【开学摸底考】高一数学 02（人教A版2019必修第一册全册）-2023-2024学年高一数学下学期开学摸底考试卷.zip

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册全册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用列举法求得集合B，再由集合的并集运算得选项．
【详解】解：因为，所以，
故选：B．
2．已知命题p：，，则p的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】利用全称命题的否定方法，改变量词，否定结论可得答案.
【详解】，的否定为：，.
故选：A.
3．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组并求解作答.
【详解】函数有意义，有，解得且，
所以函数的定义域是.
故选：B
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数与指数函数单调性即可得到大小关系.
【详解】为上单调递增函数,则,
为上单调递减函数,则,且,
由为上单调递增函数,可得,
则,
故选：C.
5．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数图象可求函数周期，利用周期公式可求，将点的坐标代入函数解析式，结合的取值范围可求得的值，然后代值计算可得出的值.
【详解】由题意可知，函数的周期为，，
，，，
，，则，，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了由图象求正弦型函数的解析式，考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．
6．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，探讨其奇偶性，再结合时函数值为正即可判断作答.
【详解】由，得，即函数的定义域为，
显然，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，AB不满足；
当时，，于是，其图象在第一象限，C不满足，D满足.
故选：D
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式求得，然后利用二倍角公式计算即可.
【详解】，则，
则，
故选：D.
8．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递减，若实数满足（1），则的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，，
【答案】C
【分析】由奇偶性和单调性可得，从而得解.
【详解】函数是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递减，
（1），等价为（1），
即．即，得，
即实数的取值范围是，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.
【详解】，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确；
故选：ACD
10．若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最大值为1B．的最大值为2
C．的最小值为2D．的最小值为2
【答案】AD
【分析】根据进行计算然后可判断A项；利用“1”的妙用及均值不等式计算可判断B项；根据可判断C项，将变形为，然后结合的范围可判断D项.
【详解】对于A项，因为，当且仅当时取等号，则的最大值为1，故A项正确；
对于B项，因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2，故B项错误；
对于C项，，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为2，故C项错误；
对于D项，因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2，故D项正确.
故选：AD.
11．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为B．的一条对称轴为
C．是奇函数D．在区间上单调递增
【答案】AD
【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.
A. 的最小正周期为，所以该选项正确；
B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；
C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；
D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.
故选：AD
12．已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ）
A．的单调递增区间为
B．a的取值范围是
C．的取值范围是
D．函数有4个零点
【答案】CD
【分析】作出的图象，结合图象逐一判断即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：

对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A不正确；
对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以,，故B不正确；
对于C，则题意可知：，，所以，所以,，故C正确；
对于D，令，则有，令，则有或，
当时，即，即，解得；
当时，即，所以或，解得，或或，
所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确．
故选：CD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为 .
【答案】
【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．
【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，
则扇形的面积，解得：，
此扇形所含的弧长.
故答案为：.
14．函数，则 .
【答案】
【解析】首先求出，再将代入对应的解析式即可求解.
【详解】由，所以，
所以，
故答案为：
【点睛】本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
15．已知，，则 .
【答案】
【分析】直接利用两角和与差的正弦函数，展开已知表达式，求出，；然后得到结果.
【详解】∵，∴．①
∵，∴．②
①+②，得．③
①②，得．④
③÷④,得．
故答案为：.
16．设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 .
【答案】
【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.
【详解】因为是奇函数，且是偶函数，
所以，
所以，即，
故是4为周期的周期函数，且有，
则.
故答案为：
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．化简求值：
（1）；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根据指数与对数的运算公式求解即可；
(2)根据诱导公式，转化为其次问题进行求解即可.
【详解】(1)原式

.
(2)原式

.
18．已知函数是指数函数.
(1)求实数的值；
(2)已知，，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值；
（2）令，，求出函数在上的最大值和最小值，即可得出函数的值域.
【详解】（1）解：由题意可得，解得.
（2）解：由（1）可得，因为，令，，
令，则，，
因此，函数的值域为.
19．若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)若关于x的一元二次不等式的解集为R，求实数k的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由题干条件可得方程的两个根为，结合韦达定理可得，代入不等式，结合二次函数的性质，求解即可；
（2）分，两种情况讨论，当，利用开口和判别式控制，即得解
【详解】（1）由题意，方程的两个根为
，解得
此时方程为，成立
不等式即为
解得：或
故不等式的解集为：或
（2）由题意，关于x的一元二次不等式的解集为R
当时，，不恒成立；
当时
，解得
故实数k的取值范围是
20．某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
【答案】(1)最多为元；
(2)销售量至少达到11万件，此时定价30元满足题意.
【分析】（1）设每件定价，根据条件列不等式求解即可；
（2）将问题转化为不等式定区间内有解，分离参数再结合基本不等式计算即可.
【详解】（1）设定价每件元，由题意可知，
整理得，解之得，
故该商品每件定价最多为元；
（2）由上可知：当时，不等式有解，
整理得有解，
易知，当且仅当时取得等号，
此时，
所以改革后销售量至少达到11万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品定价为30元.
21．已知函数，，函数的图象上两相邻对称轴之间的距离为，_________.请从以下三个条件中任选一个补充至横线上.
①函数的图象的一条对称轴为直线；
②函数的图象的一个对称中心为点；
③函数的图象经过点.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦函数的对称轴，对称中心，特殊点的性质解出即可；
（2）先做伸缩变换，再做平移变换，得到，再利用二次函数的性质解出参数的取值范围即可.
【详解】（1）因为函数的图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以，
所以，
若选①函数的图象的一条对称轴为直线；
所以，
因为，所以，
所以；
若选②函数的图象的一个对称中心为点，
则，因为，
所以；
所以；
若选③函数的图象经过点，
则，
因为，
所以，
所以，
所以.
（2）将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，则
，
因为，所以，
所以，所以，
因为不等式恒成立，
所以设，则二次函数，开口向上，
所以，
的取值范围为.
22．已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)证明函数在上的单调递增；
(3)若存在使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数为奇函数，由求解；
（2）利用函数单调性的定义求解；
（3）根据（2）知在上的单调递增，结合在区间上的值域为，转化为在上有两个不同实根求解.
【详解】（1）解：函数为奇函数，
，
即，
当时显然不成立，
故，．
（2）证明：定义域，
任取，则，
，，，
，
，
，在上的单调递增．
（3）由（2）知在上的单调递增，
在区间上的值域为，
，且且，
即，是方程的实根，
问题等价于在上有两个不同实根，
令，显然，
则，
即，解得，故的范围．