D、C、F 在同一条直线上，
AB∥DE，AD=CF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一
个条件是______．（只需添加一个即可）
15. 小明从A处出发沿北偏东40°的方向走了30米到达B
处：小军也从 A 处出发，沿南偏东 α°（0＜α＜90）的方向走了 40 米到达 C 处，
若 B、C 两处的距离为 50 米，则 α=______．
16. 已知等腰三角形的周长为 20，腰长为 x，x 的取值范围是______．
17. 小明爸爸开车带小明去杭州游玩，一路上匀速前行，小明记下了如下数据
观察时刻
9：00
9：06
9：18
（注：“杭州 90km”
表示离杭州的距离
为 90km）
路牌内容
杭州 90km
杭州 80km
杭州 60km
从 9 点开始，记汽车行驶的时间为 t（min），汽车离抗州的距离为 s（km），则 s
关于 t 的函数表达式为______．
18. 如图，在
Rt△ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分 AB，连结
AD，若 AC=6，BC=8，则 CD 的长为______．
19. 如图，一次函数
y=kx+b 的图象经过点（-2，0），则关于 x 的
不等式 k（x-3）+b＞0 的解集为______．
20. 如图，在一张直角三角形纸片
ABC 中，∠ACB=90°，BC=1，
AC=3，P是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，
当△A1CP 与△ABC 的重叠部分为等腰三角形时，则∠ACP 的度
数为______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 40.0 分）
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21. 解不等式：
5x-2≤3x，并在数轴上表示解集．
22. 如图，已知
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若 AB=7，CF=4，求 BD 长．
AB∥CF，DE=EF．
23. 已知直线
y=x+b 分别交 x 轴于点 A、交 y 轴于点 B（0，2）
（1）求该直线的函数表达式；
（2）求线段 AB 的长．
24. 如图，
△ABC 的三个顶点分别是 A（-4，1），B（-2，1），C（-1，3），以 x 轴为
对称轴，将△ABC 作轴对称变换得到△A B C ，然后将
1
1
1
△A B C 向右平移 6 个单位后得到△A B C ．
1
1
1
2
2
2
（1）请在图中作出△A B C ；
1
1
1
（2）直接写出经过上述两次变换后，对应点 A2 的坐标．
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25. 如图，在正
M．
△ABC 的 AC，BC 上各取一点 D，E，使 AD=CE，AE，BD 相交于点
（1）如图 1，求∠BME 的度数；
（2）如图 2，过点 B 作直线 AE 的垂线 BH，垂足为 H．
①求证：2MH+DM=AE；
②若 BE=2EC=2，求 BH 的长．
26. 甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校
步行，乙骑自行车．图 1 中 OD，AC 分别表示甲、乙离开学校的路程 y（m）与甲
行走的时间 x（min）之间的函数图象
1500m 的图书馆去看书，甲
（1）求线段 AC 所在直线的函数表达式；
（2）设 d（m）表示甲、乙两人之间的路程，在图 2 中补全 d 关于 x 的函数图象；
（标注必要的数据）
（3）当 x 在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为 180m．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：因为点 P（2，1）的横坐标是正数，纵坐标也是正数，所以点在平面直角坐标
系的第一象限．
故选：A．
应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中四个象限的点的坐标的符号特征：
第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
2.【答案】D
【解析】
解：（-2）2=4＞1，
-2＜1，
∴当 x=-2 时，说明命题“若 x2＞1，则 x＞1”是假命题，
故选：D．
根据有理数的乘方法则、假命题的概念解答．
本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的
正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例
即可．
3.【答案】D
【解析】
解：A、∵a＞b，
∴a+1＞b+1，故此选项错误；
B、∵a＞b，
∴a-5＞b-5，故此选项错误；
C、∵a＞b，
∴-3a＜-3b，故此选项错误；
D、∵a＞b，
∴ ＞ ，故此选项正确；
故选：D．
直接利用不等式的基本性质分别判断得出答案．
此题主要考查了不等式的性质，正确应用不等式基本性质是解题关键．
4.【答案】B
【解析】
解：如图，∠1=90°-45°=45°，
则∠α=60°+45°=105°，
故选：B．
根据图形求出∠1，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】
解：∵一次函数 y=-2x+1 的图象 y 随着 x 的增大而减小，
又∵-1＜-0.5＜1.5，
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∴y ＞y ＞y ，
1
2
3
故选：B．
根据一次函数图象的增减性，结合横坐标的大小，可判断纵坐标的大小关系，
即可得到答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性
是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】
解：∵∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠A=∠DCA=36°，
∴∠DCB=90°-∠DCA=54°．
故选：A．
根据直角三角形斜边上中线定理得出 CD=AD，求出∠DCA=∠A，根据两角互
余求出∠DCB 的度数即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解
和运用，能求出 BD=CD=AD 和∠DCA 的度数是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】
解：A、∵m＞0，∴-m＜0，∴一次函数 y=mx-m（m＞0）的图象在一、三、四象限，
故本选项错误；
B、∵m＞0，∴一次函数 y=mx-m（m＞0）的图象 y 随 x 的增大而增大，故本选项
错误；
C、∵x=0 时，y=-m＜0，∴函数图象一定交于 y 轴的负半轴，故本选项正确；
D、∵x=-1 时，y=-m-m=-2m＜0，∴函数图象不经过点（-1，0），故本选项错误．
故选：C．
根据一次函数图象的性质进行逐一分析解答即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，一次函
数图象与系数的关系，都是基础知识，需熟练掌握．
8.【答案】D
【解析】
解：由题可得，CA=CD，BA=BD，
∴CB 是 AD 的垂直平分线，
即 CE 垂直平分 AD，故 A 选项正确；
∴∠CAD=∠CDA，∠CEA=∠CED，
∴∠ACE=∠DCE，
即 CE 平分∠ACD，故 B 选项正确；
∵DB=AB，
∴△ABD 是等腰三角形，故 C 选项正确；
∵AD 与 AC 不一定相等，
∴△ACD 不一定是等边三角形，故 D 选项错误；
故选：D．
依据作图可得 CA=CD，BA=BD，即可得到 CB 是 AD 的垂直平分线，依据线
段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定，解题时注意：
垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
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9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正
确列出一元一次不等式是解题的关键．
设小聪可以购买该种商品 x 件，根据总价=3×5+3×0.8×超出 5 件的部分结合总
价不超过 27 元，即可得出关于 x 的一元一次不等式，此题得解．
【解答】
解：设小聪可以购买该种商品 x 件，
根据题意得：3×5+3×0.8（x-5）≤27．
故选：C．
10.【答案】C
【解析】
解：如图，作 DH⊥CF 交 CF 的延长线于 H，连接 EH．
∵∠ACB=∠BAD=∠DHA=90°，
∴∠BAC+∠DAH=90°，∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠BAC=∠ADH，
∵AB=AD，
∴△BCA≌△AHD（AAS），
∴AC=AD，BC=AH，
∵∠DHA=∠EAH=90°，AC=AE，
∴DH∥AE，AH=AE，
∴四边形 ADHE 是平行四边形，
∴AF=FH，
∴AF= AH= BC，
故选：C．
如图，作 DH⊥CF 交 CF 的延长线于 H，连接 EH．想办法证明△BCA≌△AHD
（AAS），四边形 ADHE 是平行四边形，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的
判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解
决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】2
【解析】
解：点 A（1，-2）到 x 轴的距离是|-2|=2，
故答案为：2．
根据点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度是解题的关
键．
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12.【答案】-1，0，1
【解析】
解：因为是整数，且在-1 处和 2 处分别是实心和空心，
所以整数有-1，0，1，
故答案为：-1，0，1．
首先确定不等式组的解集，找出不等式组解集内的整数就可以．
此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的
解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右
画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表
示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有
几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心
圆点表示．
13.【答案】相等的角为对顶角
【解析】
解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题
设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一
个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，
这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
14.【答案】AB=DE 或∠B=∠E 或∠ACB=∠F
【解析】
解：①添加 AB=DE，
∵AB∥DE，
∴∠A=∠EDF，
∵AD=CF，
∴AD+DC=CF+DC，
∴AC=DF，
在△ABC 与△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
②添加∠B=∠E，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
③添加∠ACF=∠F，
，
△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：AB=DE 或∠B=∠E 或∠ACB=∠F．
利用全等三角形的判定定理，AAS 定理，ASA 定理，SAS 定理可得结果．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
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SAS、ASA、AAS，注意 AAA、SSA 不能判定两个三角形全等是解答此题的关
键．
15.【答案】50
【解析】
解：∵AB=30，AC=40，BC=50，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴α°=90°-40°=50°，
∴α=50，
故答案为：50．
根据勾股定理的逆定理得到∠BAC=90°，根据角的和差即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的
关键．
16.【答案】5＜x＜10
【解析】
解：根据三角形的三边关系，x+x＞20-2x，
解得 x＞5，
又∵x+x＜20，
∴x＜10，
所以，5＜x＜10．
故答案为：5＜x＜10．
利用三角形的三边关系解决问题即可．
本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形的三边关系得到关于 x 的不等式
是解题的关键．
17.【答案】s=90-53t
【解析】
解：由表知，汽车每 6min 行驶 10km，
∴汽车的速度为 = （km/min），
则 s=90- t，
故答案为：s=90- t．
由汽车每 6min 行驶 10km 知汽车的速度为 = （km/min），根据距离=90-行
驶的路程可得函数解析式．
本题主要考查函数关系式，解题的关键是根据表格得出汽车的速度及关于距
离的相等关系．
18.【答案】74
【解析】
解：∵DE 是 AB 的中垂线，
∴DA=DB，
设 AD=x，则 DB=x，CD=BC-BD=8-x，
在 Rt△ACD 中，∵AC2+CD2=AD2
∴62+（8-x）2=x2，
，
第 10 页，共 15 页

解得 x=
，
∴CD=8-x= ，
故答案为： ．
先根据线段的垂直平分线的性质得 DA=DB，设 AD=x，则 DB=x，
CD=BC-BD=8-x，则在 Rt△ACD 中利用勾股定理得到 62+（8-x）2=x2，解得 x 的
值即可得到 CD 的长．
本题考查了勾股定理以及线段垂直平分线的性质，依据勾股定理列方程是解
决问题的关键．
19.【答案】x＞1
【解析】
解：由图象可得：当 x＞-2 时，kx+b＞0，
所以关于 x 的不等式 kx+b＞0 的解集是 x＞-2，
所以关于 x 的不等式 k（x-3）+b＞0 的解集为 x-3＞-2，
即：x＞1，
故答案为：x＞1．
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使
一次函数 y=ax+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的
角度看，就是确定直线 y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构
成的集合．
20.【答案】40°或 70°
【解析】
解：如图 1 中，当 PC=CE 时，设∠ACP=x．
∵CP=CE，
∴∠CPE=∠CEP，
∵∠CPE=∠ACP+∠A=x+30，
∴x+x+30+x+30=180°，
∴x=40°．
如图 2 中，当 CP=CE 时，设∠ACP=x．
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则∠CPE=∠CEP=2x-90°+30°=2x-60°，
在△CPE 中，90°-x+2（2x-60°）=180°，
解得 x=70°，
综上所述，∠ACP 的度数为 40°或 70°，
故答案为 40°或 70°．
分两种情形画出图形分别求解即可．
本题考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题
意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：5x-2≤3x，
移项，得 5x-3x≤2，
合并同类项，得 2x≤2，
系数化成 1，x≤1，
在数轴上表示为：
．
【解析】
移项，合并同类项，系数化成 1 即可．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：解
一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成 1．
22.【答案】（1）证明：∵AB∥CF，
∴∠A=∠FCE，
在△ADE 和△CFE 中，
∠A=∠FCE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）解：∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4，
∴BD=AB-AD=7-4=3．
【解析】
（1）根据 AAS 证明△ADE≌△CFE 即可；
（2）利用全等三角形的性质即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：（1）把 B（0，2）代入 y=x+b 得 b=2，
所以该直线的函数表达式为 y=x+2；
（2）当 x=0 时，x+2=0，解得 x=-2，则 A（-2，0），
所以 AB 的长=22+22=22．
【解析】
（1）把 B 点坐标代入 y=x+b 中求出 b 即可；
（2）先利用一次函数解析式确定 A 点坐标，然后利用勾股定理计算出 AB 的
长．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次
函数的解析式时，先设 y=kx+b；将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值
代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求
出待定系数的值，进而写出函数解析式．
第 12 页，共 15 页

24.【答案】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求．
1
1
1
（2）由图知，对应点 A2 的坐标为（2，-1）．
【解析】
（1）根据轴对称的性质分别作出点 A，B，C 关于 x 轴的对称点，再顺次连接可
得．
（2）根据平移变换的定义和性质分别作出三顶点向右平移 6 个单位后所得对
应点，据此可得答案．
本题主要考查作图-轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和
平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
25.【答案】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABD 和△CAE 中，
AB=AC∠BAD=∠CAD=CE
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠BME=∠ABM+∠MAB=∠CAE+∠MAB=∠BAC=60°，
（2）①∵BH⊥AE，∠BMH=60°，
∴∠MBH=30°，
∴BM=2MH，
∵△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，
∴2MH+DM=BM+DM=BD，
∴2MH+DM=AE；
②如图，作 AF⊥BC 于 F，
∵△ABC 是等边三角形，BE=2EC=2，
∴AB=3，BF=1.5，EF=0.5，
∴AF=332，AE=(332)2+(12)2=7，
∴△ABE 面积=12×2×332=12×7×BH，
解得 BH=3217
第 13 页，共 15 页

【解析】
（1）证明△ABD≌△CAE，可得∠ABD=∠CAE，再利用三角形外角的性质可以得
出∠BME 的度数；
（2）①由（1）可得∠MBH=30°，BD=AE，根据 BD=BM+DM 即可获证；
②作 AF⊥BC 于 F，在△ABE 中，利用面积法即可得出 BH 的长．
本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，含
30 度角的直角三角形性质的应用．涉及高的问题可以考虑面积法．
26.【答案】解：（1）设 AC 表达式为 y=kx+b，把（6，0）、（21，25）代入得
0=6k+b1500=21k+b
解得 k=100，b=-600，
所以 AC 所在直线的函数表达式 y=100x-600；
（2）设甲出发 x 分钟后两人相遇，则
150025x=150021−6(x−6)
解得 x=15，
即甲出发 15 分钟后两人相遇，此时 d=0，
21 分钟后乙到图书馆，甲距图书馆 1500-60×21=240 米，
因此图象如下：
（3）设甲出发 x 分钟甲、乙两人之间的路程至少为 180m．
当甲乙相遇前，即 x≤15 时
60x-100（x-6）≥180
解得 x≤7；
当甲乙相遇后，即 x＞15 时
100（x-15）-60（x-15）≥180
解得 x≥19.5，
综上当 0＜x≤7 或 19.5≤x≤21 分钟时甲、乙两人之间的路程至少为 180m．
【解析】
（1）根据待定系数法求解；
（2）设甲出发 x 分钟后相遇，列方程，计算相遇时的时间，可补全图象；
（3）分相遇前后两种可能列不等式求解．
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本题考查一次函数，方程和不等式应用，确定数量关系或不等量关系是解答
关键．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 下列各组数可做为一个三角形三边长的是（ ）
A. 4，6，8 B. 4，5，9 C. 1，2，4
D. 5，5，11
2. 如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A. (3,3)
B. (−4,5)
C. (−4,−6)
D. (3,−6)
3. 若 a＞b，则下列不等式中正确的是（ ）
A. a−b<0
B. −5a<−5b
C. a+8D. a44. 直角三角形两条直角边长分别是 6 和 8，则斜边上的中线长为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
5. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ）
A. x≥−1
B. x>1
C. −3D. x>−3
6. 对于命题“若 a2＞b2，则 a＞b”，下面四组关于 a，b 的值中，能说明这个命题是假
命题的是（ ）
A. a=3，b=−2，
C. a=2，b=−3，
B. a=−2，b=3，
D. a=−3，b=2，
7. 下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（ ）
A. 三个角的比是 1：2：3
C. 三条边的比是 2：3：4
B. 三条边满足关系 a2=c2−b2
D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A
8. 将直线 y=3x 向左平移 2 个单位所得的直线的解析式是（ ）
A. y=3x+2 B. y=3x−2 C. y=3(x−2) D. y=3(x+2)
9. 如图是一次函数 y=kx+b 与 y2=x+a 的图象，则下列结论①k
＜0；②a＞0；③当 x＜3 时，kx+b＜x+a 中，正确的个数
是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
10. 如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，
将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60°得到线
段 BO′，下列五个结论中，其中正确的结论是（ ）
①△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到；
②点 O 与 O′的距离为 4；
③∠AOB=150°；
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④S 四边形 AOBO′=6+33；
⑤S△AOC+S△AOB=6+943．
A. ①②③④
B. ①②⑤
C. ①②③⑤
D. ②③④⑥
二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
11. 函数 y=1x−1 中，自变量 x 的取值范围是______．
12. 如图是 2002 年在北京召开的世界数学家大会的会标，其
中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，它蕴含着一个著名的
定理是______．
13. 如图，∠ABC=∠DCB，请补充一个条件：______，使
△ABC≌△DCB．
14. 不等式 2x-1≤3 的正整数解是______．
15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，AD=3，AB=4，
BC=10，则在△BDC 中，BD 边上的高为______．
16. 在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为 A（8，0），
B（2，6），C（4，0），点 P，Q 是△ABO 边上的两个动点（点
P 不与点 C 重合），以 P，O，Q 为顶点的三角形与△COQ 全
等，则满足条件的点 P 的坐标为______．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分）
17. 某批服装进价为每件 200 元，商店标价每件 300 元，现商店准备将这批服装打折出
售，但要保证毛利润不低于 5%，问售价最低可按标价的几折？（要求通过列不等
式进行解答）
四、解答题（本大题共 7 小题，共 58.0 分）
18. 解不等式组 x+4≤3x1+2x3＞x−1
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19. 如图，AB 与 CD 相交于点 E，AE=CE，CD=AB．求证：
∠A=∠C．
20. 如图，在△ABC 中，AE 是∠BAC 的角平分线，AD 是 BC
边上的高，且∠B=40°，∠C=60°，求∠CAD、∠EAD 的度
数．
21. 如图是由边长为 1 的小正方形组成的网格图．
（1）请在网格图中建立平面直角坐标系 xOy，使点 A 的坐标为（3，3），点 B 的
坐标为（1，0）；
（2）若点 C 的坐标为（4，1），△ABC 关于 y 轴对称三角形为△A B C ，则点 C
1
1
1
的对应点 C1 坐标为______；
（3）已知点 D 为 y 轴上的动点，求△ABD 周长的最小值．
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22. 甲、乙两车都从 A 地驶向 B 地，并以各自的速度匀速行驶．甲车比乙车早行驶，
甲车途中休息了 0.5h．设甲车行驶时间为 x（h），下图是甲乙两车行驶的距离 y
（Mm）与 x（h）的函数图象，根据题中信息回答问题：
（1）填空：m=______，a=______；
（2）当乙车出发后，求乙车行驶路程 y（km）与 x（h）的函数解析式，并写出相
应的 x 的取值范围；
（3）当甲车行驶多长时间时，两车恰好相距 50km？请直接写出答案．
23. 定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个
三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条
线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图 1，等腰直角三角形斜边上的中线
就是一条“和谐分割线”
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（1）判断下列两个命题是真命题还是假命题（填“真”或“假”）
①等边三角形必存在“和谐分割线”
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”．
命题①是______命题，命题②是______命题；
（2）如图 2，Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，试探索 Rt△ABC 是否存在“和谐
分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由．
（3）如图 3，△ABC 中，∠A=42°，若线段 CD 是△ABC 的“和谐分割线”，且△BCD
是等腰三角形，求出所有符合条件的∠B 的度数．
24. 如图，直线 y=kx+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A（4，0）、B（0，4），点 P 在 x 轴
上运动，连接 PB，将△OBP 沿直线 BP 折叠，点 O 的对应点记为 O′．
（1）求 k、b 的值；
（2）若点 O′恰好落在直线 AB 上，求△OBP 的面积；
（3）将线段 PB 绕点 P 顺时针旋转 45°得到线段 PC，直线 PC 与直线 AB 的交点为
Q，在点 P 的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ 为等腰三角形？若存在，
求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A、4+6＞8，能组成三角形；
B、4+5=9，不能组成三角形；
C、1+2＜4，不能组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：A．
在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得
答案．
本题考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成
三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这
三条线段能构成一个三角形．
2.【答案】B
【解析】
解：A、（3，3）在第一象限；
B、（-4，5）在第二象限；
C、（-4，-6）在第三象限；
D、（3，-6）在第四象限．
故选：B．
根据盖住的点在第二象限，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是
解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；
第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
3.【答案】B
【解析】
解：A、当 a＞b 时，不等式两边都减 b，不等号的方向不变得 a-b＞0，故 A 错误；
B、当 a＞b 时，不等式两边都乘以-5，不等号的方向改变得-5a＜-5b，故 B 正确；
C、不等式两边的变化必须一致，故 C 错误；
D、当 a＞b 时，不等式两边都除以 4，不等号的方向不变得
，故 D 错误．
故选：B．
正确运用不等式的性质进行判断．
本题考查了不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
4.【答案】C
【解析】
解：∵直角三角形两条直角边长分别是 6 和 8，
∴斜边=
=10，
∴斜边上的中线长= ×10=5．
故选：C．
利用勾股定理求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解
答．
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本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记
性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】
解：两个不等式的解集的公共部分是：-1 及其右边的部分．即大于等于-1 的数
组成的集合．
故选：A．
根据不等式组解集在数轴上的表示方法可知，不等式组的解集是指它们的公
共部分，即-1 及其右边的部分．
本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴
上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果
数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是
不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6.【答案】D
【解析】
解：
在 A 中，a2=9 b2=4
，
，且 ＞ ， 足 若 ＞ ， ＞ ，故
3 -2 满 “ a2 b2 则 a b”
中 、 的
A 选项 a b
值不能说明命题为假命题；
2=4 b2=9 -2 3
在 B 中，a ，且 ＜ ，此 不但不 足 ＞ ，也不 足 ＞ 不成立，
，
时
满
a2 b2
满
a b
故 B 选项中 a、b 的值不能说明命题为假命题；
2=4 b2=9 2 -3
在 C 中，a ，且 ＞ ，此 不但不 足 ＞ ，也不 足 ＞ 不成立，
，
时
满
a2 b2
满
a b
故 C 选项中 a、b 的值不能说明命题为假命题；
2=9 b2=4 -3 2 时满 满 a2 b2
在 D 中，a ，且 ＜ ，此 足 足 ＞ ，但不能 足 ＞ ，即意
，
满
a b
味着命题“若 a ＞ ，
2
b2 则 a b”
＞ 不能成立，故
D 选项中 a、b 的值能说明命题为
假命题；
故选：D．
说明命题为假命题，即 a、b 的值满足 a2＞b2，但 a＞b 不成立，把四个选项中
的 a、b 的值分别代入验证即可．
本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需
要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．
7.【答案】C
【解析】
解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x=90°，
故正确；
B、三条边满足关系 a2=c2-b2，故正确；
C、三条边的比为 2：3：4，22+32≠42，故错误；
D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A 为 90°，故正确．
故选：C．
根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
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本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三
角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求
得一个角为 90°即可．
8.【答案】D
【解析】
解：将直线 y=3x 向左平移 2 个单位所得的直线的解析式为：y=3（x+2）．
故选：D．
根据函数左右平移的规律：“左加右减”可得出平移后的函数解析式，即可得出
答案．
此题考查了一次函数图象与几何变换，解答本题关键是掌握平移的法则：“左
加右减”，“上加下减”，属于基础题，难度一般．
9.【答案】B
【解析】
解：由图象可得，
一次函数 y=kx+b 中 k＜0，b＞0，故①正确，
一次函数 y2=x+a 中 a＜0，故②错误，
当 x＜3 时，kx+b＞x+a，故③错误，
故选：B．
根据函数图象可以判断题目中的各个小题是否正确，本题得以解决．
本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性
质和数形结合的思想解答．
10.【答案】C
【解析】
解：∵△ABC 为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∵线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO′，
∴BO=BO′=4，∠OBO′=60°，
∵∠OBO′=CBA=60°，BO=BO′，BC=BA，
∴△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到，所以①正确；
∵BO=BO′，∠OBO′=60°，
∴△BOO′为等边三角形，
∴OO′=OB=4，∠BOO′=60°，所以②正确；
∵△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到，
∴AO′=OC=5，
在△OAO′中，∵OO′=4，AO=3，AO′=5，
∴OA2+OO′2=AO′2，
∴△AOO′为直角三角形，
∴∠AOO′=90°，
∴∠AOB=90°+60°=150°，所以③正确；
S
四边形 AOBO′=S△AOO′+S△BOO′= ×4×3+
×42=6+4
，所以④错误；
作 AH⊥BO 于 H，如图，
在 RtAOH 中，∠AOH=30°，
∴AH= OA= ，OH=
AH=
，
第 8 页，共 18 页

∴AB2=AH2+BH2=（ ）2+（4+
S△AOB= ×4× =3，
）2=25+12
，
∴S△BAO′=S 四边形 AOBO′-S△AOB=6+4 -3=3+4
即 S△BOC=3+4
，
，
∴S△AOC+S△AOB=S△ABC-S△BOC
=
（25+12
）-（3+4
）=6+
，所以⑤
正确．
故选：C．
利用等边三角形的性质得 BA=BC，∠ABC=60°，利用性质得性质得
BO=BO′=4，∠OBO′=60°，则根据旋转的定义可判断△BO′A 可以由△BOC 绕
点 B 逆时针旋转 60°得到，则可对①进行判断；再判断△BOO′为等边三角形得
到 OO′=OB=4，∠BOO′=60°，则可对②进行判断；接着根据勾股定理的逆定理
证明△AOO′为直角三角形得到∠AOO′=90°，所以∠AOB=150°，则可对③进行
判断；利用 S 四边形 AOBO′=S△AOO′+S△BOO′可对④进行判断；作 AH⊥BO 于 H，
如图，计算出 AH= ，OH=
，则 AB2=25+12
，
S
，然后 算出
=3 计
△AOB
S△BAO′=S 四边形 AOBO′-S△AOB=3+4 ，从而得到 S△BOC=3+4 ，最后利用
S△AOC+S△AOB=S△ABC-S△BOC 可对⑤进行判断．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所
连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判
定与性质和勾股定理、勾股定理的逆定理．
11.【答案】x≠1
【解析】
解：根据题意得：x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
分式的意义可知分母：就可以求出 x 的范围．
主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围
一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】勾股定理
【解析】
解：根据勾股定理的定义并结合题给图形可得，该弦图蕴含的定理是勾股定理．
故答案为：勾股定理．
根据勾股定理的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长
为 c，那么 a2+b2=c2，即可得出答案．
本题考查勾股定理的概念，属于基础题，注意掌握在任何一个直角三角形中，
两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
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13.【答案】AB=DC 或者∠A=∠D
【解析】
解：∵∠ABC=∠DCB，BC=BC，
∴当 AB=DC（SAS）或∠A=∠D（ASA）或∠BCA=∠DBC（AAS）时，
∴△ABC≌△DCB．
故填 AB=DC 或∠A=∠D．
要使△ABC≌△DCB，已知了∠ABC=∠DCB以及公共边BC，因此可以根据SAS、
AAS 分别添加一组相等的对应边或一组相等的对应角．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，不
能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
14.【答案】1、2
【解析】
解：2x-1≤3，
移项得：2x≤3+1，
合并同类项得：2x≤4，
把 x 的系数化为 1 得：x≤2，
∵x 是正整数，
∴x=1、2．
故答案为：1、2．
首先移项，合并同类项，把 x 的系数化为 1，解出不等式的解集，再从不等式
的解集中找出适合条件的正整数即可．
此题主要考查了求不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的
关键．解不等式应根据不等式的基本性质，同学们要注意在不等式两边同时
除以同一个负数时，不等号一定要改变．
15.【答案】6
【解析】
解：如图，作 DE⊥B 于 E，CH⊥BD 交 BD 的延长线于 H．
在 Rt△ABD 中，∵∠A=90°，AB=4，AD=3，
∴BD=
=5，
∵BD 平分∠ABC，DA⊥BA，DE⊥BC，
∴DA=DE=3，
∵ •BC•DE= •BD•CH，
∴CH=
=6，
故答案为 6．
首先过 D 作 DE⊥BC，CH⊥BD 交 BD 的延长线于 H．根据角平分线上的点到
角两边的距离相等可得 AD=DE=3，再利用面积法构建方程即可解决问题．
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边
的距离相等．
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16.【答案】（103，10）或（1，3）
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．①如图 1 所示，当△POQ≌△COQ
时，即 OP=OC=1，过 P 作 PE⊥OA 于 E，过 B 作 BF⊥OA 于 F，则 PE∥BF，根据
勾股定理得到 OB=
=2
，根据相似三角形的性质得到=
，OE=
，于是得到点 P 的坐标为（
，
）；②如图 2，当△POQ≌△CQO 时，
即 QP=OC=4，OP=CQ，点的四边 PQCO 是平行四边形，求得 PQ∥OA，过 P 作
PE⊥OA 于 E，过 B 作 BF⊥OA 于 F，则 PE∥BF，根据平行线分线段成比例定理
即可得到结论．
【解答】
解：以 P，O，Q 为顶点的三角形与△COQ 全等，
①如图 1 所示，当△POQ≌△COQ 时，即 OP=OC=1，过 P 作 PE⊥OA 于 E，过 B
作 BF⊥OA 于 F，则 PE∥BF，
∵B（2，6），
∴OF=2，BF=6，
∴OB=
=2
，
∵PE∥BF，
∴△POE∽△BOF，
∴
，
∴
=
=
，
∴PE=
，OE=
，
∴点 P 的坐标为（
，
）；
②如图 2，当△POQ≌△CQO 时，
即 QP=OC=4，OP=CQ，
∴四边形 PQCO 是平行四边形，
∴PQ∥OA，
过 P 作 PE⊥OA 于 E，过 B 作 BF⊥OA 于 F，则 PE∥BF，
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∵B（2，6），
∴OF=2，BF=6，
∴OB=
=2
，
∵PQ∥OA，
∴
=
，
∴PB=
∴PE=
，
，
∴点 P 是 OB 的中点，
∵PE∥BF，
∴PE= BF=3，OE= EF=1，
∴点 P 的坐标为（1，3），
综上所述，点 P 的坐标为（
，
）或（1，3）．
故答案为（
，
）或（1，3）．
17.【答案】解：设售价可以按标价打 x 折，
根据题意，得：200+200×5%≤300×x10，
解得：x≥7，
答：售价最低可按标价的 7 折．
【解析】
设售价可以按标价打 x 折，根据“保证毛利润不低于 5%”列出不等式，解之可
得．
本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴
含的不等关系，并据此列出不等式．
18.【答案】解：x+4≤3x①1+2x3＞x−1②，
解不等式①，得 x≥2，
解不等式②，得 x＜4，
所以，不等式组的解集为 2≤x＜4．
【解析】
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求
解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小
找不到（无解）．
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19.【答案】证明：连接 AC，
∵AE=CE，
∴∠BAC=∠DCA，
在△DAC 和△BCA 中
AC=AC∠DCA=∠BACCD=AB
∴△DAC≌△BCA（SAS），
∴∠D=∠B，
∵∠D+∠DAE+∠DEA=180°，∠B+∠BCE+∠BEC=180°，∠DEA=∠BEC，
∴∠DAE=∠BCE．
【解析】
根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠DCA，根据全等三角形的判定得出
△DAC≌△BCA，根据三角形的性质得出∠D=∠B，根据三角形的内角和定理求
出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理，能求出
△DAC≌△BCA 是解此题的关键．
20.【答案】解：∵AD 是 BC 边上的高，∠C=60°，
∴∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°；
在△ABC 中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE 是∠BAC 的角平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=12×80°=40°，
∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=40°-30°=10°．
【解析】
根据直角三角形两锐角互余可得∠CAD=90°-∠C，再利用三角形的内角和定理
求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠CAE，然后根据∠EAD=∠CAE-∠CAD
计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确
识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
21.【答案】（-4，1）
【解析】
解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系；
（2）如图所示，△A B C 即为所求；点 C
1
1
1
1
坐标为（-4，1），
故答案为：（-4，1）；
（3）连接 AB1 交 y 轴于 D，
则此时，△ABD 周长的值最小，
即△ABD 周长的最小值=AB+AB1，
∵AB=
=
，AB1=
=5，
∴△ABD 周长的最小值=5+
．
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（1）根据题意建立如图所示的平面直角坐标系即可；
（2）根据关于 y 轴对称的点的坐标特征即可得到结论；
（3）连接 AB1 交 y 轴于 D，根据勾股定理函数三角形的周长公式即可得到结
论．
本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，关于坐标轴对称的点的坐标特
征，正确的作出图形是解题的关键．
22.【答案】1 40
【解析】
解：（1）m=1.5-0.5=1．
∵甲车匀速行驶，
∴a=
=40．
（2）设乙行驶路程 y=kx+b，依题意得，
解得，
．
∴乙行驶路程 y=80x-160．
当 y=260km 时，80x-160=260，解得，x=5.25．
∴自变量取值范围为 2≤x≤5.25．
（3）设甲在后一段路程 y=mx+n，依题意得，
，解得
．
∴甲路程 y=40x-20（1.5≤x≤7）．
①当 1≤x≤2 时，由两车相距 50km 得，40x-20=50
解得，x= ．
②当 2＜x≤5.25 时，若两车相距 50km，则|40x-20-（80x-160）|=50
解得，x=
③当 5.25＜x≤7 时，乙车已到达目的地，两车相距 50km，则 260-（40x-20）=50
解得，x=
．
．
故答案为 ， ，
，
．
（1）用休息后出发时间减去 0.5 即为 m 的值；根据甲匀速行驶即可求出 a 的值；
（2）设乙行驶路程 y=kx+b，找出图象上（2，0）和（3.5，120）代入即可求出 k，b
值，从而求出解析式；
（3）用待定系数法求出甲路程 y 与时间 x 的关系，由“两车相距 50km”得到|列
出方程求出 x 即为答案．
本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意找出所求问题需要的条件，
第三问需要分三种情况进行讨论是本题的难点．
23.【答案】假
真
【解析】
解：（1）①等边三角形不存在“和谐分割线”，不正确，是假命题；
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割
线”，正确，是真命题，
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故答案为：假，真；
（2）Rt△ABC 存在“和谐分割线”，理由是：
如图作∠CAB 的平分线，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴DA=DB，
∴△ADB 是等腰三角形，且△ACD∽△BCA，
∴线段 AD 是△ABC 的“和谐分割线”，
AD=
=
=
．
（3）如图 3 中，分 2 种情形：
①当 DC=DB，△ACD∽△ABC 时，∠B=∠ACD=∠DCB
设∠B=x，则∠ADC=2x
∴x+2x+42=180
x=46°
可得∠B=46°．
②当 BC=BD，△ACD∽△ABC 时，
设∠B=x，则∠BDC=∠BCD=42+x
∴42+x+42+x+x=180
x=32°
可得∠B=32°．
综上所述，满足条件的∠B 的值为 46°或 32°．
（1）根据“和谐分割线”的定义即可判断；
（2）如图作∠CAB 的平分线，只要证明线段 AD 是“和谐分割线”即可，并根据
三角函数或相似求 AD 的长；
（3）分 2 种情形讨论即可；
本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性
质、“和谐分割线”的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考
问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：（1）∵点 A（4，0）、B（0，4）在直线
y=kx+b 上，
∴4k+b=0b=4，
解得：k=-1，b=4；
（2）存在两种情况：
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①如图 1，当 P 在 x 轴的正半轴上时，点 O′恰好落在直线 AB 上，则 OP=O'P，
∠BO'P=∠BOP=90°，
∵OB=OA=4，
∴△AOB 是等腰直角三角形，
∴AB=42，∠OAB=45°，
由折叠得：∠OBP=∠O'BP，BP=BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B=OB=4，
∴AO'=42-4，
Rt△PO'A 中，O'P=AO'=42-4=OP，
∴S△BOP=12OB•OP=12×4×(42−4)=82-8；
②如图所示：当 P 在 x 轴的负半轴时，
由折叠得：∠PO'B=∠POB=90°，O'B=OB=4，
∵∠BAO=45°，
∴PO'=PO=AO'=42+4，
∴S△BOP=12OB•OP=12×4×(42+4)=82+8；
（3）分 4 种情况：
①当 BQ=QP 时，如图 2，P 与 O 重合，此时点 P 的坐标为（0，0）；
②当 BP=PQ 时，如图 3，
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∵∠BPC=45°，
∴∠PQB=∠PBQ=22.5°，
∵∠OAB=45°=∠PBQ+∠APB，
∴∠APB=22.5°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB=42，
∴OP=4+42，
∴P（4+42，0）；
③当 PB=PQ 时，如图 4，此时 Q 与 C 重
合，
∵∠BPC=45°，
∴∠PBA=∠PCB=67.5°，
△PCA 中，∠APC=22.5°，
∴∠APB=45+22.5°=67.5°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AB=AP=42，
∴OP=42-4，
∴P（4-42，0）；
④当 PB=BQ 时，如图 5，此时 Q 与 A 重合，则 P 与 A 关于 y 轴对称，
∴此时 P（-4，0）；
综上，点 P 的坐标是（0，0）或（4+42，0）或（4-42，0）或（-4，0）．
【解析】
（1）用待定系数法直接求出；
（2）分 P 在 x 轴的正半轴和负半轴：①当 P 在 x 轴的正半轴时，求
OP=O'P=AO'=4
-4，根据三角形面积公式可得结论；②当 P 在 x 轴的负半轴
时，同理可得结论；
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（3）分 4 种情况：分别以 P、B、Q 三点所成的角为顶角讨论：
①当 BQ=QP 时，如图 2，P 与 O 重合，②当 BP=PQ 时，如图 3，③当 PB=PQ
时，如图 4，此时 Q 与 C 重合④当 PB=BQ 时，如图 5，此时 Q 与 A 重合，则 P
与 A 关于 y 轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点 P 的坐标．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式及等腰
三角形的判定，并注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 点 P（-2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
D. 第四象限
2. 已知 a＞b，若 c 是任意实数，则下列不等式中总成立的是（ ）
A. a+cb−c C. acbc
3. 若下列各组值代表线段的长度，以它们为边不能构成三角形的是（ ）
A. 3，8，4 B. 4，9，6 C. 15，20，8 D. 9，15，8
4. 若点（m，n）在函数 y=2x+1 的图象上，则 2m-n 的值是（ ）
B. −2 D. −1
5. 将点 A（2，1）向左平移 2 个单位长度得到点 A′，则点 A′的坐标是（ ）
A. 2
C. 1
C. (4,1)
A. (2,3)
6. 下列函数中，y 随 x 的增大而减小的函数是（ ）
A. y=2x+8 B. y=−2+4x C. y=−2x+8
B. (2,−1)
D. (0,1)
D. y=4x
7. 等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A. 16
8. 已知 0≤a-b≤1 且 1≤a+b≤4，则 a 的取值范围是（ ）
A. 1≤a≤2 B. 2≤a≤3 C. 12≤a≤52
B. 18
C. 20
D. 16 或 20
D. 32≤a≤52
9. 根据图（1）可以得到如图（2）的 y 与 x 之间关系，那么 m，n 的值是（ ）
A. −3，3
B. 3，−3
C. 3，3
D. −3，−3
10. 如图，利用尺规作图法作点 O，使得点 O 到△ABC 的三个顶点的距离相等，小明尝
试了多种作法，其中正确的是（ ）
A.
C.
B.
D.
二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
11. 不等式 x+2＞6 的解集为______．
12. 如图，AF=DC，BC∥EF，使得△ABC≌△DEF，则只需添加条件______．
第 1 页，共 13 页

13. 已知点（3，5）在直线 y=ax+b（a，b 为常数，且 a≠0）上，则 ab−5 的值为
______．
14. 如图，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=______．
15. 已知点 A（1，5），B（3，1），点 M 在 x 轴上，当 AM-BM 最大时，点 M 的坐标
为______．
16. 已知△ABC 中，AC=2，∠C=30°，点 M 为边 AC 中点，把△BCM 沿中线 BM 对折后
与△ABM 重叠部分的面积为原△ABC 面积的 14，则原△ABC 的面积是______．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分）
17. 解不等式（组）
（1）2x+3>53x−2<4
（2）2x−1≥x+lx+8≤4x−1
四、解答题（本大题共 7 小题，共 58.0 分）
18. 已知等边△ABC 的边长为 4，在答题卷的网格内建立适当的直角坐标系，然后写出
顶点 C 的坐标．
19. 如图，已知 AD=BD，AC=BC，AC 与 BD 交于点 O，求证：
（1）△ADC≌△BDC．
第 2 页，共 13 页

（2）CD 垂直平分 AB．
20. 已知线段 a，h（如图），求作等腰三角形 ABC，使得底边 BC=a，
BC 边上的高线长为 h（保留作图痕迹，不写作法）
21. 把直线 y═-x+3 向上平移 m 个单位后，与直线 y=2x+4 的交点为点 P．
（1）求点 P 坐标．（用含 m 的代数式表示）
（2）若点 P 在第一象限，求 m 的取值范围．
22. 如图，已知一对变量 x，y 满足图示中的函数关系．
（1）根据函数图象，求 y 关于 x 的函数关系式；
（2）请你编写一个问题情景，使问题中出现的变量 x，y
满足图示的函数关系．
第 3 页，共 13 页

23. （1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边 AB 上一动点（点 D 与点 A 不重合），
连接 DC，以 DC 为边在 DC 下方作等边△DCE，连接 BE．你能发现线段 AD 与 BE
之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点 D 运动至等边△ABC 边 AB 的延长线上时，其他
作法与（1）相同，猜想 AD 与 BE 在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点 D 在等边△ABC 边 AB 上运动时（点 D 与点 A 不重合），连接
CD，以 CD 为边在 DC 下方、上方分别作等边△DCE 和等边△DCF，连 接 AF，BE．探
究 AF，BE 与 AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．当动点 D 在边 AB 所在直线上运动时（不含边 AB 上的点），其他作法与图③
相同，I 中的结论是否成立？若成立，请给出你的证明．若不成立，请画出图并直
接写出新结论．
24. 已知关于 x 的一次函数 y1=-mx+3m 的图象与 x 轴，y 轴分别
交于 A，B 两点，过点 B 作直线 y2=-x 的垂线，垂足为 M，连
结 AM．
（1）求点 A 的坐标；
（2）当△ABM 为直角三角形时，求点 M 的坐标；
（3）求△ABM 的面积（用含 m 的代数式表示，写出 m 相应
的取值范围）．
第 4 页，共 13 页

答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：点 P（-2，1）在第二象限．
故选：B．
根据各象限点的坐标的特点解答．
本题考查了点的坐标，熟记四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二
象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】
解：A、∵a＞b，c 是任意实数，∴a+c＞b+c，故本选项错误；
B、∵a＞b，c 是任意实数，∴a-c＞b-c，故本选项正确；
C、当 a＞b，c＜0 时，ac＜bc，而此题 c 是任意实数，故本选项错误；
D、当 a＞b，c＞0 时，ac＞bc，而此题 c 是任意实数，故本选项错误；
故选：B．
根据不等式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了不等式的性质，注意解此题的关键是掌握不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】A
【解析】
解：A、3+4＜8，则不能构成三角形，故此选项正确；
B、6+4＞9，则能构成三角形，故此选项错误；
C、15+8＞20，则能构成三角形，故此选项错误；
D、8+9＞15，则能构成三角形，故此选项错误；
故选：A．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”
进行分析．
此题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看其中较
小的两个数的和是否大于第三个数即可．
4.【答案】D
【解析】
解：将点（m，n）代入函数 y=2x+1 得，
n=2m+1，
整理得，2m-n=-1．
故选：D．
将点（m，n）代入函数 y=2x+1，得到 m 和 n 的关系式，再代入 2m-n 即可解答．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确，一次函数图象上的点的
坐标符合函数解析式．
5.【答案】D
【解析】
解：点 A（2，1）向左平移 2 个单位长度，
则 2-2=0，
∴点 A′的坐标为（0，1）．
故选：D．
根据向左平移，横坐标减，纵坐标不变解答．
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本题考查了平移与坐标与图形的变化，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右
移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：A、B、D 选项中的函数解析式 k 值都是正数，y 随 x 的增大而增大，
C 选项 y=-2x+8 中，k=-2＜0，y 随 x 的增大而减少．
故选：C．
根据一次函数的性质，k＜0，y 随 x 的增大而减小，找出各选项中 k 值小于 0
的选项即可．
本题考查了一次函数的性质，主要利用了当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大；当
k＜0 时，y 随 x 的增大而减小．
7.【答案】C
【解析】
解：①当 4 为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当 8 为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选：C．
由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不
要漏解．
8.【答案】C
【解析】
解：0≤a-b≤1①，
1≤a+b≤4②，
①+②得 1≤2a≤5，
0.5≤a≤2.5，
故选：C．
根据不等式的性质，将两个不等式相加，即可得出 a 的取值范围．
本题考查了利用不等式的基本性质解不等式的能力．
9.【答案】B
【解析】
解：根据题意得：y=mx+n，
∵从图象可知：图象过点（1，0）和（0，3），
∴代入得：
，
解得：m=-3，n=3，
故选：B．
根据已知得出 y=mx+n，图象过点（1，0）和（0，3），把点的坐标代入函数解析式，
即可求出答案．
本题考查了求出代数式的值和函数图象上点的坐标特征，能根据图象读出正
确信息是解此题的关键．
10.【答案】B
【解析】
解：∴点 O 到△ABC 的三个顶点的距离相等，
∴点 O 为△ABC 的角平分线的交点，
根据作法可判断 B 选项正确．
故选：B．
先判断点 O 为△ABC 的角平分线的交点，然后基本作图对各选项进行判断．
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本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉
基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，
逐步操作．
11.【答案】x＞4
【解析】
解：移项得，x＞6-2，
合并同类项得，x＞4．
故答案为：x＞4．
根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项即可．
本题考查了解一元一次不等式，比较简单，注意移项要变号．
12.【答案】EF=BC
【解析】
解：添加的条件：EF=BC，
∵BC∥EF，
∴∠EFD=∠BCA，
∵AF=DC，
∴AF+FC=CD+FC，
即 AC=FD，
在△EFD 和△BCA 中
，
∴△EFD≌△BCA（SAS）．
故选：EF=BC．
添加的条件：EF=BC，再根据 AF=DC 可得 AC=FD，然后根据 BC∥EF 可得
∠EFD=∠BCA，再根据 SAS 判定△ABC≌△DEF．
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
13.【答案】-13
【解析】
解：∵点（3，5）在直线 y=ax+b 上，
∴5=3a+b，
∴b-5=-3a，
则
=
=
．
故答案为：- ．
将点（3，5）代入直线解析式，可得出 b-5 的值，继而代入可得出答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意直线上点的坐标满足直线解
析式．
14.【答案】40°
【解析】
解：∵AB=AD，∠BAD=20°，
∴∠B=
=
=80°，
∵∠ADC 是△ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，
∵AD=DC，
第 7 页，共 13 页

∴∠C=
=
=40°．
先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B 的度数，再根据三
角形外角的性质可求出∠ADC 的度数，再由三角形内角和定理解答即可．
本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属
较简单题目．
15.【答案】（72，0）
【解析】
解：设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，
把 A（1，5），B（3，1）代入得：
，
解得：k=-2，b=7，
即直线 AB 的解析式是 y=-2x+7，
把 y=0 代入得：-2x+7=0，
x= ，
即 M 的坐标是（ ，0），
故答案为（ ，0）．
连接 AB 并延长与 x 轴的交点 M，即为所求的点．求出直线 AB 的解析式，求
出直线 AB 和 x 轴的交点坐标即可．
本题考查了轴对称，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用，关
键是找出 M 的位置．
16.【答案】32 或 12
【解析】
解：分两种情形：如图 1 中，当重叠部分是△BMK 时，由题意 MK=AK．
作 MH⊥BC′于 H．
∵∠C′=∠C=30°，∠MHC′=90°，
∴MH= MC′，
∵CM=MA=C′M=2MK，
∴MH=MK，
∴点 H 与点 K 重合，
∴∠BKM=90°，
∴CK= ，
∴BK=
，
第 8 页，共 13 页

∴S△ABC= •AC•BK= ×2×
=
．
如图 2 中，当重叠部分是△BMK 时，易知 BK=AK．作 BH⊥AC 于 H．
∵CM=MA，BK=AK，
∴MC′∥CB，
∴∠CMB=∠C′MB=∠CBM，
∴CB=AM=MA=1，
∵∠C=30°，
∴BH= BC= ，
∴S△ABC= •AC•BH= ×
故答案为 或 ．
= ，
分两种情形分别画出图形求解即可．
本题考查翻折变换，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17.【答案】解：（1）
，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＜2，
所以不等式组的解集为：1＜x＜2；
（2）
，
解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x≥3，
所以不等式组的解集为：x≥3．
【解析】
（1）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律确定解集即可．
（2）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律确定解集即可．
本题考查了不等式的性质，解一元一
次不等式组，关键是能根据不等式的
解集找出不等式组的解集．解集的
规律：同大取大；同小取小；大小小大
中间找；大大小小找不到．
18.【答案】解：如图，以△ABC 的顶点 A
为原点，边 AB 所在的直线为 x 轴建立平
面直角坐标系，
第 9 页，

则 A（0，0），B（4，0），
过 C 作 CD⊥AB 于 D，
∴AD=12AB=2，CD=32AC=23，
∴顶点 C 的坐标为（2，23）．
【解析】
以△ABC 的顶点 A 为原点，边 AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
则 A（0，0），B（4，0），过 C 作 CD⊥AB 于 D，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质，正确的建立平面直角坐标
系是解题的关键．
19.【答案】证明：（1）在△ADC 与△BDC 中
AD=BDAC=BCDC=DC，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
（2）∵△ADC≌△BDC，
∴∠ADC=∠BDC，
在△ADO 与△BDO 中
AD=DB∠ADO=∠BDODO=DO，
∴△ADO≌△BDO（SAS），
∴AO=OB，∠AOD=∠BOD=90°，
∴CD 垂直平分 AB．
【解析】
（1）根据 SSS 定理推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ADC=∠BDC，在证明△ADO 与△BDO 全等，
根据全等三角形的性质得出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出△ABC≌△ADC 是解此题的关
键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
20.【答案】解：如图所示：△ABC 即为所求．
．
【解析】
首先作线段 BC=a，再作 BC 的垂直平分线，然后在 NM 上截取 AD=h．
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线的做法．
21.【答案】解：（1）直线 y=-x+3 向上平移 m 个单位后可得：y=-x+3+m，
联立两直线解析式得：y=−x+3+my=2x+4，
解得：x=m−13y=2m+103，
即交点 P 的坐标为（m−13，2m+103）；
（2）∵点 P 在第一象限，
∴m−13＞02m+103＞0，
第 10 页，共 13 页

解得：m＞1．
【解析】
（1）根据“上加下减”的平移规律求出直线 y=-x+3 向上平移 m 个单位后的解析
式，再与直线 y=2x+4 联立，得到方程组，求出方程组的解即可得到交点 P 的
坐标；
（2）根据第一象限内点的坐标特征列出不等式组，求解即可得出 m 的取值范
围．
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的
点的横坐标大于 0、纵坐标大于 0．
22.【答案】解：（1）①当 0≤x6 时，设 y=kx+b，把（0，12）、（6，10）代入得
12=b10=6k+b
解得 k=−13，b=12，
∴y=-13x+12；
②当 6≤x≤8 时，y=10；
③当 8≤x≤12 时，设 y=kx+b，把（8，10）、（12，0）代入得
10=8k+b0=12k+b
解得 k=-52，b=30，
所以 y=-52x+30；
（2）小明从距离学校 12 千米的图书馆去上学，前 6 分钟以不变的速度走了两千米，遇
到同学交谈了 2 分钟后加快速度匀速赶往学校，12 分钟后到达学校．
【解析】
（1）分三部分，用待定系数法求解；
（2）编的问题满足递减、不变、再加速递减即可．
本题主要考查一次函数的图象性质．分段计算表达式是解答关键．
23.【答案】解：（1）AD=BE，理由是：
如图①，∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD 和△BCE 中，
∵AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）猜想：AD=BE，
理由是：如图②，∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD 和△BCE 中，
∵AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（3）I、AF+BE=AB，理由是：
如图③，∵△ABC 和△CDF 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°，
∴∠ACF=∠BCD，
第 11 页，共 13 页

在△ACF 和△BCD 中，
∵AC=BC∠ACF=∠BCDCD=CE，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴AF=BD，
由（1）知：AD=BE，
∴AB=AD+BD=BE+AF；
II、如下图所示，I 中的结论不成立，存在新的结论：BE-AF=AB，理由是：
同理得：△ACF≌△BCD，△ACD≌△BCE，
∴AF=BD，AD=BE，
∴BE=AD=BD+AB，
∴BE-AF=AB．
【解析】
（1）根据等边三角形的性质可得 AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，再求出
∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD 和△BCE 全等，根据全等三角形
对应边相等证明即可；
（2）根据等边三角形的性质可得 AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，再求出
∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD 和△BCE 全等，根据全等三角形
对应边相等证明即可；
（3）I、先证明△ACF≌△BCD，同理得△ACD 和△BCE 全等，所以 AF=BD，
AD=BE，相加可得结论；
II、同理得：△ACF≌△BCD，△ACD≌△BCE，所以 AF=BD，AD=BE，即可得解．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性
质，熟记等边三角形的性质求出三角形全等的条件是解题的关键．
24.【答案】解：（1）当 y1=0 时，-mx+3m=0，
解得，x=3，
∴点 A 的坐标为（3，0）；
（2）△ABM 为直角三角形时，∵∠BMA＜90°，∠BAM＜90°，
∴∠ABM=90°，
∵BM⊥直线 y2=-x，
∴直线 y =-mx+3m∥直线 y =-x，
1
2
∴m=1，
则 OB=3m=3，
∴OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠OBM=45°，
作 MH⊥OB 于 H，
则 MH=OH=12OB=32，
第 12 页，共 13 页

∴点 M 的坐标为（-32，32）；
（3）∵直线 y2=-x 与 y 轴的夹角是 45°，
∴∠MOB=45°，
∴OH=MH=12OB=-32m，
则△ABM 的面积=△OBM 的面积+△ABO 的面积-△AOM 的面积
=12×3m×32m+12×3×3m-12×3×32m
=94m2+94m（m＞0）．
【解析】
（1）根据 x 轴上点的坐标特征计算，求出点 A 的坐标；
（2）根据两直线平行求出 m 的值，根据等腰直角三角形的性质计算；
（3）根据直角三角形的性质得到 OH= m，根据三角形的面积公式计算，得到
答案．
本题考查的是一次函数的性质、等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角
形的性质、一次函数的平移规律是解题的关键．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 下列各点中在第四象限的是（ ）
A. (−2,−3)
B. (−2,3)
C. (3,−2)
D. (3,2)
2. 若三角形的两边长为 2 和 3，则第三边长可以是（ ）
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
3. 不等式 x≥-1 的解在数轴上表示为（ ）
A.
C.
B.
D.
4. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行
B. 等腰三角形底边上的高线和中线相互重合
C. 等腰三角形的两个底角相等
D. 周长相等的两个三角形全等
5. 如图，已知 OD=OE，那么添加下列条件后，仍无法判定△OBD≌△OCE 的是（ ）
A. 푂퐵 = 푂퐶
B. ∠퐷 = ∠퐸
D. 퐵퐷 = 퐶퐸
C. ∠퐷퐵푂 = ∠퐸퐶푂
6. 直角坐标系中，点 P（2，-4）先向右平移 4 个单位后的坐标是（ ）
A. (2,0) B. (2,−8) C. (6,−4) D. (−2,−4)
第 1 页，共 17 页

2푥 + 2 > 3푥
푥 < 3
不等式组{
的解集是（ ）
7.
A. 푥 < 2
B. 푥 < 3
C. 2 < 푥 < 3
D. 无解
8. 已知点 A（k，10）在直线 y=kx+1 上，且 y 随 x 的增大而减小，则 k 的值为（ ）
B. −3 C. −9 D. ± 3
A. 3
9. 庆元大道两侧需要绿化，某绿化组承担了此项任务，
绿化组工作一段时间后，提高了工作效率，该绿化组
完成的绿化面积 S（单位 m2）与工作时间 t（ 单位：h）之
间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每
小时完成的绿化面积是（ ）
A. 200
B. 300
C. 400
D. 500
10. 如图，在等腰直角△ABC 中，腰长 AB=4，点 D 在 CA 的延长线
上，∠BDA=30°，则△ABD 的面积是（ ）
A. 4 3−4
B. 8 3−4
C. 4 3−8
D. 8 3−8
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
11. 点（1，-3）关于 y 轴的对称点坐标是______．
12. 函数 y=-x+4 经过的象限是______．
13. 如图，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠B=70°，则
∠C=______．
14. 用不等式表示“x 的 2 倍与 3 的和大于 10”是______．
15. 直角三角形两直角边长分别为 3 和 4，则它斜边上的高为______．
16. 如图，以矩形 ABCD 的相邻边建立直角坐标系，AB=3，
BC=5．点 E 是边 CD 上一点，将△ADE 沿着 AE 翻折，
点 D 恰好落在 BC 边上，记为 F．
（1）求折痕 AE 所在直线的函数解析式______；
第 2 页，共 17 页

（2）若把翻折后的矩形沿 y 轴正半轴向上平移 m 个单位，连结 OF，若△OAF 是等腰
三角形，则 m 的值是______，
三、解答题（本大题共 8 小题，共 52.0 分）
17. 解不等式：3x＞2（x-1）+2
18. 如图，在 8×8 的方格纸中，△ABC 是格点三角形，且 A
（-2，4），C（0，3）．
（1）在 8×8 的方格纸中建立平面直角坐标系，并求出 B
点坐标；
（2）求△ABC 的面积．
19. 已知∠O 及其两边上点 A 和 B（如图），用直尺和圆规作一
点 P，使点 P 到∠O 的两边距离相等，且到点 A，B 的距离
也相等．（保留作图痕迹）
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20. 如图，一次函数 y=kx+b 图象经过（1，6），（-1，2）
（1）求 k，b 的值；
（2）若 y＞0，求 x 的取值范围．
21. 已知，如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D
是 BC 上任意一点，过 B 作 BE⊥AD 于点 E，过 C 作
CF⊥AD 于点 F．
求证：BE=CF+EF．
22. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6cm，动点 P 从 A 点出发，在正方形的边上由
A→B→C→D 运动，设运动的时间为 t（s），△APD 的面积为 S（cm2），S 与 t 的
函数图象如图所示
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（1）求点 P 在 BC 上运动的时间范围；
（2）当 t 为何值时，△APD 的面积为 10cm2．
23. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，∠C=30°，∠ABC=45°，BE 是 AC
边上的中线．
（1）求证：AC=2BD；
（2）求∠CBE 的度数；
1
（3）若点 E 到边 BC 的距离为 ，求 BC 的长．
2
24. 如图，一次函数y=-2x+4 与x 轴y 轴相交于A，B 两点，点C
在线段AB 上，且∠COA=45°．
（1）求点 A，B 的坐标；
（2）求△AOC 的面积；
（3）直线 OC 上有一动点 D，过点 D 作直线 l（不与直
线 AB 重合）与 x，y 轴分别交于点 E，F，当△OEF 与△ABO
全等时，求直线 EF 的解析式．
第 5 页，共 17 页

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答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：A．（-2，-3）在第三象限；
B．（-2，3）在第二象限；
C．（3，-2）在第四象限；
D．（3，2）在第一象限；
故选：C．
根据第四象限点的坐标特点，在选项中找到横坐标为正，纵坐标为负的点即
可．
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，用到的
知识点为：点在第四象限内，那么横坐标大于 0，纵坐标小于 0．
2.【答案】B
【解析】
解：∵三角形的两边长为 3 和 2，
∴第三边 x 的长度范围是 3-2＜x＜3+2，即 1＜x＜5，
观察选项，只有选项 B 符合题意．
故选：B．
根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，即可解答．
本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和
大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】
解：不等式 x≥-1 的解在数轴上表示为
故选：A．
，
根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．
本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折
线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画
折线．
4.【答案】D
【解析】
解：A、同位角相等，两直线平行，正确，是真命题；
B、等腰三角形底边上的高线和中线互相重合，正确，是真命题；
C、等腰三角形的两个底角相等，正确，是真命题；
D、周长相等的两个三角形不一定确定，故错误，是假命题，
故选：D．
利用平行线的判定、等腰三角形的性质及全等三角形的性质分别判断后即可
确定正确的选项．
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本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、等腰三角形
的性质及全等三角形的性质，难度不大．
5.【答案】D
【解析】
解：A、添加 OB=OC，根据 SAS 可以判定△OBD≌△OCE．
B、添加∠D=∠E，根据 ASA 可以判定△OBD≌△OCE．
C、添加∠DBO=∠ECO，根据 SAS 可以判定△OBD≌△OCE．
D、添加 BD=EC，无法判定△OBD≌△OCE．
故选：D．
根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角
形的判定方法．
6.【答案】C
【解析】
解：点 P（2，-4）先向右平移 4 个单位后的坐标是（2+4，-4），即（6，-4）．
故选：C．
根据向右平移横坐标加列式计算即可得解．
本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左
移减；纵坐标上移加，下移减．
7.【答案】A
【解析】
解：
，
由①得：x＜2，
由②得：x＜3．
则不等式组的解集是：x＜2．
故选：A．
首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其
中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
8.【答案】B
【解析】
解：把 A（k，10）在直线 y=kx+1 上，10=k2+1=9，解得
k=±3．
∵y 随 x 的增大而减小，
∴k=-3．
故选：B．
点 A（k，10）在直线 y=kx+1 上，求出 k 的值．由于 y 随 x 的增大而减小，故 k＜
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0．
本题考查了一次函数的性质，以及性质与一次函数系数之间的联系．
9.【答案】B
【解析】
解：从图象可以知 2 至 5 时的函数图象经过（4，1600）（5，2100）
设该时段的一次函数解析式为 y=kx+b（x≥2），依题意，将点（4，1600）（5，
2100）分别代入，
可列方程组有
，解得：
∴一次函数的解析式为：y=500x-400
∴当 x=2 时，解得 y=600．
∴前两小时每小时完成的绿化面积是 600÷2=300（m2）
故选：B．
此题只要能求出 2 至 5 小时的一次函数解析式，从而求出当 x=2 时的纵坐标，
除以 2 即可．
此题主要考查求一次函数的解析式与函数的图象的关系．只要能根据两点代
入一次函数的解析式 y=kx+b 中列出方程组分别求出 k，b 值即可
10.【答案】A
【解析】
解：如图，作 BH⊥AC 于 H．
∵BA=BC=4，∠ABC=90°，BH⊥AC，
∴AC=
=4
，AH=CH=BH=2
，
在 Rt△BDH 中，∵∠BHD=90°，∠D=30°，
∴DH=
BH=2
-2
，
∴AD=2
，
∴S△ADB= •AD•BH=
故选：A．
-2
）•2
=4
-4，
如图，作 BH⊥AC 于 H．想办法求出 AD．BH 即可解决问题．
本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
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11.【答案】（-1，-3）
【解析】
解：点（1，-3）关于 y 轴的对称点坐标是（-1，-3），
故答案为：（-1，-3）．
根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点
的坐标规律：
（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
12.【答案】第一、二、四象限
【解析】
【分析】
此题考查一次函数的性质，能够根据 k，b 的符号正确判断直线所经过的象
限．掌握 k＜0，b＞0 时，直线 y=kx+b 经过第一、二、四象限是解题的关键．
根据 k，b 的符号判断一次函数 y=-x+4 的图象所经过的象限．
【解答】
解：由题意，得：k=-1＜0，b=4＞0，
所以函数 y=-x+4 经过第一、二、四象限．
故答案为第一、二、四象限．
13.【答案】35°
【解析】
解：∵△ABD 中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°-∠ADC）÷2=（180°-110°）÷2=35°，
故答案为：35°
先根据等腰三角形的性质求出∠ADB 的度数，再由平角的定义得出∠ADC 的
度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题
的关键．
14.【答案】2x+3＞10
【解析】
解：∵x 的 2 倍为 2x，
∴x 的 2 倍与 3 的和大于 10 可表示为：2x+3＞10．
故答案为：2x+3＞10．
由 x 的 2 倍与 3 的和大于 10 得出关系式为：x 的 2 倍+3＞10，把相关数值代
入即可．
第 10 页，共 17 页

此题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先
后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不
等式．
12
15.【答案】
5
【解析】
解：设斜边长为 c，高为 h．
由勾股定理可得：c2=32+42
则 c=5，
，
直角三角形面积 S= ×3×4= ×c×h
可得 h=
，
故答案为：
．
根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边上的高．
本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长及利用面积法求直角三角形
的高，是解此类题目常用的方法．
1
7
6
16.【答案】y=- x+3 3 或 2 或
3
【解析】
解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=CB=5，AB=DC=3，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
由折叠对称性：AF=AD=5，EF=DE，
在 Rt△ABF 中，BF=
=4，
∴CF=1，
设 EC=x，则 EF=3-x，
在 Rt△ECF 中，1
解得：x= ，
2+x2= 3-x 2
） ，
（
∴E 点坐标为：（5， ），
∴设 AE 所在直线解析式为：y=ax+b，
则
，
解得：
，
∴AE 所在直线解析式为：y=- x+3；
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故答案为：y=- x+3；
（2）分三种情况讨论：
若 AO=AF=BC=5，
∴BO=AO-AB=2，
∴m=2；
若 OF=FA，则 AB=OB=3，
∴m=3，
若 AO=OF，
在 Rt△OBF 中，AO2=OB2+BF2=m2+16
∴（m+3）2=m2+16，
，
解得：m= ，
综上所述，若△OAF 是等腰三角形，m 的值为 3 或 2 或 ．
故答案为：3 或 2 或 ．
（1）根据四边形 ABCD 是矩形以及由折叠对称性得出 AF=AD=5，EF=DE，进
而求出 BF 的长，即可得出 E 点的坐标，进而得出 AE 所在直线的解析式；
（2）分三种情况讨论：若 AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可．
此题是四边形综合题，主要考查了待定系数法，折叠的性质，勾股定理，等腰
三角形的性质，正确的理解题意是解本题的关键．
17.【答案】解：3x＞2（x-1）+2，
3x＞2x-2+2，
3x-2x＞0，
x＞0．
【解析】
去括号，移项、合并同类项即可求出解集．．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：（1）平面直角坐标系如图所示，B（-4，1）．
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1
1
1
（2）S△ABC=3×4- ×2×3- ×2×1- ×2×4=4．
2
2
2
【解析】
（1）根据 A，C 两点坐标确定平面直角坐标系即可解决问题．
（2）利用分割法求三角形的面积即可．
本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】解：如图所示，点 P 即为所求．
【解析】
作线段 AB 的中垂线和∠AOB 的平分线，两者的交点即为所求点 P．
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线和角平分线的尺
规作图和性质．
푘 + 푏 = 6
−푘 + 푏 = 2
20.【答案】解：（1）把（1，6），（-1，2）代入 y=kx+b 中，可得：{
，
解得：k=2，b=4，
（2）由（1）可得直线的解析式为：y=2x+4，
根据题意可得：2x+4＞0，
解得：x＞-2．
【解析】
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式，进而得出 k，b 的值；
（2）根据（1）的结果，写出不等式，解不等式即可．
主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的
方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字
母的值就是求关于字母系数的方程的解．
21.【答案】证明：∵∠BAC=90°，且 BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠FAC，
∴∠ABE=∠FAC；
在△ABE 与△CAF 中，
∠퐴퐵퐸 = ∠퐹퐴퐶
{
∠퐴퐸퐵 = ∠퐶퐹퐴
，
퐴퐵 = 퐴퐶
第 13 页，共 17 页

∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF，
∴EF=BE-CF，
即 BE=CF+EF．
【解析】
证明△ABE≌△CAF，得到 BE=AF，AE=CF，故 EF=BE-CF，即 BE=CF+EF．
该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入
观察图形结构特点，准确找出图形中隐含的相等或全等关系．
22.【答案】解：（1）根据图象得：点 P 在 BC 上运动的时间范围为 6≤t≤12；
1
（2）点 P 在 AB 上时，△APD 的面积 S= ×6×t=3t；
2
1
点 P 在 BC 时，△APD 的面积= ×6×6=18；
2
1
1
点 P 在 CD 上时，PD=6-2（t-12）=30-2t，△APD 的面积 S= AD•PD= ×6×（30-2t）
2
2
=90-6t；
∴当 0≤t≤6 时，S=3t，△APD 的面积为 10cm2，即 S=10 时，
10
3t=10，t= ，
3
40
当 12≤t≤15 时，90-6t=10，t= ，
3
10
40
∴当 t 为 s 或 s 时，△APD 的面积为 10cm2．
3
3
【解析】
（1）根据图象即可得出结果；
（2）分别求出点 P 在 AB 上时，△APD 的面积为 S=3t；点 P 在 BC 时，△APD 的
面积为 18；点 P 在 CD 上时，△APD 的面积为 90-6t，根据题意得出方程求出 t
的值即可．
本题考查了动点问题的函数图象以及正方形的性质；解题的关键是要分析题
意根据实际意义求解．注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论问题是
解决实际问题的基本能力．
23.【答案】（1）证明：在 Rt△ACD 中，∠ADC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AD，
在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴AD=BD，
∴AC=2BD；
（2）解：连接 DE，
∵∠ADC=90°，BE 是 AC 边上的中线，
1
∴DE=EC= AC，
2
第 14 页，共 17 页

∴DE=DB，∠EDC=∠C=30°，
1
∴∠EBC= ∠EDC=15°；
2
（3）作 EF⊥BC 于 F，
则 EC=2EF=1，
∴AC=2，BD=AD=1，
由勾股定理得，CD= 퐴퐶2−퐴퐷2
∴BC=BD+CD=1+ 3．
【解析】
=
3
，
（1）根据直角三角形的性质得到 AC=2AD，AD=BD，证明结论；
（2）连接 DE，根据直角三角形的性质得到 DE=EC= AC，根据等腰三角形的
性质计算即可；
（3）作 EF⊥BC 于 F，根据直角三角形的性质求出 EC，根据勾股定理计算，得
到答案．
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，掌握勾股定理、直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
24.【答案】解：（1）在直线 y=-2x+4 中，当 x=0 时 y=4，
则 B（0，4），
当 y=0 时，-2x+4=0，
解得 x=2，
则 A（2，0）；
（2）设 C（a，-2a+4），
如图 1，过点 C 作 CM⊥OA 于点 M，
∵∠COA=45°，
∴OM=CM，
则 a=-2a+4，
4
解得 a= ，
3
4
∴CM=OM= ，
3
1
1
4 4
∴S△AOC= OA•CM= ×2× = ；
2
2
3 3
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（3）设直线 EF 解析式为 y=kx+b，
如图 2，
①当△AOB≌△F OE 时，OB=OE =4，OA=OF =2，
1
1
1
1
则 E （4，0），F （0，2），
1
1
4푘 + 푏 = 0
푏 = 2
代入 y=kx+b 得{
，
解得{푘 = −1
2，
푏 = 2
1
此时直线 EF 解析式为 y=- x+2，
2
1
同理直线 EF 关于 x 轴的对称直线 y= x-2 也符合题意；
2
②当△AOB≌△E OF 时，OB=OF =4，OA=OE =2，
2
2
2
2
则 E （-2，0），F （0，-4），
2
2
−2푘 + 푏 = 0
푏 = −4
代入 y=kx+b，得：{
，
푘 = −2
푏 = −4
解得{
，
此时直线 EF 解析式为 y=-2x-4，
同理直线 EF 关于 y 轴的对称直线 y=2x-4 和关于 x 轴的对称直线 y=-2x+4 也符合要求；
③当△AOB≌△F OE 时，OB=OE =4，OA=OF =2，
3
3
3
3
则 E （-4，0），F （0，-2），
1
1
−4푘 + 푏 = 0
푏 = −2
代入 y=kx+b，得：{
，
解得{푘 = −1
2 ，
푏 = −2
1
此时直线 EF 解析式为 y=- x-2，
2
1
同理直线 EF 关于 x 轴的对称直线 y= x+2 也符合要求；
2
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1
1
1
综上，直线 EF 的解析式为 y=- x+2 或 y=-2x-4 或 y=2x-4 或-2x+4 或 y=- x-2 或 y= x-2 或 y=
2
2
2
1
2
x+2．
【解析】
（1）求出 x=0 时 y 的值和 y=0 时 x 的值即可得；
（2）设 C（a，-2a+4），作 CM⊥OA，由∠COA=45°知 OM=CM，据此可得
a=-2a+4，求出 a 的值后得出 CM=OM= ，再根据三角形面积公式可得答案；
（3）分 E、F 在 x、y 轴的正半轴和负半轴的情况，依据△AOB≌△F OE 、
1
1
△AOB≌△E OF 、△AOB≌△F OE 得出 OE、OF 的长，从而得出点 E 和点 F 的
2
2
3
3
坐标，再利用待定系数法求解可得．
本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特
征、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及待定系数法
求函数解析式等知识点．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
1. 下面四个汽车标志图标中，不是轴对称图形的为（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，6，11
3. 已知 a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A. ac>bc B. −2a>−2b C. −a>−b
D. 4，5，10
D. a−2>b−2
4. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的是（ ）
A. ∠1=50∘，∠2=40∘
C. ∠1=30∘，∠2=60∘
B. ∠1=40∘，∠2=50∘
D. ∠1=∠2=45∘
6. 如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，则从下列条件
中补选一个，错误的选法是（ ）
A. ∠ADB=∠ADC
C. ∠B=∠C
B. DB=DC
D. AB=AC
7. 如图为一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确
的是（ ）
A. k>0，b>0
B. k>0，b<0
C. k<0，b>0
D. k<0，b<0
8. 将一个有45°角的三角板的直角顶点C放在一张宽为5cm
的纸带边沿上，另一个顶点 B 在纸带的另一边沿上，测得
∠DBC=30°，则三角板的最大边的长为（ ）
A. 5cm
B. 10cm
C. 102cm
9. 有下列说法：①有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形；②三边分别是 1，10，3
的三角形是直角三角形；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三个角之
比为 3：4：5 的三角形是直角三角形，其中正确的有（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
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10. 某次知识竞赛试卷有 20 道题，评分办法是答对一道记 5 分，不答记 0 分，答错一
道扣 2 分，小明有 3 道题没答，但成绩超过 60 分，则小明至少答对了（）道题．
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
11. 直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将△ABC 按如图那样折叠，使点 A
与点 B 重合，折痕为 DE，则 DE 的长为（ ）
A. 154
B. 5
C. 74
D. 254
12. 在等腰三角形△ABC（AB=AC，∠BAC=120°）所在平面上有一点P，使得△PAB，△PBC，
△PAC 都是等腰三角形，则满足此条件的点 P 有（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
13. 已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是
______．
14. 若点 A（2，n）在 x 轴上，则点 B（n+2，n-5）位于第______象限．
15. 如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，BD是角平分线，BD=5，BC=4，
则 D 点到 AB 的距离是______．
16. 已知一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则不等式 kx+b≥4 的解是
______．
17. 如图，在锐角△ABC 中，AB=52，∠BAC=45°，∠BAC
的平分线交 BC 于点 D，M，N 分别是 AD，AB 上的动点，
则BM+MN的最小值是______．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，2），B（2，0），C 是线段 AB 的中点，D
是 x 轴上的一个动点，以 AD 为直角边作等腰直角△ADE，其中∠DAE=90°，连结
CE．当 CE 为最小值时，此时△ACE 的面积是______．
第 2 页，共 16 页

三、解答题（本大题共 7 小题，共 66.0 分）
19. 解不等式组 6x−2＞3x−42x+13−x2＜1，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
20. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC，∠1=∠2，AD⊥CD 于点 D，AE⊥BE 于点 E，BE，
CD 交于点 O．
求证：（1）△ABE≌△ACD；
（2）OD=OE．
21. 某两个城中村 A，B 与两条公路 l ，l 位置如图所示，因城市拆迁安置需要，在 C
1
2
处新建安置小区，要求小区与两个村 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l ，l 的
1
2
距离也必须相等，那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图，找出所有符合条
件的 C 点．（不写已知，求作，作法，只保留作图痕迹）
第 3 页，共 16 页

22. 如图，一次函数 y=-23x+2 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点
A、B，以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，
∠BAC=90°．
（1）求点 A、B 的坐标；
（2）求过 B、C 两点的直线的解析式．
23. 浙江实施“五水共治“以来，越来越重视节约用水，
某地对居民用水按阶梯水价方式进行收费，人均月
生活用水收费标准如图所示，图中 x 表示人均月生活
用水的吨数，y 表示收取的人均月生活用水费（元），
请根据图象信息，回答下列问题．
（1）请写出 y 与 x 的函数关系式；
（2）若某个家庭有 5 人，响应节水号召，计划控制
1 月份的生活用水费不超过 76 元，则该家庭这个月
最多可以用多少吨水？
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24. 如图，已知 AC∥BD，AE，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA，点 E 在线段 CD 上．
（1）求∠AEB 的度数；
（2）求证：CE=DE．
25. 定义：若以三条线段 a，b，c 为边能构成一个直角三角形，则称线段 a，b，c 是勾
股线段组．
（1）如图①，已知点 M，N 是线段 AB 上的点，线段 AM，MN，NB 是勾股线段组，
若 AB=12，AM=3，求 MN 的长；
（2）如图②，△ABC 中，∠A=18°，∠B=27°，边 AC，BC 的垂直平分线分别交 AB
于点 M，N，求证：线段 AM，MN，NB 是勾股线段组；
（3）如图③，在等边△ABC 中，P 为△ABC 内一点，线段 AP，BP，CP 构成勾股
线段组，CP 为此线段组的最长线段，求∠APB 的度数．
第 5 页，共 16 页

第 6 页，共 16 页

答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：A．
直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】
解：A．∵1+2=3，∴1，2，3 不能组成三角形；
B．∵3+4＞5，∴3，4，5 能组成三角形；
C．∵5+6=11，∴5，6，11 不能组成三角形；
D．∵4+5＜10，∴4，5，10 不能组成三角形；
故选：B．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三
个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这
三条线段能构成一个三角形．
本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，
三角形的两边差小于第三边．
3.【答案】D
【解析】
解：A、不等式的两边都乘以不为 0 的数，不等号的方向不变，故 A 错误；
B、不等式的两边都乘以-2，不等号的方向改变，故 B 错误；
C、不等式的两边都乘以-1，不等号的方向改变，故 C 错误；
D、不等式的两边都减去 2，不等号的方向不改变，故 D 正确；
故选：D．
根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边
乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负
数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等
号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等
式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】A
【解析】
解：观察图象可知：选项 B，D 的三角形是钝角三角形，选项 C 中的三角形是锐
角三角形，
选项 A 中的三角形无法判定三角形的类型，
故选：A．
根据三角形按角分类的方法一一判断即可．
本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
5.【答案】D
【解析】
第 7 页，共 16 页

解：“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题为∠1=∠2=45°．
故选：D．
写反例时，满足条件但不能得到结论．
本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面
接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内
容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、
论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6.【答案】B
【解析】
解：A 正确；理由：
在△ABD 和△ACD 中，
，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；
B 不正确，由这些条件不能判定三角形全等；
C 正确；理由：
在△ABD 和△ACD 中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；
D 正确；理由：
在△ABD 和△ACD 中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
故选：B．
由全等三角形的判定方法 ASA 证出△ABD≌△ACD，得出 A 正确；
由全等三角形的判定方法得出 B 不正确；
由全等三角形的判定方法 AAS 证出△ABD≌△ACD，得出 C 正确；
由全等三角形的判定方法 SAS 证出△ABD≌△ACD，得出 D 正确．
本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌
握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】
解：∵一次函数经过二、四象限，
∴k＜0，
∵一次函数与 y 轴的交于正半轴，
∴b＞0．
故选：C．
根据一次函数经过的象限可得 k 和 b 的取值．
考查一次函数的图象与系数的关系的知识；用到的知识点为：一次函数经过一
三象限或二四象限，k＞0 或＜0；与 y 轴交于正半轴，b＞0，交于负半轴，b＜
0．
8.【答案】C
【解析】
第 8 页，共 16 页

解：如图：
作 BE⊥CE 与 E 点，BE=5cm，
∵DB∥CE，
∴∠2=∠1=30°，
BC=2BE=2×5=10cm，
在等腰直角三角形 ABC 中，由勾股定理得
AB=
，
故选：C．
根据平行线的性质，可得∠1 与∠2 的关系，根据 30°的角所对的直角边是斜边
的一半，可得 BC 与 CE 的关系，根据等腰直角三角形的性质，可得 AC 与 BC
的关系，根据勾股定理，可得答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，先求出 BC 的长，再求出 AB 的长．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角
形的判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理的有
关知识，分别根据等边三角形及直角三角形的判定定理解答．
【解答】
解：①符合题意，符合等边三角形的判定定理；
②符合题意，因为 12+32=
（
） ，所以三边分别是 ，
2
1
，3 的三角形是直
角三角形；
③符合题意；
④不符合题意，三边之比为 3：4：5 的三角形是直角三角形．
故选 C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等
式．
根据成绩超过了 60 分，即可得到一个关于答对题目数的不等式，从而求得答
对题数 x 的范围，即可判断．
【解答】
解：设小明答对 x 道题，则答错 20-3-x=17-x 道题．
根据题意得：5x-2（17-x）＞60
即 7x＞94
∴x＞13 ．
又∵x 是自然数，
∴14 x≤17．
第 9 页，共 16 页

∴成绩超过 60 分，则小明至少答对了 14 道题．
故选 B．
11.【答案】A
【解析】
解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=
=10，
∵折叠
∴BE=AE，AD=BD=5，DE⊥AB，
在 Rt△BEC 中，BE2=BC2+CE2
∴BE2=36+（8-BE）2，
∴BE=
，
在 Rt△BDE 中，DE=
故选：A．
=
根据勾股定理可求 AB=10，由折叠的性质可得 BE=AE，AD=BD=5，DE⊥AB，
根据勾股定理可求 BE 的长，DE 的长．
本题考查了翻折变换，勾股定理熟练运用折叠的性质是本题的关键．
12.【答案】B
【解析】
解：如图，满足条件的所有点 P 的个数为 2，
故选：B．
根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等
的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等
角）”解答即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形
的判定和性质定理是解题的关键．
13.【答案】y=-2x
【解析】
解：设该正比例函数的解析式为 y=kx，根据题意，得
-2k=4，
k=-2．
则这个正比例函数的表达式是 y=-2x．
故答案为 y=-2x．
本题可设该正比例函数的解析式为 y=kx，然后根据该函数图象过点（-2，4），
由此可利用方程求出 k 的值，进而解决问题．
此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析
式，利用方程解决问题．
14.【答案】四
【解析】
解：∵点 A（2，n）在 x 轴上，
∴n=0，
则点 B（n+2，n-5）的坐标为：（2，-5）位于第四象限．
故答案为：四．
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直接利用 x 轴上点的坐标特点得出 n 的值，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确得出 n 的值是解题关键．
15.【答案】3
【解析】
解：如图，过 D 作 DE⊥AB 于 E，
∵∠C=90°，BD=5，BC=4，
∴由勾股定理得：CD=3，
又∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴DE=DC=3，
即点 D 到 AB 的距离是 3．
故答案为：3．
依据角平线的性质可得点 D 到 AB 和 BC 的距离相等，求
出 CD 的长度即可得到 D 点到 AB 的距离．
本题主要考查了角平分线的性质，解题时注意：角平分线
上点到角两边距离相等．
16.【答案】x≤0
【解析】
解：∵从图象可知：k＜0，直线与 y 轴交点的坐标为（0，4），
∴不等式 kx+b≥4 的解集是 x≤0，
故答案为 x≤0．
根据图形得出 k＜0 和直线与 y 轴交点的坐标为（0，4），即可得出不等式的解
集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图形读出正确信息是解此题
的关键．
17.【答案】5
【解析】
解：如图，作 BH⊥AC，垂足为 H，交 AD 于 M 点，
过 M 点作 MN⊥AB，垂足为 N，则 BM+MN 为所
求的最小值．
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴M′H=MN，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=5
，∠BAC=45°，
∴BH=AB•sin45°=5
×
=5．
∵BM+MN 的最小值是 BM+MN=BM+MH=BH=5．
故答案为：5．
作 BH⊥AC，垂足为 H，交 AD 于 M 点，过 M 点作 MN⊥AB，垂足为 N，则
BM+MN 为所求的最小值，再根据 AD 是∠BAC 的平分线可知 MH=MN，再由
锐角三角函数的定义即可得出结论．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形
认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
18.【答案】14
【解析】
解：如图，把线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到 AC′，连接 C′D，
则 C′为定点（-
，
）
在△ACE 和△AC′D 中
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∴△ACE≌△AC′D（SAS）
∴C′D=CE．
当 C′D⊥OD 时，C′D 最小，CE 最小值为
，
此时△ACE 面积等于△AC′D= ×
故答案为 ．
×
= ．
把线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到 AC′，连接 C′D，则 C′为定点求出坐
标，证明△ACE≌△AC′D，把 CE 转化为 C′D，当 C′D⊥OD 时，C′D 最小，即 CE
最小，求△AC′D 面积即可．
本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解
题的关键．
19.【答案】解：6x−2＞3x−4①2x+13−x2＜1②，
解①得 x＞-23；
解②得 x＜4，
把不等式的解集表示在数轴上：
，
所以不等式组的解集为-23＜x＜4．
【解析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不
等式的解集表示在数轴上即可．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20.【答案】证明：（1）∵AD⊥DC，AE⊥BE，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠DAC=∠DAE+∠2，∠EAB=∠EAD+∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠DAC=∠EAB，
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在△ADC 与△AEB 中
∠ADC=∠AEB=90°∠DAC=∠EABAB=AC，
∴△ADC≌△AEB（AAS）；
（2）连接 AO，
∵△ADC≌△AEB，
∴AE=AD，
在 Rt△ADO 和 Rt△AEO 中
AD=AEAO=AO，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴OD=OE．
【解析】
（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和判定解答即可．
考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答
本题的关键．
21.【答案】解：如图所示，点 C 和点 C 即为所求．
1
2
【解析】
分别作直线 l ，l 夹角的平分线和线段 AB 的中垂线，交点即为所求．
1
2
本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线和线段中垂
线的尺规作图及其性质．
22.【答案】解：（1）∵一次函数 y=-23x+2 中，
令 x=0 得：y=2；
令 y=0，解得 x=3，
∴B 的坐标是（0，2），A 的坐标是（3，0）；
（2）如图，作 CD⊥x 轴于点 D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
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∴∠ACD=∠BAO．
在△ABO 与△CAD 中，
∠BAO=∠ACD∠BOA=∠ADCAB=CA，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴OB=AD=2，OA=CD=3，OD=OA+AD=5，
则 C 的坐标是（5，3），
设直线 BC 的解析式是 y=kx+b，
根据题意得：5k+b=3b=2，
解得：k=15，b=2，
∴直线 BC 的解析式是 y=15x+2．
【解析】
（1）先根据一次函数的解析式把 x=0 或 y=0 代入，即可求出 A、B 两点的坐标；
（2）作 CD⊥x 轴于点 D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全
等三角形的性质可知 OA=CD，故可得出 C 点坐标，再用待定系数法即可求出
直线 BC 的解析式．
本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全
等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此
题的关键．
23.【答案】解：（1）当 0≤x≤5 时，设 y=kx，
5k=8，得 k=1.6，
即当 0≤x≤5 时，y=1.6x，
当 x＞5 时，设 y=ax+b，
5a+b=810a+b=20，得 a=2.4b=−4，
即当 x＞5 时，y=2.4x-4，
由上可得，y=1.6x(0≤x≤5)2.4x−4(x＞5)；
（2）令 2.4x-4≤765，
解得，x≤8，
5×8=40，
答：该家庭这个月最多可以用 40 吨．
【解析】
（1）根据函数图象中的数据可以求得 y 与 x 的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数解析式和题意，可以得到关于 x 的不等式，从而可以求得
该家庭这个月最多可以用多少吨水，注意（1）求得的是人均月生活用水费，本
题中家庭有 5 人．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性
质和数形结合的思想解答．
24.【答案】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°．
∵AE 平分∠CAB，∴∠EAB=12∠CAB．
同理可得∠EBA=12∠ABD．
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°；
（2）如图，在 AB 上截取 AF=AC，连接 EF，
在△ACE 和△AFE 中，
AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE
∴△ACE≌△AFE（SAS）．
∴CE=FE，∠CEA=∠FEA．
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∵∠CEA+∠DEB=90°，∠FEA+∠FEB=90°，
∴∠DEB=∠FEB．
在△DEB 和△FEB 中
∠FEB=∠DEBEB=EB∠FBE=∠DBE
∴△DEB≌△FEB（ASA）．
∴ED=EF．
∴ED=CE．
【解析】
（1）由平行线得到∠CAB+∠ABD=180°，根据角平分线定义表示出∠EAB、
∠EBA，计算这两个的和，便可求∠AEB 度数；
（2）在 AB 上截取 AF=AC，连接 EF，分别证明△ACE≌△AFE，△DEB≌△FEB，
借助 CE=EF，DE=EF，可证 CE=DE．
本题主要考查了角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质．
25.【答案】解：（1）由 AB=12，AM=3，根据三角形三边关系可得 AM 不可能为最大
边，
设 MN=x，则 BN=9-x，
①当 MN 为最大线段时，依题意得 MN2=BN2+AM2，
即 x2=（9-x）2+32，
解得 x=5；
②当 BN 为最大线段时，依题意得 BN2=MN2+AM2，
即（9-x）2=x2+32，
解得 x=4；
∴MN 的长为 5 或 4；
（2）如图②，连接 CM，CN，
∵边 AC，BC 的垂直平分线分别交 AB 于点 M，N，
∴CM=AM，BN=CN，
∴∠1=∠A=18°，∠2=∠B=27°，
∵∠ACB=180°-18°-27°=135°，
∴∠MCN=135°-18°-27°=90°，
∴MN2=MC2+CN2，
∴MN2=MA2+BN2，
∴线段 AM，MN，NB 是勾股线段组；
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（3）如图③，以 BP 为边向下作等边三角形 BDP，连接 CD，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
由作法可知∠PBD=60°，BP=BD=PD，
∵∠ABP=∠ABC-∠PBC，∠CBD=∠BPD-∠PBC，
∴∠ABP=∠CBD，
∴△ABP≌△CBD（SAS），
∴AP=CD，
∵线段 AP，BP，CP 构成勾股线段组，CP 为此线段组的最长线段，
∴△PCD 是直角三角形，∠PDC=90°，
∵∠PDB=60°，
∴∠BDC=60°+90°=150°，
∵△ABP≌△CBD，
∴∠APB=∠CDB=150°．
【解析】
（1）设 MN=x，则 BN=9-x，分两种情况讨论，即可得到 MN 的长；
（2）连接 CM，CN，依据边 AC，BC 的垂直平分线分别交 AB 于点 M，N，即可
得到∠MCN=90°，进而得出 MN2=MC2+CN2，根据 MN2=MA2+BN2，可得
线
段 AM，MN，NB 是勾股线段组；
（3）以 BP 为边向下作等边三角形 BDP，连接 CD，判定△ABP≌△CBD（SAS），
可得 AP=CD，再根据线段 AP，BP，CP 构成勾股线段组，CP 为此线段组的最
长线段，即可得出△PCD 是直角三角形，进而得到∠BDC=150°，依据
△ABP≌△CBD，可得∠APB=∠CDB=150°．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形、
等腰三角形的性质以及勾股定理等的综合运用，解题的关键是学会利用旋转
变换添加辅助线，构造全等三角形来解决问题．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
1. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A. 1 条
B. 3 条
C. 5 条
D. 无
数条
2. 一次函数 y=x+2 的图象与 y 轴的交点坐标为（ ）
A. (0,2)
3. 若 a＞b，则下列各式正确的是（ ）
A. a−b<0 B. 3−a<3−b
B. (0,−2)
C. (2,0)
D. (−2,0)
D. a3C. |a|>|b|
4. 下列各组数据作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4 B. 5，6，8 C. 2，5，3 D. 1.5，2，3
5. 明铭同学在“求满足不等式-514＜x≤-123 的 x 的最小整数 x 和最大整数 x ”时，先在
1
2
如图轴上表示这个不等式的解，然后，很直观的找到了所要求的 x 、x 的值为（ ）
1
2
A. x1=−5，x2=−1
C. x1=−6，x2=−2
B. x1=−6，x2=−1
D. x1=−5，x2=−2
6. 如图，已知 AB=DE，BE=CF，添加下列条件中哪一个能使△ABC≌△DEF（ ）
A. ∠A=∠D
B. AB//DE
C. BE=EC
D. AC//DF
7. 在平面直角坐标系中，若点 P（m-1，m+2）在第二象限，则 m 的取值范围是（ ）
A. m<−2
B. m>1
C. m>−2
D. −28. 在△ABC 中，AB=AC=15，BC=18，则 BC 边上的高为（ ）
A. 12
B. 10
C. 9
D. 8
9. 我国国内平信邮资标准是：每封信的质量不超过 20g，付邮资 1.20 元；质量超过 20g
后，每增加 20g(不足 20g 按照 20g 计算)增加 1.20 元，如图表示的是质量 q(g)与邮
资 p(元)的关系，下列表述正确的是()
第 1 页，共 17 页

A. 当 q=40g 时，p=3.60 元
C. q 是 p 的函数
B. 当 p=2.40 元时，q=30g
D. p 是 q 的函数
10. 某经销商销售一批多功能手表，第一个月以 200 元/块的价格售出 80 块，第二个月
起降价，以 150 元/块的价格将这批手表全部售出，销售总额超过了 2.7 万元，则这
批手表至少有（ ）
A. 152 块
B. 153 块
C. 154 块
D. 155 块
11. 如图，直线 y=-3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，在坐标
轴上找点 P，使△ABP 为等腰三角形，则点 P 的个数为
（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
12. 如图，锐角△ABC 中，BC＞AB＞AC，若想找一点 P，使
得∠BPC 与∠A 互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：
甲：以 B 为圆心，AB 长为半径画弧交 AC 于 P 点，则
P 即为所求；
乙：分别以 B，C 为圆心，AB，AC 长为半径画弧交于
P 点，则 P 即为所求；
丙：作 BC 的垂直平分线和∠BAC 的平分线，两线交于 P 点，则 P 即为所求．
对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（ ）
A. 三人皆正确
C. 甲正确，乙、丙错误
B. 甲、丙正确，乙错误
D. 甲错误，乙、丙正确
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
13. 命題“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是______命題（填“真”或“假”）
14. 为说明命题：“对于任意实数 x，都有 x2＞0”是假命题，请举一个反例：______．
15. 一次函数 y=-2x+3，当 x≤2 时，y 的取值范围是______．
16. 定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，
记作 k，若等腰△ABC 中，∠A=40°，则它的特征值 k=______．
17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AB 的垂直平分
线交 AB 于 D，交 AC 于 E，若 CD=5，则 AE=______．
18. 星期日早晨，小青从家出发匀速去森林公园溜冰，小青出发一段时间后，他妈妈发
现小青忘带了溜冰鞋，于是立即骑自行车沿小青行进的路线匀速去追赶，妈妈追上
小青后，立即沿原路线匀速返回家，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度
只是原来速度的三分之二，小青继续以原速度步行前往森林公园，妈妈与小青之间
的路程 y（米）与小青从家出发后步行的时间 x（分）之间的关系如图所示，当妈
妈刚回到家时，小青到森林公园的路程还有______米．
第 2 页，共 17 页

三、解答题（本大题共 8 小题，共 66.0 分）
19. 解不等式组：x−1＜2xx+3x−42≤1．
20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°．
（1）用直尺和圆规作∠BAC 的平分线交 BC 于 D（保留痕
迹）；
（2）若 AD=DB，求∠B 的度数．
21. 如图，已知 AB=AD，BC=DC，BD 与 AC 相交于点 O．
求证：OB=OD．
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22. 在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的
顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：
（1）作出△ABC 关于 y 轴对称的△A B C ，点 A 与 A、B 与 B 对应，并回答下列
1
1
1
1
1
两个问题：
①写出点 C 的坐标：②已知点 P 是线段 AA 上任意一点，用恰当的方式表示点 P
1
1
的坐标．
（2）若△ABC 平移后得△A B C ，A 的对应点 A 的坐标为（-1，-1），写出点 B 的
2
2
2
2
对应点 B2 的坐标．
23. 如图，直线 l：y=（m-1）x+2m+6（m 为常数，且 m≠1）经
过第四象限．
（1）若直线 l 与 x 轴交于点（2，0），求 m 的值；
（2）求 m 的取值范围：
（3）判断点 P（3，3m-3）是否在直线 l 上，若不是，
判断在直线 l 的上方还是下方？请说明理由．
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24. 我市创全国卫生城市，某街道积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的
温馨提示牌和垃圾箱，若购买 4 个垃圾箱比购买 5 个温馨提示牌多 350 元，垃圾箱
的单价是温馨提示牌单价的 3 倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共 3000 个．
①求购买温馨提示牌和垃圾箱所需费用 w（元）与温馨提示牌的个数 x 的函数关系
式；
②若该街道计划费用不超过 35 万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数
的 1.5 倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？
25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB，D 在
BC 边上，P，Q 是射线 AD 上两点，且 CP=CQ，
∠PCQ=90°．
（1）求证：△APC≌△BQC．
（2）若 CP=1，BP=10．
求：①AP 的长；②△ABC 的面积．
26. 如图，已知直线 y=23x+2 交 x 轴于 A，交 y 轴于 B，过 B 作 BC⊥AB，且 AB=BC，
点 C 在第四象限，点 R（3，0）．
（1）求点 A，B，C 的坐标；
（2）点 M 是直线 AB 上一动点，当 RM+CM 最小时，求点 M 的坐标；
（3）点 P、Q 分别在直线 AB 和 BC 上，△PQR 是以 RQ 为斜边的等腰直角三角形．直
接写出点 P 的坐标．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图
形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：五角星的对称轴共有 5 条，
故选 C．
2.【答案】A
【解析】
解：当 x=0 时，y=x+2=0+2=2，
∴一次函数 y=x+2 的图象与 y 轴的交点坐标为（0，2）．
故选：A．
代入 x=0 求出 y 值，进而即可得出发一次函数 y=x+2 的图象与 y 轴的交点坐
标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入 x=0 求出 y 值是解题的关
键．
3.【答案】B
【解析】
解：A．若 a＞b，则 a-b＞0，即 A 项错误，
B．若 a＞b，不等式两边同时乘以-1 得：-a＜-b，不等式两边同时加上 3 得：3-a＜
3-b，即 B 项正确，
C．若 a 和 b 同为负数，若 a＞b，|a|＜|b|，即 C 项错误，
D．若 a＞b，不等式两边同时乘以 ，
故选：B．
，即 D 项错误，
根据不等式的性质和绝对值的定义，结合“a＞b”，依次分析各个选项，选出正
确的选项即可．
本题考查了不等式的性质和绝对值，正确掌握不等式的性质和绝对值的定义
是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】
解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故此
B、52+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
C、22+（ ）2=32，符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意；
选项
不合 意；
题
D、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意．
故选：C．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么
这个三角形是直角三角形可得答案．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析
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所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的
平方之间的关系，进而作出判断．
5.【答案】D
【解析】
解：将该不等式 x 的范围表示在数轴上如下：
由数轴知，最小整数 x =-5，最大整数 x =-2，
1
2
故选：D．
将该不等式 x 的范围表示在数轴上，结合数轴可得答案．
本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练将不等式 x 的
范围准确地表示在数轴上．
6.【答案】B
【解析】
解：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF，
当 AB∥DE 时，∠B=∠DEF，依据 SAS 即可得到△ABC≌△DEF；
当∠A=∠D 或 BE=EC 或 AC∥DF 时，不能使△ABC≌△DEF；
故选：B．
根据条件求出 BC=EF，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
本题全等三角形的判定的应用，全等三角形的 5 种判定方法中，若已知两边
对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组
对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这
个角的另一组对应邻边．
7.【答案】D
【解析】
解：根据题意，得：
，
解得-2＜m＜1，
故选：D．
根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正得出关于 m 的不等式组，解之
可得．
本题主要考查解一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据点的坐标特点
列出关于 m 的不等式组．
8.【答案】A
【解析】
解：作 AD⊥BC 于 D，
∵AB=AC，
∴BD= BC=9，
由勾股定理得，AD=
故选：A．
=12，
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作 AD⊥BC 于 D，根据等腰三角形的性质求出 BD，根据勾股定理计算，得到
答案．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长
分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2
．
9.【答案】D
【解析】
解：由图象，则
y=
．
故选：D．
根据图象，可得以 x 为自变量的函数 y 的解析式．
本题考查分段函数的应用，考查函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，
属于中档题．
10.【答案】C
【解析】
解：设这批手表有 x 块，
200×80+（x-80）×150＞27000
解得，x＞153
∴这批手表至少有 154 块，
故选：C．
根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等
式．
11.【答案】C
【解析】
解：如右图所示，
当 BA=BP 时，△ABP 是等腰三角形，
1
1
当 BA=BP 时，△ABP 是等腰三角形，
2
2
当 AB=AP 时，△ABP 是等腰三角形，
3
3
当 AB=AP 时，△ABP 是等腰三角形，
4
4
当 BA=BP 时，△ABP 是等腰三角形，
5
5
当 P A=P B 时，△ABP 是等腰三角形，
6
6
6
故选：C．
根据题意可以划出相应的图形，然后写出各种情况下的等腰三角形，即可解
答本题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定，解答本题的关
键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答，注意一定要考
虑全面．
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12.【答案】B
【解析】
解：甲：如图 1，∵AB=BP，
∴∠BAP=∠APB，
∵∠BPC+∠APB=180°
∴∠BPC+∠BAP=180°，
∴甲正确；
乙：如图 2，延长 AC 交⊙C 于 E，连接 PE，PD，
∴∠A+∠DPE=∠A+∠DPC+∠CPE=180°，
∵PC=CE，
∴∠CPE=∠E，
∵∠E＞∠DPB，
∴∠A+∠BPC=∠A+∠DPC+∠DPB＜∠A+∠DPC+∠CPE，
即∠A+∠BPC＜180°，
∴乙不正确，
丙：如图 3，过 P 作 PG⊥AB 于 G，作 PH⊥AC 于 H，
∵AP 平分∠BAC，
∴PG=PH，
∵PD 是 BC 的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），
∴∠BPG=∠CPH，
∴∠BPC=∠GPH，
∵∠AGP=∠AHP=90°，
∴∠BAC+∠GPH=180°，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∴丙正确；
故选：B．
甲：根据作图可得 AB=BP，利用等边对等角得：∠BAP=∠APB，由平角的定义
可知：∠BPC+∠APB=180°，根据等量代换可作判断；
乙：根据圆内接四边形对角互补可得：∠DPE+∠A=180°，再由圆周角定理和等
边对等角可计算∠BAC+∠BPC＜180°，可作判断；
丙：利用角平分线的性质，作辅助线，证明 Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），可得
∠BAC+∠BPC=180°，作判断即可．
本题考查了角平分线的性质、圆内接四边形的性质、线段垂直平分线的性质
及基本作图，正确的理解题意是解题的关键．
13.【答案】真
【解析】
解：等腰三角形两腰上的高线相等的逆命题是如果一个三角形两条边上的高
线相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题．
故答案为：真．
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正确的命题即为真命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命
题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做
互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14.【答案】x=0
【解析】
解：当 x=0 时，x2=0
，
所以“对于任意实数 x，都有 x ＞ 是假命 ，
2
0”
题
故答案为：x=0．
找到一个实数使得 x2=0 即可．
本题考查了命题与定理的知识，属于实数的基础知识，难度不大．
15.【答案】y≥-1
【解析】
解：当 x=2 时，y=-2×2+3=-1，
∵k=-2＜0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∴当 x≤2 时，y 的取值范围是 y≥-1，
故答案为：y≥-1．
首先代入 x=2 求得 x 的值，然后根据一次函数的增减性确定其取值范围即可．
本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质确定其增减性是解答本题
的关键，难度不大．
16.【答案】52 或 47
【解析】
解：当∠A 为顶角时，则底角∠B=70°；
此时，特征值 k= = ；
当∠A 为底角时，则顶角为 100°；
此时，特征值 k=
= ；
故答案为： 或 ．
分两种情况：∠A 为顶角或∠A 为底角，再根据三角形内角和定理可求得底角或
顶角的度数，即可得到它的特征值 k．
本题主要考查竺腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关
键，注意分类讨论．
17.【答案】254
【解析】
解：如图，连接 BE，
∵AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，
∴AE=BE，
∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 的中点，
∴AB=2CD=10，
又∵BC=6，
∴AC=8，
设 AE=BE=x，则 CE=8-x，
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∵∠BCE=90°，
∴Rt△BCE 中，CE2+BC2=BE2，
即（8-x）2+62=x2
，
解得 x=
∴AE=
，
，
故答案为：
．
依据直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理，即可得到 AC 的长，设
AE=BE=x，则 CE=8-x，再根据勾股定理列方程，即可得出 AE 的长．
本题主要考查了勾股定理以及线段垂直平分线的性质的运用，解题时注 意：线
段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
18.【答案】700
【解析】
解：由图象得：小青步行速度：1600÷40=40（米/分），
由函数图象得出，妈妈在小青 10 分后出发，15 分时追上小青，
设妈妈去时的速度为 v 米/分，
（15-10）v=15×40，
v=120，
则妈妈回家的时间：
（分），
（40-15-7.5）×40=700．
故答案为：700
由图象可知：家到森林公园总路程为 1600 米，分别求小青和妈妈的速度，妈妈
返回时，根据“妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的三分之二”，得速度为 80
米/分，可得返回时又用了 7.5 分钟，此时小青已经走了 22.5 分，还剩 17.5 分
钟的总程．
本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程=速度×时间之间的关系的运
用，分别求小青和妈妈的速度是关键，解答时熟悉并理解函数的图象．
19.【答案】解：x−1＜2x①x+3x−42≤1②
由①得：x＞-1，
由②得：x≤65，
∴−1＜x≤65．
【解析】
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求
解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小
找不到（无解）．
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20.【答案】解：（1）如图所示，AD 即为所求．
（2）∵AD=DB，
∴∠DBA=∠DAB，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴∠DBA=∠DAB=∠DAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=30°．
【解析】
（1）根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）由 AD=DB 知∠DBA=∠DAB，再由角平分线知∠DBA=∠DAB=∠DAC，结合
∠ACB=90°可得答案．
本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及
直角三角形的性质．
21.【答案】证明：∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABE≌△CB（SSS）
∴∠DAO=∠BAO，且 AD=AB
∴BO=OD
【解析】
由题意可证△ABE≌△CB，可得∠DAO=∠BAO，由等腰三角形的性质可得
OB=OD．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三
角形的判定是本题的关键．
22.【答案】解：（1）如图所示：
①图 C1 的坐标（-3，2）；
②点 P 的坐标（x，4）（-2≤x≤2）；
（2）点 B2 的坐标（-2，-4）．
【解析】
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（1）根据点坐标关于 y 轴对称的特征，找到△ABC 三个顶点的对称点，顺次连
接即可得到关于 y 轴对称的三角形；线段 AA1 上点的纵坐标都是 4，-2≤横坐
标≤2，据此可求解；
（2）根据 A（2，4），A （-1，-1）可知平移的方向和距离，从而求出 B 的坐标．
2
2
本题主要考查了点坐标关于坐标轴对称的特征，以及点的平移特征，掌握点
的对称、平移后坐标的变化规律是解题的关键．
23.【答案】解：（1）∵直线 l：y=（m-1）x+2m+6（m 为常数，且 m≠1），直线 l 与 x
轴交于点（2，0），
∴（m-1）×2+2m+6=0，
解得，m=-1；
（2）由题意可得，
m−1<02m+6>0，
解得，-3＜m＜1；
（3）∵当 x=3 时，y=（m-1）×3+2m+6=3m-3+2m+6=5m+3，
∴点 P 不在直线 l 上，
∵（5m+3）-（3m-3）=2m+6=2（m+3），
又∵-3＜m＜1，
∴2（m+3）＞0，
∴5m+3＞3m-3，
∴点 P 在直线 l 的下方．
【解析】
（1）根据直线 l 与 x 轴交于点（2，0），可以求出 m 的值；
（2）根据函数图象和题意，可以得到关于m的不等式组，从而可以得到m的取
值范围；
（3）将 x=3 代入函数解析式，可以得到相应的函数值，从而可以判断点 P 是否
在直线 l 上，再根据判断和 m 的取值范围可以判断点 P 在直线 l 的上方还是
下方．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键
是明确题意，利用一次函数的性质解答．
24.【答案】解：（1）设温馨提示牌的单价为 a 元，
4×3a-5a=350
解得：a=50，
则 3a=150，
答：温馨提示牌、垃圾箱的单价分别为 50 元和 150 元；
（2）①由题意可得，
w=50x+150（3000-x）=-100x+450000，
即购买温馨提示牌和垃圾箱所需费用 w（元）与温馨提示牌的个数 x 的函数关系式是：
w=-100x+450000；
②由题意得，
300−x≥1.5x−100x+450000≤350000，
解得：1000≤x≤1200，
∵x 为整数，
∴共有 201 种可供选择的方案，
∵k=-100＜0，w 随 x 的增大而减小，
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∴当 x=1200 时，w 取得最少值，此时 w=330000 元，3000-x=1800，
答：有 201 种可供选择的方案，其中购买温馨提示牌 1200 个，垃圾桶 1800 个时所需资
金最少，最少为 330000 元．
【解析】
本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，
解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
（1）根据购买 4 个垃圾箱比购买 5 个温馨提示牌多 350 元，垃圾箱的单价是温
馨提示牌单价的 3 倍，可以列出相应的一元一次方程，从而可以解答本题；
（2）①根据题意可以写出 w 与 x 的函数关系式；
②根据题意可以得到关于 x 的不等式组，从而可以求得 x 的取值范围，再根据
一次函数的性质即可得到所需资金最少的方案，并求出最少需要多少元．
25.【答案】解：（1）∵∠ACB=∠PCQ=90°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵CB=CA，CP=CQ，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
（2）①∵CP=CQ，∠PCQ=90°，
∴∠QPC=∠CQP=45°，
由（1）得：∠BQC=∠APC=135°，
∴∠BQP=90°，
∵CP=1，
∴PQ=2，
∵BP=10，
∴BQ2=BP2-PQ2=8，即 BQ=22，
∴AP=BQ=22．
②如图，过 B 作 BH⊥CQ，垂足为 H，
∴∠BQH=45°，
∵BQ=22，
∴HQ=BH=2，
∴BC2=BH2+CH2=4+9=13，
∴S△ACB=12BC2=132．
【解析】
（1）根据∠ACP=∠BCQ，CB=CA，CP=CQ，即可得到△APC≌△BQC．
（2）①依据勾股定理可得 BQ2=BP2-PQ2=8，即
对应边相等，即可得到 AP=BQ=
②过 B 作 BH⊥CQ，垂足为 H，依据勾股定理即可得到
BQ=
，再根据全等三角形的
．
BC2=BH2+CH2=4+9=13，进而得出等腰 Rt△ABC 的面积．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定以及勾股定理
的综合运用，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
26.【答案】解：（1）当 x=0 时，y=2，B（0，2）
当 y=0 时，x=-3，A（-3，0），
过 C 作 CH⊥y 轴，垂足为 H，
∵BC⊥AB，∴∠ABH=∠BCH，
∵AB=BC，∠ABO=∠BHC=90°，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
第 15 页，共 17 页

∴BH=AO=3，CH=BO=2，HO=1，
∴C（2，-1），
（2）作点 C 关于直线 AB 的对称点 C'
∵BC⊥AB，
∴点 C'在直线 BC 上，且 C'（-2，5）
连结 RC'交直线 AB 于 M，
设直线 RC'的解析式为 y=kx+b
则 3k+b=0−2k+b=5，解得 b=3k=−1
∴y=-x+3，
∴−x+3=23x+2，
∴x=35，y=125
∴M（35，125）；
（3）①当点 P 在第二象限时，如下图，
过点 P 作 y 轴的平行线交过点 Q 与 x 轴的平行线于点 G，交 x 轴于点 H，延长 GQ 交 y
轴于点 M，
∵∠GAQ+∠HPR=90°，∠HPR+∠PRH=90°，
∴∠PRH=∠GAQ，
又∠QGA=∠PHR=90°，PR=PQ，
∴△PHR≌△QGP（AAS），
∴GQ=PH，HR=PG，
设：点 P、Q 的坐标分别为（m，23m+2）、（n，-32n+2），
GQ=PH，即：n-m=23m+2…①，
HR=PG，即：-32n+2-23m-2=3-m…②，
联立①②并解得：m=-3613，
故点 P 的坐标（−3613，213），
②当点 P 在第一象限时，
同理可得：点 P 的坐标为（3613，5013），
故：点 P 的坐标为（−3613，213）或（3613，5013）．
【解析】
（1）证明△ABO≌△BCH，即可求解；
（2）作点 C 关于直线 AB 的对称点 C'，连结 RC'交直线 AB 于 M，确定直线 RC'
第 16 页，共 17 页

的解析式即可求解；
（3）分点 P 在第一、二象限两种情况，分别求解即可．
本题为一次函数综合题，主要考查了三角形全等、等腰直角三角形性质等知识
点，难度不大，但要避免出现情况的遗漏．
第 17 页，共 17 页

八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 满足不等式 x＞2 的正整数是（ ）
A. 2.5
B.
5
C. −2
D. 5
D.
2. 下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
3. 在平面直角坐标系中，点 P（-2018，2019）的位置所在的象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4. 若 x＞y，且（a-3）x＜（a-3）y，则 a 的值可能是（ ）
A. 0
B. 3
C. 4
D. 5
5. △ABC 的内角分别为∠A，∠B，∠C，下列能判定△ABC 是直角三角形的条件是（ ）
A. ∠퐴 = 2∠퐵 = 3∠퐶
B. ∠퐶 = 2∠퐵
C. ∠퐴：∠퐵：∠퐶 = 3：4：5
D. ∠퐴 + ∠퐵 = ∠퐶
6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定
△ABC≌△DCB 的是（ ）
A. ∠퐴 = ∠퐷
B. ∠퐴퐶퐵 = ∠퐷퐵퐶
C. 퐴퐶 = 퐷퐵
D. 퐴퐵 = 퐷퐶
7. 如图，BP 平分∠ABC，D 为 BP 上一点，E，F 分别在
BA，BC 上，且满足 DE=DF，若∠BED=140°，则∠BFD
的度数是（ ）
A. 40 ∘
B. 50 ∘
第 1 页，共 16 页

C. 60 ∘
D. 70 ∘
8. 要说明命题“若 a＞b，则 a2＞b2”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A. 푎 = 3，푏 = 2 B. 푎 = 4，푏 = −1 C. 푎 = 1，푏 = 0 D. 푎 = 1，푏 = −2
9. 直线 y=kx 过点 A（m，n），B（m-3，n+4），则 k 的值是（ ）
4
3
4
3
3
4
3
4
A.
B. −
C.
D. −
10. 如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边上一点，AD=AC，过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 于 E，
若△ADE 是等腰三角形，则下列判断中正确的是（ ）
A. ∠퐵 = ∠퐶퐴퐷
B. ∠퐵퐸퐷 = ∠퐶퐴퐷
D. ∠퐵퐸퐷 = ∠퐴퐷퐶
C. ∠퐴퐷퐵 = ∠퐴퐸퐷
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
1
11. 函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是______．
푥−5
12. 点 P（-2，9）与点 Q 关于 x 轴对称，则点 Q 的坐标是______．
13. 根据数量关系：x 的 5 倍加上 1 是正数，可列出不等式：______．
14. 如图，将三角形纸片（△ABC）进行折叠，使得点 B 与点 A 重合，点 C 与点 A 重合，
压平出现折痕 DE，FG，其中 D，F 分别在边 AB，AC 上，E，G 在边 BC 上，若
∠B=25°，∠C=45°，则∠EAG 的度数是______°．
15. 已知点 P 是直线 y=-2x+4 上的一个动点，若点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P
的坐标是______．
16. 如图，在 R△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点 D 是 BC 上一动点，以 BD
为边在 BC 的右侧作等边△BDE，F 是 DE 的中点，连结 AF，CF，则 AF+CF 的最
小值是______．
第 2 页，共 16 页

三、解答题（本大题共 8 小题，共 52.0 分）
푥−1 ≤ 2
{
푥 + 1
푥 + 1
17. 解不等式组
，并写出不等式组的整数解．
≥
2
3
18. 已知：如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，E 为 AC
上一点，连结 BE 交 AD 于 F，且 AC=BF，DC=DF．求
证 ：BE⊥AC．
19. 一次函数 y=kx+b 的图象经过 A（3，2），B（1，6）两点．
（1）求 k，b 的值；
（2）判断点 P（-1，10）是否在该函数的图象上．
第 3 页，共 16 页

20. 如图是由 25 个边长为 1 的小正方形组成的 5×5 网格，请在图中画出以 DE 为斜边
的 2 个面积不同的直角三角形．（要求：所画三角形顶点都在格点上）
21. 某小区积极创建环保示范社区，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，
已知温馨提示牌的单价为每个 30 元，垃圾箱的单价为每个 90 元，共需购买温馨提
示牌和垃圾箱共 100 个．
（1）若规定温馨提示牌和垃圾箱的个数之比为 1：4，求所需的购买费用；
（2）若该小区至多安放 48 个温馨提示牌，且费用不超过 6300 元，请列举所有购
买方案，并说明理由．
22. 某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y（元）与上网时间 x（小时）的函数关
系如图所示，其中 BA 是线段，且 BA∥x 轴，AC 是射线．
（1）当 x≥30，求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）若小李 4 月份上网 20 小时，他应付多少元的上网费用？
（3）若小李 5 月份上网费用为 75 元，则他在该月份的上网时间是多少？
第 4 页，共 16 页

23. 如图 1，△ABC 的∠A，∠B，∠C 所对边分别是 a，b，c，且 a≤b≤c，若满足
a2+c2=2b2，则称△ABC 为奇异三角形．例如等边三角形就是奇异三角形．
（1）若 a=2，b=
10，c=4，判断△ABC 是否为奇异三角形，并说明理由；
（2）若∠C=90°，c=3，求 b 的长；
（3）如图 2，在奇异三角形△ABC 中，b=2，点 D 是 AC 边上的中点，连结 BD，BD
将△ABC 分割成 2 个三角形，其中△ADB 是奇异三角形，△BCD 是以 CD 为底的等
腰三角形，求 c 的长．
24. 如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），过点 B 画 y 轴的垂线 l，点
C 在线段 AB 上，连结 OC 并延长交直线 l 于点 D，过点 C 画 CE⊥OC 交直线 l 于点
E．
（1）求∠OBA 的度数，并直接写出直线 AB 的解析式；
（2）若点 C 的横坐标为 2，求 BE 的长；
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（3）当 BE=1 时，求点 C 的坐标．
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：满足不等式 x＞2 的正整数可以是 5．
故选：D．
根据一元一次不等式的解集找出大于 2 的正整数即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解的应用以及正整数的意义，题目比较好，
难度不大．
2.【答案】C
【解析】
解：A、是中心对称图形，故 A 错误；
B、是中心对称图形，故 B 正确；
C、是轴对称图形，故 C 正确；
D、是中心对称图形，故 D 错误；
故选：C．
根据轴对称图形的概念，可得答案．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合．
3.【答案】B
【解析】
解：∵点 P（-2018，2019），
∴P 点所在的象限是第二象限．
故选：B．
根据各象限内点的坐标特点，再根据 P 点的坐标符号，即可得出答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是
解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；
第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4.【答案】A
【解析】
解：由不等号的方向改变，得
a-3＜0，
解得 a＜3．
观察选项，只有选项 A 符合题意．
故选：A．
根据不等式的性质，可得 a 的取值范围．
本题考查了不等式的性质，利用不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变是解题关键．
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5.【答案】D
【解析】
解：A、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=2∠B=3∠C，∴
，错误；
，解得：
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=2∠B，不能得出∠C=90°，错误；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=75°≠90°，错误；
D、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，正确；
故选：D．
根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和，直角三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和
是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合 AAS，即能推出△ABC≌△DCB，
故本选项错误；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合 ASA，即能推出
△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能
推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合 SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故
本选项错误；
故选：C．
全等三角形的判定方法有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根
据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定
方法有 SAS，ASA，AAS，SSS．
7.【答案】A
【解析】
解：作 DG⊥AB 于 G，DH⊥BC 于 H，
∵D 是∠ABC 平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC，
∴DH=DG，
在 Rt△DEG 和 Rt△DFH 中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL），
∴∠DEG=∠DFH，又∠DEG+∠BED=180°，
∴∠BFD+∠BED=180°，
∴∠BFD 的度数=180°-140°=40°，
故选：A．
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作 DG⊥AB 于 G，DH⊥BC 于 H，根据角平分线的性质得到 DH=DG，证明
Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG=∠DFH，根据互为邻补角的性质得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，掌握角的平分
线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】
解：A、a=3，b=2 时．满足 a＞b，则 a ＞b2，不能作 反例，错误
；
2
为
B、a=4，b=-1 时．满足 a＞b，则 a2＞b2，不能作为反例，错误；
C、a=1，b=0 时．满足 a＞b，则 a2＞b2，不能作为反例，错误；
D、a=1，b=-2 时，a＞b，但 a2＜b2，能作为反例，正确；
故选：D．
作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判
断即可．
本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可
以．
9.【答案】B
【解析】
解：∵直线 y=kx 过点 A（m，n），B（m-3，n+4），
∴
∴k=-
故选：B．
将点 A，点 B 坐标代入解析式可求 k 的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上点的坐标满
足图象解析式是本题的关键．
10.【答案】B
【解析】
解：作 AH⊥BC 于 H．
∵DE⊥BC，
∴DE∥AH，
∴∠ADE=∠DAH，
∵AD=AC，AH⊥CD，
∴∠DAH=∠CAH，
∵ED=EA，
∴∠EDA=∠EAD，
∴∠EAD=∠EDA=∠DAH=∠CAH，
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∵∠BED=∠EAD+∠EDA，∠DAC=2∠DAH，
∴∠BED=∠DAC．
故选：B．
作 AH⊥BC 于 H．首先证明∠EAD=∠EDA=∠DAH=∠CAH，由
∠BED=∠EAD+∠EDA，∠DAC=2∠DAH，可得结论．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】x≠5
【解析】
解：根据题意得 x-5≠0，
解得 x≠5．
故答案为 x≠5．
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的
条件是：分母不等于 0．
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；
12.【答案】（-2，-9）
【解析】
解：点 P（-2，9）与点 Q 关于 x 轴对称，则点 Q 的坐标是：（-2，-9）．
故答案为：（-2，-9）．
直接利用关于 x 轴对称点的性质进而得出答案．
此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关
键．
13.【答案】5x+1＞0
【解析】
解：依题意得：5x+1＞0．
故答案是：5x+1＞0．
表示出 x 的 5 倍为 5x，然后求和，最后利用不等符号与零连接即可．
考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是理解“大于”用数学符号表
示应为“＞”．
14.【答案】40
【解析】
解：∵∠B=25°，∠C=45°，
∴∠BAC=180°-25°-45°=110°，
由折叠可得，∠BAE=∠B=25°，∠CAG=∠C=45°，
∴∠EAG=110°-（25°+45°）=40°，
故答案为：40°．
依据三角形内角和定理，即可得到∠BAC 的度数，再根据折叠的性质，即可得
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到∠BAE=∠B=25°，∠CAG=∠C=45°，进而得出∠EAG 的度数．
本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是 180°．
4
3
4
3
15.【答案】(
)或（4，-4）
，
【解析】
解：设点 P（a，-2a+4）
∵若点 P 到两坐标轴的距离相等，
∴a=-2a+4 或 a+（-2a+4）=0
∴a=
或 a=4
∴点 P（ ， ）或（4，-4）
故答案为：（ ， ）或（4，-4）
由点 P 到两坐标轴的距离相等可得点 P 横坐标和纵坐标的关系，可求点 P 坐
标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由点 P 到两坐标轴的距离相等可
得点 P 横坐标和纵坐标的关系是本题的关键．
16.【答案】2 7
【解析】
解：以 BC 为边作等边三角形
BCG，连接 FG，AG，
作 GH⊥AC 交 AC 的延长线于 H，
∵△BDE 和△BCG 是等边三角形，
∴DC=EG，
∴∠FDC=∠FEG=120°，
∵DF=EF，
∴△DFC≌△EFG（SAS），
∴FC=FG，
∴在点 D 的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而 AF+FG≥AG，
∴当 F 点移动到 AG 上时，即 A，F，G 三点共线时，AF+FC 的最小值=AG，
∵BC=CG= AB=2，AC=2
，
在 Rt△CGH 中，∠GCH=30°，CG=2，
∴GH=1，CH=
∴AG=
，
=
=2
，
∴AF+CF 的最小值是 2
．
以 BC 为边作等边三角形 BCG，连接 FG，AG，作 GH⊥AC 交 AC 的延长线于
H，根据等边三角形的性质得到 DC=EG，根据全等三角形的性质得到 FC=FG，
于是得到在点 D 的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而 AF+FG≥AG，当 F 点移动
到 AG 上时，即 A，F，G 三点共线时，AF+FC 的最小值=AG，根据勾股定理即
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可得到结论．
本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正
确的作出辅助线是解题的关键．
푥−1 ≤ 2
①
{
17.【答案】解： 푥 + 1 푥 + 1
，
≥
②
3
2
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x≥-1，
∴不等式组的解集是-1≤x≤3，
∴不等式组的整数解是-1，0，1，2，3．
【解析】
首先解两个一元一次不等式，然后求两个不等式解集的公共部分，最后写出
不等式组的整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】证明：∵AD⊥BC
∴∠BDF=∠ADC=90°
퐴퐶 = 퐵퐹
在 Rt△BDF 和 Rt△ADC 中，{
퐷퐶 = 퐷퐹
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠FBD=∠DAC
又∵∠BFD=∠AFE
∴∠AEF=∠BDF=90°
∴BE⊥AC
【解析】
根据 HL 证明 Rt△BDF≌Rt△ADC，进而解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据 HL 证明
Rt△BDF≌Rt△ADC．
19.【答案】解：（1）把 A（3，2），B（1，6）代入 y=kx+b，
3푘 + 푏 = 2
푘 + 푏 = 6
푘 = −2
，解得：{
푏 = 8
得：{
，
故所求 k=-2，b=8；
（2）∵y=-2x+8，
∴当 x=-1 时，y=-2×（-1）+8=10，
∴P（-1，10）在 y=-2x+8 的图象上．
【解析】
（1）把 A（3，2），B（1，6）代入 y=kx+b，利用待定系数法即可求出 k，b 的值；
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（2）将点 P（-1，10）代入（1）中的解析式进行检验即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征．直
线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y=kx+b（k≠0）．
20.【答案】解：如图所示△DEF 即为
所求．
【解析】
在图 1 中画等腰直角三角形；在
图 2 中画有一条直角边为 2，另一
条直角边分别为 4 的直角三角形
即可．
本题考查了作图-应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形
的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
1
4
21.【答案】解：（1）100×
×30+100×
×90=7800（元）．
1 + 4
1 + 4
答：所需的购买费用为 7800 元．
（2）设购买温馨提示牌 x 个，则购买垃圾箱（100-x）个，
푥 ≤ 48
依题意，得：{
，
30푥 + 90(100−푥) ≤ 6300
解得：45≤x≤48．
∵x 为整数，
∴x=45，46，47，48，
∴共 4 个购买方案，方案 1：购买温馨提示牌 45 个、垃圾箱 55 个；方案 2：购买温馨提
示牌 46 个、垃圾箱 54 个；方案 3：购买温馨提示牌 47 个、垃圾箱 53 个；方案 1：购
买温馨提示牌 48 个、垃圾箱 52 个．
【解析】
（1）根据总价=单价×数量，即可求出所需的购买费用；
（2）设购买温馨提示牌 x 个，则购买垃圾箱（100-x）个，根据该小区至多安放 48
个温馨提示牌且费用不超过 6300 元，即可得出关于 x 的一元一次不等式组，
解之即可得出 x 的取值范围，进而可得出各购买方案．
本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列
式计算；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】解：（1）当 x≥30 时，设函数关系式为 y=kx+b，
30푘 + 푏 = 60
则{
，
40푘 + 푏 = 90
푘 = 3
푏 = −30
解得{
．
所以 y=3x-30；
（2）4 月份上网 20 小时，应付上网费 60 元；
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（3）由 75=3x-30 解得 x=35，所以 5 月份上网 35 个小时．
【解析】
（1）由图可知，当 x≥30 时，图象是一次函数图象，设函数关系式为 y=kx+b，使
用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，从图象上看，30 小时以内的上网费用都是 60 元；
（3）根据题意，因为 60＜75＜90，当 y=75 时，代入（1）中的函数关系计算出 x
的值即可．
本题考查识图能力，利用待定系数法求一次函数关系式．
23.【答案】解：（1）△ABC 是奇异三角形，理由如下：
∵a=2，푏 = 10，c=4，
∴a2+c2=22+42=20，b2=（ 10）2=10，
∴a2+c2=2b2，
即△ABC 是奇异三角形；
（2）∵∠C=90°，c=3，
∴a2+b2=c2=9，
∵a2+c2=2b2，
∴a2+9=2b2，
∴2b2-9=9-b2，
解得：b=
6
；
（3）∵△ABC 是奇异三角形，且 b=2，
∴a2+c2=2b2=8，
由题知：AD=CD=1，BC=BD=a，
∵△ADB 是奇异三角形，且 c＞a，c＞1，
∴12+c2=2a2 或 a2+c2=2×12=2
①当 12+c2=2a2 时，
12+c2=2（8-c2），
解得：c=
5
，
②当 a2+c2=2 时，与 a2+c2=2b2=8 矛盾，不合题意舍去．
【解析】
（1）△ABC 是奇异三角形，理由：由 a ， （
2+c2=20 b2=
）2=10，得出 a2+c2=2b2，
即可得出结论；
（2）由题意得出 a2+b2=c2=9，再由 a2+c2=2b2，得出 2b2-9=9-b2，解方程即可得
出结果；
（3）由题意得出 a2+c2=2b2=8，推出
得出结果．
12+c2=2a2
或
a2+c2=2×12=2，分类计
算即可
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本题是三角形综合题，考查了新定义、勾股定理、等腰三角形的性质、解方程、
分类讨论等知识，正确理解新定义“奇异三角形”是解题的关键．
24.【答案】解：（1）∵A（3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3．
∵∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
∴直线 AB 的解析式为：y=-x+3；
（2）作 CF⊥l 于 F，CG⊥y 轴于 G，
∴∠OGC=∠EFC=90°．
∵点 C 的横坐标为 2，点 C 在 y=-x+3 上，
∴C（2，1），CG=BF=2，OG=1．
∵BC 平分∠OBE，
∴CF=CG=2．
∵∠OCE=∠GCF=90°，
∴∠OCG=∠ECF，
∴Rt△OGC≌Rt△EFC（ASA），
∴EF=OG=1，
∴BE=1；
（3）设 C 的坐标为
（m，-m+3）．
当 E 在点 B 的右侧时，
由（2）知 EF=OG=m-1，
∴m-1=-m+3，
∴m=2，
∴C 的坐标为（2，1）；
当 E 在点 B 的左侧时，同理可得：m+1=-m+3，
∴m=1，
∴C 的坐标为（1，2）．
【解析】
（1）根据 A（3，0），B（0，3）可得 OA=OB=3，得出△AOB 是等腰直角三角形，
∠OBA=45°，进而求出直线 AB 的解析式；
（2）作 CF⊥l 于 F，CG⊥y 轴于 G，利用 ASA 证明 Rt△OGC≌Rt△EFC（ASA），
得出 EF=OG=1，那么 BE=1；
（3）设 C 的坐标为（m，-m+3）．分 E 在点 B 的右侧与 E 在点 B 的左侧两种情
况进行讨论即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质等知
识，难度适中．求出直线 AB 的解析式是解（1）小题的关键；作出辅助线构造全
等三角形是解（2）小题的关键；进行分类讨论是解（3）小题的关键．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（ ）
A. 7，8，9
B. 5，6，7
C. 3，4，5
D. 1，2，3
2. 满足-1≤x≤2 的数在数轴上表示为（ ）
A.
B.
D.
C.
3. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 35°，则另一个锐角的度数是（ ）
A. 75∘ B. 65∘ C. 55∘ D. 45∘
4. 已知正比例函数的图象经过点（-2，1），则这个正比例函数的表达式为（ ）
A. y=2x B. y=−2x C. y=12x D. y=−12x
5. 如图 AE∥DF，CE∥BF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下
列选项中的（ ）
A. ∠A=∠D
B. ∠E=∠F
C. AB=BC
D. AB=CD
6. 一次函数 y=-x+3 的图象经过坐标系的（ ）
A. 第一、二、三象限
C. 第一、二、四象限
B. 第二、三、四象限
D. 第一、三、四象限
7. 如图，一个函数的图象由射线 BA、线段 BC、射线 CD
组成，其中点 A（-1，2），B（1，3），C（2，1），D
（6，5），则此函数（ ）
A. 当 x<1 时，y 随 x 的增大而增大
B. 当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小
C. 当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大
D. 当 x>1 时，y 随 x 的增大而减小
8. 如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点 A，D，E 在同一条直
线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是（ ）
A. 55∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
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9. 在平面直角坐标系中，已知 A（-1，-1）、B（2，-3），若要在 x 轴上找一点 P，
使 AP+BP 最短，则点 P 的坐标为（ ）
A. (0,0)
B. (−1,0)
C. (−14,0)
D. (−52,0)
10. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，0），
以线段 OA 为边在第四象限内作等边△ABO，点 C 为 x 轴
正半轴上一动点（OC＞1），连 接 BC，以线段 BC 为边在
第四象限内作等边△CBD，直线 DA 交 y 轴于点 E，点 E
的坐标是（ ）
A. 点 E 的坐标随着点 C 位置的变化而变化
B. (0,3)
C. (0,2)
D. (0,3)
二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是______．
12. 等腰三角形 ABC 中顶角∠A=40°，底角∠B 的度数是______．
13. 不等式 4x+1≤5x+3 的负整数解为______．
14. 在平面直角坐标系中，点（2，3）到 x 轴的距离是______．
15. 如图是一次函数的 y=kx+b 图象，则关于 x 的不等式 kx+b＞
0 的解集为______．
16. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移 a 个单位，再绕原点按顺时针方
向旋转 θ 角度，这样的图形运动叫作图形的 Y（a，θ）变换．如图，等边△ABC 的
边长为 1，点 A 在第一象限，点 B 与原点 0 重合，点 C 在 x 轴的正半轴上．△A B C
1
1
1
就是△ABC 经 Y（1，180°）变换后所得的图形，则点 A1 的坐标是______．
17. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形
与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是
20，小正方形的面积是8，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab
的值为______．
18. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 在 BC 上，E 为 AB 中点，AD、CE 相交于 F，
AD=DB．若∠B=35°，则∠DFE 等于______°．
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三、解答题（本大题共 6 小题，共 46.0 分）
19. 解不等式（组）
（1）4x-7≤3（x-1）
（2）2x+1≥−13x−12＜x+1
20. 如图，△ABC 中，AB=AC=5，D 是 BC 中点，AD=4．求 BC
的长．
21. 一辆汽车行驶时的耗油量为 0.1 升/千米，如图是油箱剩余油量 y（升）关于加满油
后已行驶的路程 x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶 400 千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满
油时油箱的油量；
（2）求 y 关于 x 的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量 5 升时，已行驶的路
程．
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22. “绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两
个仓库用汽车向 A，B 两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出 80 吨
和 100 吨有机化肥；A，B 两个果园分别需用 110 吨和 70 吨有机化肥．两个仓库到
A，B 两个果园的路程如表所示：
路程（千米）
甲仓库
15
乙仓库
25
A 果园
B 果园
20
20
设甲仓库运往 A 果园 x 吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为 2 元，
（1）根据题意，填写下表．
运量（吨）
甲仓库
x
运费（元）
甲仓库
乙仓库
110-x
乙仓库
A 果园
B 果园
2×15x
2×25（110-x）
______
______
______
______
（ 2）设总运费为 y 元，求 y 关于 x 的函数表达式，并求当甲仓库运往 A 果园多少
吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
23. 小敏思考解决如下问题：
原题：如图 1，四边形 ABCD 中∠B=∠D，∠B+∠C=180°，AB=AD．点 P，Q 分别在
四边形 ABCD 的边 BC，CD 上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ．
（1）∠APC+∠AQC=______；
（2）小敏进行探索，如图 2，将点 P，Q 的位置特殊化，使 AE⊥BC，∠EAF=∠B，
点 E，F 分别在边 BC，CD 上，此时她证明了 AE=AF．请你证明此时结论；
（3）受以上（1）（2）的启发，在原题中，添加辅助线：如图 3，作 AE⊥BC，
AF⊥CD，垂足分别为 E，F，请你继续完成原题的证明．
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24. 点
O 为平面直角坐标系的坐标原点，直线 y=-23x+2 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相
交于点 B．
（1）求点 A，点 B 的坐标；
（2）若∠BMO=∠MOC，求直线 OC 的函数表达式；
（3）点 D 是直线 x=2 上的一点，把线段 BD 绕点 D 旋转 90°，点 B 的对应点为点
E．若点 E 恰好落在直线 AB 上，则称这样的点 D 为“好点”，求出所有“好点”D 的坐
标．
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：A、7+8＞9，能构成三角形；
B、5+6＞7，能构成三角形；
C、3+4＞5，能构成三角形；
D、1+2=3，不能构成三角形．
故选：D．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线
段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足
两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
2.【答案】C
【解析】
解：由于 x≥-1，所以表示-1 的点应该是实心点，折线的方向应该是向右．
由于 x≤2，所以表示 2 的点应该是实心点，折线的方向应该是向左．
所以数轴表示的解集为
故选：C．
-1≤x≤2 表示不等式 x≥-1 与不等式 x≤2 的公共部分．实心圆点包括该点，空心
圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组
的解集．
此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的
解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右
画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表
示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集，有
几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心
圆点表示．
3.【答案】C
【解析】
解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于 35°，
∴另一个锐角的度数是 90°-35°=55°．
故选：C．
根据直角三角形两锐角互余，列式进行计算即可得解．
本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】
解：设正比例函数解析式为 y=kx，
把（-2，1）代入得-2k=1，解得 k=- ，
所以正比例函数解析式为 y=- x．
故选：D．
设正比例函数解析式为 y=kx，然后把已知点的坐标代入求出 k 即可．
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：设正比例函数解析式为 y=kx，
然后把一个已知点的坐标代入求出 k 即可得到正比例函数解析式．
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5.【答案】D
【解析】
解：∵AE∥DF，CE∥BF，
∴∠A=∠D，∠ACE=∠DBF，
∴要使△EAC≌△FDB，还需要 AC=BD，
∴当 AB=CD 时，可得 AB+BC=BC+CD，即 AC=BD，
故选：D．
依据 AE∥DF，CE∥BF，即可得到∠A=∠D，∠ACE=∠DBF，根据两角及其夹边分
别对应相等的两个三角形全等，即可得出结论．
本题主要考查全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形
全等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：∵y=-x+3，
∴k＜0，b＞0，
故直线经过第一、二、四象限．
故选：C．
由直线的解析式得到 k＜0，b＞0，利用一次函数的性质即可确定直线经过的
象限．
此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由 k，b 的符号来
确定．
7.【答案】A
【解析】
解：由函数图象可得，
当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大，故选项 A 正确，选项 B 错误，
当 1＜x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，故选
项 C、D 错误，
故选：A．
根据函数图象和题目中的条件，可以写出各段中函数图象的变化情况，从而
可以解答本题．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
8.【答案】C
【解析】
解：∵，△ABC≌△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∵点 A，D，E 在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°
在△ADC 中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即 45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，
故选：C．
根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
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此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形内角和
解答．
9.【答案】C
【解析】
解：点 B（2，-3）关于 x 轴的对称点的坐标为 B′（2，3），
设直线 AB′的解析式为 y=kx+b（k≠0），
则
解得：
，
直线 AB′的解析式为 y= x+ ，
∴当 y=0 时，x=- ，即 P（- ，0）．
故选：C．
找到其中一点关于 x 轴的对称点的坐标，然后确定和另一个点组成的一次函
数的解析式，求得与 x 轴的交点坐标即可．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题
的关键．
10.【答案】D
【解析】
解：∵△AOB，△BCD 是等边三角形，
∴AO=OB=AB=1，BC=BD=CD，∠OBA=∠CBD=60°
∴∠OBC=∠ABD，且 OB=AB，BC=BD，
∴△OBC≌△ABD（SAS）
∴∠BAD=∠BOC=60°
∴∠EAO=180°-∠OAB-∠BAD=60°
在 Rt△AOE 中，AO=1，∠EAO=60°
∴OE=
OA=
∴点 E 坐标（0，
故选：D．
）
由等边三角形的性质可得 AO=OB=AB=1，BC=BD=CD，∠OBA=∠CBD=60°，
可证△OBC≌△ABD，可得∠BAD=∠BOC=60°，可求∠EAO=60°，即可求 OE=
，可求点 E 坐标．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，
灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
11.【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题
叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12.【答案】70°
【解析】
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解：∵等腰三角形 ABC 中顶角∠A=40°，
∴底角∠B 的度数= （180°-40°）=70°，
故答案为：70°．
根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】-1，-2
【解析】
解：∵不等式式 4x+1≤5x+3 的解集是：
-x≤2，
∴x≥-2，
∴不等式 4x+1≤5x+3 的负整数解为-1，-2，
故答案为-1，-2．
首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．
此题主要考查了解不等式，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解
不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
14.【答案】3
【解析】
解：点（2，3）到 x 轴的距离是 3，
故答案为：3．
根据点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度是解题的关
键．
15.【答案】x＞-2
【解析】
解：由图可知：当 x＞-2 时，y＞0，即 kx+b＞0；
因此 kx+b＞0 的解集为：x＞-2．
一次函数的 y=kx+b 图象经过点（-2，0），由函数表达式可得，kx+b＞0 其实就
是一次函数的函数值 y＞0，结合图象可以看出答案．
本题考查了数形结合的数学思想，即学生利用图象解决问题的方法，这也是
一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．易错易混点：学生往往由于不理
解不等式与一次函数的关系或者不会应用数形结合，盲目答题，造成错误．
16.【答案】（-32，-32）
【解析】
解：如图所示，过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，
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∵△ABC 是等边三角形，且 AB=BC=1，
∴BD= ，AD=BDtan∠ABC= ×
=
，
∴点 A 坐标为（ ，
则向右平移 1 个单位后对应点的坐标为（ ，
∴△ABC 经 Y（1，180°）变换后所得的△A B C 的顶点 A 的坐标为（- ，
），
），
），
1
1
1
1
故答案为：（- ，
作 AD⊥x 轴，先根据等边三角形的性质得出点 A 坐标为（ ，
右平移 1 个单位后对应点的坐标为（ ， ），根据经 Y（1，180°）变换后所得
）．
），继而知向
的图形与原图形关于原点对称，据此可得答案．
本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及等
边三角形的性质．
17.【答案】6
【解析】
解：如图，∵大正方形的面积是 20，小正方形的面积是 8，
∴直角三角形的面积是（20-8）÷4=3，
又∵直角三角形的面积是 ab=3，
∴ab=6．
故答案为 6．
根据大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，可得直角三角形的面积，即
可求得 ab 的值．
本题考查了勾股定理，赵爽弦图等知识，解题的关键是学会利用数形结合的
思想解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】105
【解析】
解：∵∠ACB=90°AE=EB，
∴CE=EB=AE，
∴∠B=∠ECB=35°，
∵DB=DA，
∴∠B=∠DAB=35°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=70°，
∴∠EFD=∠ADC+∠ECB=105°，
故答案为 105．
根据∠EFD=∠ADC+∠DCF，只要求出∠ADC，∠DCF 即可解决问题．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的
性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】解：（1）去括号，得 4x-7≤3x-3，
移项，得 4x-3x≤7-3，
合并同类项得，x≤4；
（2）2x+1≥−1①3x−12＜x+1②，
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解①得，x≥-1，
解②得 x＜3，
∴不等式组的解集-1≤x＜3．
【解析】
（1）先去括号，再移项，最后合并，从而得出不等式的解集；
（2）先解两个不等式，再求公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式（组），解不等式组应遵循的原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20.【答案】解：∵AB=AC，点 D 是 BC 中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴BD=AB2−AD2=52−42=3，
∵点 D 是 BC 中点，
∴BC=2BD=6．
【解析】
先判断出 AD⊥BC，再用勾股定理求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练正确等腰三角形的性质是解
题的关键．
21.【答案】解：（1）由图象可知：汽车行驶 400 千米，剩余油量 30 升，
∵行驶时的耗油量为 0.1 升/千米，则汽车行驶 400 千米，耗油 400×0.1=40（升）
∴加满油时油箱的油量是 40+30=70 升．
（2）设 y=kx+b（k≠0），
把（0，70），（400，30）坐标代入可得：k=-0.1，b=70
∴y=-0.1x+70，
当 y=5 时，x=650
即已行驶的路程的为 650 千米．
【解析】
（1）由图象可知：汽车行驶 400 千米，剩余油量 30 升，行驶时的耗油量为 0.1
升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1=40（升），故加满油时油箱的油量
是 40+30=70 升．
（2）设 y=kx+b（k≠0），把（0，70），（400，300）坐标代入可得：k=-0.1，b=70，求出
解析式，当 y=5 时，可得 x=650．
该题是根据题意和函数图象来解决问题，考查学生的审题识图能力和待定系
数法求解析式以及根根解析式求值．
22.【答案】（1）80-xx -10 2×20×（80-x） 2×20×（x-10）
（2）y=2×15x+2×25×（110-x）+2×20×（80-x）+2×20×（x-10），
即 y 关于 x 的函数表达式为 y=-20x+8300，
∵-20＜0，且 10≤x≤80，
∴当 x=80 时，总运费 y 最省，此时 y 最小=-20×80+8300=6700．
故当甲仓库运往 A 果园 80 吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是 6700 元．
【解析】
解：（1）填表如下：
运量（吨）
运费（元）
甲仓库
甲仓库
乙仓库
乙仓库
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A 果园
B 果园
x
110-x
x-10
2×15x
2×25（110-x）
2×20×（x-10）
80-x
2×20×（80-x）
故答案为 80-x，x-10，2×20×（80-x），2×20×（x-10）；
（2）见答案。
（1）设甲仓库运往 A 果园 x 吨有机化肥，根据题意求得甲仓库运往 B 果园
（80-x）吨，乙仓库运往 A 果园（110-x）吨，乙仓库运往 B 果园（x-10）吨，然后根
据两个仓库到 A，B 两个果园的路程完成表格；
（2）根据（1）中的表格求得总运费 y（元）关于 x（吨）的函数关系式，根据一次函
数的增减性结合自变量的取值范围，可知当 x=80 时，总运费 y 最省，然后代
入求解即可求得最省的总运费．
此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题
意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
23.【答案】180°
【解析】
解：（1）如图 1，∵∠B+∠C=180°，∠PAQ=∠B，
∴∠PAQ+∠C=180°，
∴∠APC+∠AQC=180°，
故答案为：180°；
（2）如图 2，∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵∠EAF=∠B，∠B+∠C=180°，
∴∠EAF+∠C=180°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∴∠AFC=90°，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵∠B=∠D，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF；
（3）由（2）得 AE=AF，
∵∠PAQ=∠EAF=∠B，
∴∠PAE=∠QAF，
∵∠AEP=∠AFQ=90°，
∴△APE≌△AQF（ASA），
∴AP=AQ．
（1）先根据等量代换得：∠PAQ+∠C=180°，由四边形的内角和为 360°可得结论；
（2）由（1）的结论得到∠EAP=∠FAQ，证明△AEP≌△AFQ，根据全等三角形的性
质证明；
（2）根据菱形的面积公式、结合（2）的结论解答．
（3）证明△APE≌△AQF，可得结论．
本题是四边形的综合题，考查的是四边形的内角和定理，全等三角形的判定
和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：（1）当 x=0 时，y=2，
所以点 B 的坐标为（0，2），
当 y=0 时，x=3，
所以点 A 的坐标为（3，0）；
（2）当 OC 在二、四象限时，OC∥AB，y=-23x，
当 OC 在一、三象限时，OC 经过点（3，2），y=23x；
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（3）设点 D 的坐标为（2，m），则 E 的坐标为（2+2-m，m+2），或（2-2+m，m-2），
所以可得：−23(4−m)+2=m+2 或−23m+2=m−2，
解得：m=8 或 m=125，
所以 E 的坐标为（2，-8）或（2，125）
【解析】
（1）把 x=0，y=0 分别代入解析式解答即可；
（2）根据一次函数的性质解答即可；
（3）设点 D 的坐标，进而得出 E 的坐标，列出方程解答即可．
本题考查一次函数的综合题，解题的关键是根据一次函数的图象中点的特点
解答．
第 13 页，共 13 页

八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）
1. 下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 4，5，9 B. 8，8，15 C. 5，5，10
3. 等腰三角形中一个角为 100°，则它的底角的度数为（ ）
A. 40∘ B. 80∘ C. 40∘或 80∘
4. 已知分式 x−1x+1 的值是零，那么 x 的值是（ ）
A. −1 C. ±1
D. 6，7，14
D. 50∘
B. 0
D. 1
5. 已知点 A 的坐标为（1，3），点 B 的坐标为（2，1），将线段 AB 沿坐标轴翻折后，
若点 A 的对应点 A′的坐标为（-1，3），则点 B 的对应点 B′的坐标为（ ）
A. (2,2)
6. 若 a+b=6，ab=4，则 a2+4ab+b2 的值为（ ）
A. 40 B. 44 C. 48
B. (2,−1)
C. (−2,1)
D. (−2,−1)
D. 52
7. 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角
形，则∠BDC=（ ）
A. 45∘
B. 60∘
C. 67.5∘
D. 75∘
8. 若 a=999999，b=119990，则下列结论正确的是（ ）
A. a=b
B. aC. a>b
D. ab=1
9. 在 4×4 的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三
角形，在图中画出与△ABC 关于某条直线对称的格点三角形，
最多能画（ ）个．
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
10. 若 x≠1，则我们把-1x+1 称为 x 的“和 1 负倒数”，如：2 的“和 1 负倒数”为-13，-3
的“和 1 负倒数”为 12．若 x =23，x 是 x 的“和 1 负倒数”，x 是 x 的“和 1 负倒
1
2
1
3
2
数”，…，依此类推，则 x2019 的值为（ ）
A. 23 B. −35 C. 75
D. −52
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
11. 计算：（5-2）0=______．
12. 有一个多边形的每一个外角都等于 45°，则这个多边形是______边形．
第 1 页，共 15 页

13. 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
点 C，D，E 在同一条直线上，连接 BD，BE，则
∠ACE+∠DBC=______°．
14. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为
圆心，以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，
N；②作直线MN交AB于点D，连结CD．若CD=AC，
∠A=48°，则∠ACB=______．
15. 若 x+1x=4，则 x3x2+x+3 的值是______．
16. 如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线 AD 和边 BC 的垂直平分线 ED 相交于点 D，过
点 D 作 DF 垂直于 AC 交 AC 的延长线于点 F，若 AB=8，AC=5，则 CF=______．
三、计算题（本大题共 2 小题，共 16.0 分）
17. （1）因式分解：a3-4a；
（2）解方程：xx+1=23x+3．
18. 先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中 x=2．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 64.0 分）
19. 如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于
点 N，且 MN 平分∠AMC，若 AN=1．
（1）求∠B 的度数；
（2）求 CN 的长．
第 2 页，共 15 页

20. 在天台县“城乡公交一体化改造项目”中，某工程队承接了 6 千米地下管廊铺设任务，
为了赶在年底前完成，实际每天的工作效率比原计划提高 20%，结果提前 20 天完
成了任务．问实际每天铺设管廊多少米．
21. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为 D，E，若 AD=a，
DE=b，
（1）如图 1，求 BE 的长，写出求解过程；（用含 a，b 的式子表示）
（2）如图 2，点 D 在△ABC 内部时，直接写出 BE 的长______．（用含 a，b 的式
子表示）
22. （1）如图 1，在△ABC 中，已知 OB，OC 分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP 分别
平分∠ABC，∠ACB 的外角∠DBC，∠ECB．
①若∠A=50°，则∠O=______，∠P=______；
②若∠A=α，则∠O=______，∠P=______．（用含 α 的式子表示）
（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，BP，CP 分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P
第 3 页，共 15 页

与∠A，∠D 的数量关系，并说明理由；
（3）如图 3，在六边形 ABCDEF 中，CP，DP 分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直
接写出∠P 与∠A，∠B，∠E，∠F 的数量关系______．
23. 对实数 a，b 定义运算“*”，a2−b2，(a≥b)a+ba−b，(a＜b)，例如，4*3=42-32=7，
3*4=3+43−4=-7，．
（1）化简：（x+1）*x=______；
（2）化简：0*（x2+4x+9）；
（3）化简：（3x-5）*（x+3）．
24. 学习与探究：
在等边△ABC 中，P 是射线 AB 上的一点．
（1）探索实践：
如图 1，P 是边 AB 的中点，D 是线段 CP 上的一个动点，以 CD 为边向右侧作等边
△CDE，DE 与 BC 交于点 M，连结 BE．
①求证：AD=BE；
②连结 BD，当 DB+DM 最小时，试在图 2 中确定 D 的位置，并说明理由；（要求
第 4 页，共 15 页

用尺规作图，保留作图痕迹）
③在②的条件下，求△CME 与△ACM 的面积之比．
（2）思维拓展：
如图 3，点 P 在边 AB 的延长线上，连接 CP，点 B 关于直线 CP 的对称点为 B'，连
结 AB'，CB'，AB'交 BC 于点 N，交直线 CP 于点 G，连结 BG．请判断∠AGC 与∠AGB
的大小关系，并证明你的结论．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】
解：A、4+5=9，不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8＞16，能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7＜14，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
根据三角形的三边关系进行分析即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能
否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和
大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3.【答案】A
【解析】
解：∵100°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°-100°）÷2=40°．
故选：A．
因为三角形的内角和为 180°，所以 100°只能为顶角，从而可求出底角．
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
4.【答案】D
【解析】
解：由题意可知：x-1=0 且 x+1≠0，
∴x=1，
故选：D．
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于
基础题型．
5.【答案】C
【解析】
解：∵将线段 AB 沿坐标轴翻折后，若点 A（1，3）的对应点 A′的坐标为（-1，3），
∴线段 AB 沿 y 轴翻折，
∴点 B 关于 y 轴对称点 B'坐标为（-2，1）
故选：C．
根据点 A，点 A'坐标可得点 A，点 A'关于 y 轴对称，即可求点 B'坐标．
本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于 y 轴对称的两点纵坐
标相等，横坐标互为相反数是关键．
第 6 页，共 15 页

6.【答案】B
【解析】
解：∵a+b=6，ab=4，
∴原式=（a+b）2+2ab=36+8=44，
故选：B．
原式利用完全平方公式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.【答案】C
【解析】
解：由翻折可知：△BED≌△BCD，
∴∠EBD=∠CBD，∠E=∠C=90°
∵△EDF 是等腰三角形，
∴∠EFD=∠AFB=∠ABF=45°，
∴∠CBF=45°，
∴∠CBD= ∠CBE=22.5°，
∴∠BDC=67.5°，
故选：C．
由翻折可知：△BDF≌△BCD，所以∠EBC=∠CBD，∠E=∠C=90°，由于△EDF 是
等腰三角形，易证∠CBF=45°，所以∠CBD= ∠CBE=22.5°，从而可求出
∠BDC=67.5°．
本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需
要学生灵活运用所学知识．
8.【答案】A
【解析】
解：∵a=
=
=
，b=
，
∴a=b．
故选：A．
直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
9.【答案】C
【解析】
第 7 页，共 15 页

解：如图，最多能画出 7 个格点三角形与△ABC 成轴对称．
故选：C．
根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解；
本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位
置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
10.【答案】D
【解析】
解：∵x1= ，
∴x2=-
=- ，
=- ，
= ，
x3=-
x4=-
……
∴此数列每 3 个数为一周期循环，
∵2019÷3=673，
∴x2019=x3=- ，
故选：D．
根据和 1 负倒数的定义分别计算出 x ，x ，x ，x …，则得到从 x 开始每 3 个
1
2
3
4
1
值就循环，据此求解可得．
本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的
因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
11.【答案】1
【解析】
解：（
-2）0=1
．
故答案为：1．
直接利用零指数幂的性质化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．
第 8 页，共 15 页

12.【答案】八
【解析】
解：∵一个多边形的每个外角都等于 45°，
∴多边形的边数为 360°÷45°=8．
则这个多边形是 八边形．
故答案为：八．
多边形的外角和是固定的 360°，依此可以求出多边形的边数．
本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是 360°．
13.【答案】45
【解析】
解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，且 AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE=∠ABD，
∴∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°，
故答案为：45
由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°，根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，可
得∠ACE=∠ABD，即∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用全
等三角形的判定解决问题是本题的关键．
14.【答案】108°
【解析】
解：∵CD=AC，∠A=48°，
∴∠ADC=48°，
由作图知 MN 是 BC 的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠B=∠BCD= ∠ADC=24°，
则∠ACB=180°-∠A-∠B=108°，
故答案为：108°．
由 CD=AC，∠A=48°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC 的度数，又由题
意可得：MN 是 BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，
则可求得∠B 的度数，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线
上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15.【答案】113
【解析】
解：原式=
=
当 x+ =4 时，
原式=
，
第 9 页，共 15 页

故答案为：
．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础
题型．
16.【答案】32
【解析】
解：如图，连接 CD，DB，过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，
∵AD 平分∠FAB，
∴∠FAD=∠DAM，且 AD=AD，∠AFD=∠AMD，
∴△AFD≌△AMD（AAS）
∴AF=AM，FD=DM，
∵DE 垂直平分 BC
∴CD=BD，且 DF=DM，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM（HL）
∴BM=CF
∵AB=AM+BM=AF+MB=AC+CF+MB=AC+2CF
∴8=5+2CF
∴CF=
故答案为：
连接 CD，DB，过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，根据“AAS”可证△AFD≌△AMD，
可得 AF=AM，FD=DM，再根据“HL”可证 Rt△CDF≌Rt△BDM，可得 CF=BM，
由 AB=AM+BM=AF+MB=AC+CF+MB=AC+2CF，可求 CF 的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的
性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
17.【答案】解：（1）原式=a（a2-4）=a（a+2）（a-2）；
（2）方程两边同时乘以 3（x+1）得：3x=2，
解得：x=23，
经检验 x=23 是分式方程的解．
【解析】
（1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验
即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运
算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=x−x+1x−1⋅(x+1)(x−1)(x+1)2=1x+1
把 x=2 代入得：原式=13
【解析】
第 10 页，共 15 页

根据分式的运算法则即可求出答案，
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础
题型．
19.【答案】解：（1）∵CM 平分∠ACB，MN 平分∠AMC，
∴∠ACM=∠BCM，∠AMN=∠CMN，
又∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠CMN=∠BCM，
∴∠B=∠BCM=∠ACM，
∵∠A=90°，
∴∠B=13×90°=30°；
（2）由（1）得，∠AMN=∠B=30°，∠MCN=∠CMN，∠A=90°，
∴MN=2AN=2，MN=CN，
∴CN=2．
【解析】
（1）根据题意，可以求得∠B 的度数；
（2）根据解直角三角形的知识可以求得 NC 的长．
本题考查 30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解
答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想
解答．
20.【答案】解：设原计划每天铺设管廊 x 米，则实际每天铺设管廊（1+20%）x 米，
根据题意得：6000x-6000(1+20%)x=20，
解得：x=50，
经检验，x=50 是所列方程的解，且符合题意，
∴（1+20%）x=60．
答：实际每天铺设管廊 60 米．
【解析】
设原计划每天铺设管廊 x 米，则实际每天铺设管廊（1+20%）x 米，根据工作时
间=总工作量÷工作效率结合时间比原计划提前 20 天完成任务，即可得出关
于 x 的分式方程，解之经检验即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关
键．
21.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠D=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠CBE，且 AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE=AD=a，
∵DC=CE+DE
∴BE=CD=a+b，
（2）a-b.
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三
第 11 页，共 15 页

角形的判定是本题的关键．
（1）根据同角的余角相等可得∠ACD=∠CBE，根据“AAS”可证△ACD≌△CBE，
可得 CE=AD=a，即可求 DE 的长；
（2）根据同角的余角相等可得∠ACD=∠CBE，根据“AAS”可证△ACD≌△CBE，
可得 CE=AD=a，即可求 DE 的长．
【解答】
解：（1）见答案；
（2）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠CBE，且 AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°
∴△ACD≌△CBE
∴CE=AD=a，
∵CD=CE-DE
∴BE=CD=a-b，
故答案为 a-b.
22.【答案】115° 65° 90°+12α 90°-12α ∠P=360°-12（∠A+∠B+∠E+∠F）
【解析】
解：（1）①解：∠O=180°-∠OBC-∠OCB=180°- ∠ABC- ∠ACB=180°-
（∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=180°- （180°-50°）=115°；
∠P=180°-∠PBC-∠PCB=180°- ∠DBC- ∠ECB=180°- （∠DBC+∠ECB）
=180°- （180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°- [360°-（∠ABC+∠ACB）]=180°-
[360°-（180°-∠A）]=180°- [360°-（180°-50°）]=65°；
故答案为：115°；65°．
②解：∠O=180°-∠OBC-∠OCB=180°- ∠ABC- ∠ACB=180°-
（∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=180°- （180°-α）=90°+ α；
∠P=180°-∠PBC-∠PCB=180°- ∠DBC- ∠ECB=180°- （∠DBC+∠ECB）
=180°- （180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°- [360°-（∠ABC+∠ACB）]=180°-
[360°-（180°-∠A）]=180°- [360°-（180°-α）]=90°- α；
故答案为：90°+ α；90°- α，
（2）解：∠P=180°- （∠A+∠D）．理由如下：
∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠EBC+∠FCB）=180°- [360°-
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（∠A+∠D）]=180°- （∠A+∠D）．
（3）∠P=180°- （∠GCD+∠HDC）=180°- （180°-∠BCD+180°-∠CDE）=
（∠BCD+∠CDE）= [（6-2）×180°-（∠A+∠B+∠E+∠F）]=360°-
（∠A+∠B+∠E+∠F）．
故答案为：∠P=360°- （∠A+∠B+∠E+∠F）
根据角平分线的性质和三角形内角和以及外角定理解答即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理．正确运用角平分线的性
质是解题的关键．
23.【答案】2x+1
【解析】
解：（1）因为 x+1＞x，
所以：（x+1）*x=（x+1）2-x2
=2x+1
故答案为：2x+1
（2）因为 x
（
）
＞ ，
2+4x+9= x+2 2+5 0
所以：0*（x
=-1；
）
2+4x+9 =
（3）当（3x-5）≥（x+3），即 x≥4 时．
（3x-5）*（x+3）
=（3x-5）2-（x+3）2
=8x2-36x+16；
当（3x-5）＜（x+3），即 x＜4 时．
（3x-5）*（x+3）
=
=
=
．
（1）先判断 x+1 与 x 的大小，再选择套用的运算；
（2）利用完全平方公式，判断 0 与（x2+4x+9）的大小，再
计算即可；
选择
合适的新定义运算，
（3）不能判断代数式（3x-5）与（x+3）的大小，需分类套用新定义运算的公式进
行计算．
本题考查了新定义的运算，理解新定义运算的条件和运算法则是解决本题的
关键
24.【答案】证明：（1）探索实践
①在等边△ABC 与等边△CDE 中 AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
第 13 页，共 15 页

∴∠ACD+∠DCM=∠DCM+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE
（2）②如图，作∠BAC 的平分线交 CP 于 D，连结 BD，
∵P 是边等边△ABC 中 AB 边的中点
∴CP 是 AB 边上的中线，
由“等腰三角形的三线合一”性质知，CP 是 AB 的垂直平分线，CP 平分∠ACB，
∴DB=DA，∠PCB=30°
要使 DB+DM 最小，只要 DA+DM 最小，即当 A，D，M 共线时，且 AM⊥BC 时，AM 最
小，
此时 DB+DM 最小
③∵∠ACD=∠CAD=∠DCM=∠ECM=30°，CM⊥AM
∴DC=DA=DE，DM=EM=12DE，
∴AM=3ME
又∵Rt△CME 的边 ME 上的高与 Rt△ACM 的边 AM 上的高均是 CM
∴S△CME：S△ACM=1：3
（2）思维拓展
∠AGC=∠AGB
理由如下：∵点 B 关于直线 CP 的对称点为 B'，
∴BC=CB'，∠CB'G=∠CBG，
∴AC=BC=B'C
∴∠CAB'=∠CB'A，
∴∠CAB'=∠CBG，
∴点 A，点 B，点 G，点 C 四点共圆，
∴∠AGC=∠ABC=60°，∠AGB=∠ACB=60°，
∴∠AGC=∠AGB
【解析】
（1）探索实践
①根据等边三角形的性质可得 AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，可得
∠ACD=∠BCE，根据“SAS”可证△ACD≌△BCE，即可得 AD=BE；
②根据等腰三角形的性质可得AD=BD，即BD+DM=AD+DM，则当点A，点D，
点 M 三点共线且 AM⊥BC 时，BD+DM 值最小，即 AM 平分∠CAB；
③根据等边三角形的性质可求 AM=3ME，由△CME 与△ACM 是等高的两个
三角形，即△CME 与△ACM 的面积之比等于 ME 与 AM 的比值；
（2）思维拓展
根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可得∠CAB'=∠CBG，可证点 A，点 B，
点 G，点 C 四点共圆，可得∠AGC=∠ABC=60°，∠AGB=∠ACB=60°，即
第 14 页，共 15 页

∠AGC=∠AGB．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，
轴对称的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 在直角坐标系中，点 A（-6，5）位于（ ）
A. 第一象限
2. 不等式 x+1＜2 的解为（ ）
A. 푥 < 3 B. 푥 < 1
3. 直线 y=-2x+6 与 x 轴的交点坐标是（ ）
A. (0,6) B. (6,0) C. (0,3)
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
D. 푥 > 1
D. (3,0)
C. 푥 < −1
4. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α 等于
（ ）
A. 105 ∘
B. 115 ∘
C. 120 ∘
D. 135 ∘
5. 下列选项中 a 的值，可以作为命题“a2＞4，则 a＞2”是假命题的反例是（ ）
A. 푎 = 3 B. 푎 = 2 C. 푎 = −3 D. 푎 = −2
6. 下列选项中的尺规作图，能推出 PA=PC 的是（ ）
A.
C.
B.
D.
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7. 如图，将点 P（-1，3）向右平移 n 个单位后落在直
线 y=2x-1 上的点 P′处，则 n 等于（ ）
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 4
8. 如图，在△ABC 中，AB=AC=6，点 D 在边 AC 上，AD
的中垂线交 BC 于点 E．若∠AED=∠B，CE=3BE，则 CD
等于（ ）
3
A.
2
B. 2
8
C.
3
D. 3
9. 如图，在等腰△OAB 中，∠OAB=90°，点 A 在 x 轴正半轴
上，点 B 在第一象限，以 AB 为斜边向右侧作等腰
Rt△ABC，则直线 OC 的函数表达式为（ ）
1
1
A. 푦 = 2푥
B. 푦 = 푥
C. 푦 = 3푥
D. 푦 = 푥
2
3
10. 如图 1，四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点 P 从点 B 出发沿折线
B-A-D-C 方向以 1 单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP 的面积 S 与运动
时间 t（秒）的函数图象如图 2 所示，则 AD 等于（ ）
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A. 10
B. 89
C. 8
D. 41
二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
11. 若 2a＜2b，则 a______b．（填“＞”或“=”或“＜”）
12. 点 A（2，3）关于 x 轴的对称点的坐标是______．
13. 设等腰三角形的底角为 x 度，顶角为 y 度，则 y 关于 x 的函数表达式为______．
14. “a 的 2 倍与 b 的和是正数”用不等式表示为______．
15. 已知 y 是关于 x 的一次函数，下表列出了部分对应值，则 m 的值为______．
x
y
0
3
4
8
20
m
16. 如图，直线 y=- x+ 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 C 在
第一象限内，若△ABC 是等边三角形，则点 C 的坐标为
______．
3
3
17. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ACB 与∠CAB 的平分线交于点 P，PD⊥AB 于点
D，若△APC 与△APD 的周长差为 2，四边形 BCPD 的周长为 12+ 2，则 BC 等于
______．
18. 如图是小章为学校举办的数学文化节没计的标志，在△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC
的各边为边作三个正方形，点 G 落在 HI 上，若 AC+BC=6，空自部分面积为 10.5，
则阴影部分面积为______．
第 3 页，共 18 页

三、解答题（本大题共 6 小题，共 46.0 分）
3(푥 + 2) ≥ 푥 + 4
19. 解不等式组{
，并把解表示在数轴上．
푥 + 1 < 4
20. 如图，点 A，F，C，D 在同一条直线上，EF∥BC，AB∥DE，AB=DE，求证：
AF=CD．
21. 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三
角形为整点三角形，如图，已知整点 A（2，2），B（4，1），请在所给网格区域
（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图 1 中画一个等腰△PAB，使点 P 的横坐标大于点 A 的横坐标．
（2）在图 2 中画一个直角△PAB，使点 P 的横坐标等于点 P，B 的纵坐标之和．
第 4 页，共 18 页

22. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，CE 平分∠DCB 交 AB 于点 E．
（1）求证：∠AEC=∠ACE；
（2）若∠AEC=2∠B，AD=2，求 AB 的长．
23. 某校八年级举行英语演讲比赛，准备用 1200 元钱（全部用完）购买 A，B 两种笔
记本作为奖品，已知 A，B 两种每本分别为 12 元和 20 元，设购入 A 种 x 本，B 种
y 本．
（1）求 y 关于 x 的函数表达式．
（2）若购进 A 种的数量不少于 B 种的数量．
①求至少购进 A 种多少本？
②根据①的购买，发现 B 种太多，在费用不变的情况下把一部分 B 种调换成另一
种 C，调换后 C 种的数量多于 B 种的数量，已知 C 种每本 8 元，则调换后 C 种至
少有______本（直接写出答案）
第 5 页，共 18 页

24. 如图，直线 y=kx+8（k＜0）交 y 轴于点 A，交 x 轴
于点 B．将△AOB 关于直线 AB 翻折得到△APB．过
点 A 作 AC∥x 轴交线段 BP 于点 C，在 AC 上取点 D，
且点 D 在点 C 的右侧，连结 BD．
（1）求证：AC=BC
（2）若 AC=10．
①求直线 AB 的表达式．
②若△BCD 是以 BC 为腰的等腰三角形，求 AD 的长．
푆
2
푂퐵
퐴퐷
1
（3）若 BD 平分∠OBP 的外角，记△APC 面积为 S ，△BCD 面积为 S ，且 = ，则
1
2
푆
3
2
的值为______（直接写出答案）
第 6 页，共 18 页

答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：∵所给点的横坐标是-6 为负数，纵坐标是 5 为正数，
∴点（-6，5）在第二象限，
故选：B．
根据所给点的横纵坐标的符号可得所在象限．
本题主要考查象限内点的符号特点；用到的知识点为：符号为（-，+）的点在第
二象限．
2.【答案】B
【解析】
解：x+1＜2，
x＜1，
故选：B．
根据不等式的性质求出即可．
本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质进行变形是解此题的关
键．
3.【答案】D
【解析】
解：当 y=0 时，0=-2x+6，
∴x=3，
即直线 y=-2x+6 与 x 轴的交点坐标为（3，0），
故选：D．
把 y=0 代入即可求出直线 y=-2x+6 与 x 轴的交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握直线与 x 轴的交点的纵坐标
为 0 是本题的关键．
4.【答案】A
【解析】
解：由三角形的内角和定理可知：α=180°-30°-45°=105°，
故选：A．
利用三角形内角和定理计算即可．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题，属于中考基础题．
5.【答案】C
【解析】
解：用来证明命题“若 a2＞ ，
4 则 a 2”
＞ 是假命 的反例可以是：a=-3，
题
∵（-3）2＞4，但是 a=-3＜2，
第 7 页，共 18 页

∴C 正确；
故选：C．
根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是
假命题．
此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只
需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．
6.【答案】D
【解析】
解：A．由此作图知 CA=CP，不符合题意；
B．由此作图知 BA=BP，不符合题意；
C 由此作图知∠ABP=∠CBP，不符合题意；
D．由此作图知 PA=PC，符合题意；
故选：D．
根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质知．
本题考查了基本作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是
结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几
何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步
操作．
7.【答案】C
【解析】
解：∵将点 P（-1，3）向右平移 n 个单位后落在点 P′处，
∴点 P′（-1+n，3），
∵点 P′在直线 y=2x-1 上，
∴2（-1+n）-1=3，
解得 n=3．
故选：C．
根据向右平移横坐标相加，纵坐标不变得出点 P′的坐标，再将点 P′的坐标代
入 y=2x-1，即可求出 n 的值．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求出
点 P′的坐标是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】
解：∵AB=AC=6，
∴∠B=∠C，
∵∠AED=∠B，∠BAE=180°-∠B-∠AEB，∠CED=180°-∠AED-∠AEB，
∴∠BAE=∠CED，
∵AD 的中垂线交 BC 于点 E，
∴AE=DE，
第 8 页，共 18 页

在△ABE 与△ECD 中，
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴CE=AB=6，BE=CD，
∵CE=3BE，
∴CD=BE=2，
故选：B．
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，推出∠BAE=∠CED，根据线段垂直平分
线的性质得到 AE=DE，根据全等三角形的性质得到 CE=AB=6，BE=CD，即
可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定
和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】
解：如图，作 CK⊥AB 于 K．
∵CA=CB，∠ACB=90°，CK⊥AB，
∴CK=AK=BK，设 AK=CK=BK=m，
∵AO=AB，∠OAB=90°，
∴OA=AB=2m，
∴C（3m，m），
设直线 OC 的解析式为 y=kx，则有 m=3mk，
解得 k= ，
∴直线 OC 的解析式为 y= x，
故选：D．
如图，作 CK⊥AB 于 K．首先证明 CK=AK=KB，设 AK=CK=BK=m，求出点 C
的坐标即可解决问题．
本题考查等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会添加
常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】B
【解析】
第 9 页，共 18 页

解：当 t=5 时，点 P 到达 A 处，即 AB=5，
过点 A 作 AE⊥CD 交 CD 于点 E，则四边形 ABCE 为矩形，
∵AC=AD，∴DE=CE= CD，
当 s=40 时，点 P 到达点 D 处，则 S= CD•BC= （2AB）•BC=5×BC=40，
则 BC=8，
AD=AC=
=
，
故选：B．
当 t=5 时，点 P 到达 A 处，即 AB=5；当 s=40 时，点 P 到达点 D 处，即可求解．
本题以动态的形式考查了函数的基本知识和等腰三角形，具有很强的综合
性．
11.【答案】＜
【解析】
解：∵2a＜2b，
不等式的两边同时除以 2 得：
a＜b，
故答案为：＜．
利用不等式的性质，把已知不等式的两边同时除以 2，不等号的方向不变，即
可得到答案．
本题考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题的关键．
12.【答案】（2，-3）
【解析】
解：点 A（2，3）关于 x 轴的对称点的坐标是（2，-3）．
故答案为：（2，-3）．
根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点
的坐标规律：
（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
第 10 页，共 18 页

13.【答案】y=180-2x（0＜x＜90）
【解析】
解：由题意 y=180-2x（0＜x＜90）．
故答案为 y=180-2x（0＜x＜90）．
利用三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，函数关系式等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，属于中考基础题．
14.【答案】2a+b＞0
【解析】
解：“a 的 2 倍与 b 的和是正数”用不等式表示为 2a+b＞0，
故答案为：2a+b＞0．
由 a 的 2 倍，即 2a 与 b 的和为 2a+b、正数即“＞0”可得答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄
清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符
号表示的不等式．
15.【答案】11
【解析】
解：∵y 是关于 x 的一次函数，∴设 y=kx+b，
把（0，20），（4，8）代入 y=kx+b，得：
，解得
，故一次函数
的解析式为 y=-3x+20，
把（3，m）代入 y=-3x+20，得：m=-3×3+20=11．
故答案为：11
把（0，20），（4，8）代入一次函数 y=kx+b 中，就可求出一次函数的解析式，然后
把（3，m）带入一次函数解析中，即可求出 m．
本题主要考查一次函数上的点的坐标特征和一次函数解析式的关系．
16.【答案】（2， 3）
【解析】
解：∵直线 y=- x+
∴A（1，0），B（0，
∴AB=2
交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，
），
又∵点 C 在第一象限内，若△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC=2，
故 C（2，
）．
故答案为：（2，
直线 y=- x+
）
交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，首先可求出 A，B 两点的坐
标，点 C 在第一象限，△ABC 是等边三角形，即可求出 C 点的坐标．
本题主要考查了一次函数的坐标特征，以及通过图形和一次函数结合的题
目．
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17.【答案】6
【解析】
解：过 P 作 PE⊥AC 于 E，PF⊥BC 于 F，连接 PB，
∵∠ACB 与∠CAB 的平分线交于点 P，
∴PB 平分∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴四边形 CEPF 是矩形，
∵CP 是∠ACB 的角平分线，
∴PF=PE，
∴矩形 CEPF 是正方形，
∴设 CE=x，
∴CF=PE=x，PC=
x，
∵AP 是∠CAB 的角平分线，
∴PE=PD，
∵AP=AP，
∴Rt△PAE≌Rt△PAD（HL），
∴AD=AE，
同理 BD=BF，
∵△APC 与△APD 的周长差为
，
，
∴PC=
，
∴CE=CF=PD=1，
∵四边形 BCPD 的周长为 12+
∴2BF+PC+PD+CF=12+
，
∴BF= =5，
∴BC=6．
故答案为：6．
过 P 作 PE⊥AC 于 E，PF⊥BC 于 F，连接 PB，根据已知条件得到 PB 平分
∠ABC，推出矩形 CEPF 是正方形，设 CE=x，得到 CF=PE=x，PC=
角平分线的性质得到 PE=PD，根据全等三角形的性质得到 AD=AE，同理
BD=BF，根据已知条件即可得到结论．
x，根据
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18.【答案】17
【解析】
解：如图∵四边形 ABGF 是正方形，
∴∠FAB=∠AFG=∠ACB=90°，
∴∠FAC+∠BAC=∠FAC+∠ABC=90°，
∴∠FAC=∠ABC，
第 12 页，共 18 页

在△FAM 与△ABN 中，
∴△FAM≌△ABN（AAS），
，
∴S△FAM=S△ABN
，
∴S△ABC=S 四边形 FNCM，
∵在△ABC 中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC+BC=6，
∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC•BC=36，
∴AB2+2AC•BC=36，
∵AB2-2S△ABC=10.5，
∴AB2-AC•BC=10.5，
∴3AB2=57，
∴2AB2=38，
∴阴影部分面积为=38-10.5×2=17，
故答案为：17．
根据余角的性质得到∠FAC=∠ABC，根据全等三角形的性质得到
S△FAM=S△ABN，推出S△ABC=S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2，
解方程组得到 3AB2=57，于是得到
结论
．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的
面积，正确的识别图形是解题的关键．
19.【答案】解：
，
由①得 x≥-1，
由②得 x＜3，
∴不等式组的解集是-1≤x＜3，
把不等式组的解集在数轴上表示为：
【解析】
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根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等
式组的解集即可．
本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质，在数轴上表示不等式
的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是
解此题的关键．
20.【答案】证明：∵EF∥BC，AB∥DE，
∴∠EFC=∠BCA，∠A=∠D，
在△ABC 和△DEF 中，
∠퐸퐹퐶 = ∠퐵퐶퐴
{
∠퐴 = ∠퐷
，
퐴퐵 = 퐷퐸
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC=DF，
∴AC-FC=DF-FC，
即 AF=DC．
【解析】
根据两直线平行，内错角相等，可得∠EFC=∠BCA，∠A=∠D，再根据 AAS 证明
△ABC≌△DEF，易证 AC=DF，即可得证．
本题主要考查全等三角形的性质与判定，解决此题的关键是能利用全等三角
形的性质和判定证明 AC=DF，再根据等式的性质即可得解．
21.【答案】解：（1）如图 1 中，图中的点 P 即为所求．（大不唯一）
（2）如图 2 中，图中的点 P 即为所求．
【解析】
（1）根据等腰三角形的定义以及题目条件，画出三角形即可．
（2）根据直角三角形的定义以及题目条件，画出三角形即可．
本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理
等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题
型．
第 14 页，共 18 页

22.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵CE 平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠B+∠BCE=∠ACD+∠DCE，
即∠AEC=∠ACE；
（2）∵∠AEC=∠B+∠BCE，∠AEC=2∠B，
∴∠B=∠BCE，
又∵∠ACD=∠B，∠BCE=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE=∠DCE，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=30°，∠B=30°，
∴Rt△ACD 中，AC=2AD=4，
∴Rt△ABC 中，AB=2AC=8．
【解析】
（1）依据∠ACB=90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD=∠B，再根据 CE 平分∠BCD，可
得∠BCE=∠DCE，进而得出∠AEC=∠ACE；
（2）依据∠ACD=∠BCE=∠DCE，∠ACB=90°，即可得到∠ACD=30°，进而得出
Rt△ACD 中，AC=2AD=4，Rt△ABC 中，AB=2AC=8．
本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题时注意：三角形
内角和是 180°．
23.【答案】30
【解析】
解：（1）∵12x+20y=1200，
∴y=
，
（2）①∵购进 A 种的数量不少于 B 种的数量，
∴x≥y，
∴x≥
∴x≥
，
，
∵x，y 为正整数，
∴至少购进 A 种 40 本，
②设 A 种的数量为 x 本，B 种的数量 y 本，C 种的数量 c 本，
根据题意得：12x+20y+8c=1200
∴y=
∵C 种的数量多于 B 种的数量
∴c＞y
第 15 页，共 18 页

∴c＞
∴c＞
，
∵购进 A 种的数量不少于 B 种的数量，
∴x≥y
∴x≥
∴c≥150-4x
∴c＞
，
且 x，y，c 为正整数，
∴C 种至少有 30 本
故答案为 30 本．
（1）根据 A 种的费用+B 种的费用=1200 元，可求 y 关于 x 的函数表达式；
（2）①根据购进 A 种的数量不少于 B 种的数量，列出不等式，可求解；
②设 B 种的数量 m 本，C 种的数量 n 本，根据题意找出 m，n 的关系式，再根
据调换后 C 种的数量多于 B 种的数量，列出不等式，可求解．
本题考查一次函数的应用，不等式组等知识，解题的关键是学会构建一次函
数解决实际问题，属于中考常考题型．
5
24.【答案】
6
【解析】
（1）证明：∵AC∥x 轴，
∴∠BAC=∠ABO．
由折叠的性质，可知：∠ABO=∠ABC，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC．
（2）解：过点 B 作 BE⊥CD 于点 E，如图 1 所示．
①当 x=0 时，y=kx+8=8，
∴点 A 的坐标为（0，8），BE=OA=8．
在 Rt△BCE 中，BC=AC=10，BE=8，
∴CE=
=6，
∴OB=AE=AC+CE=16，
∴点 B 的坐标为（16，0）．
将点 B（16，0）代入 y=kx+8，得：0=16k+8，
解得：k=- ，
∴直线 AB 的表达式为 y=- x+8．
②当 BC=DC 时，AD=AC+CD=10+10=20；
当 BC=BD 时，由①可知：CD=2CE=12，
第 16 页，共 18 页

∴AD=AC+CD=10+12=22．
综上：AD 的长为 20 或 22．
（3）由折叠的性质，可知：AO=AP，∠APC=∠AOB=90°．
∵S△APC= AP•PC= AO•PC，S△BCD= CD•AO，OA=BE，
∴
=
= ，
设 PC=2a，则 CD=3a．
在△APC 和△BEC 中，
，
∴△APC≌△BEC（AAS），
∴PC=EC．
∵BD 平分∠OBP 的外角，CD∥x 轴，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CD=CB=3a．
在 Rt△BCE 中，CB=3a，CE=2a，
∴BE=
∴OB=AC+CE=CD+CE=5a，AD=AC+CD=2CD=6a，
= ．
=
a，
∴
（1）由平行线的性质可得出∠BAC=∠ABO，由折叠的性质可知∠ABO=∠ABC，
进而可得出∠BAC=∠ABC，由等角对等边即可证出 AC=BC；
（2）过点B作BE⊥CD于点E．①利用一次函数图象上点的坐标特征可求出OA
的长度，进而可得出 BE 的长度，在 Rt△BCE 中，利用勾股定理可求出 CE 的
长度，进而可得出 OB，AE 的长度，由 OB 的长度可得出点 B 的坐标，再利用
待定系数法即可求出直线 AB 的表达式；
②分 BC=DC 及 BC=BD 两种情况考虑：当 BC=DC 时，由 AC=BC=10，可求出
AD 的长度；当 BC=BD 时，利用等腰三角形的性质结合①的结论可求出 CD
的长度，进而可得出 AD 的长度．综上，此问得解；
（3）由折叠的性质结合三角形的面积公式可得出
= ，设 PC=2a，则
CD=3a，易证△APC≌△BEC（AAS），由全等三角形的性质可得出 CE=CP=2a，
由角平分线的定义、平行线的性质结合等腰三角形的性质可得出
CB=CD=AC=3a，在 Rt△BCE 中，利用勾股定理可求出 CE=2a，进而可得出
OB=5a，AD=6a，二者相比后即可得出
的值．
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、一次函
数图象上点的坐标特征、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式以及三角
形的面积，解题的关键是：（1）利用平行线的性质及折叠的性质，找出
∠BAC=∠ABC；（2）①根据点 B 的坐标，利用待定系数法求出一次函数表达式；②
第 17 页，共 18 页

分 BC=DC 及 BC=BD 两种情况求出 AD 的长；（3）利用勾股定理及等腰三角
形的性质，求出 OB=5a，AD=6a．
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八年级（上）期末数学试卷
题号
得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 点 P（-1，2）在第（ ）象限．
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
2. 下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）
A. 5，1，7 B. 5，12，17 C. 5，7，7
4. 一次函数 y=2x+4 的图象与 y 轴交点坐标（ ）
A. (2,0) B. (−2,0) C. (0,−4)
D. 11，12，23
D. (0,4)
5. 下列选项中，可以用来证明命题“若 a2＞4，则 a＞2”是假命题的反例是（ ）
A. a=−3
6. 不等式 3x+4≥x 的解集是（ ）
A. x≥−2 B. x≥1
B. a=−2
C. a=2
D. a=3
C. x≤−2
D. x≤1
7. 如图，顺次连结同一平面内 A，B，C，D 四点，已知
∠A=40°，∠C=20°，∠ADC=120°，若∠ABC 的平分线 BE
经过点 D，则∠ABE 的度数（ ）
A. 20∘
B. 30∘
C. 40∘
D. 60∘
8. 如图所示，△ABC 的三条边长分别是 a，b，C，则下列选项中的三角形
与△ABC 不一定全等
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 若关于 x，y 的方程组 2x+y=4k+3x+2y=−k 满足 1＜x+y＜2，则 k 的取值范围是
（ ）
A. 0B. −1C. 1D. 010. 早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在
家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明
继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途的时间为 x，两人之间的距离为 y，
则下列选项中的图象能大致反映 y 与 x 之间关系的是（ ）
第 1 页，共 15 页

A.
B.
D.
C.
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
11. 用不等式表示：x 与 3 的和大于 6，则这个不等式是______．
12. 若直角三角形的两条直角边的长分别是 3 和 4，则斜边上的中线长为______．
13. 点 A（m，-3）向下平移 3 个单位后，恰好落在正比例函数 y=-6x 的图象上，则 m
的值为______．
14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，
CD=3cm，则点 D 到 AB 边的距离为______．
15. 如图，在直角坐标系中，过点 A（6，6）分别向 x 轴，y
轴作垂线，垂足分别为点 B，C，取 AC 的中点 P，连结
OP，作点 C 关于直线 OP 的对称点 D，直线 PD 与 AB 交
于点 Q，则线段 PQ 的长为______，直线 PQ 的函数表达
式为______．
16. 如图，已知线段 AB=6，P 是 AB 上一动点，分别以
AP，BP 为斜边在 AB 同侧作等腰 Rt△ADP 和等腰
Rt△BCP，以CD为边作正方形DCFE，连结AE，BF，当S
正方形DCFE=12时，S△ADE+S△BCF 为______．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）
17. 解不等式组 2x+1≥−1x+1>4(x−2)
第 2 页，共 15 页

四、解答题（本大题共 6 小题，共 47.0 分）
18. 已知：如图，点 A、D、B、E 在同一直线上，AC=EF，AD=BE，BC=DF．求证：
∠ABC=∠EDF．
19. 如图，在 6×6 方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正
方形的边长为 1）
（1）在图甲中画一个面积为 6 的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC 全等，且有一条公共边．
20. 如图，在直角坐标系中，直线 y=-2x+4 分别交 x 轴，y 轴于点 E，F，交直线 y=x 于
点 P，过线段 OP 上点 A 作 x 轴，y 轴的平行线分别交 y 轴于点 C，直线 EF 于点
B．
（1）求点 P 的坐标．
（2）当 AC=AB 时，求点 P 到线段 AB 的距离．
第 3 页，共 15 页

21. 如图，在△AOB 与△COD 中，∠AOB=∠COD=90°，AO=BO，CO=DO，连结 CA，
BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）连接 BC，若 OC=1，AC=7，BC=3
①判断△CDB 的形状．
②求∠ACO 的度数．
22. 为了响应“足球进校园”的号召，学校开设了足球兴趣拓展班，计划同时购买 A，B
两种足球 30 个，A，B 两种足球的价格分别为 50 元/个，80 元/个，设购买 B 种足
球 x 个，购买两种足球的总费用为 y 元．
（1）求 y 关于 x 的函数表达式．
（2）在总费用不超过 1600 元的前提下，从节省费用的角度来考虑，求总费用的最
小值．
（3）因足球兴趣拓展班的人数增多，所以实际购买中这两种足球总数超过 30 个，
总费用为 2000 元，则该学校可能共购买足球______个．（直接写出答案）
第 4 页，共 15 页

23. 如图，在直角坐标系中，直线 y=-x+b 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，
点 F（2，0），点 E 在第一象限，△OEF 为等边三角形，连接 AE，BE
（1）求点 E 的坐标；
（2）当 BE 所在的直线将△OEF 的面积分为 3：1 时，求 S△AEB 的面积；
（3）取线段 AB 的中点 P，连接 PE，OP，当△OEP 是以 OE 为腰的等腰三角形时，
则 b=______（直接写出 b 的值）
第 5 页，共 15 页

答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：点 P（-1，2）在第二象限．
故选：B．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是
解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；
第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2.【答案】C
【解析】
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
直接根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形
两部分折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】
解：A、5+1＜7，不能组成三角形，故 A 选项错误；
B、5+12=17，不能组成三角形，故 B 选项错误；
C、5+7＞7，能组成三角形，故 C 选项正确；
D、11+12=23，不能组成三角形，故 D 选项错误；
故选：C．
根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，
看看是否大于第三边即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
4.【答案】D
【解析】
解：
令 x=0，代入 y=2x+4 解得 y=4，
∴一次函数 y=2x+4 的图象与 y 轴交点坐标这（0，4），
故选：D．
求与 y 轴的交点坐标，令 x=0 可求得 y 的值，可得出函数与 y 轴的交点坐标
本题主要考查函数与坐标轴的交点坐标，掌握求函数与坐标轴交点的求法是
解题的关键，即与 x 轴的交点令 y=0 求 x，与 y 轴的交点令 x=0 求 y．
5.【答案】A
【解析】
解：用来证明命题“若 a2＞ ，
4 则 a＞2”是假命 的反例可以是：a=-3
，
题
∵（-3）2＞4，但是 a=-3＜2，
∴A 正确．
故选：A．
根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是
第 6 页，共 15 页

假命题．
此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误， 要说明数学命题的错误，只需
举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．
6.【答案】A
【解析】
解：移项，得：3x-x≥-4，
合并同类项，得：2x≥-4，
系数化为 1，得：x≥-2，
故选：A．
不等式移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，注意不等式两边除以负数时，不等号要改变
方向．
7.【答案】B
【解析】
解：∵∠ADE=∠ABD+∠A，∠EDC-∠DBC+∠C，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠A+∠C+∠ABC，
∴120°=40°+20°+∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE= ∠ABC=30°，
故选：B．
首先证明∠ADC=∠A+∠C+∠ABC，求出∠ABC 即可解决问题．
本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】D
【解析】
解：A、根据全等三角形的判定定理（SSS）A 选项中的三角形与△ABC 全等，
B、∵∠C=180°-80°-43°=57°，
∴根据全等三角形的判定定理（SAS）B 选项中的三角形与△ABC 全等；
C、∵∠C=180°-80°-43°=57°，
∴根据全等三角形的判定定理（AAS）C 选项中的三角形与△ABC 全等；
D、D 项中的三角形与△ABC 不一定全等；
故选：D．
根据趋势进行的判定定理判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关
键．
9.【答案】A
【解析】
解：将两个不等式相加可得 3x+3y=3k+3，
则 x+y=k+1，
∵1＜x+y＜2，
∴1＜k+1＜2，
解得 0＜k＜1，
故选：A．
将两不等式相加，变形得到x+y=k+1，根据1＜x+y＜2列出关于k的不等式组，
解之可得．
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本题考查了一元一次不等式组以及一元一次方程组的解法，正确利用 k 表示
出 x+y 的值是关键．
10.【答案】B
【解析】
解：由题意可得，
小明从家出发到妈妈发现小明的作业本落在家里这段时间，y 随 x 的增大而
增大，
小明的妈妈开始给你小明送作业到追上小明这段时间，y 随 x 的增大而减小，
小明妈妈追上小明到各自继续行走这段时间，y 随 x 的增大不变，
小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y 随 x 的增大而增大，
故选：B．
根据题意可以得到各段时间段内 y 随 x 的变化情况，从而可以判断哪个选项
中的函数图象符合题意，本题得以解决．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
11.【答案】x+3＞6
【解析】
解：根据题意知这个不等式为 x+3＞6，
故答案为：x+3＞6．
x 与 3 的和表示为 x+3，大于 6 即“＞6”，据此可得．
此题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的
先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的
不等式．
12.【答案】2.5
【解析】
解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=
=5，
∵CD 是△ABC 中线，
∴CD= AB= ×5=2.5，
故答案为：2.5．
根据勾股定理求出 AB，根据直角三角形斜边上中线求出 CD= AB 即可．
本题主要考查对勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，
能推出 CD= AB 是解此题的关键．
13.【答案】1
【解析】
解：∵点 A（m，-3）向下平移 3 个单位，
∴平移后的点的坐标为（m，-6），
∴-6=-6m，
∴m=1
故答案为：1
由题意可得点 A 平移后的点坐标，代入解析式可求 m 的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，熟练掌握函数图象
上点的坐标满足函数解析式是本题的关键．
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14.【答案】3cm
【解析】
解：如图，过 D 点作 DE⊥AB 于点 E，
∵∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，
∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD=3cm，
∴DE=3cm．
故答案为 3cm．
过 D 点作 DE⊥AB 于点 E，根据角平分线的性质定理得出 CD=DE 即可解决问
题；
本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距
离相等．
15.【答案】5 y=-43x+10
【解析】
解：连接 OQ，
∵点 A（6，6），
∴AC⊥y 轴，AB⊥x 轴，
∴AC=AB=OC=OB=6，
∵点 P 是 AC 的中点，
∴CP=AP=3，
∵点 C 关于直线 OP 的对称点 D，
∴OD=OC=OB=6，PD=PC=3，
∠PCO=∠PDO=∠ABO=∠QDO=90°，
在 Rt△ODQ 与 Rt△OBQ 中，
，
∴Rt△ODQ≌Rt△OBQ（HL），
∴DQ=BQ，
设 DQ=BQ=x，
∴AQ=6-x，PQ=3+x，
∵PA2+AQ2=PQ2，
∴32+（6-x）2=（3+x）2，
∴x=2，
∴PQ=5，BQ=2，
∴Q（6，2），
设直线 PQ 的函数表达式为 y=kx+b，
把 P（3，6），Q（6，2）代入得，
，
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解得：
，
∴直线 PQ 的函数表达式为 y=- x+10，
故答案为：5，y=- x+10．
连接 OQ，根据已知条件得到 AC=AB=OC=OB=6，根据全等三角形的性质得
到 DQ=BQ，设 DQ=BQ=x，根据勾股定理列方程得到 PQ=5，BQ=2，求得 Q
（6，2），设直线 PQ 的函数表达式为 y=kx+b，解方程组即可得到结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，勾
股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】3
【解析】
解：如图，作 DM⊥AB 于 M，CN⊥AB 于 N，EH 垂直 AD 交 AD 的延长线于点
H，作 CK⊥DM 于 K，
则四边形 KMNC 为矩形，
∵线段 AB=6，P 是 AB 上一动点，分别以 AP，BP 为斜边在 AB 同侧作等腰
Rt△ADP 和等腰 Rt△BCP，
∴设 DM=AM=PM=x，CN=PN=BN=y，
∠DPA=∠CPB=45°，
∴CK=x+y=3，DK=DM-KM=DM-CN=x-y，
∵S 正方形 DCFE=12，
∴DK2+CK2=12，即 x2+y2=6，
∵四边形 CDEF 为正方形，
∴CD=ED，∠ADE+∠PDC=360°-90°-90°=180°，
∠EDH=180°-∠ADE=∠PDC，
∵∠H=∠DPC=90°，
∴△DHE≌△DPC（AAS），
∴EH=PC，
∵AD=DP，
∴S△ADE=S△DPC
，
同理 S△BCF=S△DPC
∵x+y=3，
，
∴x2+y2+2xy=9，
∴2xy=3，
∴S△ADE+S△BCF=2S△DPC=2×
故答案为：3．
=2xy=3，
作 DM⊥AB 于 M，CN⊥AB 于 N，EH 垂直 AD 交 AD 的延长线于点 H，作
CK⊥DM 于 K，则四边形 KMNC 为矩形，设 DM=AM=PM=x，CN=PN=BN=y，
可得 x+y=3，因为 S 正方形 DCFE=12，可得 x2+y2=6，得
， 明
2xy=3 证
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△DHE≌△DPC 可得 S△ADE=S△DPC，同理 S△BCF=S△DPC，进而得出
S△ADE+S△BCF=2S△DPC=2×
=2xy=3．
本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全的判定和性质，勾
股定理，整体思想．解题的关键是得出 S△ADE=S△BCF=S△DPC
．
17.【答案】解：解不等式 2x+1≥-1，得：x≥-1，
解不等式 x+1＞4（x-2），得：x＜3，
则不等式组的解集为-1≤x＜3．
【解析】
分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．
本题考查一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同
大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
18.【答案】证明：∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，即 AB=ED，
在△ABC 和△EDF 中，
AC=EFAB=EDBC=DF，
∴△ABC≌△EDF（SSS），
∴∠ABC=∠EDF．
【解析】
根据等式的性质证得 AB=ED，然后利用 SSS 证明两三角形全等即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择最合适的方法证明
两三角形全等．
19.【答案】解：（1）如图甲所示：△ABC 即为所求，
（2）如图乙所示：△ACD 即为所求，
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质画出图形即可；
（2）以 AC 为公共边得出△ACD．
本题考查了作图问题，关键是根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定
定理的应用解答．
20.【答案】解：（1）解 y=−2x+4y=x 得，
x=43y=43，
∴点 P 的坐标为（43，43）；
（2）∵直线 y=-2x+4 分别交 x 轴，y 轴于点 E，F，
∴E（2，0），F（0，40，
∴OE=2，OF=4，
延长 BA 交 x 轴于 D，
设 A（a，a），
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∴AC=AB=a，
∵点 A 在直线 OP 上，
∴AC=AD=a，
∴BD=2a，
∵BD∥OF，
∴△EDB∽△EFO，
∴DEOE=BDOF，
∴2−a2=2a4，
∴a=1，
∴点 P 到线段 AB 的距离=43-1=13．
【解析】
（1）解方程组即可得到结论；
（2）根据已知条件得到 E（2，0），F（0，40，求得 OE=2，OF=4，延长 BA 交 x 轴
于 D，设 A（a，a），得到 AC=AB=a，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了两条直线相交或平行，相似三角形的判定和性质，解方程组，正
确的理解题意是解题的关键．
21.【答案】证明：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，且 AO=BO，CO=DO，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
（2）①如图，
∵△AOC≌△BOD
∴∠ACO=∠BDO，AC=BD=7
∵CO=DO=1，∠COD=90°
∴CD=CO2+DO2=2，∠ODC=∠OCD=45°
∵CD2+BD2=9=BC2，
∴∠CDB=90°
∴△BCD 是直角三角形
②∵∠BDO=∠ODC+∠CDB
∴∠BDO=135°
∴∠ACO=∠BDO=135°
【解析】
（1）由题意可得∠AOC=∠BOD，且 AO=BO，CO=DO，即可证△AOC≌△BOD；
（2）①由全等三角形的性质和勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°，即可得
△CDB 是直角三角形；
②由全等三角形的性质可求∠ACO 的度数．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的
逆定理，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．
22.【答案】31，34，37
【解析】
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解：（1）y=50（30-x）+80x，即 y=1500+30x；
（2）依题意得，
解得，0＜m≤
，
又∵m 为整数，
∴m=1，2，3．
∵k=30＞0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴当 x=1 时，y 有最小值 1500+30=1530 元．
（3）设 A 足球购买 m 个，B 足球购买 n 个，依题意得，
50m+80n=2000．
∴m=40- n．（m+n＞30）
解得
或
或
．
∴m+n=37，34，31．
故答案为 31，34，37．
（1）根据总费用=A 足球费用+B 足球费用列出解析式即可；
（2）先根据足球总数 30 个和总费用不超过 1600 求出 x 的取值范围，再根据一
次函数的增减性求出总费用最小值；
（3）设 A 足球购买 m 个，B 足球购买 n 个，根据总费用为 2000 元列出方程
50m+80n=2000，得到 m=40- n，再对 n 的值进行分类讨论，求出满足 m+n＞
30 的整数解，即可得到总球数．
本题考查了一次函数的应用，根据题意列出方程和函数解析式是解题的关
键．第三问列出二元一次方程，求出满足题意的整数解是本题的难点．
23.【答案】23+2 或 22
【解析】
解：（1）如图 1，过 E 作 EC⊥x 轴于 C，
∵点 F（2，0），
∴OF=2，
∵△OEF 为等边三角形，
∴OC= OF=1，
Rt△OEC 中，∠EOC=60°，
∴∠OEC=30°，
∴EC=
，
∴E（1，
）；
（2）当 BE 所在的直线将△OEF 的面积分为
3：1 时，存在两种情况：
①如图 2，S△OED：S△EDF=3：1，即 OD：DF=3：
1，
∴D（ ，0），
∵E（1，
），
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∴ED 的解析式为：y=-2
x+3
，
∴B（0，3
），A（3
，0），
∴OB=OA=3
，
∴S△AEB=S△AOB-S△EOB-S△AOE= ×3
×3
- ×3
×1- ×3
×
=
-
- =9-
；
②S△OED：S△EDF=1：3，即 OD：DF=1：3，
∴D（ ，0），
∵E（1，
），
∴ED 的解析式为：y=2
∴B（0，- ），
x-
，
∵点 B 在 y 轴正半轴上，
∴此种情况不符合题意；
综上，S△AEB 的面积是 9-
；
（3）存在两种情况：
①如图 3，OE=EP，过 E 作 ED⊥y 轴于 D，
作 EM⊥AB 于 M，作 EG⊥OP 于 G，
∵△AOB是等腰直角三角形，P是AB的中
点，
∴OP⊥AB，
∴∠EGP=∠GPM=∠EMP=90°，
∴四边形 EGPM 是矩形，
∵OE=EP，
∴EM=PG= OP= AB=
，
∴S△AOB=S△BOE+S△AOE+S△ABE
，
=
+
+
，
b=2
+2．
②如图 4，当 OE=OP 时，则 OE=OP=2，
∵△AOB 是等腰直角三角形，P 是 AB 的中点，
∴AB=2OP=4，
∴OB=2
故答案为：2
（1）根据等边三角形的性质可得高线 EC 的长，可得 E 的坐标；
，即 b=2
，
+2 或 2
．
（2）如图 2，当 BE 所在的直线将△OEF 的面积分为 3：1 时，存在两种情况：①
如图 2，S△OED：S△EDF=3：1，即 OD：DF=3：1，②S△OED：S△EDF=1：3，即 OD：
DF=1：3，先确认 DE 的解析式，可得 OA 和 OB 的长，根据面积差可得结论；
（3）存在两种情况：①如图 3，OE=EP，作辅助线，构建矩形和高线 ED 和 EM，
根据三角形 AOB 面积的两种求法列等式可得 b 的值，②如图 4，OE=OP，根
据等腰三角形和等边三角形的性质可得 b 的值．
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此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等边三角形的性
质，待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，利用了分类讨
论的思想，熟练掌握性质及法则是解本题的关键，最后一问利用面积法解决问
题，这也是综合题中常运用的方法．
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