黄金卷04-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考广东专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则（ ）
A．4B．2C．D．
3．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（ ）
A．568B．566C．696D．675
4．设，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术，赛艇，射击3个自选项目.若将3男，3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有（ ）
A．540种B．36种C．108种D．90种
6．椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．在直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知一组数据，，，，，，其中，，，，，平均数为，方差为．若去除，两个数据后，剩余数据的方差为，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角的余弦值为B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为D．若向量与向量共线，则
11．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是图象的一个对称中心
C．是图象的一条对称轴
D．将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象
12．已知函数有两个不同的极值点，则（ ）
A．有两个不同的解
B．实数的取值范围是
C．两个极值点同号
D．极大值大于极小值
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与圆相切，则实数 ．
14．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 ．
15．已知函数是偶函数，则 ．
16．已知双曲线C：的右焦点为F，过点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，Q，若，（O为坐标原点），则 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
18．（12分）已知数列的前n项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
19．（12分）如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，．

(1)证明：平面平面；
(2)若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
20．（12分）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.
21．（12分）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．
22．（12分）已知函数在点处的切线方程为：.
(1)求实数a，b的值；
(2)证明：；
(3)若方程有两个实数根,且，证明：.