北京市第三十九中学2021-2022学年高一下学期期中数学试卷

这是一份北京市第三十九中学2021-2022学年高一下学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了满分等内容，欢迎下载使用。


1.（单选题.4分）下列各角中.与27°角终边相同的是（ ）
A.63°
B.153°
C.207°
D.387°
2.（单选题.4分）下列四个函数中.以π为最小正周期.且在区间 0，π2 上为增函数的是（ ）
A.y=sin2x
B.y=cs2x
C.y=tanx
D.y=sin x2
3.（单选题.4分）设α.β∈（0.π）.且α＞β.则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A.sinα＜sinβ
B.sinα＞sinβ
C.csα＜csβ
D.csα＞csβ
4.（单选题.4分）函数f（x）=2cs2x-1的相邻两条对称轴间的距离是（ ）
A.2π
B.π
C. π2
D. π4
5.（单选题.4分）设 a . b 均为单位向量.且 a •b = 14 .则| a +2 b |=（ ）
A.3
B. 6
C.6
D.9
6.（单选题.4分）设α∈（-π.π）.且 csα=−12 .则α=（ ）
A.- 2π3 或 2π3
B.- π3 或 π3
C.- π3 或 2π3
D.- 2π3 或 π3
7.（单选题.4分）为得到函数y=sin（2x+ π3 ）的图象.只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A.向右平移 π3 长度单位
B.向左平移 π3 个长度单位
C.向右平移个 π6 长度单位
D.向左平移 π6 长度单位
8.（单选题.4分）在△ABC中.内角A和B所对的边分别为a和b.则a＞b是sinA＞sinB的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.（单选题.4分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移 φ0＜φ≤π2 个单位.得到函数g（x）的图象．在同一坐标系中.这两个函数的部分图象如图所示.则φ=（ ）
A. π6
B. π4
C. π3
D. π2
10.（单选题.4分）已知单位向量 e1 . e2 满足 e1 • e2 =- 12 .若非零向量 a =x e1 +y e2 .其中x.y∈R.则 xa 的最大值为（ ）
A. 43
B. 23
C. 22
D. 233
11.（填空题.5分）在△ABC中.若b2+c2-a2=bc.则A=___ ．
12.（填空题.5分）设角θ的终边经过点（-3.4）.则 sinθ+π4 =___ ．
13.（填空题.5分）半径为2的扇形中.圆心角为150°.该扇形的弧长为 ___ .面积为 ___ ．
14.（填空题.5分）向量 a . b 满足| b |=1. a • b =1．若（λ a - b ）⊥ b .则实数λ=___ ．
15.（填空题.5分）设函数 fx=sinωx+π6ω＞0 .若 fx≥f−π3 对任意的实数x都成立.则ω的最小值为___ ．
16.（填空题.5分）已知函数f（x）= csx，−π≤x＜0，sinx，0≤x≤π， 给出下列三个结论：
① f（x）是偶函数；
② f（x）有且仅有3个零点；
③ f（x）的值域是[-1.1]．
其中.正确结论的序号是___ ．
17.（问答题.12分）已知 tanθ+π4=−3 ．
（Ⅰ）求tanθ的值；
（Ⅱ）求sin2θ的值．
18.（问答题.13分）已知函数 fx=2sinx•sinπ2−x ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[ −π2 .0]上的最小值和最大值．
19.（问答题.13分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为且a=2. csC=−14 ．
（Ⅰ）如果b=3.求c的值；
（Ⅱ）如果 c=26 .求sinB的值．
20.（问答题.13分）在△ABC中.AB=4.AC=3. csC=−14 ．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求 BA•BC 的值．
21.（问答题.14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜ π2 ）同时满足下列四个条件中的三个：
① 最小正周期为π； ② 最大值为2； ③ f（0）=-1； ④ f（- π6 ）=0．
（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式.并说明理由；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
22.（问答题.15分）已知函数f（x）的图象是由函数 y=csx−π4 的图象经如下变换得到：先将函数 y=csx−π4 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 （纵坐标不变）.再将所得到的图象向左平移 π4 个单位长度．
（1）写出函数f（x）的解析式和其图象的对称中心坐标；
（2）已知关于x的方程f（x）=m在[0.π]上有两个不同的解α.β.求实数m的取值范围和cs（α+β）的值．
2021-2022学年北京三十九中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22.满分：150
1.（单选题.4分）下列各角中.与27°角终边相同的是（ ）
A.63°
B.153°
C.207°
D.387°
【正确答案】：D
【解析】：写出与27°终边相同角的集合.取k值得答案．
【解答】：解：与27°角终边相同的角的集合为{α|α=27°+k•360°.k∈Z}.
取k=1.可得α=387°．
∴与27°角终边相同的是387°．
故选：D．
【点评】：本题考查终边相同角的概念.是基础的概念题．
2.（单选题.4分）下列四个函数中.以π为最小正周期.且在区间 0，π2 上为增函数的是（ ）
A.y=sin2x
B.y=cs2x
C.y=tanx
D.y=sin x2
【正确答案】：C
【解析】：利用三角函数的单调性和周期性.逐一判断各个选项是否正确.从而得出结论．
【解答】：解：在区间（0. π2 ）上.2x∈（0.π）.y=sin2x没有单调性.故排除A．
在区间（0. π2 ）上.2x∈（0.π）.y=cs2x单调递减.故排除B．
在区间（0. π2 ）上.y=tanx单调递增.且其最小正周期为π.故C正确；
根据函数以π为最小正周期.y=sin x2 的周期为 2π12 =4π.可排除D．
故选：C．
【点评】：本题主要考查三角函数的单调性和周期性.属于基础题．
3.（单选题.4分）设α.β∈（0.π）.且α＞β.则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A.sinα＜sinβ
B.sinα＞sinβ
C.csα＜csβ
D.csα＞csβ
【正确答案】：C
【解析】：根据正弦函数以及余弦函数在（0.π）上的单调性求解即可．
【解答】：解：因为α.β∈（0.π）.且α＞β.
而y=sinx在（0.π）上有增有减；
y=csx在（0.π）上单调递减；
故sinα与sinβ大小关系不确定.csα＜csβ成立；
故选：C．
【点评】：本题主要考查正弦函数以及余弦函数在（0.π）上的单调性.属于基础题．
4.（单选题.4分）函数f（x）=2cs2x-1的相邻两条对称轴间的距离是（ ）
A.2π
B.π
C. π2
D. π4
【正确答案】：C
【解析】：把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式变形后.找出ω的值.由周期公式 T=2πω 求出函数的周期.根据余弦函数的相邻两对称轴的距离是周期的一半.求出值来即可．
【解答】：解：函数f（x）=2cs2x-1=cs2x.
∴函数的周期T= 2π2 =π.
由于相邻两对称轴的距离是周期的一半.即 π2 .
则函数相邻两条对称轴间的距离是 π2 ．
故选：C．
【点评】：本题考查了三角函数的周期的求法和三角函数的对称性.即利用三角恒等变换的公式对函数解析式进行化简后.再由周期公式 T=2πω 求出周期.理解余弦函数相邻两对称轴的距离与周期的关系是本题的关键．
5.（单选题.4分）设 a . b 均为单位向量.且 a •b = 14 .则| a +2 b |=（ ）
A.3
B. 6
C.6
D.9
【正确答案】：B
【解析】：利用向量的模的运算法则.结合向量的数量积求解即可．
【解答】：解： a . b 均为单位向量.且 a •b = 14 .
则| a +2 b |= |a+2b|2 = a2+4a•b+4b2 = 1+4×14+4 = 6 ．
故选：B．
【点评】：本题考查向量的数量积的应用.向量的模的求法.考查转化思想以及计算能力．
6.（单选题.4分）设α∈（-π.π）.且 csα=−12 .则α=（ ）
A.- 2π3 或 2π3
B.- π3 或 π3
C.- π3 或 2π3
D.- 2π3 或 π3
【正确答案】：A
【解析】：由已知角及范围.结合特殊角的三角函数即可求解．
【解答】：解：因为α∈（-π.π）.且 csα=−12 .
则α=- 2π3 或 2π3 ．
故选：A．
【点评】：本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用.属于基础试题．
7.（单选题.4分）为得到函数y=sin（2x+ π3 ）的图象.只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A.向右平移 π3 长度单位
B.向左平移 π3 个长度单位
C.向右平移个 π6 长度单位
D.向左平移 π6 长度单位
【正确答案】：D
【解析】：要得到y=sin（2x+ π3 ）=sin[2（x+ π6 ）]的图象.需要将函数y=sin2x的图象在x后面加上 π6 .根据“加向左.减向右”的原则.即可得到答案．
【解答】：解：∵y=sin2x →向左平移π6长度单位 y=sin[2（x+ π6 ）]=sin（2x+ π3 ）.
∴函数y=sin（2x+ π3 ）的图象.可由函数y=sin2x的图象向左平移 π6 个长度单位．
故选：D．
【点评】：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.关键在于y=Asinωx（ω＞0）→y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）平移单位为 φω .平移方向为左加（φ＞0）右减（φ＜0）.也是易错点.属于中档题．
8.（单选题.4分）在△ABC中.内角A和B所对的边分别为a和b.则a＞b是sinA＞sinB的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】：C
【解析】：在三角形中.结合正弦定理.利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】：解：在三角形中.若a＞b.由正弦定理 asinA=bsinB .得sinA＞sinB．
若sinA＞sinB.则正弦定理 asinA=bsinB .得a＞b.
所以.a＞b是sinA＞sinB的充要条件．
故选：C．
【点评】：本题主要考查了充分条件和必要条件的应用.利用正弦定理确定边角关系.是解决本题的关键．．
9.（单选题.4分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移 φ0＜φ≤π2 个单位.得到函数g（x）的图象．在同一坐标系中.这两个函数的部分图象如图所示.则φ=（ ）
A. π6
B. π4
C. π3
D. π2
【正确答案】：C
【解析】：由图可知.g（ 17π24 ）=f（ π8 ）= 22 .根据函数图象的平移变化法则可知g（x）=sin2（x-φ）.于是推出g（ 17π24 ）=sin2（ 17π24 -φ）= 22 .即 17π12−2φ = π4+2kπ 或 3π4+2kπ .k∈Z.再结合 0＜φ≤π2 .解之即可得φ的值．
【解答】：解：由图可知.g（ 17π24 ）=f（ π8 ）=sin（2× π8 ）= 22 .
因为f（x）的图象向右平移φ个单位.得到函数g（x）的图象.所以g（x）=sin2（x-φ）.
所以g（ 17π24 ）=sin2（ 17π24 -φ）=sin（ 17π12−2φ ）= 22 .
所以 17π12−2φ = π4+2kπ 或 3π4+2kπ .k∈Z.
解得φ= 7π12−kπ 或 π3−kπ .k∈Z.
因为 0＜φ≤π2 .所以φ= π3 ．
故选：C．
【点评】：本题考查正弦函数的图象与性质以及函数图象的平移变化法则.考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力.属于中档题．
10.（单选题.4分）已知单位向量 e1 . e2 满足 e1 • e2 =- 12 .若非零向量 a =x e1 +y e2 .其中x.y∈R.则 xa 的最大值为（ ）
A. 43
B. 23
C. 22
D. 233
【正确答案】：D
【解析】：由单位向量 e1 . e2 满足 e1 • e2 =- 12 .推出＜ e1 . e2 ＞= 2π3 .设 e1 =（1.0）. e2 =（- 12 . 32 ）.进而可得 a =（x- y2 . 32 y）.则 xa = x2x2−xy+y2 .分两种情况：当x=0时.当x≠0时.求出 xa 的最大值．
【解答】：解：因为单位向量 e1 . e2 满足 e1 • e2 =- 12 .
所以＜ e1 . e2 ＞= 2π3 .
设 e1 =（1.0）. e2 =（- 12 . 32 ）.
所以 a =x e1 +y e2 =x（1.0）+y（- 12 . 32 =（x- y2 . 32 y）.
所以| a |= x−y22+32y2 = x2−xy+y2 .
所以 xa = xx2−xy+y2 = x2x2−xy+y2
当x=0时. xa =0.
当x≠0时. xa = 11−yx+y2x2 .
令t= yx .
则1-t+t2=（t- 12 ）2+ 34 ≥ 34 .
所以 11−t+t2 ≤ 233 .
所以 xa 的最大值为 233 ．
故选：D．
【点评】：本题考查向量的运算.最值.解题中需要理清思路.属于中档题．
11.（填空题.5分）在△ABC中.若b2+c2-a2=bc.则A=___ ．
【正确答案】：[1]60°
【解析】：利用余弦定理表示出csA.把已知的等式代入求出csA的值.由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】：解：∵b2+c2-a2=bc.
∴根据余弦定理得：csA= b2+c2−a22bc = bc2bc = 12 .
又A为三角形的内角.
则A=60°．
故答案为：60°
【点评】：此题考查了余弦定理.以及特殊角的三角函数值.利用了整体代入得数学思想.熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
12.（填空题.5分）设角θ的终边经过点（-3.4）.则 sinθ+π4 =___ ．
【正确答案】：[1] 210
【解析】：由于角θ的终边经过点（-3.4）.利用任意角的三角函数的定义求出csθ和sinθ的值.代入 sinθ+π4 =
sinθ• 22 +csθ× 22 .运算求得结果．
【解答】：解：由于角θ的终边经过点（-3.4）.
故x=-3.y=4.r=5．
∴csθ= xr = −35 .sinθ= yr = 45 ．
故 sinθ+π4 =sinθ• 22 +csθ× 22 = 210 .
故答案为 210 ．
【点评】：本题考查任意角的三角函数的定义.两点间的距离公式的应用.两角和的正弦公式的应用.求出csθ和sinθ的值.
是解题的关键．
13.（填空题.5分）半径为2的扇形中.圆心角为150°.该扇形的弧长为 ___ .面积为 ___ ．
【正确答案】：[1] 5π3 ; [2] 5π3
【解析】：由已知结合扇形的弧长公式及面积公式即可求解．
【解答】：解：由弧长公式可得.l=αr= 5π6×2 = 5π3 .
由扇形面积公式可得S= 12lr = 12×5π3×2 = 5π3 ．
故答案为： 5π3 ； 5π3 ．
【点评】：本题主要考查了扇形的弧长公式及扇形的面积公式.属于基础题．
14.（填空题.5分）向量 a . b 满足| b |=1. a • b =1．若（λ a - b ）⊥ b .则实数λ=___ ．
【正确答案】：[1]1
【解析】：根据平面向量数量积的运算法则.可列出关于λ的方程.解之即可．
【解答】：解：∵（λ a - b ）⊥ b .∴（λ a - b ）• b =λ a • b - b2 =0.即λ-1=0.解得λ=1．
故答案为：1．
【点评】：本题主要考查平面向量数量积的定义与运算.考查学生的运算能力.属于基础题．
15.（填空题.5分）设函数 fx=sinωx+π6ω＞0 .若 fx≥f−π3 对任意的实数x都成立.则ω的最小值为___ ．
【正确答案】：[1]2
【解析】：由题意可得f（x）的最小值为f（- π3 ）.可得- π3 ω+ π6 =2kπ- π2 .k∈Z.解方程可得ω的最小值．
【解答】：解：若 fx≥f−π3 对任意的实数x都成立.
可得f（x）的最小值为f（- π3 ）.
可得- π3 ω+ π6 =2kπ- π2 .k∈Z.
即有ω=2-6k.k∈Z.
由ω＞0.
可得ω的最小值为2.此时k=0．
故答案为：2．
【点评】：本题考查正弦函数的图象和性质.主要是正弦函数的最值.以及方程思想和运算能力.属于基础题．
16.（填空题.5分）已知函数f（x）= csx，−π≤x＜0，sinx，0≤x≤π， 给出下列三个结论：
① f（x）是偶函数；
② f（x）有且仅有3个零点；
③ f（x）的值域是[-1.1]．
其中.正确结论的序号是___ ．
【正确答案】：[1] ② ③
【解析】：判断函数的奇偶性判断 ① ；求出函数的零点判断 ② ；函数的值域判断 ③ ．
【解答】：解：函数f（x）= csx，−π≤x＜0sinx，0≤x≤π .
① f（x）是非奇非偶函数.所以 ① 不正确；
② f（x）=0.可得x=- π2 .x=0.x=π.所以函数有且仅有3个零点；所以 ② 正确；
③ 函数f（x）= csx，−π≤x＜0sinx，0≤x≤π .f（x）的值域是[-1.1].正确；
正确结论的序号是： ② ③ ．
故答案为： ② ③ ．
【点评】：本题考查命题的真假的判断与应用.三角函数的性质的应用.是基本知识的考查．
17.（问答题.12分）已知 tanθ+π4=−3 ．
（Ⅰ）求tanθ的值；
（Ⅱ）求sin2θ的值．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）由题意利用两角和的正切公式.计算 tanθ 的值即可．
（Ⅱ）根据sin2θ= 2tanθtan2θ+1 .结合tanθ=2.求出sin2θ的值．
【解答】：解：（Ⅰ）∵ tanθ+π4=−3 = tanθ+11−tanθ .∴tanθ=2．
（Ⅱ）sin2θ= 2sinθcsθsin2θ+cs2θ = 2tanθtan2θ+1 = 44+1 = 45 ．
【点评】：本题考查两角和的正切公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系.属于基础题．
18.（问答题.13分）已知函数 fx=2sinx•sinπ2−x ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[ −π2 .0]上的最小值和最大值．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）根据诱导公式和二倍角公式化简函数解析式.根据解析式可得最小正周期；（Ⅱ）根据x的取值范围求得2x的取值范围.结合正弦函数的值域可得函数的最大值和最小值．
【解答】：解：（Ⅰ）函数 fx=2sinx•sinπ2−x =2sinxcsx=sin2x.
所以函数的最小正周期为π；
（Ⅱ）当x∈[- π2 .0]时.2x∈[-π.0].
所以sin2x∈[-1.0].
故f（x）在区间[ −π2 .0]上的最小值为-1.最大值为0．
【点评】：本题考查了三角函数的周期性和最值问题.属于基础题．
19.（问答题.13分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为且a=2. csC=−14 ．
（Ⅰ）如果b=3.求c的值；
（Ⅱ）如果 c=26 .求sinB的值．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）由余弦定理c2=a2+b2-2abcsC.能求出c的值．
（Ⅱ）法一：由 csC=−14 .求出sinC= 154 ．由正弦定理求出sinA.进而求出csA.由A+B+C=π.得sinB=sin（A+C）=sinAcsC+csAsinC.由此能求出结果．
法二：由 csC=−14 .求出sinC= 154 ．由余弦定理求出b=4.再由正弦定理能求出sinB的值．
【解答】：（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由余弦定理c2=a2+b2-2abcsC.…（3分）
得 c2=4+9−2×2×3×−14=16 .
解得c=4．…（5分）
（Ⅱ）解：（方法一）由 csC=−14 .C∈（0.π）.得 sinC=1−cs2C=154 ．…（7分）
由正弦定理 asinA=csinC .得 sinA=asinCc=108 ．…（10分）
所以 csA=1−sin2A=368 ．
因为A+B+C=π.
所以sinB=sin（A+C）=sinAcsC+csAsinC…（12分）
= 108×−14+368×154 = 104 ．…（13分）
（方法二）由 csC=−14 .C∈（0.π）.得 sinC=1−cs2C=154 ．…（7分）
由余弦定理c2=a2+b2-2abcsC.
得 24=4+b2−2×2×b×−14 .
解得b=4.或b=-5（舍）．…（10分）
由正弦定理 bsinB=csinC .得 sinB=bsinCc=104 ．…（13分）
【点评】：本题考查三角形边长的求法.考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识.考查推理论证能力、运算求解能力.考查化归与转化思想、函数与方程思想.是中档题．
20.（问答题.13分）在△ABC中.AB=4.AC=3. csC=−14 ．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求 BA•BC 的值．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）根据余弦定理求出BC的值.求出sinC.求出三角形的面积即可；
（Ⅱ）根据正弦定理求出sinB.从而求出csB的值.求 BA•BC 的值即可．
【解答】：解：（Ⅰ）在△ABC中.由余弦定理可知：
csC= AC2+BC2−AB22AC•BC = 9+BC2−162×3×BC =- 14 .
解得：BC=2或BC=- 72 （舍）.
又∵csC=- 14 .0＜C＜π.∴sinC= 154 .
∴S△ABC= 12 ×BC×AC×sinC= 12 ×2×3× 154 = 3154 ；
（Ⅱ）在△ABC中.由正弦定理可得：
ACsinB = ABsinC .则sinB= AC×sinCAB = 3×1544 = 31516 .
∵BC＜AC＜AB.∴∠B为锐角.
∴csB＞0.∴csB= 1116 .
∴ BA • BC =| BA |•| BC |•csB=4×2× 1116 = 112 ．
【点评】：本题考查了正弦定理.余弦定理的应用.考查向量的数量积.是中档题．
21.（问答题.14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜ π2 ）同时满足下列四个条件中的三个：
① 最小正周期为π； ② 最大值为2； ③ f（0）=-1； ④ f（- π6 ）=0．
（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式.并说明理由；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件 ③ .则由f（0）=Asinφ=-1.推出与A＞0.0＜φ＜ π2 矛盾.可得函数f（x）不能满足条件 ③ .由条件 ① .利用周期公式可求ω=2.由条件 ② .可得A=2.由条件 ④ .可得f（- π6 ）=0.结合范围0＜φ＜ π2 .可求φ= π3 .可得函数解析式．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．
【解答】：解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件 ③ .则f（0）=Asinφ=-1.
这与A＞0.0＜φ＜ π2 矛盾.故函数f（x）不能满足条件 ③ .
所以函数f（x）只能满足条件 ① . ② . ④ .
由条件 ① .可得 2πω =π.
又因为ω＞0.可得ω=2.
由条件 ② .可得A=2.
由条件 ④ .可得f（- π6 ）=2sin（- π3 +φ）=0.
又因为0＜φ＜ π2 .
所以φ= π3 .
所以f（x）=2sin（2x+ π3 ）．
（Ⅱ）由2kπ- π2 ≤2x+ π3 ≤2kπ+ π2 .k∈Z.可得：- 5π12 +kπ≤x≤ π12 +kπ.k∈Z.
可得f（x）的单调递增区间为[- 5π12 +kπ. π12 +kπ].k∈Z．
【点评】：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式.考查了正弦函数的图象和性质.属于基础题．
22.（问答题.15分）已知函数f（x）的图象是由函数 y=csx−π4 的图象经如下变换得到：先将函数 y=csx−π4 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 （纵坐标不变）.再将所得到的图象向左平移 π4 个单位长度．
（1）写出函数f（x）的解析式和其图象的对称中心坐标；
（2）已知关于x的方程f（x）=m在[0.π]上有两个不同的解α.β.求实数m的取值范围和cs（α+β）的值．
【正确答案】：
【解析】：（1）由题意利用函数y=Acs（ωx+φ）的图象变换规律.得到f（x）的解析式.再利用余弦函数的图象的对称性.求出函数f（x）的图象的对称中心．
（2）由题意利用余弦函数的定义域和值域.求出m的范围.再利用余弦函数的图象的对称性.求出 α+β的值.可得cs（ α+β）的值．
【解答】：解：（1）先将函数 y=csx−π4 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 （纵坐标不变）.
可得y=cs（2x- π4 ）的图象；
再将所得到的图象向左平移 π4 个单位长度.得到f（x）=cs（2x+ π4 ）的图象．
令2x+ π4 =kπ+ π2 .求得x= kπ2 + π8 .k∈Z.可得函数f（x）的图象的对称中心为 （ kπ2 + π8 .0）.k∈Z．
（2）在[0.π]上.2x+ π4 ∈[ π4 . 9π4 ].cs（2x+ π4 ）∈[-1.1].
关于x的方程f（x）=m在[0.π]上有两个不同的解α.β.
∴-1＜m＜ 22 .或 22 ＜m＜1.
且2α+ π4 +（2β+ π4 ）=2×π.或 2α+ π4 +（2β+ π4 ）=2×2π.
∴α+β= 3π4 .或α+β= 7π4 .
故 cs（α+β）=cs 3π4 =-cs π4 =- 22 .或 cs（α+β）=cs 7π4 =cs（- π4 ）= 22 ．
综上可得.cs（α+β）的值为± 22 ．
【点评】：本题主要考查函数y=Acs（ωx+φ）的图象变换规律.余弦函数的图象的对称性.余弦函数的定义域和值域.属于中档题．