06三角函数与解三角形-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新

这是一份06三角函数与解三角形-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京通州·高三统考期末）在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·北京通州·高三统考期末）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·北京通州·高三统考期末）如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点.若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·北京丰台·高三统考期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·北京东城·高三统考期末）一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
6．（2024上·北京东城·高三统考期末）已知线段的长度为是线段上的动点（不与端点重合）.点在圆心为，半径为的圆上，且不共线，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024上·北京西城·高三统考期末）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2024上·北京东城·高三统考期末）设函数，对于下列四个判断：
①函数的一个周期为；
②函数的值域是；
③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；
④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点．
正确的判断是（ ）
A．①B．②C．③D．④
10．（2024上·北京石景山·高三统考期末）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）若，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．（2024上·北京房山·高三统考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 .
14．（2024上·北京丰台·高三统考期末）如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为．若记点到直线的距离为，则的极大值点为 ，最大值为 ．

15．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知，若存在，使，则正整数的一个取值是 ．
16．（2024上·北京顺义·高三统考期末）在中，，，则 ； ．
17．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是 .
18．（2024上·北京昌平·高三统考期末）已知，则 ．
三、解答题
19．（2024上·北京丰台·高三统考期末）在△中，，．
(1)求的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）已知函数的图象过原点.
(1)求的值及的最小正周期；
(2)若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.
21．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称.
(1)求的值；
(2)设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.
22．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)设函数，求在区间上的最大值．
参考答案：
1．B
【分析】由图可求得，根据向量积即可知.
【详解】如图所示：当点与点重合时，此时最长，
易知，且相似比为，
，在中，由余弦定理得：
，
所以，此时满足，所以，
所以，此时，
由图可知，，
则.
故选：B.
2．C
【分析】由函数奇偶性以及单调性定义对选项逐个判断即可.
【详解】对于A，的定义域为，
，故为奇函数，故A错误；
对于B，的定义域为，不关于原点对称，
故是非奇非偶函数，故B错误；
对于C，的定义域为，
，故为偶函数，
当时，，在区间上单调递减，故C正确；
对于D，的图象如下图，
故D错.
故选：C.
3．C
【分析】由题意并根据可得，由三角函数定义知，然后应用差角余弦公式计算求值即可.
【详解】由题意，设，由已知A的坐标并结合三角函数的定义得，
则.
故选：C
4．C
【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.
【详解】设，
令，且，解得，，
令，则，则在上单调递增，
，则，
则当时，，，则满足，即，
当时，，且单调递减，，且单调递增，
则时，，即；时，，即；
综上所述：的解集为，
故选；C.
5．B
【分析】根据粒子的运动轨迹得到周期，进而得到和的周期，观察图象即可.
【详解】由题知，粒子从为一个周期，
对应由为一个周期，
对应由为两个周期，
函数的周期是函数的周期的倍.
对于A，的周期为，的周期为，故A错误；
对于B，的周期为，的周期为，故B正确；
对于C，的周期为，的周期为，故C错误；
对于D，的周期为，的周期为，故D错误.
故选：B.
6．A
【分析】建立平面直角坐标系，结合图形分析可得，利用正弦函数的性质以及二次函数的性质即可得最值.
【详解】如图：设，圆M的半径为r，
则，
所以的面积，
当为时取等号，再结合二次函数的性质可得当时S有最大值，
故选：A.
7．D
【分析】利用特殊值以及函数的图象、单调性等知识确定正确答案.
【详解】A选项，若，满足，但，所以A选项错误.
B选项，若，满足，但，所以B选项错误.
C选项，若，满足，但，所以C选项错误.
D选项，对于函数，图象如下图所示，
由图可知函数在上单调递增，所以D选项正确.
故选：D
8．B
【分析】由题意首项得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.
【详解】由题意两直线均有斜率，所以，
若取，则有，但；
若，又，
所以，而，
综上所述，“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
9．D
【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断①；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断②；利用，结合两点间距离公式可判断③；结合解，根据解的情况判断④，即得答案.
【详解】对于①，，，
故不是函数的一个周期，①错误；
对于②，，
需满足，即，
令，，则即为，
当时，在上单调递增，则；
当时，，
（，故）
此时在上单调递减，则，
综上，的值域是，②错误；
对于③，由②知，，
当时，,
满足此条件下的图象上的点到的距离；
当时，,
满足此条件下的图象上的点到的距离，
当且仅当且时等号成立，
而时，或，
满足此条件的x与矛盾，即等号取不到，
故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误；
对于④，由②的分析可知，则，即，
又，故当且仅当时，，
即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，④正确．
故选：D
【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数的知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解.
10．B
【分析】利用正弦定理和三角恒等变换等知识求得正确答案.
【详解】依题意，，
由正弦定理得，
由于，所以，所以，
所以是锐角，且.
故选：B
11．D
【分析】由同角三角函数之间的基本关系可得，再由正弦定理可求得.
【详解】易知，由可得；
利用正弦定理可得.
故选：D
12．B
【分析】利用指数函数单调性比较大小判断A，利用幂函数单调性比较大小判断B，利用对数函数单调性比较大小判断C，举特例判断D.
【详解】对于A，因为，所以指数函数单调递减，所以，错误；
对于B，因为，所以幂函数在上单调递增，所以，正确；
对于C，因为，所以对数函数单调递减，所以，错误；
对于D，当时，满足，有，
此时不满足，错误.
故选：B
13．
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
则，整理得，而，
因此，又，所以.
故答案为：
14． 或 /0.5
【分析】根据三角函数的概念得及，利用面积法求得，根据的范围及三角函数的性质讨论的单调性，进而求得答案.
【详解】由题意，，
由，得
，
∴当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增；当时，单调递减，
则的极大值点为或，
∵，，
∴当，即或时，取最大值为．
故答案为：或；.
15．3（答案不唯一）
【分析】根据三角函数的性质即可得，进而可求解.
【详解】由可得,
由于，所以不妨，，则，满足，
故答案为：3（答案不唯一）
16．
【分析】由正切函数定义可求得，可得，再由正弦定理可得.
【详解】由，，可得；
所以可得，所以，即；
易知，，
由正弦定理可得；
故答案为：，
17．②④
【分析】取可判断①，取化简后可判断②，先化简，取可判断③，取可判断④.
【详解】对于①，当时，其最大值为1，最小值为0，的最大值与最小值的差为1，故①错误；
对于②，当时，，，因此对任意，，故②正确；
对于③，，，当时，故③错误；
对于④，当时，取，，使得对任意，都有，故正确.
故答案为：②④
18．/
【分析】利用正切定义以及同角三角函数关系式即可求解.
【详解】由题知，，
又，所以，
所以.
故答案为：
19．(1)
(2)选择条件②或③，
【分析】（1）由正弦定理可解得；
（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.
【详解】（1）在中，因为，又，所以．
因为，所以．
因为，所以．
（2）选择条件②：因为中，，，，
所以，即为等腰三角形，其中．
因为，所以．
所以．
设点为线段的中点，在中，．
因为中，
，
所以，即边上的中线的长度为．
选择条件③：因为中，，，，
所以，即为等腰三角形，其中．
因为的面积为，即，
所以．
设点为线段的中点，在中，．
因为中，
，
所以，即边上的中线的长度为．
由题可知，故①不合题意.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）利用函数图象过原点求得，然后利用三角恒等变换化简函数，利用周期公式求解周期；
（2）先利用换元法求解函数的单调递增区间，利用子集关系建立不等式求解即可.
【详解】（1）由得.所以
.
所以的最小正周期为.
（2）由（），得（）.
所以的单调递增区间为（）.
因为在区间上单调递增，且，此时，
所以，故的最大值为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合的取值范围可求得的值；
（2）利用三角恒等变换化简得出，由可得，结合题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】（1）解：将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
可得到函数，
由题意可知，函数为奇函数，则，
可得，又因为，则.
（2）解：由（1）可知，，
则，
因为，则，
由，可得，
因为在区间上有且只有一个零点，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）直接利用定义求最小正周期和单调递增区间即可.
（2）利用导数求函数最值即可.
【详解】（1）设的最小正周期为，显然，令，解得.
（2）由已知得，，
当时，令，，令，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则最大值是.