山东省德州市庆云县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省德州市庆云县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的；每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均计0分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B C．D．
2．如图，在，，，，则的面积为（ ）
2题图
A．24B．C．D．12
3．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ）
3题图
A．B．C．D．
4．如图，内接于，是的直径，连接，则的度数是（ ）
4题图
A．B．C．D．
5．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
6．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）
6题图
A．12.5米B．15米C．25米D．92.5米
7．如图，在中，，，动点从点开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时与相似．（ ）
7题图
A．2B．4C．2或4D．2或0.8
8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）
9题图
A．B．C．D．
10．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表：
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与轴的一个交点坐标为D．函数的最大值为
11．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．3B．C．D．
12．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，都是“方形点”．
下列结论：①直线上存在“方形点”；
②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是；
③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是：其中，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，请将正确答案填在相应的横线上；每小题填对得4分，错填、不填，均计0分）
13．如图，中，，，，则的值为______．
13题图
14．是斜靠在墙上的长梯，梯角距墙，梯上点距墙，，则为______．
14题图
15．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为______元
16．某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为，那么水管的设计高度应为______．
17．如图，点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，点在轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数的值为______．
17题图
18．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点是直线上的点，半径为1的的圆心从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线的方向运动，设点运动的时间为秒，则当______秒时，与y轴相切．
18题图
三、解答题（本大题有7个小题，共78分；解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（满分8分）解方程：（1）（2）
20．（满分10分）打造书香文化，培养阅读习惯，庆云县某中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的______，______，文学类书籍对应扇形圆心角等于______度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
21．（满分10分）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）如果筝形的两条对角线长分别为、，求筝形的面积？
（2）已知筝形的对角线的长度为整数值，且满足．试求当的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？
22．（满分12分）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
23．（满分12分）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围住，木栏总长为．
图1
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标
图2
如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，
因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法说明理由．
【问题解决】
（3）求当木栏总长a为多少时？面积为的矩形地块满足．
24．（满分12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动：
【问题情境】
如图1，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转某一角度到达的位置，那么可以得到：，，；，，（ ）
图1
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：______；
图2
（2）如图2，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转到达扇形的位置．
①请在图中作出点；
②如果，则在旋转过程中，求点经过的路径长？
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
图3
25．（满分14分）
已知抛物线：
（1）若抛物线的对称轴且过点．
①求出抛物线的解析式；
②抛物线上有两点，当时，求的取值范围．
（2）若．
①已知抛物线始终过定点，求定点的坐标；
②抛物线不经过第三象限，且经过点，若一元二次方程的两根分别是，求证：．
九年级数学试题答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．14．4.415．5016．
17．18．3或5
三、解答题：（本大题共7小题，78分）
19．计算（本题满分8分，每小题4分）
答案略
20．（本题满分10分）
解：（1）18，6，72；
（2）（人），
答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；
（3）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即，
甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
21．（本题满分10分）
证明：（1），点在的垂直平分线上．
同理点在的垂直平分线上．垂直平分．
所以．，，
则
．
又筝形的两条对角线长分别为，，
所以．
（2）令，则，
由（1）知，
，
又的长度为整数值，
则当时，有最大值，最大值为．
此时．
22．（本题满分12分）
（1）证明：如图，连接，
，，，
，，
又，，
是的直径，，
，，即，
是半径，是的切线；
（2）解：在中，设半径为，即，则，
，，，
在中，，
，．
23．（本题满分12分）
解：【问题探究】
（1）故答案为：；4；2；
【类比探究】
（2）不能围出；
的图象，如答案图中所示：
与函数图象没有交点，
不能围出面积为的矩形．
【问题解决】
（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值为8，此时；
24．（本题满分12分）
解：【问题解决】
（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①如图：
作线段的垂直平分线，两垂直平分线交于，点为所求；
②，，是等腰直角三角形，
，，
（），点经过的路径长为，
故答案为：；
【问题拓展】
连接，交于，连接，如图：
点为中点，，
由旋转得，，
在中，，
，
在中，
，，
；，
下面证明阴影部分关于对称：
，，
，，，
，，，
，，
，，，
阴影部分面积被等分，
．
两个纸板重叠部分的面积是．
25．（本题满分14分）
（1）①解：抛物线的对称轴为，，得：
抛物线过点，，得：
抛物线的解析式为
②共有三种情况：
1）当两点同在对称轴左侧时，，得：；
2）当两点同在对称轴右侧时，此情况不成立；
3）当两点在对称轴两侧时，
，得：；综上，
（2）①解：抛物线
若抛物线始终过定点，则此时与的取值无关
，解得：
当时，，定点的坐标为
②证明：抛物线不经过第三象限且经过定点
抛物线开口向上即，且
把代入，
解得：，（舍去），（舍去）
一元二次方程为
以下两种做法都给分：说明方程没有实数根的给2分，或者按照以下解法给2分
是方程的两虚根
，，
，，
左边右边，原式成立0
1
0
4
6
6
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
C
C
C
D
B
C
C
A
B