浙江省台州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份浙江省台州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图所示是第19届杭州亚运会的运动图标，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此作答即可．
【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有选项A能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；B，C，D都不能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形；
故选：A．
2. 已知一个三角形两边长分别为2，6，则第三边长可以为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边”进行计算即可得．
【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2，6，
∴第三边的边长x取值范围为：，即，
∴第三边的边长可以为7，
故选：C．
3. 从n边形一个顶点出发，可以作（ ）条对角线．
A. nB. n﹣1C. n﹣2D. n﹣3
【答案】D
【解析】
【详解】n边形(n>3)从一个顶点出发可以引n−3条对角线．
故选D.
点睛：根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的连线就是对角线，在n边形中与一个定点不相邻的顶点有n-3个．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方等．先根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，再得出正确选项即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：B．
5. 如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，则的长为（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，根据角平分线点性质，得到，再根据三角形的面积公式，进行求解即可．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
【详解】解：过点作，
∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∴；
故选D．
6. 下列数据不能确定形状和大小的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据三角形全等的判定方法可对各选项进行判断．
【详解】解：A、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；
B、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；
C、，根据三个角相等不能能判定两三角形全等，所以不能确定形状和大小，故此选项符合题意；
D、，符合“”，所以能确定形状和大小，故此选项不符合题意；
故选：C．
7. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
8. 如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（ ）
A. 三边垂直平分线的交点
B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点
D. 三条中线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】连接PA、PB、PC，根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，进而即可得到答案．
【详解】解：连接PA、PB、PC．
∵PD＝PF，
∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，
故P是△ABC角平分线交点，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，能熟记角平分线判定定理是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．
9. 面积相等的正方形与长方形按如图叠放，已知，则下列等式成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式混合运算的应用．根据题意得，利用长方形的面积公式列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形与长方形的面积相等，
∴，
∵，
∴，，
∴，整理得，
故选：A．
10. 如图，在中，，作高线，角平分线，中线，三者两两相交于点G，H，I．则下列说法正确的是（ ）
A. 一定为等腰三角形
B. 一定为等腰三角形
C. 一定为等腰三角形
D. 一定为等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义．根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义求得，，推出，即可判断选项D符合题意．
【详解】解：∵是高线，
∴，
若为等腰三角形，则，
∴，
而题设中并不一定是，故选项A不符合题意；
∵，
若为等腰三角形，则，
∴，
∵角平分线，
∴，，
∴，
∴，
而题设中并不一定是，故选项B不符合题意；
同理选项C不符合题意；
∵，中线，
∴，
∵角平分线，是高线，
∴，，
即，
∴，
∴一定为等腰三角形，故选项D符合题意．
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出结果．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是；
故答案为：．
13. 分式方程的解为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解为，
故答案为：．
14. 如图，把长方形沿对角线折叠，点C和点是对应点，若，则_____．
【答案】##63度
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，根据折痕是角平分线以及长方形的一个内角为90度，进行计算即可．
【详解】解：∵长方形沿对角线折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 若对任意x恒成立，其中均为整数，则m的值为 _____．
【答案】##或##或
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，有理数乘法．先根据多项式乘以多项式的计算法则得到，从而可得a、b的值，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵a、b为整数，
∴或或或，
∴，
∴的值为，
故答案为：．
16. 一副三角板如图叠放，，，互相平分于点O，点F在边上，边交于点H，边交于点G．
（1）_____；
（2）若，则_____（用含a的代数式表示）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对应的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
（1）连接，推出，，进而得到，得到，利用互余关系，求出即可；
（2）利用含30度的直角三角形的性质得到，证明为等腰三角形，进而得到，求出的长，证明为等腰三角形，得到即可．
【详解】解：（1）连接，
∵，
∴，
∴，
∵互相平分于点O，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每小题6分，第20～21题每小题6分，第22～23题每小题6分，第24题12分，共66分）
17. （1）计算：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，提取公因式法和公式法分解因式．
（1）利用平方差公式展开，再合并即可求解；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18. 如图，在中，，点P为射线上一点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的判定和性质．
（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可证明．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即；
【小问2详解】
证明：由（1）知，又∵，
∴是线段垂直平分线，
∴．
19. 先化简，再求值： ，请你从中选取适当的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则进行计算，再代入一个使分式有意义的的值，进行求值即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴当时，原式
20. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由．
图1 图2
（1）如图1，作出关于直线对称的图形；
（2）如图2，在直线上求作点P，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查轴对称变换知识，解题的关键是作出对称点以及对应点解决问题．
（1）分别作出点A、B关于直线对称点，再顺次连接即可；
（2）作出点A关于直线的对称点D，连接交直线于点P，再连接，此时．
【小问1详解】
如图，即所作；
【小问2详解】
如图，点P即为所作；
21. 2023年台州马拉松比赛于12月3日举行，各位跑友齐聚山海水城、和合圣地，以跑者之势再现力量之美．小明参与“半程马拉松”（约）项目，前以平均速度完成，之后身体竞技状态提升，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划提前到达目的地．求小明前的平均速度．
【答案】小明前的平均速度为．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意列出分式方程计算即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：小明前的平均速度为．
22. 如图1，一款液压橱柜支撑杆可以将柜门停在任意角度，取物更方便．图2为示意图，为柜壁，为柜门，点A，B为支撑杆摆臂固定点，点P为滚轮，均为支撑杆摆臂，且．为使滚轮受力均匀，保障其使用寿命，安装时只需保证即可．
（1）求证：平分；
（2）因空间受限，在摆臂夹角（）任意角度下，柜门展开角（）均不能大于，则安装支撑杆时，长度至少为何值才能实现？
【答案】（1）见解析 （2）长度至少为才能实现
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握相关性质，是解题的关键．
（1）证明，即可；
（2）求出时，且时，的长度即可．
【小问1详解】
解：由题意，在和中，
，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
由题意，当时，的度数最大，
∵柜门展开角不能大于，
∴最大为，
当，时，如图：
由（1）知平分，
∴，
∴，
∴长度至少为才能实现．
23. 为探究“十位上的数和为10，个位上的数相同”的两个数乘积的规律，现得到如下等式：
，
，
，
，
，
⋯
（1）结果的后两位为 ；
（2）设其中一个数的十位上的数为a，个位上的数为b（a，b均为小于10的正整数），请用含a，b的代数式分别表示上述两个数，并说明两个数乘积的后两位等于；
（3）若两个数的十位上的数相同，个位上的数和为10，设其中一个数的个位上的数为c（c为小于10的正整数），则这两个数乘积的后两位等于 （用含c的代数式表示）．
【答案】（1）25 （2），，说明见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探究，整式的乘法运算．正确的表示出两位数，多项式乘多项式的法则，是解题的关键．
（1）根据给定的等式，得到个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位，求解即可；
（2）表示出两个两位数，进行相乘后，即可得出结果；
（3）设十位上的数字为，表示出两个两位数，相乘后即可得出结果．
【小问1详解】
解：观察题干中的等式可知：个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位，
∵，
∴结果的后两位为；
故答案为：25．
【小问2详解】
解：由题意，两个两位数分别表示为：，，
∴
；
∴两个数乘积的后两位等于；
【小问3详解】
设十位上数字为，则两个两位数分别表示为：，，
∴两个数乘积为：
，
∴这两个数乘积的后两位等于；
故答案为：．
24. 如图1，在中，，在边上取点D，连接，在边延长线上取点E，使得．
（1）若，则 ；
（2）如图2，当，时，求四边形的面积（用含a的代数式表示）；
（3）设，
① （用含α，β的代数式表示）；
②求证：．
【答案】（1）3 （2）
（3）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）设，则，，根据，列式计算即可求解；
（2）作于点，利用面积相等求得，根据已知求得，再根据利用三角形面积公式即可求解；
（3）①利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；
②作交的延长线于点，求得，证明，推出，求得，据此求解即可证明．
【小问1详解】
解：设，则，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：3；
【小问2详解】
解：作于点，
∵，，
∴，
∴，
又，且，
∴，
∵，且，
∴，即，
∵
；
【小问3详解】
解：①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②作交的延长线于点，连接，
∵，
∴和都是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵和都是等腰三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．