北京市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份北京市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了满分等内容，欢迎下载使用。


1.（单选题.3分）某几何体有6个顶点.则该几何体不可能是（ ）
A.五棱锥
B.三棱柱
C.三棱台
D.四棱台
2.（单选题.3分）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（单选题.3分）sin15°cs15°=（ ）
A. 14
B. 34
C. 12
D. 32
4.（单选题.3分）已知向量 a =（1.2）. b =（-2.3）. c =（k.2）.若（ a + b ）⊥ c .则k=（ ）
A.-11
B.11
C.-10
D.10
5.（单选题.3分）如图所示.D是△ABC的边AB的中点.则向量 CD =（ ）
A. −BC+12BA
B. −BC−12BA
C. BC−12BA
D. BC+12BA
6.（单选题.3分）将y=sin2x的图象向左平移 π6 个单位.则平移后的图象所对应的函数的解析式为（ ）
A. y=sin2x+π6
B. y=sin2x−π6
C. y=sin2x+π3
D. y=sin2x−π3
7.（单选题.3分）如图.在复平面内.复数z1.z2对应的向量分别是 OA . OB .则复数z1•z2对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8.（单选题.3分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为且a=1.b= 3 .A=30°.则B=（ ）
A.60°或120°
B.60°
C.120°
D.30°或150°
9.（单选题.3分）设 a . b 是非零向量.则“存在实数λ.使得 a =λ b ”是“| a + b |=| a |+| b |”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10.（单选题.3分）已知 sinα=35 .则sin（π-2α）•tanα=（ ）
A. 3225
B. −3225
C. 1825
D. −1825
11.（单选题.3分）函数y=2cs2（x- π4 ）-1是（ ）
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 π2 的奇函数
D.最小正周期为 π2 的偶函数
12.（单选题.3分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.E为BC上一点.则三棱锥B1-AC1E的体积为（ ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 16
13.（填空题.3分）已知向量 a =（1.1）. b =（-1.3）. c =（2.1）.且（ a−λb ） || c .则λ=___ ．
14.（填空题.3分）若向量 a . b 满足| a |=1.| b |=2.| a - b |=2.则 a • b =___ ．
15.（填空题.3分）已知复数 z2−i =3+i（i为虚数单位）.则z的虚部为___ ．
16.（填空题.3分）体积为1的正方体的内切球的体积是 ___ ．
17.（填空题.3分）在△ABC中.A=60°.b=1.S△ABC= 3 .则a=___ ．
18.（填空题.3分）△ABC中.若面积 S=a2+b2−c243 .则角C=___ ．
19.（填空题.3分）已知正六边形ABCDEF的边长为1.那么 AB•AF =___ ；若 AD=xAB+yAF .则x+y=___ ．
20.（填空题.3分）如图所示是一个正方体的展开图.在原来的正方体中.有下列命题：
① AB与EF所在的直线平行；
② AB与CD所在的直线异面；
③ MN与BF所在的直线成60°角；
④ MN与CD所在的直线互相垂直．
其中正确的命题是 ___ ．
21.（问答题.10分）已知向量 a =（1.2）.向量 b =（-3.2）．
（Ⅰ）求| a |和| b |；
（Ⅱ）当k为何值时.向量 a +k b 与向量 a -3 b 平行？并说明它们是同向还是反向．
22.（问答题.10分）如图所示.在四棱锥P-ABCD中.BC || 平面PAD. BC=12AD .E是PD的中点．
（1）求证：BC || AD；
（2）求证：CE || 平面PAB．
23.（问答题.10分）在△ABC中.asinC+ccsA=0. b=2c ； a=10 ．
（1）求A；
（2）求△ABC的面积．
24.（问答题.10分）已知函数f（x）=asinωxcsωx（a＞0.ω＞0）．f（x）的最大值为1；f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-2cs2ωx+1.求函数g（x）在（0.π）上的单调递增区间．
2021-2022学年北京二十四中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：24.满分：100
1.（单选题.3分）某几何体有6个顶点.则该几何体不可能是（ ）
A.五棱锥
B.三棱柱
C.三棱台
D.四棱台
【正确答案】：D
【解析】：分别求出五棱锥、三棱柱、三棱台和四棱台的顶点个数即可．
【解答】：解：对于A.五棱锥有5+1=6个顶点.满足题意；
对于B.三棱柱有3+3=6个顶点.满足题意；
对于C.三棱台有3+3=6个顶点.满足题意；
对于D.四棱台有4+4=8个顶点.不符合题意．
故选：D．
【点评】：本题考查了棱柱、棱锥、棱台的结构特征与应用问题.是基础题．
2.（单选题.3分）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】：A
【解析】：几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体.由此能求出结果．
【解答】：解：∵几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体.
∴它是由A选项中的平面图形旋转而成的．
故选：A．
【点评】：本题考查旋转形成几何体的平面图形的判断.考查旋转体等基础知识.考查运算求解能力及数形结合思想.是基础题．
3.（单选题.3分）sin15°cs15°=（ ）
A. 14
B. 34
C. 12
D. 32
【正确答案】：A
【解析】：由正弦的倍角公式变形即可解之．
【解答】：解：因为sin2α=2sinαcsα.
所以sin15°cs15°= 12 sin30°= 14 ．
故选：A．
【点评】：本题考查正弦的倍角公式．
4.（单选题.3分）已知向量 a =（1.2）. b =（-2.3）. c =（k.2）.若（ a + b ）⊥ c .则k=（ ）
A.-11
B.11
C.-10
D.10
【正确答案】：D
【解析】：由题意利用两个向量垂直的性质.两个向量坐标形式的云算法则.计算得出结论．
【解答】：解：∵向量 a =（1.2）. b =（-2.3）. c =（k.2）.
（ a + b ）⊥ c .
则（ a + b ）• c = a•c + b•c =k+4+（-2k+6）=0.∴k=10.
故选：D．
【点评】：本题主要考查两个向量垂直的性质.两个向量坐标形式的云算法则.属于基础题．
5.（单选题.3分）如图所示.D是△ABC的边AB的中点.则向量 CD =（ ）
A. −BC+12BA
B. −BC−12BA
C. BC−12BA
D. BC+12BA
【正确答案】：A
【解析】：根据向量加法的三角形法则知. CD=CB+BD .由D是中点和相反向量的定义.对向量进行转化．
【解答】：解：由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得.
BD= 12BA .
∴ CD=CB+BD=−BC+12BA ．
故选：A．
【点评】：本题主要考查了向量加法的三角形法则.结合图形和题意找出向量间的联系.再进行化简．
6.（单选题.3分）将y=sin2x的图象向左平移 π6 个单位.则平移后的图象所对应的函数的解析式为（ ）
A. y=sin2x+π6
B. y=sin2x−π6
C. y=sin2x+π3
D. y=sin2x−π3
【正确答案】：C
【解析】：将 y=sin2x的图象向左平移π6 个单位.则平移后的图象所对应的函数的解析式为y=sin2（x+ π6 ）.由此得出结论．
【解答】：解：将 y=sin2x的图象向左平移π6 个单位.则平移后的图象所对应的函数的解析式为y=sin2（x+ π6 ）= sin2x+π3 .
故选：C．
【点评】：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换.属于基础题．
7.（单选题.3分）如图.在复平面内.复数z1.z2对应的向量分别是 OA . OB .则复数z1•z2对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【正确答案】：D
【解析】：根据复数的几何意义先求出z1.z2即可．
【解答】：解：由复数的几何意义知z1=-2-i.z2=i.
则z1z2=（-2-i）i=-2i-i2=1-2i.
对应的点的坐标为（1.-2）位于第四象限.
故选：D．
【点评】：本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算.比较基础．
8.（单选题.3分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为且a=1.b= 3 .A=30°.则B=（ ）
A.60°或120°
B.60°
C.120°
D.30°或150°
【正确答案】：A
【解析】：根据题目中的条件.利用正弦定理可直接求出角B的正弦值.依据边的关系可求角的大小．
【解答】：解：∵a=1.b= 3 .A=30°.
∴由正弦定理 asinA=bsinB .可得：sinB= b•sinAa = 3×121 = 32 .
∵b＞a
∴∠B=60°或120°
故选：A．
【点评】：本题考查的知识点：正弦定理的应用.三角形解的情况.属于基础题．
9.（单选题.3分）设 a . b 是非零向量.则“存在实数λ.使得 a =λ b ”是“| a + b |=| a |+| b |”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】：B
【解析】：根据向量数量积的应用.结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】：解：若“| a + b |=| a |+| b |”.
则平方得| a |2+2 a • b +| b |2=| a |2+| b |2+2| a |•| b |.
即 a • b =| a |•| b |.
即 a • b =| a || b |cs＜ a . b ＞=| a |•| b |.
则cs＜ a . b ＞=1.
即＜ a . b ＞=0.即 a . b 同向共线.则存在实数λ.使得 a =λ b .
反之当＜ a . b ＞=π时.存在λ＜0.满足 a =λ b .但“| a + b |=| a |+| b |”不成立.
即“存在实数λ.使得 a =λ b ”是“| a + b |=| a |+| b |”的必要不充分条件.
故选：B．
【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．
10.（单选题.3分）已知 sinα=35 .则sin（π-2α）•tanα=（ ）
A. 3225
B. −3225
C. 1825
D. −1825
【正确答案】：C
【解析】：根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
【解答】：解：sin（π-2α）•tanα=sin2α•tanα=2sinαcsα• sinαcsα =2sin2α=2×（ 35 ）2=2× 925 = 1825 .
故选：C．
【点评】：本题主要考查三角函数值的计算.根据三角函数的诱导公式进行转化求解是解决本题的关键.是基础题．
11.（单选题.3分）函数y=2cs2（x- π4 ）-1是（ ）
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 π2 的奇函数
D.最小正周期为 π2 的偶函数
【正确答案】：A
【解析】：利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式.求出周期.判定奇偶性．
【解答】：解：由y=2cs2（x- π4 ）-1=cs（2x- π2 ）=sin2x.
∴T=π.且y=sin2x奇函数.即函数y=2cs2（x- π4 ）-1是奇函数．
故选：A．
【点评】：本题考查三角函数的周期性及其求法.函数奇偶性的判断.是基础题．
12.（单选题.3分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.E为BC上一点.则三棱锥B1-AC1E的体积为（ ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 16
【正确答案】：D
【解析】：可画出图形.可看出三棱锥B1-AC1E的体积等于三棱锥A-B1C1E的体积.然后即可得出正确的选项．
【解答】：解：如图.
VB1−AC1E=VA−B1C1E = 13×12×1×1×1=16 ．
故选：D．
【点评】：本题考查了棱锥的体积公式.考查了计算能力.属于基础题．
13.（填空题.3分）已知向量 a =（1.1）. b =（-1.3）. c =（2.1）.且（ a−λb ） || c .则λ=___ ．
【正确答案】：[1] 17
【解析】：根据已知条件.结合平行向量的坐标公式.即可求解．
【解答】：解：∵ a =（1.1）. b =（-1.3）.
∴ a−λb =（1+λ.1-3λ）.
∵（ a−λb ） || c . c =（2.1）.
∴（1+λ）×1-（1-3λ）×2=0.解得 λ=17 ．
故答案为： 17 ．
【点评】：本题主要考查平行向量的坐标公式.属于基础题．
14.（填空题.3分）若向量 a . b 满足| a |=1.| b |=2.| a - b |=2.则 a • b =___ ．
【正确答案】：[1] 12
【解析】：通过观察条件.容易看出.需对等式 a−b=2 两边平方.便能出现 a•b .并能求出它的值．
【解答】：解：由条件得： |a−b|2=a2−2a•b+b2 = 1−2a•b+4=4 ；
∴ a•b=12 ．
故答案为： 12 ．
【点评】：考查向量模的平方等于向量的平方.向量数量积的运算．
15.（填空题.3分）已知复数 z2−i =3+i（i为虚数单位）.则z的虚部为___ ．
【正确答案】：[1]-1
【解析】：把已知等式变形.再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．
【解答】：解：由 z2−i =3+i.得z=（3+i）（2-i）=6-3i+2i-i2=7-i.
∴z的虚部为-1．
故答案为：-1．
【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．
16.（填空题.3分）体积为1的正方体的内切球的体积是 ___ ．
【正确答案】：[1] π6
【解析】：通过内切得出球的半径与正方体的棱长的关系.通过方程求解．
【解答】：解：设球的半径为R.则正方体的棱长为2R.所以（2R）3=1. R3=18 ．
球的体积为 43πR3=π6 ．
故答案为 π6 ．
【点评】：本题考查空间几何体的内切球问题.涉及球的体积、正方体的体积考查.属于基础题．
17.（填空题.3分）在△ABC中.A=60°.b=1.S△ABC= 3 .则a=___ ．
【正确答案】：[1] 13
【解析】：先利用三角形面积公式求得c.最后利用三角函数的余弦定理求得a.
【解答】：解：∵S△ABC= 12 bcsinA= 3
∴c=4
∴a= b2+c2−2bccsA = 1+16−2×1×4×12 = 13
故答案为： 13
【点评】：本题主要考查了解三角形问题．灵活利用正弦定理和余弦定理是解决三角形边角问题的关键．
18.（填空题.3分）△ABC中.若面积 S=a2+b2−c243 .则角C=___ ．
【正确答案】：[1] π6
【解析】：由余弦定理易得a2+b2-c2=2abcsC.结合三角形面积S= 12absinc 及已知中 S=a2+b2−c243 .我们可以求出tanC.进而得到角C的大小．
【解答】：解：由余弦定理得：a2+b2-c2=2abcsC
又∵△ABC的面积 S=a2+b2−c243 = 2abcsC43 = 12absinc .
∴csC= 3 sinC
∴tanC= 33
又∵C为三角形ABC的内角
∴C= π6
故答案为： π6
【点评】：本题考查的知识点是余弦定理.其中根据已知面积 S=a2+b2−c243 .观察到分子中有平方和与差的关系.而确定使用余弦定理作为解答的突破口是关键．
19.（填空题.3分）已知正六边形ABCDEF的边长为1.那么 AB•AF =___ ；若 AD=xAB+yAF .则x+y=___ ．
【正确答案】：[1]- 12 ; [2]4
【解析】：可画出图形.根据图形可得出∠BAF=120°.AB=AF=1.从而求出 AB•AF 的值；然后得出 AD=2AB+2AF .进而可求出x+y的值．
【解答】：解：如图.∠BAF=120°.AB=AF=1.
∴ AB•AF=ABAFcs120°=−12 .
又 AD=2AB+AF=2AB+2AF=xAB+yAF .
∴根据平面向量基本定理.x=2.y=2.
∴x+y=4．
故答案为： −12，4 ．
【点评】：本题考查了正六边形的特点.向量数量积的计算公式.平面向量基本定理.向量数乘运算.考查了计算能力.属于基础题．
20.（填空题.3分）如图所示是一个正方体的展开图.在原来的正方体中.有下列命题：
① AB与EF所在的直线平行；
② AB与CD所在的直线异面；
③ MN与BF所在的直线成60°角；
④ MN与CD所在的直线互相垂直．
其中正确的命题是 ___ ．
【正确答案】：[1] ② ④
【解析】：由展开图画出正方体的直观图.进而分析各直线之间的位置关系及夹角.进而可得答案．
【解答】：解：由展开图可知.各点在正方体中的位置如下：
由图可知.AB⊥EF且异面. ① 不正确；
AB与CD异面. ② 正确；
MN || BF. ③ 不正确；
MN⊥CD. ④ 正确．
故正确的命题是： ② ④ .
故答案为： ② ④
【点评】：本题考查的知识点是棱柱的结构特征.空间直线与直线的位置关系.其中由展开图画出正方体的直观图.是解答的关键．
21.（问答题.10分）已知向量 a =（1.2）.向量 b =（-3.2）．
（Ⅰ）求| a |和| b |；
（Ⅱ）当k为何值时.向量 a +k b 与向量 a -3 b 平行？并说明它们是同向还是反向．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）根据向量模的坐标运算公式计算即可；
（Ⅱ）由向量共线性质得到k的方程.解之即可．
【解答】：解：（Ⅰ）| a |= 12+22 = 5 .| b |= 9+4 = 13 ；
（Ⅱ） a−3b =（10.-4）.
由向量 a+kb 与向量 a−3b 共线可得（1-3k）×（-4）-10（2+2k）=0.解得k=-3.
代入得 a+kb=10，−4 .即两个向量同向．
【点评】：本题考查平面向量数量积的运算.涉及向量模的坐标计算.向量共线的性质.属于中档题．
22.（问答题.10分）如图所示.在四棱锥P-ABCD中.BC || 平面PAD. BC=12AD .E是PD的中点．
（1）求证：BC || AD；
（2）求证：CE || 平面PAB．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据线面平行的性质定理即可证明；
（2）取PA的中点F.连接EF.BF.利用中位线的性质.平行四边形的性质.以及线面平行的判断定理即可证明．
【解答】：证明：（1）在四棱锥P-ABCD中.BC || 平面PAD.
BC⊂平面ABCD.
平面ABCD∩平面PAD=AD.
∴BC || AD．
（2）取PA的中点F.连接EF.BF.
∵E是PD的中点.
∴EF || AD. EF=12AD .
又由（1）可得BC || AD.且 BC=12AD .
∴BC || EF.BC=EF.
∴四边形BCEF是平行四边形.
∴EC || FB.
∵EC⊄平面PAB.FB⊂平面PAB.
∴EC || 平面PAB．
【点评】：本题考查线面平行、线线平行的证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查推理能力.是中档题．
23.（问答题.10分）在△ABC中.asinC+ccsA=0. b=2c ； a=10 ．
（1）求A；
（2）求△ABC的面积．
【正确答案】：
【解析】：（1）正弦定理可得：sinAsinC+sinCcsA=0.又sinC＞0.即sinA+csA=0.即tanA=-1.然后求解即可；
（2）已知 b=2c . a=10 ．由余弦定理a2=b2+c2-2bccsA可得：b=2.c= 2 .然后求解即可．
【解答】：解：（1）在△ABC中.asinC+ccsA=0. b=2c ； a=10 ．
由正弦定理可得：sinAsinC+sinCcsA=0.
又sinC＞0.
即sinA+csA=0.
即tanA=-1.
即A= 3π4 .
（2）已知 b=2c . a=10 ．
由余弦定理a2=b2+c2-2bccsA可得：b=2.c= 2 .
则 S△ABC=12bcsinA=12×2×2×22 =1.
即△ABC的面积为1．
【点评】：本题考查了正弦定理及余弦定理.重点考查了三角形的面积公式.属基础题．
24.（问答题.10分）已知函数f（x）=asinωxcsωx（a＞0.ω＞0）．f（x）的最大值为1；f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-2cs2ωx+1.求函数g（x）在（0.π）上的单调递增区间．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据二倍角公式化简函数的解析式.根据最大值为1可求得a的值.根据相邻两条对称轴之间的距离为 π2 .可求得周期.进而计算可得ω的值.从而得到解析式；
（2）首先求出g（x）的解析式并化简.求出g（x）的单调递增区间.结合x∈（0.π）.对k赋值可得g（x）在（0.π）上的单调递增区间．
【解答】：解：（1）函数f（x）=asinωxcsωx= a2 sin2ωx.（a＞0.ω＞0）.
因为f（x）的最大值为1.
所以 a2 =1.即a=2.
又因为f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 .
T2 = π2 .即T=π.
所以 2π2ω =π.解得ω=1.
所以f（x）=sin2x；
（2）g（x）=f（x）-2cs2ωx+1=sin2x-2cs2x+1=sin2x-cs2x= 2 sin（2x- π4 ）.
令2x- π4 ∈[- π2+2kπ . π2+2kπ ].k∈Z.
解得x∈[- π8 +kπ. 3π8 +kπ].k∈Z.
令k=0得.x∈[- π8 . 3π8 ].
令k=1得.x∈[ 7π8 . 11π8 ].
因为x∈（0.π）.
所以g（x）在（0.π）上的单调递增区间为（0. 3π8 ]和[ 7π8 .π）．
【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质.属于中档题．