30，陕西省西安市西安交通大学附属中学2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题

这是一份30，陕西省西安市西安交通大学附属中学2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意：本试题共4页，四道大题.
一、单选题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可知：命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
2. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理可得答案．
【详解】由于在单调递增，
又，，即，
函数的零点所在区间是，
故选：B．
3. 《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（ ）
A. 80B. 70C. 60D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】利用韦恩图分析出只阅读过西游记的人数为10，从而求出答案.
【详解】如图所示，
因为阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，
所以只阅读过红楼梦的人数为20，
又其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，
故只阅读过西游记的人数为10，
所以这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为.
故选：B
4. 如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图象观察离家距离的变化情况，从而确定可能路线．
【详解】开始离家越来越远，中间离家距离不变，后来离家距离越来越近，因此路线D符合题意，
故选：D．
5. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为，则该公司每台机器年平均利润的最大值是（ ）万元．
A. 8B. 12C. 28D. 56
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式求得年平均利润的最大值.
【详解】年平均利润，
当且仅当时等号成立.
故选：A
6. 中国古代钱币历史悠久，品种纷繁，多姿多彩，大多数是以铜合金形式铸造的，方孔钱是古代钱币最常见的一种，如图1．现有如图2所示某方孔钱中心方孔为正方形，为正方形的顶点，为圆心，A为圆上的点，且，定义方孔钱金属面积比率，则该方孔钱金属面积比率约为（ ）（方孔钱厚度不计，）

A. 83.3%B. 88.9%C. 92.3%D. 96.3%
【答案】D
【解析】
【分析】设出正方形的边长，根据已知条件推出圆的半径，进而表示出圆以及正方形的面积，即可得出答案.
【详解】
如图，设交于点，
设，则，
则由可得，，圆的半径，
所以，圆的面积为，正方形的面积为，
所以，该方孔钱金属面积比率约为.
故选：D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】由可得，即，
所以，
故选：B
8. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A. 的周期为2B.
C. D. 的所有零点之和为16
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，单调性，周期性，对称性及函数的零点即可答案．
【详解】为偶函数，
，即，，曲线的图象关于直线对称，
又为奇函数，，
，即，则，
是周期为的周期函数，故A错误；
又，，，，
故，故B错误；
由题意可知当时，，，
且与的最小正周期为，与均为奇函数．
与同正同负， 故C正确；
的零点可看作与的图象交点的横坐标．
作出与的图象，如图所示，由图可知，共有7个交点，且前3个交点与后3个交点关于第4个交点对称，

所以所有零点之和为，故D错误．
故选：C．
二、多选题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 对于实数，，下列说法正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质，分析、推理判断ABC；举例说明判断D作答.
【详解】对于A，，两边同时除以，则，A正确；
对于B，，，则，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，因为，则，C正确；
对于D，取，满足，而，D错误.
故选：ABC
10. 下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A. ，且，
B. ，使得
C. 若，则函数的最小值为
D. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，当时显然不满足；对B，当时显然成立；对C，构造函数，结合单调性与函数定义域即可得；对D，离参数转化为求函数最值求解即可得.
【详解】对选项A，当时，，不满足，故A错误；
对选项B，当时，成立，
即，使得成立，故B正确；
对选项C，对于C，显然，而函数在上单调递增，
则当，即时，，故C错误；
对选项D，因为，由得，
设，，
则，当且仅当即时，等号成立.
故的最小值为，则，故D正确.
故选：BD.
11. 关于函数的叙述正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 在区间单调递減
C. 在有4个零点D. 是的一个周期
【答案】AB
【解析】
【分析】根据三角函数的奇偶性、单调性、零点、周期性对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】A.因为的定义域为，
又，∴是偶函数，故A正确；
B.当时，，在单调递减，故B正确；
C.当时，令，得或，又在上为偶函数，
∴在上的根为，0，，有3个零点，故C错误；
D. ，所以不是的一个周期，故D错误．
故选：AB.
12. 在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据角的定义和坐标关系分别求值.
【详解】A项，角终边经过点，则角终边经过点，所以，所以A项错误；
B项，因为，，所以，
因为，，所以，
所以，所以B项正确；
C项，因为，
由三角函数定义可知，，
所以，由解得，，
所以，所以C项正确；
D项，因为，所以，
由解得，，
所以，
所以，所以D项错误.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题意，化简得，，再结合同角三角函数关系分析即可.
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13. 将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的解析式为______.
【答案】
【解析】
【分析】由函数图像伸缩变化和平移变化的规律，求函数解析式.
【详解】函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，
得函数的图像，
再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，
则.
故答案为：
14. 已知，则a，b，c的大小关系为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意根据对数函数、指数函数单调性比较大小即可.
【详解】由题意，
故a，b，c的大小关系为.
故答案为：.
15. 函数没有最小值，则a的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】由题意函数没有最小值，即得函数的最小值，从而可得，即可求解.
详解】由题意没有最小值，
因函数开口向上，只需，
即等价于函数至少有个根，得，即，
所以a的取值范围是.
故答案为：.
16. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为______

【答案】##
【解析】
【分析】设直角三角形的最短直角边为，则最长直角边为，由，结合，求得，再利用三角函数的定义即可求解.
【详解】设直角三角形的最短直角边为，则最长直角边为，
由题意有，又，整理得，
解得，
又，
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的定义域为，，集合.
（1）求函数的定义域；
（2）求；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据被开方数不小于零，对数的真数部分大于零列不等式求解；
（1）直接根据补集和交集的定义计算即可；
（3）直接根据集合间的包含关系列式计算.
【小问1详解】
对于函数，
有，解得，
所以函数的定义域为；
【小问2详解】
由（1）得，则或，
又，
所以或；
【小问3详解】
因为，，，
所以.
18. （1）证明差角的余弦公式
（2）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）在单位圆中作角，利用三角函数定义写出相应点的坐标，再由关系利用两点间的距离公式代入整理可证；
（2）根据整体角间的关系利用诱导公式求解可得.
【详解】（1）不妨令.
如图，

设单位圆与轴的正半轴相交于点，
以轴非负半轴为始边作角，
则它们的终边分别与单位圆相交于点，，.
连接.若把扇形绕着点旋转角，
则点分别与点重合.
根据圆的旋转对称性可知，与重合，
从而＝，∴.
根据两点间的距离公式，得：
，
化简得：
当时，上式仍然成立.
∴对于任意角有：.
（2）由，
则；
且；
，
故.
19. 已知实数且，函数.
（1）设函数，若在上恰有两个零点，求的取值范围；
（2）设函数，若在上单调递增，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）参变分离可得在上有两个解，令，令，，求出的最大值与左端点的函数值，即可求出参数的取值范围；
（2）分和两种情况讨论，结合对数函数的性质得到在上的单调性与取值情况，从而得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
依题意在上有两个零点，
可化为在上有两个解，
即与在上有两个交点，
设，令，
得，又，
且在上单调递增，在上单调递减，的图象如下所示：
由图可得，符合且，所以.
【小问2详解】
因为在上单调递增，
①当时，在定义域上为减函数，
则在上为减函数，且在上恒成立，
所以，不等式无解；
②当时，在定义域上为增函数，
则在上为增函数，且在上恒成立，
所以，解得；
综上所述：.
20. 2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%．
（1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．
【答案】（1）
（2）22
【解析】
【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x的取值范围为；
（2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a的最大值为22.
【小问1详解】
根据题意可知，需满足，
化简为，解得，
故x的取值范围为
【小问2详解】
由题意得
整理可得，
因为，
当且仅当时，取到最小值10；所以，
即a的最大值为22
21. 已知函数
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若存在，使等式成立，求实数m的最大值和最小值.
【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；
（2）的最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）三角恒等变换化简函数解析式，再整体换元，利用复合函数的单调性求单调区间即可；
（2）整体换元，转化为二次方程在区间有解问题，根据轴与区间的关系分类讨论可得的范围，即得最值.
【小问1详解】
令，由，则，
当，即时，函数单调递增，
又函数单调递增，所以单调递增；
当，即时，函数单调递减，
又函数单调递增，所以单调递减；
函数在上的单调增区间是，单调减区间是；
【小问2详解】
由（1）得，
设，由，
由（1）知，函数在单调递增，在单调递减；
又，则，
故关于的方程在区间内有解，
设，函数图象开口向上，对称轴为，
①当，即时，
则有，解得，不成立，
②当，即时，
则有或，解得，
③当，即时，
则有，解得，不成立，
综上所述，.
即的最大值为，最小值为.
22. 已知函数且.
（1）判断的奇偶性并给出证明；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）定义域为，奇函数，证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出的定义域，再由奇函数定义证明即可；
（2）利用奇函数和分类讨论单调性，先将条件转化为不等式组恒成立问题，再转化为分离参数转化为最值问题求解a的范围即可.
【小问1详解】
要使有意义，需满足，解得，
故定义域为.
判断是奇函数.
证明：定义域为，关于原点对称；
又
，
所以为奇函数；
【小问2详解】
由，得．
由（1）知为奇函数，则，
所以，
因为，
令，则在上单调递增，
当时，单调递减，
由复合函数单调性可知，上单调递减，
则要使恒成立，
即恒成立，
即要使①，②，③均恒成立.
由，不等式①②显然恒成立，
由，
且当时，，
故不等式③也恒成立，
故当时，即对于任意的，恒成立.
当时，单调递增，则在上单调递增，
则恒成立，
由，
即①，②，③均恒成立
当时，
要使①恒成立，则，则；
不等式②显然恒成立；
要使不等式③恒成立得，，
由解得；
故当时，要使①②③均恒成立，则
综上所述，实数a的取值范围为.
【点睛】易错点睛：求解或转化抽象（或复合）同构型函数不等式时，常利用函数单调性转化为常规不等式，但首先要使不等式各部分有意义，不能忽视函数定义域的研究.