山东省淄博市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省淄博市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1. 剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，正确理解轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，根据两类图形的定义即可得到结果．
【详解】选项A，图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
选项B，图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
选项C，图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
选项D，图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解即把一个多项式写成几个多项式的积，按照定义判断即可．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、，分解错误，故不符合题意；
D、，属于因式分解，故符合题意；
故选D．
3. 如图，△ABC沿BC方向平移后的得到△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意判断BE的长就是平移的距离，利用已知条件求出BE即可．
【详解】因为沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，
所以BE的长等于平移的距离，
由图可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，
所以BE=BC-ED=5-2=3,
故选 C．
【点睛】本题考查了平移，正确找出平移对应点是求平移距离的关键．
4. 不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是正整数，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：．
故选：D
【点睛】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．
5. 为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ）

A. 中位数是5B. 众数是5C. 平均数是5.2D. 方差是2
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差定义逐个计算即可．
【详解】根据条形统计图可得，
从小到大排列第5和第6人投篮进球数都是5，故中位数是5，选项A不符合题意；
投篮进球数是5的人数最多，故众数是5，选项B不符合题意；
平均数，故选项C不符合题意；
方差，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差和条形统计图的知识，解答本题的关键在于读懂题意，从图表中筛选出可用的数据，然后整合数据进行求解即可．
6. 如图，在中，，将以点A为旋转中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E．当点D落在边上时，交于点F，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题重点考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、旋转的性质：旋转前后，对应边及对应角相等，熟记相关结论是解题关键．由旋转可推出，根据，计算，从而得到，即得到，再根据即可求解．
【详解】解：由旋转可知：，，，
∴，
即：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
7. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是令最简公分母为0，求出增根．
首先分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，确定x的值，把x的值代入整式方程计算即可．
【详解】
整理得：，
去分母，得：，
即，
原分式方程有增根，
，即，
当时，，
，
故选：A
8. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：在平行四边形中，
，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9. 如图，点A，B为定点，定直线，是上一动点，点M，N分别为的中点，下列各值：①线段的长；②的周长；③的面积；④四边形的面积；⑤的大小．其中随点P的移动而不变的是（ ）

A. ①②③B. ①②③④C. ①②③④⑤D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理，三角形的周长公式，面积公式，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵点M，N分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵点A，B为定点，
∴的长为定值，
∴的长为定值，故①正确；
∵的周长为，
∵是上一动点，
∴不是定值，
∴的周长不是定值，故②错误；
∵，
∴，
∴点到距离不变，
∵的长为定值，
∴的面积等于乘以点到的距离，为定值，故③正确；
∵同理可得：的面积为定值，
∴四边形的面积等于的面积减去的面积，为定值；故④正确；
∵是上一动点，
∴的大小随着点P的移动而变化；故⑤错误．
综上，正确的是①③④，
故选D．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行线间的距离，三角形的面积公式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
10. 如图，是等边三角形，，E是的中点，D是直线上一动点，线段绕点E逆时针旋转，得到线段，当点D运动时，则的最小值为（ ）
A B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】作于M，于N，设，则，由旋转的性质易得，然后分D在上时和D在的延长线上时，分别通过勾股定理计算出，然后利用二次函数的最值解答即可．
【详解】解：作于M，于N，如图所示：
设，
∵为等边三角形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
在中， ，
∵线段绕点E逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当D在上时，， ，
在中，
，
当D在的延长线上时，如图所示：
，，
在中，
，
当时，有最小值，
∵，
∴的最小值为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数的最值以及旋转的性质等，涉及知识点较多，较为复杂，正确的作出辅助线并分类讨论是解题关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 若分式的值为0，则x的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可．
【详解】由x2-9=0，得
x=±3．
又∵x+3≠0，
∴x≠-3，
因此x=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键．
12. 分解因式：2a2﹣8b2=________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可．
【详解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为2（a+2b）（a﹣2b）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
13. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是_____．
【答案】10
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
，
解得．
所以这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
14. 如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，，分别为，的中点，连接，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理等知识．连接，取中点，连接，，由三角形中位线定理推出，，，，再证明，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：连接，取中点，连接，，交于点H．
∵，分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
∵，
∴，
∵，
，
∴在中，．
故答案为：
15. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做和谐三角形，例如：某三角形三边长分别是，3，2，因为，所以这个三角形是和谐三角形．在平行四边形中，于点O，，且是和谐三角形，则该平行四边形的面积为______．（温馨提示：，，）
【答案】或3
【解析】
【分析】本题考查了新定义，菱形判定及性质，勾股定理，理解新定义，掌握性质，能根据“和谐三角形”中不同的第三边进行分类讨论是解题的关键．
由菱形的判定方法得四边形是菱形，①为第三边时，由新定义得，再由菱形的性质得，由勾股定理得，由菱形的面积得，即可求解；②（或）为第三边时，同理可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
；
①如图，为第三边时，
是和谐三角形，
，
解得：；
，
；
，
；
②如图，（或）为第三边时，
是和谐三角形，
，
解得：；
，
；
，
；
综上所述：该平行四边形的面积为或3．
故答案：或3．
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16. （）化简：；
（）解方程：．
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）按照分式的运算法则进行计算即可得到结果；
（）按照解分式方程的步骤进行解答即可求解；
本题考查了分式的运算，解分式方程，掌握分式的运算法则及解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：（）
，
，
，
；
（）
方程两边都乘以得，
，
解得；
检验：当时，，
原方程的解为．
17. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．
求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
（1）首先由平行四边形的性质得到，，然后证明即可；
（2）首先由平行四边形的性质得到，，然后结合得到，即可证明四边形是平行四边形．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
．
【小问2详解】
四边形平行四边形
，
，
四边形是平行四边形．
18. 某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．

表1
设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2．
表2
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数；
（3）从多角度分析本次专项安全教育活动的效果．
【答案】（1）见解析，，，；
（2）估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先求出第二次测试得8分的人数，然后求出第二次测试得7分的人数，再补全统计图即可；根据众数、中位数的定义，合格率的计算方法求解即可；
（2）用总人数乘以专项安全教育活动后的合格率即可；
（3）可以从平均数、中位数以及合格率这几个角度进行分析．
【小问1详解】
解：第二次测试得8分的人数为：（人），
第二次测试得7分的人数为：（人），
补全图2中的统计图如图：

由表1知，第一次测试得8分的人数有12人，人数最多，故众数，
第二次测试的平均数为，
第二次测试的合格率；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人；
【小问3详解】
解：第二次测试的平均数、中位数以及合格率较第一次均有大幅提升，
故本次专项安全教育活动的效果非常显著．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，众数、中位数的定义，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
19. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【解析】
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【小问1详解】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小问2详解】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
20. 如图所示的10×10的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题：
（1）画出绕原点O旋转后的．
（2）将沿x轴翻折后再沿y轴向上平移2个单位长度，得到，请画出，若在内有一点经过这两次变换后的对应点是，请直接写出点的坐标．
（3）将绕某点逆时针旋转后，得到，顶点A，B，C的对应点分别为，，，请画出，并直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）详见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换、轴对称变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据轴对称和平移的性质作图即可；结合轴对称和平移的性质可得答案．
（3）根据点，，的坐标描点再连线可得；连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M，则点M即为旋转中心，即可得出答案．
【小问1详解】
如图，即为所求．
小问2详解】
如图，即为所求．
由题意得，点的横坐标为a，纵坐标为，
∴点的坐标为．
【小问3详解】
如图，即为所求．
连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M，
则将绕点M逆时针旋转后可得到，
∴旋转中心点M的坐标为．
21. 先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
a.分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
① ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by) ②2xy+y²-1+x²=x²+2xy+y²−1
=x(a+b)+y(a+b) =(x+y)²-1
=(a+b)(x+y) =(x+y+1)(x+y−1)
b.拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x²+2x-3=x²+2x+1−4=(x+1)²-2²=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) ．
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a²—b²+a—b；
（2）分解因式：a²+4ab—5b²；
（3）多项式x²-6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
【答案】（1）（a—b）（a＋b＋1）；
（2）（a＋5b）（a－b）；
（3）多项式x²-6x+1有最小值﹣8，它取最小值时x的值为3．
【解析】
【分析】（1）将前面两项利用平方差公式分解因式，进而利用提公因式法分解因式即可；
（2）将前a²+4ab—5b²转化为（a²+4ab+4b²）－9b²，前三项符合完全平方公式，然后进一步分解即可；
（3）将x²-6x+1转化成（x²－6x+9）－8进一步分解为（x－3）²－8，根据（x－3）²≥0，即可求得x²-6x+1的最小值，同时求得取最小值时x的值．
【小问1详解】
解：a²—b²+a—b
＝（a＋b）（a—b）＋（a—b）
＝（a—b）（a＋b＋1）；
【小问2详解】
解：a²+4ab—5b²
＝a²+4ab+4b²－4b²－5b²
＝（a²+4ab+4b²）－9b²
＝（a＋2b）2－（3b）²
＝（a＋2b＋3b）（a＋2b－3b）
＝（a＋5b）（a－b）；
【小问3详解】
解：x²-6x+1
＝x²－6x+9－9＋1
＝（x²－6x+9）－8
＝（x－3）²－8
∵（x－3）²≥0，
∴（x－3）²－8≥﹣8，
∴x²-6x+1≥﹣8，
∴多项式x²-6x+1有最小值为﹣8，此时，x－3＝0，即x＝3．
∴多项式x²-6x+1有最小值﹣8，它取最小值时x的值为3．
【点睛】此题主要考查了分组分解法和拆项法，将原式分组和拆项后转化为能用提公因式法、公式法进行分解是解题的关键．
22. 如图，在等边中，点D为边上的一动点，以点D为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，过点F作交的延长线于点E，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
（3）若点M是线段的中点，连接，，线段与交于点O，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）相等，见解析
（3）60度
【解析】
【分析】（1）按题目要求补图即可；
（2）连接，证明是等边三角形，并结合等边可得出，，，然后证明即可少外出结论；
（3）利用全等三角形的性质和角的和差可证，利用含的直角三角形的性质以及线段中点的定义可得，然后证明，得出，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，依题意补全图形
；
【小问2详解】
解：线段，之间的数量关系是．
连接．
是等边三角形，
，．
以为中心线段顺时针旋转得到线段，
，．
是等边三角形．
，．
，
，
在与中，
．
．
【小问3详解】
解：，
，
，点，，在一条直线上，
．
即．
，，
，
．
又为的中点，
．
．
在与中，
．
．
设与交于点，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
23. 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【探究】下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
【应用】如图1，点，，，分别是四边形的边，，，的中点，连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展】如图2，的中线，相交于点，已知，，请求出点到直线的距离．

【答案】探究：详见解析；应用：四边形EFGH的形状是平行四边形；拓展：到的距离为2．
【解析】
【分析】探究：选择方法一：延长到点，使，连接，，，由，，知四边形是平行四边形，故，，即可证四边形是平行四边形，有，，从而可得，且；
选择方法二：取中点，连接并延长到点，使，连接，证明，得，，即得，从而可得四边形是平行四边形，有，，可证，四边形是平行四边形，即可得，且；
应用：连接，由，分别是，的中点，得，，由，分别是，的中点，得，，故，，从而四边形是平行四边形；
拓展：由，为的中线，知，由为的重心，知，可得，即可得到的距离为．
【详解】解：【探究】选择方法一：
证明：如图2，延长到点，使，连接，，，如图：

，，
四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
四边形是平行四边形，
∴，，
，
；
即，且；
选择方法二：
证明：如图3，取中点，连接并延长到点，使，连接，

在和中，
，
，
，，
∴，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
∴，且；
【应用】四边形是平行四边形；理由如下：
连接，如图：

，分别是，的中点，
∴，，
，分别是，的中点，
∴，，
∴，，
四边形是平行四边形；
【拓展】，为的中线，
，
为的中线，
为的重心，
，
，
，
到的距离为．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及平行四边形判定与性质，全等三角形判定与性质，三角形的重心的性质等，解题的关键是能熟练应用三角形中位线定理．
分数/分
人数/人
2
4
5
6
6
8
7
8
8
12
9
2
平均数/分
众数/分
中位数/分
合格率
第一次
6.4
a
7
35%
第二次
b
8
9
c
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．

方法一：
证明：如图，延长到点，使，连接，，．

方法二：
证明：取中点，连接并延长到点，使，连接．