山东省淄博市高青县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省淄博市高青县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. “对于二次函数，当时，y随x的增大而增大”，这一事件为（ ）
A. 必然事件B. 随机事件C. 不确定事件D. 不可能事件
【答案】A
【解析】
【分析】由该二次函数的图象在对称轴直线的右侧，y随x的增大而增大；故为必然事件．
【详解】解：由题意知，该二次函数的图象在对称轴直线的右侧，y随x的增大而增大；
∴为必然事件
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，必然事件．解题的关键在于掌握二次函数图象的性质与必然事件的含义．
2. 如图所示的钢块零件的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握从正面看到的平面图形是主视图是解本题的关键，画出从正面看到的图形即可.
【详解】解：从正面看是一个“凹”字形，
故选：A．
3. 某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若，，与地面垂直且，则灯顶A到地面的高度为（ ）m
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点E作于点E，过点C作于点M，，可得四边形是矩形，即可求出，再解直角三角形，求出，计算，即可得出结论
【详解】解：如图，过点E作于点E，过点C作于点M，
所以，四边形是矩形，
∴，
∵路灯图是轴对称图形，且，
∵
在中，
又
∴，
∴
即灯顶A到地面的高度为
故选：B
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4. 已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在反比例函数的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（ ）
A. 0＜y1＜y2B. 0＜y2＜y1C. y1＜y2＜0D. y2＜y1＜0
【答案】A
【解析】
【详解】∵反比例函数的k=3＞0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
∴当x1＞x2＞0时，有0＜y1＜y2．故选A．
考点：反比例函数的性质．
5. 对二次函数y＝x2＋2x＋3的性质描述正确的是（ ）
A. 该函数图象的对称轴在y轴左侧
B. 当x＜0时，y随x的增大而减小
C. 函数图象开口朝下
D. 该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象与系数关系判断．
【详解】解：A、y＝x2＋2x＋3对称轴为x＝﹣2，在y轴左侧，故A符合题意；
B、因y＝x2＋2x＋3对称轴为x＝﹣2，x＜﹣2时y随x的增大而减小，故B不符合题意；
C、a＝＞0，开口向上，故C不符合题意；
D、x＝0时y＝3，即与y轴交点为（0，3）在y轴正半轴，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟练运用二次函数的相关性质准确判断．
6. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．
7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，AB∥x轴，点C的坐标为（6，3），反比例函数的图象经过A，P两点，则k的值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得对角线与互相垂直且平分，再根据反比例函数的对称性可得点坐标，进而求得的值，再利用一次函数性质即可求解．
【详解】解：在菱形中，对角线与互相垂直且平分，
，
经过原点，且反比例函数的图象恰好经过，两点，
由反比例函数图象的对称性知：
，
．
过点和点作轴的垂线，垂足为和，
，
，
点的坐标为，
，，
，，
点的坐标为，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质等．
8. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，同理可得出，由结合可得出，设等边三角形的边长为a，则，，利用勾股定理可得出的长，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：

中，，
∴，
同理得：．
又∵，
∴．
设等边三角形的边长为a，则，，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键．
9. 如图，的顶点均在上，且，，为弦的中点，弦经过点，且．若的半径为4，则弦的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接、、，作于点H，先根据垂径定理证明垂直平分，则经过点D，再根据等腰三角形的“三线合一”证明，则是等边三角形，由，得，则，所以，，即可根据勾股定理求得，则．
【详解】解：连接、、，作于点H，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∵D为弦的中点，
∴，经过点D，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题重点考查垂径定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理的应用等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键．
10. 如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与x轴的一个交点在点（－3，0）和（－4，0）之间，并经过点与点，则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断①．由对称轴为直线可得，根据抛物线与轴交点范围及对称性可得抛物线与轴另一交点在，之间，再有判断②．根据抛物线开口向下，对称轴为直线，由点与点和对称轴的距离判断③．由图象可得时函数值最大，将化为判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①正确，符合题意．
对称轴为直线，
，
抛物线与轴一交点在和之间，
抛物线与轴另一交点在，之间，
时，，
，②正确，符合题意．
抛物线对称轴为直线且图象开口向下，，
，③正确，符合题意．
抛物线开口向下，对称轴为直线，
时取最大值，
由可得，
当时，即，
④错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，把所有可能出现的结果用表格表示出来，即可求解．
【详解】解：所有可能出现结果用表格表示为：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有3种，
∴两人恰好选中同一根绳子的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出所有可能出现的结果．
12. 小华沿着坡度的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了_____米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坡度，根据题意画图，过点作于点，由坡度得到，再利用勾股定理即可求解，熟练掌握坡度及勾股定理．
【详解】如图，过点作于点，则由题意得米，
∵坡度 ，
∴，即，
∴设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
∴米，即他距离地面的垂直高度上升了米，
故答案为：．
13. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据和两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答．
【详解】解：当，即时，函数解析式为：是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当即时，函数为二次函数，
∵函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴有1个实数根，
∴，
解得．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
14. 如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为________．

【答案】4
【解析】
【分析】过点作轴于点，证明，得，再根据，可得，再证明，得到的长，设，，得到的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得的值，从而可得，再利用勾股定理解得，从而求得的值．
【详解】解：如图，过点作轴于点，

轴，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
即，
同理可得，
，
，
，
设，则，，
，
都在反比例函数上，
，
解得，
，
在中，，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反比例函数图像上的点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键．
15. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，先求出，，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得：，，当、、在同一直线上时，最小，由勾股定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：在中，当时，，当时，，
解得，，
，，
，
抛物线的对称轴为直线，
点关于抛物线对称轴的对称点为点，
，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，
，
由轴对称的性质可得：，，
当、、在同一直线上时，最小，此时，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 求下列各式的值．
（1）；
（2）计算：．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，
（1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案；
（2）直接利用立方根的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
掌握特殊角的三角函数值，立方根的性质，绝对值的性质、负整数指数幂的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式

．
17. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，列出关于m的不等式，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关系m的不等式，即可求解．
【详解】（1）一元二次方程有实数根，
，
解得：；
（2），是方程的两个实数根，
，，
∵，
，解得：，
由（1）可得：，
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．
18. 在四张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、、，现将四张卡片放入一只不透明的盒子中搅匀．
（1）任意抽出一张，抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）若任意同时抽出两张，用画树状图或列表的方法求两张卡片上数字之和为非负数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：任意抽出一张，共有4种等可能的结果，其中抽到写有负数的卡片的结果有2种，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
依题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上数字和为非负数有8种，
P（两张卡片上数字和为非负数）．
【点睛】本题考查树状图法求概率．熟练掌握树状图的画法以及概率公式，是解题的关键．
19. 如图，幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾角由降为，已知原滑滑梯的长为，点在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑梯会加长多少？（精确到）
（2）若滑滑梯的正前方能有长的空地就能保证安全，原滑滑梯的前方有长的空地，像这样改造是否可行？说明理由．（参考数据：，，）
【答案】（1）改善后滑滑梯会加长2.07 m；（2）这样改造能行，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求AD长的时候，可在直角三角形ADC内，根据∠D的度数和AC的长，运用正弦函数求出AD的长．
（2）本题实际要求的是BD的长是否超过3m，如果超过了那么这样修改滑板的坡度就不可行，反之，则可行．就要先求出BD的长．根据BD=CD-BC即可求解．
【详解】（1）Rt△ABC中，AC=AB×sin45°=（m），
Rt△ADC中，∠D=30°，
∴AD=2AC=（m），
∴AD-AB=≈2.07（m）．
改善后滑滑梯会加长2.07 m；
（2）这样改造能行．
在直角△ACD中，CD=（m），
Rt△ABC中，∠ABC=45°，
∴BC= AC=（m），
因为BD=CD-BC=≈2.59（m），而6-3＞2.59．
因此，像这样改造是可行的．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形有公共的直角边求解是解决此类题目的基本出发点．
20. 如图，一次函数图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图像直接写出不等式的解集；
（3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或，
（3）或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据图像位置关系即可得解；
（3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可．
【小问1详解】
解：将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
将点、分别代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、，
设，则，
∴，
则，
，
，
，
，
∵的面积为，
∴，
∴，
即点的坐标为．

如图，过作轴于点，过作轴于点，设，

由（1）得：，，
∴，，
∴，，，
则
，
，
∴，
即点的坐标为，
综上所述：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键．
21. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量件是售价元件的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润元的三组对应值如下表：
注：周销售利润周销售量售价进价
（1）求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
（2）求该商品的进价和周销售的最大利润；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了元件，物价部门规定该商品售价不得超过元件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是元，求的值．
【答案】（1）
（2）当时，
（3）的值为
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）用每件的售价减去每件的利润即可得到进价，根据题意得到与x之间的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出周销售的最大利润；
（3）根据题意得到与x之间的二次函数关系式，利用二次函数的性质进行求解即可．
【小问1详解】
依题意设，
则有
解得：
关于的函数解析式为；
【小问2详解】
该商品进价是；
由题意得，
每周获得利润，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，；
即该商品的进价是元，周销售的最大利润为元；
【小问3详解】
根据题意得，
，
，
对称轴，
，
抛物线的开口向下，
，
，
随的增大而增大，
当时，最大值为，
即，
解得：，
答：的值为．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键．
22. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离；
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）20．
【解析】
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可；
（3）在直角△BCF中，利用勾股定理可以求得CF=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了．
【详解】解：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=CB=，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，
∴sin∠CAN=，
∴
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
设AF=x，则CF=5﹣x，
在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，
在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，
∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，
∴x=3，
∴BF2=25﹣32=16，
∴BF=4，
即点B到AC的距离为4．
（3）在Rt△BCF中，CF=
∴AF=AC-CF=5-2=3，
∵BF∥CP，
∴,，
∴CP=，BP=
∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，构造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本题的关键．
23. 已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值；
（3）在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）（1，4）或（2，3）
【解析】
【分析】（1）根据题意待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据二次函数解析式求得点得到坐标，进而求得直线的解析式，设P点坐标为，则Q点坐标为，进而表示出的长，根据二次函数的性质求得最大值即可；
（3）过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，根据∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比，求得,根据平行线分线段成比例求得，进而求得的长，即可求得的坐标，根据一次函数的平移可得直线EG解析式为：y= -x+5，联立直线与抛物线解析式，即可求得点的坐标
【小问1详解】
抛物线经过点，
解得
抛物线的解析式为：
【小问2详解】
抛物线的解析式为：
令，则
设直线的解析式为
则
解得
直线BC的解析式为：
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为，
则Q点坐标为，
则
∴PQ的最大值是．
【小问3详解】
∵∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比，
OF：DF=S△COF：S△CDF＝3：2
过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，
根据平行线分线段成比例，
OF：FD=OC：CE=3：2
∵OC=3，
∴OE=5，
∴E（0，5）
∴直线EG解析式为：y= -x+5
联立方程，得：
解得：，
则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的性质求最值，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
售价元件



周销售量件



周销售利润元