（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练第28讲等比数列及其前n项和（讲+练）原卷版+解析

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1．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( )
A．4 B.eq \f(5,2)
C．2 D.eq \f(1,2)
2．已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3－eq \f(a\\al(2,7),2)＋a11＝0，数列{bn}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝( )
A．25 B．16
C．8 D．4
3．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
4．设{an}是首项大于零的等比数列，则“aeq \\al(2,1)A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝( )
A．1 B．5
C.eq \f(31,48) D.eq \f(11,16)
6．已知{an}是等比数列，若a1＝1，a6＝8a3，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和为Tn，则T5＝( )
A.eq \f(31,16) B．31
C.eq \f(15,8) D．7
A
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q3＝eq \f(a6,a3)＝eq \f(8a3,a3)＝8，故q＝2.易证数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，所以T5＝eq \f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq \f(31,16).
7．已知{an}是公差为3的等差数列，若a1，a2，a4成等比数列，则{an}的前10项和S10＝( )
A．165 B．138
C．60 D．30
8．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于( )
A．－2 B．－1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
9．已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则q＝________.
10．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于________．
【练提升】
1．已知等比数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且满足：a1＋3a3＝eq \f(7,2)，S3＝eq \f(7,2)，则a4＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,8)
C．4 D．8
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1a2a3＝－27，则a5＝( )
A．81 B．24
C．－81 D．－24
3．(多选)在公比为q的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是( )
A．q＝3 B．数列{Sn＋2}是等比数列
C．S5＝121 D．2lg an＝lg an－2＋lg an＋2(n≥3)
4．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n项和Sn＝126，则n＝ ( )
A．2 B．4
C．6 D．8
5．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－eq \f(8,9)，则当Tn取得最大值时，n的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
6．若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝________.
7．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2aeq \\al(2,5)，a2＝1，则a1＝________.
8．在数列{an}中，aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
第28讲等比数列及其前n项和
【练基础】
1．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( )
A．4 B.eq \f(5,2)
C．2 D.eq \f(1,2)
【答案】C
【解析】由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1·a1q4＝16，,a1q＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,q＝－2))(舍去)，故选C.
2．已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3－eq \f(a\\al(2,7),2)＋a11＝0，数列{bn}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝( )
A．25 B．16
C．8 D．4
【答案】B
【解析】由a3－eq \f(a\\al(2,7),2)＋a11＝0，得2a7－eq \f(a\\al(2,7),2)＝0，a7＝4，所以b7＝4，b1·b13＝beq \\al(2,7)＝16.
3．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
【答案】C
【解析】由题意得，2a5a6＝18，∴a5a6＝9，∵a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.
4．设{an}是首项大于零的等比数列，则“aeq \\al(2,1)A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设公比为q，若aeq \\al(2,1)1，则q>1或q<－1，当q<－1时，数列为摆动数列，则“数列{an}为递增数列”不成立，即充分性不成立，若“数列{an}为递增数列”，则a10，∴a2>0，则“aeq \\al(2,1)5．已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝( )
A．1 B．5
C.eq \f(31,48) D.eq \f(11,16)
【答案】D
【解析】由题意得eq \f(a11－q3,1－q)＝3a1q2，解得q＝－eq \f(1,2)或q＝1(舍)，所以S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))5,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \f(11,16).
6．已知{an}是等比数列，若a1＝1，a6＝8a3，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和为Tn，则T5＝( )
A.eq \f(31,16) B．31
C.eq \f(15,8) D．7
【答案】A
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q3＝eq \f(a6,a3)＝eq \f(8a3,a3)＝8，故q＝2.易证数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，所以T5＝eq \f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq \f(31,16).
7．已知{an}是公差为3的等差数列，若a1，a2，a4成等比数列，则{an}的前10项和S10＝( )
A．165 B．138
C．60 D．30
【答案】A
【解析】由a1，a2，a4成等比数列得aeq \\al(2,2)＝a1a4，即(a1＋3)2＝a1·(a1＋9)，解得a1＝3，则S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)d＝10×3＋45×3＝165.故选A.
8．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于( )
A．－2 B．－1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
【答案】B
【解析】将已知两式作差得S4－S2＝3a4－3a2，所以a3＋a4＝3a4－3a2，即3a2＋a2q－2a2q2＝0.所以2q2－q－3＝0，解得q＝eq \f(3,2)或q＝－1(舍去)．将q＝eq \f(3,2)代入S2＝3a2＋2，即a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1.
9．已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则q＝________.
【答案】2
【解析】由等比数列的性质得aeq \\al(2,4)＝a3a5，又因为a3a5＝4(a4－1)，所以aeq \\al(2,4)＝4(a4－1)，解得a4＝2.又a1＝eq \f(1,4)，所以q3＝eq \f(a4,a1)＝8，解得q＝2.
10．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于________．
【答案】eq \f(32,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))
【解析】因为{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，所以q3＝eq \f(a5,a2)＝eq \f(1,8)，则q＝eq \f(1,2)，所以eq \f(anan＋1,an－1an)＝q2＝eq \f(1,4)(n≥2)．
所以数列{anan＋1}是以8为首项，eq \f(1,4)为公比的等比数列．所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq \f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n)),1－\f(1,4))＝eq \f(32,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n))).
【练提升】
1．已知等比数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且满足：a1＋3a3＝eq \f(7,2)，S3＝eq \f(7,2)，则a4＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,8)
C．4 D．8
【答案】A
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q>0.
∵a1＋3a3＝eq \f(7,2)，S3＝eq \f(7,2)，∴a1＋3a1q2＝eq \f(7,2)，a1(1＋q＋q2)＝eq \f(7,2)，联立解得a1＝2，q＝eq \f(1,2).
则a4＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,4).故选A.
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1a2a3＝－27，则a5＝( )
A．81 B．24
C．－81 D．－24
【答案】C
【解析】解法一：易知等比数列{an}的公比q≠1，由S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，可得eq \f(a11－q2n,1－q)＝4×eq \f(a11－q2n,1－q2)，解得q＝3.由a1a2a3＝aeq \\al(3,2)＝－27，得a2＝－3，所以a5＝a2q3＝－3×33＝－81.故选C.
解法二：当n＝1时，S2＝a1＋a2＝4a1，即a2＝3a1，所以q＝3.又a1a2a3＝aeq \\al(3,2)＝－27，所以a2＝－3，所以a5＝a2q3＝－3×33＝－81.故选C.
3．(多选)在公比为q的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是( )
A．q＝3 B．数列{Sn＋2}是等比数列
C．S5＝121 D．2lg an＝lg an－2＋lg an＋2(n≥3)
【答案】ACD
【解析】因为a1＝1，a5＝27a2，所以有a1·q4＝27a1·q⇒q3＝27⇒q＝3，因此选项A正确；
因为Sn＝eq \f(1－3n,1－3)＝eq \f(1,2)(3n－1)，所以Sn＋2＝eq \f(1,2)(3n＋3)，
因为eq \f(Sn＋1＋2,Sn＋2)＝eq \f(\f(1,2)3n＋1＋3,\f(1,2)3n＋3)＝1＋eq \f(2,1＋31－n)≠常数，所以数列{Sn＋2}不是等比数列，故选项B不正确；
因为S5＝eq \f(1,2)(35－1)＝121，所以选项C正确；
an＝a1·qn－1＝3n－1>0，
因为当n≥3时，lg an－2＋lg an＋2＝lg(an－2·an＋2)
＝lg aeq \\al(2,n)＝2lg an，所以选项D正确．
4．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n项和Sn＝126，则n＝ ( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a2an－1＝a3an－2＝a1an，又因为a2an－1＋a3an－2＝256，所以a1an＝128，又因为a1＋an＝66.所以a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2.因为Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)，且Sn＝126，所以若a1＝2，an＝64，则eq \f(2－64q,1－q)＝126，得q＝2.此时an＝2×2n－1＝2n＝64，n＝6；若a1＝64，an＝2，则eq \f(64－2q,1－q)＝126，得q＝eq \f(1,2)，此时an＝64×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝2，得n＝6.综上知，n＝6.
5．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－eq \f(8,9)，则当Tn取得最大值时，n的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】C
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q3＝－eq \f(8,9)，所以q3＝eq \f(1,27)，q＝eq \f(1,3)，易知此等比数列各项均为负数，则当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B；而T2＝(－24)2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝24×8＝192，T4＝(－24)4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))6＝84×eq \f(1,9)＝eq \f(84,9)>192，T6＝(－24)6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))15＝86×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))9＝eq \f(86,39)＝eq \f(84,9)×eq \f(82,37)6．若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝________.
【答案】eq \f(3n－1＋1,2)
【解析】因为a1＝1，a2＝2，a3＝5，
所以a2－a1＝1，a3－a2＝3.
所以等比数列{an＋1－an}的首项为1，公比为3，
所以an＋1－an＝1×3n－1.
所以a2－a1＝1，
a3－a2＝3，
…
an－an－1＝3n－2，
以上各式相加得an－a1＝1＋3＋…＋3n－2＝eq \f(1－3n－1,1－3)＝eq \f(3n－1－1,2)，又a1＝1，所以an＝eq \f(3n－1＋1,2)(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1，也满足上式，所以an＝eq \f(3n－1＋1,2).
7．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2aeq \\al(2,5)，a2＝1，则a1＝________.
【解析】∵a3a9＝aeq \\al(2,6)，∴aeq \\al(2,6)＝2aeq \\al(2,5)，设等比数列{an}的公比为q，∴q2＝2，由于q>0，解得q＝eq \r(2)，∴a1＝eq \f(a2,q)＝eq \f(\r(2),2).
【答案】eq \f(\r(2),2)
8．在数列{an}中，aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)证明：∵aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(an＋2＋1,an＋1＋1).
∵a1＝2，a2＝5，∴a1＋1＝3，a2＋1＝6，∴eq \f(a2＋1,a1＋1)＝2，
∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1＝3·2n－1，
∴an＝3·2n－1－1，∴Sn＝eq \f(31－2n,1－2)－n＝3·2n－n－3.