【开学摸底考】高一数学 02（北师大版2019必修第一册全册）-2023-2024学年高一数学下学期开学摸底考试卷.zip

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：北师大版2019必修第一册全册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题设2是方程的解求得，进而确定集合B，应用并运算求结果.
【详解】由题设知：2是方程的解，将代入方程，得，
所以的解为或，所以，
所以，
故选：B
2．将某年级600名学生分配到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加社会实践活动，每个人只能到一个社区.经统计，将到各个社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则分到戊社区参加活动的学生人数为（ ）
A．30B．45C．60D．75
【答案】C
【分析】根据两个统计图计算出分配到乙和丁社区的学生数，从而计算出分到戊社区的学生数.
【详解】由题意得，分配到乙社区的学生数为，
分配到丁社区的学生数为，
故分到戊社区参加活动的学生数为.
故选：C
3．已知是偶函数，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据题意，由，得到，结合对数的运算法则，即可求解.
【详解】由函数是偶函数，则，
可得，即，
所以，解得.
故选：C.
4．（且）的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据题意，由对数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】原式．
故选：B
5．必存在零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可知的零点即为与的交点横坐标，结合图象分析判断.
【详解】令，可得，
可知的零点即为与的交点横坐标，
在同一坐标系内作出与的图象，
又，
可知与在内有交点，在，和内无交点，
所以在内必存在零点，其它区间无零点.
故选：C.
6．为丰富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指数，某街道举办以社区为代表队的老年门球比赛，比赛分老年男组和老年女组，男女组分别进行淘汰赛．经过多轮淘汰后，西苑社区的老年男子“龙马”队和老年女子“风采”队都进入了决赛．按照以往的比赛经验，在决赛中“龙马”队获胜的概率为，“风采”队获胜的概率为，（“龙马”队和“风采”队两队中只有一支队伍获胜的概率为（“龙马”队和“风采”队在比赛中互不影响），则西苑社区的“龙马”队和“风采”队同时获得冠军的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据独立事件的乘法公式得到关于的方程，解出值，则得到同时获得冠军的概率.
【详解】由题意得两队中只有一队获胜包含“龙马”队获胜“风采”队未获胜、“龙马”队未获胜“风采”队获胜；
则，解得．
所以两队同时获得冠军的概率为．
故选：C．
7．已知函数，正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出，再结合基本不等式计算即可.
【详解】易知函数定义域为R，且
，
所以为R上的奇函数，有，
由复合函数的单调性可知单调递增，
由，得，即，
因为为正实数，则有，而，
当且仅当即时等号成立，所以，则的最大值为.
故选：B.
8．已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用奇函数性质可得及单调性性质求解即可.
【详解】因为是定义在的奇函数，且在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以，
所以，解得，
故t的范围为.
故选：D.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
9．某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）
A．中位数是34B．众数是32
C．第25百分位数是29D．平均数为34.3
【答案】BCD
【分析】根据给定数据，利用中位数、众数、百分位数、平均数的定义计算判断即可.
【详解】把10个人的年龄由小到大排列为，
这组数据的中位数为32，众数为32，A错误，B正确；
由，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，C正确；
这组数据的平均数，D正确.
故选：BCD
10．已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由指数函数的图象特征，结合幂函数在第一象限的图象特征可得答案.
【详解】根据题意可得，
的图象是向上平移a个单位得到的，
结合幂函数的性质可知在上为单调递增函数，
当a为奇数时，图象如C选项所示；当a为偶数时，图象如B选项所示，
选项A，D不符合题意．
故选：AD.
11．因为函数的图象极似汉字“囧”，被戏称为“囧函数”，则下列描述中正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的图象关于轴对称
C．当时，
D．方程有四个不同的实根
【答案】BCD
【分析】根据函数有意义的条件，直接求得定义域即可判定A；根据偶函数的定义即可判定选项B；根据自变量的取值范围，可求得函数的值域，继而可以判定C；把方程根的个数转化函数的交点个数，画出函数图象即可判定D.
【详解】令得，，
故函数的定义域为，故A错误；
函数的定义域关于原点对称，且，
则函数为偶函数，其图象关于轴对称，故B正确；
当时，，
所以，所以当时，，故C正确；
方程，可化为，
设函数，其定义域为，
且满足，则其为偶函数；
考虑到也为偶函数，所以考查且情况即可，
当且时，，，
可画出两个函数的图象
由图可知两个函数有四个交点，即方程有四个不同的实根，
故D正确，
故选：BCD.
12．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为
B．若函数，则在区间上单调递减
C．若正实数m，n满足，则
D．若函数，则对任意，，且，有
【答案】ACD
【分析】根据待定系数法求解即可判断A；结合幂函数的单调性性质判断B；根据幂函数的单调性判断C；根据作差法比较大小即可判断D.
【详解】解：对于选项A，设幂函数为，代入点，即，解得，所以幂函数的解析式为，故A正确；
对于选项B，函数是偶函数且在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为函数在上单调递增，，满足，
所以，
因为函数在上单调递减，则，故C正确；
对于选项D，由于，,\
则，，，
所以
，
所以，故D正确.
故选：ACD．
第Ⅱ卷
三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若一元二次不等式的解集为，则实数 ．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出即可.
【详解】根据题意可知方程的两根分别为，
根据韦达定理可知，，
故答案为：.
14．函数的单调递增区间是 .
【答案】（或）
【分析】利用复合函数的单调性可得出函数的单调递增区间.
【详解】函数的定义域为，内层函数的增区间为，减区间为，
外层函数在上为减函数，
由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.
故答案为：（或）.
15．2023年10月26日神舟十七号载人飞船发射任务取得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的新阶段.太空站内甲，乙､丙三名航天员分别出仓进行同一试验，已知甲､乙､丙试验成功的概率分别为，若三人能否试验成功相互独立，且三人中恰有2人试验成功的概率为，则三人中只有甲､乙两人试验成功的概率的最大值为 .
【答案】
【分析】列出三人中恰有2人成功的所有情况，根据独立事件的概率公式分别求出对应的概率，然后根据互斥事件的概率公式列出三人中恰有2人成功的概率，得到关于，的关系.再利用不等式的办法求最大值.
【详解】因为三人能否试验成功相互独立，且三人中恰有2人试验成功的概率为，
所以，所以.
所以（当且仅当时取“”），即.
解得或，即或，
又因为，所以，
所以，当且仅当时取等号.
三人中只有甲､乙两人试验成功的概率为.
故答案为：
16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是 .
【答案】
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.
【详解】因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
当时，；
当时，，即；
当时，；
所以，当时，则，于是；
当时，则，于是；
当时，.
综上所述，的值域为.
故答案为：.
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义证明；
【答案】(1)；
(2)函数在上为减函数，证明见解析
【分析】（1）代入两点坐标，得到方程组，求出，得到解析式；
（2）利用定义法证明函数单调性步骤为取值，作差，判号，下结论.
【详解】（1）∵函数过点，
∴，解得，
.
（2）函数在上为减函数，理由如下：
设任意，且，
则．
，
，
，即，
函数在上为减函数．
18．已知集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简集合，利用并集运算求解即可；
（2）由可得，然后利用与两种情况讨论即可.
【详解】（1），
且，
，
，
当时，，
.
（2）.
由（1）知，又.
则当即时，，
要使，则得.
当即时，，满足.
综上所述，实数的取值范围为
19．我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶.
(1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.
【答案】(1)
(2)当每瓶售价元时，下月的月总利润最大为万元
【分析】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解；
（2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解.
【详解】（1）设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元，
则月销量为万瓶，
所以提价后月总销售利润为万元，
因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润，
所以，即，解得，
所以售价最多为元，
故该饮料每瓶售价最多为元；
（2）由题意，每瓶利润为元，
月销售量为万瓶，
设下月总利润为，，
整理得：，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当时取等号，
故当售价元时，下月的月总利润最大为万元.
20．某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)由频率直方图求样本中分数的分位数；
(2)已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
(3)已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由频率分布直方图数据求解；（2）由频率分布直方图数据求解；（3）由总样本的均值与方差的公式计算求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可得分数分位数位于并设为,
则有,解得.
故频率分布直方图可得分数分位数为：.
（2）由频率分布直方图知，分数在的频率为,
在样本中分数在的人数为人，
在样本中分数在的人数为95人，所以估计总体中分数在的人数为人，
所以总体中分数小于的人数为.
（3）总样本的均值为,
所以总样本的方差为.
故总样本的方差为.
21．《中华人民共和国爱国主义教育法》已由中华人民共和国第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议于2023年10月24日通过，现予公布，自2024年1月1日起施行．甲，乙两同学组成“星队”参加黑龙江省“爱国主义教育法”知识竞赛．现有A，B两类问题，竞赛规则如下：
①竞赛开始时，每个同学先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．
②若在本轮竞赛中“星队”同学合计答对问题的个数不少于3个，则“星队”可进入决赛．
已知甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．乙同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．
(1)设“甲同学答对0个，1个，2个问题”分别记为事件，求事件的概率；
(2)求甲乙两同学组成“星队”能进入决赛的概率．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）设“乙同学答对1个，2个问题”分别记为事件，设事件表示“星队能进入决赛”，可知，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式运算求解.
【详解】（1）因为甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为，
所以，，．
（2）设“乙同学答对1个，2个问题”分别记为事件，
因为乙同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为，
可得，
设事件表示“星队能进入决赛”，
可得
，
所以“星队”能进入决赛的概率为.
22．已知函数（且）
(1)试判断函数的奇偶性；
(2)当时，求函数的值域；
(3)已知，若，使得，求实数a的取值范围．
【答案】(1)偶函数；
(2)；
(3).
【分析】（1）由函数奇偶性定义判断即可；
（2）利用基本不等式、指对数及复合函数性质求函数值域；
（3）问题化为，令，，，，结合分类讨论，二次函数、对数函数求最值，进而确定参数范围.
【详解】（1）因为且，所以其定义域为R，
又，所以函数是偶函数；
（2）当时，，因为，当且仅当，即时取等，
所以，函数的值域为.
（3），使得，等价于，
令，，，
令，则在上的最小值等于在上的最小值，
在上单调递减，在上的单调递增，
所以在上的最小值为，所以
当，因为，当且仅当，即时取等，
所以，所以函数无最小值，此时实数a不存在，
当，因为，当且仅当，即时取等号，
所以，函数的最小值为，，
综上：实数a的取值范围为
年龄
45
40
36
32
29
28
人数
1
2
1
3
2
1