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专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）
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这是一份专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题12全称量词与存在量词充要条件原卷版docx、专题12全称量词与存在量词充要条件解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
【核心素养】
1.与函数、不等式、平面向量、立体几何、解析几何等知识结合，考查充分条件与必要条件的判断及应用，凸显逻辑推理、数学运算等核心素养．
2．以函数、方程、不等式为载体，考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
充分条件与必要条件
（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p⇒q，且qeq \(⇒,/)p，则p是q的充分不必要条件；
（3）若peq \(⇒,/)q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p⇔q，则p是q的充要条件；
（5）若peq \(⇒,/)q且qeq \(⇒,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件．
知识点二
全称量词和存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．
（3）常见量词：
知识点三
全称命题与特称命题
1．全称命题
（1）含有全称量词的命题，叫做全称命题．
（2）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
2．特称命题
（1）含有存在量词的命题，叫做特称命题．
（2）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
知识点四
全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”．
（3）含有一个量词的命题的否定
常考题型剖析
题型一：充要条件的判定
【典例分析】
例1-1.（2022·天津·统考高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，比一定为整数；即可选出答案.
【详解】当为整数时，必为整数；
当为整数时，比一定为整数，
例如当时，.
所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
例1-2．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
例1-3．（2020·天津·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【规律方法】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分而不必要条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要而不充分条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件； 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的既不充分也不必要条件.
(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【变式训练】
变式1-1.（2020·山东·统考高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
变式1-2. （2023·四川绵阳·统考三模）已知直线与圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求直线与圆相切时的值，根据充分必要条件的定义判断.
【详解】圆，圆心，半径为1，
直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，即，解得或，
当时，直线与圆相切；当直线与圆相切时，的值不一定是，
则“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A
变式1-3. （2023·天津河北·统考一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，故充分性成立，
由可得或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
题型二：充分条件与必要条件的应用
例2-1.（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对于命题，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.
【详解】若，使得，则，可得，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，即，
所以，的一个必要不充分条件是.
故选：A.
例2-2.（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合，．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；
（2）由题意知若“”是“”的充分不必要条件则集合是集合的真子集，求出m的取值范围，再讨论即可.
【详解】（1）由，可得，
所以，所以集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，
则集合是集合的真子集，
由集合不是空集，故集合也不是空集，
所以，
当时，满足题意，
当时，满足题意，
故，即m的取值范围为.
【规律方法】
1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
【易错警示】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
【变式训练】
变式2-1. （2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.
【详解】由且半径，且半径，结合a大于0，
所以时，两圆相交，则，
由选项可得A选项为的充要条件；
B、D选项为的必要不充分条件；
C选项为的充分不必要条件；
故选：C
变式2-2. （2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式，确定集合A，讨论m的范围，确定B，根据题意推出，由此列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意集合，
，
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故,
故；
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故,
故；
若，则，此时，满足,
综合以上可得，
故选：C
题型三：全(特)称命题的否定
【典例分析】
例3-1.（2023·河南郑州·统考二模）命题：，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，.
故选：D
例3-2．（2023·天津河东·一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数B．存在一个偶数不是素数
C．存在一个奇数不是素数D．任意一个偶数都不是素数
【答案】D
【分析】根据存在量词命题，否定为，即可解得正确结果.
【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.
故选：D
【规律方法】
1.全(特)称命题进行否定的方法
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
2．常见词语的否定形式有：
【变式训练】
变式3-1.（2023·重庆·统考模拟预测）命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为，.
故选：C
变式3-2.（2023·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.
【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p：，的否定为：，.
故选：D
题型四：全(特)称命题的真假判断
【典例分析】
例4-1.（2020·山东·统考高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
【答案】D
【分析】本题可通过、、、、得出结果.
【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
【规律方法】
1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
【变式训练】
变式4-1. 下列命题中的假命题是( )
A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0
C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0
【答案】D
【解析】∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.
题型五：根据全(特)称命题的真假求参数
【典例分析】
例5-1.（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据题意知恒成立，求出时，的最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】若为真命题，等价于，
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，即，
可得，故实数的取值范围是.
故答案为：.
例5-2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）
【答案】
【分析】求出函数的值域，结合存在量词命题为是真命题作答.
【详解】因为，即函数的值域为，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【规律方法】
根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题,其本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
【变式训练】
变式5-1.（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先由为假命题，得出为真命题，即，恒成立，由，即可求出实数a的取值范围．
【详解】因为命题：，，
所以：，，
又因为为假命题，所以为真命题，
即，恒成立，
所以，即，
解得，
故选：D．
变式5-2.（2023·上海徐汇·统考二模）命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由解得或，则能推出或成立，即可得出实数的取值范围.
【详解】由可得：，解得：或，
“若，则”是真命题，则能推出或成立，
则.故实数的取值范围是.
故答案为：
一、多选题
1．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（ ）
A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数的取值范围，结合充分必要条件即可得答案.
【详解】已知：，恒成立，则方程无实根，
所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确；
又：，恒成立，所以在时恒成立，
又函数的最大值为，
所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
二、单选题
2．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由特称命题的否定形式可直接确定结果.
【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.
故选：D.
3.（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）命题“，”是真命题的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数a的取值范围．
【详解】命题“，”为真命题，则在上恒成立，
∵，∴，则.
故选∶B．
4．（2023·青海西宁·统考二模）使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．
【详解】对于A，若，，当时，成立，
所以“，”“”，A不满足条件；
对于B，，，则，即，
所以“，”“”，
若，则，不妨取，，，则，
所以“，”“”，
所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件；
对于C，若，则，使得，即，
即“”“，”，
所以“，”是“”的充分条件，C不满足条件；
对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立，
所以“，”“”，D不满足条件.
故选：B.
5．（2023·贵州·统考模拟预测）命题“”，命题“”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先根据命题求出的范围，再根据充分性和必要性的定义得答案.
【详解】对于命题，，得，
可以推出，但是不能推出，
p是q的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2023·北京·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据线面垂直的判定及性质，结合充分条件、必要条件判断即可.
【详解】当，时，可推出，但是推不出，
当时，由可知，又，所以，
综上可知，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7．（2021·北京·统考高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
8．（2020·浙江·统考高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
9.（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
10．（2021·全国·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
三、填空题
11.（2023·上海长宁·统考二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由充分条件定义直接求解即可.
【详解】“”是“”的充分条件，，，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
12．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.
【详解】（1）由q真：，得或，
所以q假：；
（2）p真：推出，
由和有且只有一个为真命题，
真假，或假真，
或，
或或.
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
命题
命题的否定
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p(x0)假
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
【核心素养】
1.与函数、不等式、平面向量、立体几何、解析几何等知识结合，考查充分条件与必要条件的判断及应用，凸显逻辑推理、数学运算等核心素养．
2．以函数、方程、不等式为载体，考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
充分条件与必要条件
（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p⇒q，且qeq \(⇒,/)p，则p是q的充分不必要条件；
（3）若peq \(⇒,/)q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p⇔q，则p是q的充要条件；
（5）若peq \(⇒,/)q且qeq \(⇒,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件．
知识点二
全称量词和存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．
（3）常见量词：
知识点三
全称命题与特称命题
1．全称命题
（1）含有全称量词的命题，叫做全称命题．
（2）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
2．特称命题
（1）含有存在量词的命题，叫做特称命题．
（2）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
知识点四
全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”．
（3）含有一个量词的命题的否定
常考题型剖析
题型一：充要条件的判定
【典例分析】
例1-1.（2022·天津·统考高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，比一定为整数；即可选出答案.
【详解】当为整数时，必为整数；
当为整数时，比一定为整数，
例如当时，.
所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
例1-2．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
例1-3．（2020·天津·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【规律方法】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分而不必要条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要而不充分条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件； 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的既不充分也不必要条件.
(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【变式训练】
变式1-1.（2020·山东·统考高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
变式1-2. （2023·四川绵阳·统考三模）已知直线与圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求直线与圆相切时的值，根据充分必要条件的定义判断.
【详解】圆，圆心，半径为1，
直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，即，解得或，
当时，直线与圆相切；当直线与圆相切时，的值不一定是，
则“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A
变式1-3. （2023·天津河北·统考一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，故充分性成立，
由可得或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
题型二：充分条件与必要条件的应用
例2-1.（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对于命题，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.
【详解】若，使得，则，可得，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，即，
所以，的一个必要不充分条件是.
故选：A.
例2-2.（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合，．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；
（2）由题意知若“”是“”的充分不必要条件则集合是集合的真子集，求出m的取值范围，再讨论即可.
【详解】（1）由，可得，
所以，所以集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，
则集合是集合的真子集，
由集合不是空集，故集合也不是空集，
所以，
当时，满足题意，
当时，满足题意，
故，即m的取值范围为.
【规律方法】
1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
【易错警示】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
【变式训练】
变式2-1. （2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.
【详解】由且半径，且半径，结合a大于0，
所以时，两圆相交，则，
由选项可得A选项为的充要条件；
B、D选项为的必要不充分条件；
C选项为的充分不必要条件；
故选：C
变式2-2. （2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式，确定集合A，讨论m的范围，确定B，根据题意推出，由此列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意集合，
，
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故,
故；
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故,
故；
若，则，此时，满足,
综合以上可得，
故选：C
题型三：全(特)称命题的否定
【典例分析】
例3-1.（2023·河南郑州·统考二模）命题：，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，.
故选：D
例3-2．（2023·天津河东·一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数B．存在一个偶数不是素数
C．存在一个奇数不是素数D．任意一个偶数都不是素数
【答案】D
【分析】根据存在量词命题，否定为，即可解得正确结果.
【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.
故选：D
【规律方法】
1.全(特)称命题进行否定的方法
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
2．常见词语的否定形式有：
【变式训练】
变式3-1.（2023·重庆·统考模拟预测）命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为，.
故选：C
变式3-2.（2023·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.
【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p：，的否定为：，.
故选：D
题型四：全(特)称命题的真假判断
【典例分析】
例4-1.（2020·山东·统考高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
【答案】D
【分析】本题可通过、、、、得出结果.
【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
【规律方法】
1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
【变式训练】
变式4-1. 下列命题中的假命题是( )
A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0
C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0
【答案】D
【解析】∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.
题型五：根据全(特)称命题的真假求参数
【典例分析】
例5-1.（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据题意知恒成立，求出时，的最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】若为真命题，等价于，
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，即，
可得，故实数的取值范围是.
故答案为：.
例5-2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）
【答案】
【分析】求出函数的值域，结合存在量词命题为是真命题作答.
【详解】因为，即函数的值域为，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【规律方法】
根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题,其本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
【变式训练】
变式5-1.（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先由为假命题，得出为真命题，即，恒成立，由，即可求出实数a的取值范围．
【详解】因为命题：，，
所以：，，
又因为为假命题，所以为真命题，
即，恒成立，
所以，即，
解得，
故选：D．
变式5-2.（2023·上海徐汇·统考二模）命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由解得或，则能推出或成立，即可得出实数的取值范围.
【详解】由可得：，解得：或，
“若，则”是真命题，则能推出或成立，
则.故实数的取值范围是.
故答案为：
一、多选题
1．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（ ）
A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数的取值范围，结合充分必要条件即可得答案.
【详解】已知：，恒成立，则方程无实根，
所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确；
又：，恒成立，所以在时恒成立，
又函数的最大值为，
所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
二、单选题
2．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由特称命题的否定形式可直接确定结果.
【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.
故选：D.
3.（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）命题“，”是真命题的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数a的取值范围．
【详解】命题“，”为真命题，则在上恒成立，
∵，∴，则.
故选∶B．
4．（2023·青海西宁·统考二模）使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．
【详解】对于A，若，，当时，成立，
所以“，”“”，A不满足条件；
对于B，，，则，即，
所以“，”“”，
若，则，不妨取，，，则，
所以“，”“”，
所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件；
对于C，若，则，使得，即，
即“”“，”，
所以“，”是“”的充分条件，C不满足条件；
对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立，
所以“，”“”，D不满足条件.
故选：B.
5．（2023·贵州·统考模拟预测）命题“”，命题“”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先根据命题求出的范围，再根据充分性和必要性的定义得答案.
【详解】对于命题，，得，
可以推出，但是不能推出，
p是q的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2023·北京·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据线面垂直的判定及性质，结合充分条件、必要条件判断即可.
【详解】当，时，可推出，但是推不出，
当时，由可知，又，所以，
综上可知，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7．（2021·北京·统考高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
8．（2020·浙江·统考高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
9.（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
10．（2021·全国·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
三、填空题
11.（2023·上海长宁·统考二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由充分条件定义直接求解即可.
【详解】“”是“”的充分条件，，，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
12．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.
【详解】（1）由q真：，得或，
所以q假：；
（2）p真：推出，
由和有且只有一个为真命题，
真假，或假真，
或，
或或.
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
命题
命题的否定
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p(x0)假
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
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