2022年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用） 专题06一元二次方程【原卷版+解析】

这是一份2022年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用） 专题06一元二次方程【原卷版+解析】，共19页。

1．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
2．（2022•常德）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4B．k＜4C．k＜﹣4D．k＞1
3．（2022•新疆）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞−14B．k≥−14C．k＜−14D．k≤−14
4．（2022•乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（ ）
A．13B．23C．1D．−13
5．（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0
6．（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36B．﹣36C．9D．﹣9
7．（2022•武威）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6
8．（2022•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根D．不能判定
9．（2022•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242
10．（2022•泸州）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．﹣3或1D．﹣1或3
11．（2022•重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．625（1﹣x）2＝400B．400（1+x）2＝625
C．625x2＝400D．400x2＝625
12．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022B．0C．2022D．4044
13．（2022•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52B．2×8（1+x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52D．8（1+x2）＝11.52
14．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210
二．填空题（共12小题）
15．（2022•娄底）已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝ ．
16．（2022•宿迁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
17．（2022•孝感）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是 ．
18．（2022•眉山）设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x12+x22的值为 ．
19．（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ ＝0有两个不相等的实数根．
20．（2022•云南）方程2x2+1＝3x的解为 ．
21．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n的值是 ．
22．（2022•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
23．（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
24．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ （用百分数表示）．
25．（2022•江西）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
26．（2022•重庆）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 ．
三．解答题（共5小题）
27．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
28．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
29．（2022•南充）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
30．（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ．x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求1s−1t的值．
31．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）
专题06一元二次方程
一．选择题（共14小题）
1．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解析】x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
2．（2022•常德）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4B．k＜4C．k＜﹣4D．k＞1
【分析】根据一元二次方程判别式得到Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，然后求出不等式的解集即可．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，
解得：k＞4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
3．（2022•新疆）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞−14B．k≥−14C．k＜−14D．k≤−14
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，可知Δ≥0，可以求得k的取值范围．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣k）≥0，
解得k≥−14，
故选：B．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时，Δ≥0．
4．（2022•乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（ ）
A．13B．23C．1D．−13
【分析】直接把x＝1代入一元二次方程即可求出m的值，根据根与系数的关系即可求得．
【解析】∵方程的其中一个根是1，
∴3﹣2+m＝0，解得m＝﹣1，
∵两根的积为m3，
∴两根的积为−13，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的根已经根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
5．（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0
【分析】根据各方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可求出各方程根的判别式Δ的值，取Δ≥0的选项即可得出结论．
【解析】A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，
∴方程2x2﹣x+1＝0没有实数根；
B．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；
C．∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根；
D．∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，
∴方程x2+2＝0没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
6．（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36B．﹣36C．9D．﹣9
【分析】方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝62﹣4c＝0，然后即可计算出c的值．
【解析】∵方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时Δ＝0．
7．（2022•武威）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解析】x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
8．（2022•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根D．不能判定
【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可得出结论．
【解析】∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝25﹣48＝﹣23＜0，
∴2x2﹣5x+6＝0无实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
9．（2022•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解析】设该快递店揽件日平均增长率为x，
根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
10．（2022•泸州）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．﹣3或1D．﹣1或3
【分析】根据方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1＝0的两实数根为x1，x2，得出x1+x2与x1x2的值，再根据x12+x22＝3，即可求出m的值．
【解析】∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，
∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3，
∴m2+2m﹣1+1＝3，
解得：m1＝1，m2＝﹣3，
∵方程有两实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
即m≤14，
∴m2＝1（不合题意，舍去），
∴m＝﹣3；
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
11．（2022•重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．625（1﹣x）2＝400B．400（1+x）2＝625
C．625x2＝400D．400x2＝625
【分析】第三年的植树量＝第一年的植树量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解析】根据题意得：400（1+x）2＝625，
故选：B．
【点评】考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键．
12．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022B．0C．2022D．4044
【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．
【解析】∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022
＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022
＝2022m﹣2022﹣2022m+2022
＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将m2+3m＝2022整体代入代数式求值是解题的关键．
13．（2022•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52B．2×8（1+x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52D．8（1+x2）＝11.52
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额，列出方程即可．
【解析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，
第一个月的销售额为8万元，
第二个月的销售额为8（1+x）万元，
第三个月的销售额为8（1+x）2万元，
∴8（1+x）2＝11.52，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额是解题的关键．
14．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．
依题意得：3（x﹣1）x＝6210．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
15．（2022•娄底）已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝ ﹣1 ．
【分析】根据根与系数的关系解答．
【解析】∵方程x2+x﹣1＝0中的a＝b＝1，c＝﹣1，
∴x1x2=ca=−1．
故答案是：﹣1．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
16．（2022•宿迁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是 k≤1 ．
【分析】先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可．
【解析】∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k
＝4﹣4k．
又∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，
∴4﹣4k≥0．
∴k≤1．
故答案为：k≤1．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握“Δ＝b2﹣4ac”及根的判别式与一元二次方程解的情况是解决本题的关键．
17．（2022•孝感）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是 3 ．
【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．
【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
∴x1•x2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
18．（2022•眉山）设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x12+x22的值为 10 ．
【分析】由根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．
【解析】∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10；
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握韦达定理得到x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3．
19．（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ 0（答案不唯一） ＝0有两个不相等的实数根．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
【解析】a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
20．（2022•云南）方程2x2+1＝3x的解为 x1＝1，x2=12 ．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解析】2x2+1＝3x，
2x2﹣3x+1＝0，
（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
解得：x1＝1，x2=12．
故答案为：x1＝1，x2=12．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：掌握十字相乘法解方程是本题的关键．
21．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n的值是 1 ．
【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．
【解析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
22．（2022•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 2 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．
【解析】∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣8m＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．
23．（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 27 ．
【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．
【解析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，
∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴斜边c=a2+b2=(a+b)2−2ab=62−2×4=27，
故答案为：27．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及勾股定理、完全平方公式的应用，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，得到a+b＝6，ab＝4．
24．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ 30% （用百分数表示）．
【分析】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），
依题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
0.3＝30%，
∴新注册用户数的年平均增长率为30%．
故答案为：30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2022•江西）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 1 ．
【分析】根据根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解析】∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
26．（2022•重庆）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 4：3 ．
【分析】先根据比例设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元，由三种特产的总利润是总成本的25%列方程可得ay=43，从而解答此题．
【解析】设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元，
由题意得：20%•2y•x+30%•a•3x+20%•y•2x＝25%（2xy+3ax+2xy），
15a＝20y，
∴ay=43，
则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3．
故答案为：4：3．
【点评】本题考查三元高次方程的应用，解本题要理解题意，通过找出等量关系即可求解．
三．解答题（共5小题）
27．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1x2＝k2+1，再利用x1x2＝5得到k2+1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．
【解析】（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＞34；
（2）根据题意得x1x2＝k2+1，
∵x1x2＝5，
∴k2+1＝5，
解得k1＝﹣2，k2＝2，
∵k＞34，
∴k＝2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1x2=ca．也考查了根的判别式．
28．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解析】原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0，x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
29．（2022•南充）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，可知Δ≥0，即可求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和（x1+1）（x2+1）＝﹣1，可以求得k的值．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤174，
即k的取值范围是k≤174；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方有根时Δ≥0，以及根与系数的关系．
30．（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ 32 ．x1x2＝ −12 ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求1s−1t的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：m+n=32，mn=−12，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）可把s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则有s+t=32，st=−12，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可．
【解析】（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=−−32=32，x1x2=−12=−12，
故答案为：32，−12；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n=32，mn=−12，
∴nm+mn
=n2+m2mn
=(m+n)2−2mnmn
=(32)2−2×(−12)−12
=−132；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s，与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t=32，st=−12，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（32）2﹣4×（−12），
（s﹣t）2=174，
∴s﹣t=±172，
∴1s−1t
=t−sst
=−(s−t)st
=±172−12
=±17．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，解答的关键是把s，t看作是相应的方程的两个实数根．
31．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2021年投入资金金额＝2019年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤43223，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．