03指对幂函数-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份03指对幂函数-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京通州·高三统考期末）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·北京昌平·高三统考期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．6
4．（2024上·北京东城·高三统考期末）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024上·北京石景山·高三统考期末）设函数，则是（ ）
A．偶函数，且在区间单调递增
B．奇函数，且在区间单调递减
C．偶函数，且在区间单调递增
D．奇函数，且在区间单调递减
6．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中.当不变，与均变为原来的倍时，下面结论中正确的是（ ）
A．存在和，使得不变
B．存在和，使得变为原来的倍
C．若，则最多可变为原来的倍
D．若，则最多可变为原来的倍
7．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2024上·北京大兴·高三统考期末）已知且，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024上·北京大兴·高三统考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023上·北京朝阳·高三统考期末）2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足，M，m，v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
12．（2023上·北京海淀·高三统考期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．（2024上·北京房山·高三统考期末）函数的定义域是 .
14．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知是奇函数，当时，，则 ．
15．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数，则 .
16．（2024上·北京东城·高三统考期末）函数的定义域为 .
17．（2024上·北京丰台·高三统考期末）已知，则 ．
18．（2024上·北京石景山·高三统考期末）函数的定义域为 ．
三、解答题
19．（2022上·北京东城·高三统考期末）曲线在点处的切线交轴于点.
(1)当时，求切线的方程；
(2)为坐标原点，记的面积为，求面积以为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.
20．（2015上·北京西城·高三统考期末）设函数，对于任意给定的位自然数（其中是个位数字，是十位数字，），定义变换：. 并规定．记，，， ，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）当时，证明：对于任意的位自然数均有；
（Ⅲ）如果，写出的所有可能取值.（只需写出结论）
21．（2023上·北京朝阳·高三统考期中）已知是递增的等比数列，其前项和为，满足．
(1)求的通项公式及；
(2)若，求的最小值．
22．（2023上·北京西城·高三北师大二附中校考期中）已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得，其中．令为满足的所有i中的最大值，为满足的所有j中的最小值．
(1)若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值；
(2)若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，，求q的值；
(3)若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，求证：和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．
参考答案：
1．C
【分析】由函数奇偶性以及单调性定义对选项逐个判断即可.
【详解】对于A，的定义域为，
，故为奇函数，故A错误；
对于B，的定义域为，不关于原点对称，
故是非奇非偶函数，故B错误；
对于C，的定义域为，
，故为偶函数，
当时，，在区间上单调递减，故C正确；
对于D，的图象如下图，
故D错.
故选：C.
2．D
【分析】AB可根据函数图象直接得到在上的单调性；C选项，求导得到单调性；D选项，根据复合函数单调性满足同增异减求出答案.
【详解】A选项，在上单调递增，不合要求，错误；
B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C选项，在上恒成立，
故在上单调递增，C错误；
D选项，令得，，
在上单调递增，
而在上单调递减，
由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.
故选：D
3．D
【分析】由分段函数的定义域对进行分类讨论可得的范围，即可得的最大值.
【详解】当时，有，
由随增大而增大，且，故，
当时，有，即，
即，
整理得，即，
故，又，故，
综上所述，，
则，当且仅当、时等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
4．C
【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，结合逻辑用语判断即可.
【详解】，，
函数在单调递增，函数在上单调递减，
由得，得，满足充分性；
由得，得，满足必要性.
“”是“”的充要条件.
故选：C.
5．D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案.
【详解】的定义域为，
，
所以是奇函数，AC选项错误.
当时，
，
在上单调递增，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递增，B选项错误.
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递减，D选项正确.
故选：D
6．D
【分析】对于AB，由不等式的性质结合指数函数单调性即可判断；对于CD，结合基本不等式及其相关推论以及指数函数单调性即可判断.
【详解】设当不变，与均变为原来的倍时，，
对于A，若，则，故A错误；
对于B，若和，则，故B错误；
对于C，若，则，即若，故C错误；
对于D，若，由，，可得，故D正确.
故选：D.
7．B
【分析】利用指数函数单调性比较大小判断A，利用幂函数单调性比较大小判断B，利用对数函数单调性比较大小判断C，举特例判断D.
【详解】对于A，因为，所以指数函数单调递减，所以，错误；
对于B，因为，所以幂函数在上单调递增，所以，正确；
对于C，因为，所以对数函数单调递减，所以，错误；
对于D，当时，满足，有，
此时不满足，错误.
故选：B
8．A
【分析】先解对数函数不等式化简集合B，然后利用并集运算求解即可.
【详解】因为，
又，所以.
故选：A
9．D
【分析】对A：由对数性质运算即可得；对B：由对数性质运算即可得；对C：借助基本不等式运算即可得；对D：找出反例即可得.
【详解】对A：，故A正确；
对B：由，则，故，故B正确；
对C：由， 故，
当且仅当时等号成立，由，故等号不成立，
即，故C正确；
对D：当、时，符合题意，
但此时，故D错误.
故选：D.
10．B
【分析】将不等式转化为两个函数，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果.
【详解】因为，所以，即，
令，且均为增函数，则不等式为，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
又当时，
当时，，
所以由图像可知：的解集为：，
故选：B.

11．C
【分析】由题及图象关系可知，在中，当一定时，越大，则越大，
当一定时，越小，则越大，代入对应的，逐项判断选项即可得到答案.
【详解】由题及图象关系可知，在中，当一定时，越大，则越大，
当一定时，越小，则越大，
对于A，当时，，故A错误.
对于B，当时，，故B错误.
对于C，当时，，故C正确.
对于D，因为，令,， ，故D错误.
故选：C.
12．B
【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，因此，
故选：B
13．
【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.
【详解】由题意可得、，故且，
故该函数定义域为.
故答案为：.
14．/0.5
【分析】利用奇函数的定义补充分段函数，后求值即可.
【详解】由题意得是奇函数，故当时，，显然.
故答案为：
15．/
【分析】利用函数表达式即可求出的值.
【详解】由题意，
在中，
，
故答案为：.
16．
【分析】根据分式的分母不为，对数的真数大于求解即可.
【详解】，
解得且，
函数的定义域为.
故答案为：.
17．0
【分析】由解析式直接代入求解即可.
【详解】因为，
，
所以.
故答案为：0.
18．
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，，解得，
所以的定义域为.
故答案为：
19．(1)
(2)，定义域，增区间为和和
【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线方程.
（2）利用导数的几何意义求出切线方程，求得坐标，利用面积公式，写成分段函数，进而求得函数的定义域，再利用导数结合换元法研究函数的单增区间.
【详解】（1）由，求导，当时，切点为，
切线的斜率，则切线方程为：，即
所以切线的方程为：
（2）由，求导，切点
切线斜率，则切线方程为
令，则，所以切线与轴的交点
，
所以的面积为
当时，；
当或时，
所以面积以为自变量的函数解析式为
由表示面积，，
即或或
解得：或或
所以函数的定义域为
令，令，则
则，求导
令，即，解得
所以在区间上单调递增，其余部分单调递减；
所以在区间上单调递增，其余部分单调递减，
又，且，，由翻折变换可知，
的单调递增区间为和和
20．（Ⅰ）; （Ⅱ）详见解析;（Ⅲ）详见解析
【分析】（Ⅰ）由于，，，，，，即可求出．
（Ⅱ）根据二次函数的性质得出函数，由，得 ，根据的单调递增，即可求证结果；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）即可得出结果.
【详解】（Ⅰ），，，，，，
所以 ．
（Ⅱ）因为函数，
所以对于非负整数，知.（当或5时，取到最大值）
因为，
所以．
令 ，则．
当时，，
所以 ，函数，（，且）单调递增．
故 ，即．
所以当时，对于任意的位自然数均有.
（Ⅲ）的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．
21．(1)；.
(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式以及求和的定义，建立方程，求得公比，可得答案；
（2）根据对数的性质，可得答案.
【详解】（1）设等比数列的公比为，由数列是递增数列，则，
由，则，，由，
整理可得，则，解得，
易知，.
（2）由（1）可得：，
整理可得，，，
故的最小值为.
22．(1)，，
(2)或
(3)证明见解析，，
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）由等比数列的通项公式写出的通项，由题意列式后解指数型方程可得结果；
（3）由等差数列的通项公式写出的通项，用定义法证明等差数列即可.
【详解】（1）∵，，，，
又∵，，
∴且，且，
∴，
（2）由题意知， ，∴，且，
∵，
∴，
∴
∴，且，
同理：，且，，且，
又∵，
∴，
即：，且，
∵，
∴，
∴，
∴当时，，当时，，
同理：当时，，当时，，
又∵，，且，
∴，，，
解得：或
（3）证明：由题意知，，m为常数，且且，
∴为单调递增数列，
又∵，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，且且，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
又∵m为常数，且，
∴为等差数列， 为等差数列，
又∵，，
∴ ，