2024年江苏省苏州市高三数学上学期一轮模拟测试卷

这是一份2024年江苏省苏州市高三数学上学期一轮模拟测试卷，共25页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知平面单位向量，，满足，则，记函数的最小正周期为T，已知函数，函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合M，N满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）
A．B．C．D．2
3．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面单位向量，，满足，则（ ）
A．0B．1C．D．
5．记函数的最小正周期为T．若，且点和直线分别是图像的对称中心和对称轴，则T＝（ ）
A．B．C．D．
6．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A．元B．元
C．元D．元
7．在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
8．已知函数．设s为正数，则在中（ ）
A．不可能同时大于其它两个B．可能同时小于其它两个
C．三者不可能同时相等D．至少有一个小于
二、多选题
9．在棱长为2的正方体中，与交于点，则（ ）
A．平面
B．平面
C．与平面所成的角为
D．三棱锥的体积为
10．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．在区间上单调递增
11．一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）
A．B．为互斥事件
C．D．相互独立
12．已知抛物线的焦点为，以该抛物线上三点为切点的切线分别是，直线相交于点与分别相交于点.记的横坐标分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．已知函数，则 .
14．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式 .
①；②
15．已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为 .
16．已知正四棱锥的所有棱长都为1，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为 ，的面积的最大值为 .
四、解答题
17．已知在中，边,,所对的角分别为，，，.
(1)证明：,,成等比数列；
(2)求角的最大值.
18．已知等比数列的前n项和为（b为常数）．
(1)求b的值和数列的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．
19．如图，四边形ABCD是边长为的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．
（1）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；
（2）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．
20．某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
21．已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，
(1)设直线的斜率分别为，求的值；
(2)若，求的面积.
22．已知函数.
(1)若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围；
(2)设的导函数为，若满足，证明：.
题号
一
二
三
四
总分
得分
参考答案：
1．D
【分析】利用并集和子集的定义即可求解
【详解】由可得，故D正确；
当，所以，故ABC不正确
故选：D
2．D
【分析】根据复数的运算法则求得z即可求得虚部.
【详解】由已知，故，
故z的虚部是2.
故答案为：D
3．C
【分析】根据条件通过作垂线，求得底面圆的半径，将液体的体积看作等于一个底面半径为，高为 的圆柱体积的一半，即可求解答案.
【详解】如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F,
因为MN平行于地面，故 ，
椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，
故 ,
在中， ，即圆柱的底面半径为 ，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为 的圆柱体积的一半，
即为 ，
故选：C.
4．C
【分析】根据可得，替换，利用数量积的运算即可求解.
【详解】如图，设，，
因为，所以平行四边形为菱形，
则为正三角形，所以，且反向，
所以，所以，
因为，
所以，
故选:C.
5．A
【分析】求出对称中心和对称轴之间的距离关系，根据周期的取值范围即可确定周期的值
【详解】解：由题意
在中，
设对称点和与对称轴在轴上的交点间的距离为
对称中心：
对称轴：
由几何知识得，
解得：（为属于的参数）
∵，且点和直线分别是图像的对称中心和对称轴
∴
解得：
∵
∴,
故选：A.
6．A
【分析】小李的还款x元每月要产生复利，小李的贷款元每月也要产生复利.这是本题的关键所在.
【详解】设每月还元，按复利计算，则有
即
解之得，
故选：A
7．C
【分析】根据双曲线的定义先推出为正三角形，然后根据余弦定理解决.
【详解】，∴，∴，
∵经过内切圆圆心，∴为的角平分线，
∴．∴，∴，
，，
∴，于是，
∴为正三角形，．
中，由余弦定理，∴.
故选：C.
8．D
【分析】利用导数分析函数的单调性和最值，并结合的大小关系，通过赋值或分类讨论分析判断.
【详解】∵，则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，则，且，
对A：若，则，则，A错误；
对B、C：当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则，故；
综上所述：不可能同时小于，B、C错误；
对D：构建，则当时恒成立，
故在上单调递减，则，
令，可得，则，
故，即，使得，
反证：假设均不小于，则，
显然不成立，假设不成立，D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：在比较与的大小关系时，通过构建函数，结合导数分析判断.
9．ABD
【分析】根据线面平行判定定理判断A，利用线面垂直判定定理判断B，利用线面夹角的定义判断C，根据等体积法判断D.
【详解】∵平面平面
平面，A对；
因为又平面，平面，
所以平面
平面，B对；
因为平面与平面所成角为
因为，C错；
因为，D对.
故选：.
10．ACD
【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.
【详解】，，由于，
所以，所以A选项正确，B选项错误.
，
当时，得，所以关于对称，C选项正确，
，
当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确.
故选：ACD
11．AC
【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析.
【详解】正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；
不独立，
D错误；
故选：AC.
12．BCD
【分析】利用导函数和斜率的关系表示出切线方程可求出的坐标可判断A，根据向量数量积的坐标运算判断B,并根据两点间的距离公式运算求解即可判断C,D.
【详解】设，
所以，即，
同理，
，即，也即，B正确；
不一定为A错误；
正确；
正确，
故选:BCD.
13．4
【分析】根据分段函数的定义求解即可.
【详解】由，
所以，
所以.
故答案为：4.
14．（答案不唯一）
【分析】可构造等比数列，设公比为，由条件，可知公比为负数且，再取符合的值即可得解.
【详解】可构造等比数列，设公比为，
由，可知公比为负数，
因为，所以，
所以可取设，
则.
故答案为：.
15．/
【分析】根据可得在的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解.
【详解】在的垂直平分线上，
所以中垂线的斜率为，
的中点为，由点斜式得，
化简得，
在圆满足条件的有且仅有一个，
直线与圆相切，
，
故答案为: .
16．
【分析】空1，数形结合，作平面与平面平行，即可解决；空2，令，得，，得，，得，即可解决.
【详解】取中点
平面，
作平面与平面平行，如图至多为五边形.
令，
，
，
所以，
所以
所以,
因为与的夹角为与夹角，而与垂直，
所以，
当时，取最大值.
故答案为：；
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)结合内角和关系，通过三角恒等变换化简条件等式可得，再利用正弦定理化角为边即可证明；(2)根据余弦定理和基本不等式可求的最小值，由此可得角的最大值.
【详解】（1）通分化简可得，
，即，
即，
整理得，由正弦定理可得，所以a､b､c成等比数列；
（2）由（1）可得，又，所以，当且仅当即为正三角形时等号成立，所以的最大角为.
18．(1)；
(2)
【分析】（1）依题意等比数列的公比不为1，再根据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解；
（2）首先令，，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可；
【详解】（1）解：由题设，显然等比数列的公比不为1，
若的首项、公比分别为、，则，
∴且，所以，
故的通项公式为．
当时，；
（2）解：令，，解得，所以
数列在中的项的个数为，则，所以，
∵，①
∵②
两式相减得∴．
∴
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接，交于点，连接，则为的中点，可证明平面，平面，从而证明结论.
（2）取的中点，连接，可得,以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系,应用向量法求线面角.
【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，则为的中点，
∵是的中点，
平面,平面,所以平面
又是的中点
平面,平面,所以平面
又平面,, 所以平面平面．
（2）取的中点，连接，
在菱形中，为正三角形，则
由平面，
故以所在直线分别为轴，建立如图示的空间直角坐标系
则
∴
设平面BDEF的法向量为，即，
令则
设直线与平面所成角为，
则
故直线与平面所成角的正弦值为
【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取
1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.
2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.
3、求：求出所需平面的法向量
4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值
5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.
20．(1)
(2)
【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则､､彼此互斥，求出相关的概率，
再根据条件概率求解即可.
【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2，
，，
由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：
；
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则､､彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：.
21．(1)；
(2).
【分析】（1）法一：根据实轴长，求得a值，根据题意，求得，可得b值，即可得曲线C方程，设直线方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.
法二：由题意，求得a，b的值，即可得曲线C方程，设方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.
（2）法一：因为，根据二倍角的正切公式，结合及，化简计算，可得，进而可得方程，与曲线C联立，可得M点坐标，即可得直线的方程，根据面积公式，即可得答案.
法二：设，由，结合二倍角正切公式，可得的值，进而可得直线方程，与曲线C联立，可得，同理可得，代入面积公式，即可得答案.
【详解】（1）法一：
因为，所以，令得，
所以，解得，
所以的方程为
显然直线与轴不垂直，设其方程为，
联立直线与的方程，消去得，
当时，，
设，则.
因为，
所以.
法二：
由题意得，解得，
双曲线的方程为.
设方程为，
联立，可得，
，，
，
.
（2）法一：
因为，
所以，
又因为，
所以，即，（※）
将代入（※）得，
因为在轴上方，所以，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或（舍），所以，
代入，得，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或，
所以的面积为.
法二：
设，由，可得，
，解得，
方程，
联立，可得，解得，
同理联立，解得，
.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意可得在上恒成立，令，求导，分、讨论在上恒成立即可；
(2)由可得，由（1）知，即有，①，令，求导得当时，，即有，于是得以，代入①式中化简即可得证.
【详解】（1）解：当时，，，
因为在上是单调递增函数，
所以在上恒成立，
令，则，
当时，，
令，，
所以在上递增，
即，
所以在上恒成立，符合题意；
当时，，，且在为单调递增函数，
所以存在唯一使得，
所以当时，，在递减，
即，，不符合题意；
综上所述；
（2）证明：，
当时，由（1）可知是增函数，所以，
设，
，
移项得，
由（1）知，即，
所以，
即，①
设，，
所以当时，，
即，
所以，即，
所以，
代入①式中得到，
即，
所以，命题得证.
【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数求参数的范围及证明不等式成立问题:
对于函数在所给区间上单增(减)，等价于其导数在所给区间上恒为正(负)；
对于恒成立问题，常采用方法有二：
一是求导，利用导数求出函数的最值，转化为最值与参数之间的关系；
二是分离参数，再利用导数求函数的最值，转化为参数与函数的最值之间的关系.
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