1专题05 含角平分线与垂线问题-备战2023-2024学年苏科版七年级数学上学期期末考试真题汇编

这是一份1专题05 含角平分线与垂线问题-备战2023-2024学年苏科版七年级数学上学期期末考试真题汇编，共22页。试卷主要包含了角平分线，余角、补角，垂直，垂线段最短，点到直线的距离，对顶角性质，已知等内容，欢迎下载使用。

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
关键知识点：
1．角平分线：射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC叫做这个角的平分线
2．余角、补角
余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角
补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角
性质：●同角或等角的余角相等。●同角或等角的补角相等。
3．垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足。
4．垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简述为垂线段最短。
注：直线外一点到这条直线的垂线段只有一条。
5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
6．对顶角性质：对顶角相等
一、单选题
1．小光准备从A地去往B地，打开导航显示两地距离为39．6km，但导航提供的三条可选路线长却分别为52km，53km，56km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．下列结论中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角B．在同一平面内，不相交的两条线段平行
C．一个角的余角比它的补角小90°D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
3．如图，点O在直线AB上，∠AOC与∠BOD互余，∠AOD＝148°，则∠BOC的度数为（ ）
A．122°B．132°C．128°D．138°
4．下列说法中：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角是对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④若AB=BC，则点B为线段AC的中点．
其中说法正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，OA⊥OB于O，直线CD经过O，∠AOD=35°，则∠BOC的度数是（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOD=70°，则∠AOE=（ ）．
A．145°B．110°C．35°D．70°
7．如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，是∠AOC的平分线，是的平分线，是的平分线，则与大小关系是（ ）
A．=B．＜C．＞D．无法确定
8．如图，OC是的平分线，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是________．
10．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°，∠BOD∶∠BOC＝1∶5，过点O作OF⊥AB，则∠EOF的度数为__．
11．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则__________（用含m的代数式表示）．
12．（2022·江苏江苏·七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC：∠EOD＝2：3，则∠BOD的度数为________．
13．如图，，相交于点，，则与互为_______角．
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．∠AOC＝∠COB，则∠BOF＝_____°．
15．如图，已知∠AOB＝2∠BOC，OD平分∠AOC，且∠BOD＝20°，则∠AOC的度数为______°．
16．如图，已知∠AOB=60°，从点O引出一条射线OC，使得∠AOC:∠COB=1:2，则OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为_____________．
三、解答题
17．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点都叫做格点． 已知点A、B、C均在格点上．
（1）借助方格纸过点B画线段AC的平行线BD；
（2）借助方格纸过点B画线段AC的垂线BE，垂足为E；
（3）观察所画图形，点A到直线BE的距离是线段的长度；
（4）BD与BE的位置关系是；
（5）比较大小：线段AB线段BE（填“＞”、“＜”或“＝”），理由是．
18．如图，∠AOB=m°，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC．
（1）若∠BOC=90°，∠AOC=30°，求∠DOE的度数；
（2）试用含m的代数式表示∠DOE；
（3）在图中，将OC反向延长，得到OP，OM、ON分别平分∠BOP、∠AOP．请将图补充完整，并用含m的代数式表示∠MON．
19．如图，已知∠AOB=30°．
（1）若射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，请你画出所有符合要求的图形；
（2）请根据（1）所画出的图形，求∠COD的度数．
20．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OM平分∠BOE，∠AOC＝50°．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分线吗？请说明理由．
21．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．
（1）若∠COE＝54°，求∠DOF的度数；
（2）若∠COE：∠EOF＝2：1，求∠DOF的度数．
22．已知：射线OC在∠AOB的内部，∠AOC: ∠BOC=9:1，∠COD=2∠COB，OE平分∠AOD．
（1）如图，若点A，O，B在同一条直线上，OD是∠AOC内部的一条射线，请根据题意补全图形，并求∠COE的度数；
（2）若∠BOC=，直接写出∠COE的度数（用含的代数式表示）．
23．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF．
（1）若∠DOE＝32°，求∠BOF的度数；
（2）若∠COE：∠COF＝8：3，求∠AOF的度数。
参考答案
一、单选题
1．A
【分析】根据线段的性质可得答案．
【详解】解：打开导航显示两地距离为39.6km，但导航提供的三条可选路线长却分别为52km，53km，56km（如图）．能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短．
A、故选项正确，符合题意；
B、故选项错误，不符合题意；
C、故选项错误，不符合题意；
D、故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了线段的性质，解题的关键是熟记线段的性质并应用．
2．C
【分析】根据对顶角的定义，同一平面内线段的位置关系，余角与补角的定义，平行公理进行逐一判断即可．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条线段不一定平行，故此选项不符合题意；
C、设一个角为x，则其余角为90°-x，其补角为180°-x，
∵180°-x-（90°-x）=90°，
∴此选项符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，同一平面内线段的位置关系，余角与补角的定义，平行公理，熟知相关知识是解题的关键．
3．A
【分析】利用∠AOC与∠BOD互余得出∠AOC+∠BOD＝90°，再由平角的定义求出∠COD，即可求出答案．
【详解】解：∵点O在直线AB上，∠AOC与∠BOD互余，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠COD＝180°﹣（∠AOC+∠BOD）＝180°﹣90°＝90°，
∵∠AOD＝148°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣148°＝32°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+32°＝122°，
故选：A．
【点睛】本题考查余角，解题关键是掌握余角的定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角．
4．A
【分析】根据对顶角的定义、两点之间线段最短、线段垂直平分线的逆定理．
【详解】解：①根据两点之间，线段最短，那么①正确；
②根据对顶角的定义，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，那么②错误；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么③错误；
④若AB=BC，则B在线段AC的垂直平分线上，即B不一定是线段AC的中点，那么④错误；
综上：正确的有①，共1个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了对顶角、两点之间线段最短，熟练掌握对顶角的定义、两点之间线段最短是解决本题的关键．
5．B
【分析】由OA⊥OB，得出∠AOB=90°，再根据∠AOD=35°，由余角的定义可得出∠BOD，再根据补角的定义可得出∠BOC的度数．
【详解】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵∠AOD=35°，
∴∠BOD=90°-35°=55°，
∴∠BOC=180-55°=125°，
故选B．
【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，关键是利用90°和180°的数据进行计算．
6．C
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC，根据角平分线的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵∠BOD=70°，
∴∠AOC=∠BOD=70°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠AOC=×70°=35°，
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键．
7．C
【分析】根据角平分线的性质可得，，，进而可得，即有，据此即可作答．
【详解】∵OC平分∠AOB，，
∴，
∵OC1平分∠AOC，
∴，
∵OC2平分，
∴，
依次类推可知：，
∴可知，
∴，
∴，
∵根据题意可知，
∴，
即有：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形规律的探索，依据角平分线的性质推导出是解答本题的关键．
8．C
【分析】先根据可得的度数，再根据角平分线的定义即可得．
【详解】解：∵，，
，
是的平分线，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的和差、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
二、填空题
9．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可得结论．
【详解】∵OM⊥l，ON⊥l，
∴OM与ON重合（平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），
故答案为：平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的性质：平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
10．30°或150°
【分析】作出图形，分OF、OE在直线AB的同侧或异侧两种情况讨论.根据平角的定义可求∠BOD，根据余角的定义可求∠BOE，根据余角的性质和角的和差关系可求∠EOF或∠EOF'的度数即可.
【详解】∵∠BOD：∠BOC=1：5，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=30°.
∵∠COE=90°，
∴∠DOE=90°，
∴∠BOE=90°-30°=60°.
①若OF、OE在直线AB的同侧.
∵FO⊥AB，
∴∠FOB=90°，
∴∠EOF=∠BOD=30°.
②若OF'、OE在直线AB的同侧.
∵F'O⊥AB，
∴∠F'OB=90°，
∴∠EOF'=∠EOB+∠F'OB=60°+90°=150°.
综上所述：∠EOF的度数为30°或150°.
故答案为：30°或150°.
【点睛】本题考查了余角、邻补角.熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，余角的定义和性质是解答本题的关键.
11．
【分析】由题意∠AOF可能为锐角或∠AOF也可能为钝角，故需讨论这两种情况．
【详解】解：由题意，需讨论一下两种情况：
如图1，
∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°．
∴∠AOF＝180°−∠AOC−∠COE＝180°−90°−m°＝90°−m°．
②如图2．
∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝90°．
∵∠COE与∠DOF是对顶角，
∴∠COE＝∠DOF＝m°．
∴∠AOF＝∠AOD＋∠DOF＝90°＋m°．
综上：∠AOF＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查垂直的定义以及角的和差关系，熟练掌握垂直的定义以及角的和差关系是解决本题的关键．
12．36°
【分析】先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝2x＝72°，根据角平分线定义得到∠AOC∠EOC72°＝36°，然后根据对顶角相等得到∠BOD＝∠AOC＝36°．
【详解】解：设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠EOC＝2x＝72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC∠EOC72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故答案为：36°
【点睛】考查了角的计算，角平分线的定义和对顶角的性质．解题的关键是明确：直角＝90°；平角＝180°，以及对顶角相等．
13．余
【分析】根据EO⊥AB，可知∠EOB=90°，然后根据平角为180°，可求得∠1+∠2=90°，即可得出∠1和∠2的关系．
【详解】解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∵∠1+∠BOE+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1和∠2互余．
故答案为: 余．
【点睛】本题考查了邻补角及余角的概念，解题的关键是掌握互余两角之和为90°．
14．30．
【分析】根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE求解．
【详解】解：∵∠AOC＝∠COB，∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝180°×＝80°，
∴∠BOD＝∠AOC＝80°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOD＝×80°＝40°．
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣40°＝140°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF＝∠COE＝×140°＝70°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝70°﹣40°＝30°．
故答案是：30．
【点睛】本题考查角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是解题关键．
15．120
【分析】设∠BOC=x，则∠AOB＝2x，∠AOC=3x，根据角平分线定义求出∠COD，得到方程求出x，即可求出答案．
【详解】解：设∠BOC=x，则∠AOB＝2x，
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB＝3x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=，
∴，
∴0.5x=20°，
解得x=40°，
∴∠AOC=3x=120°，
故答案为：120．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．
16．10°或90°
【分析】分OC在∠AOB的内部和外部两种情况讨论即可．
【详解】解：如图①，当OC在∠AOB的内部时，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD＝∠AOB＝30°，
∵∠AOB=60°，∠AOC：∠COB=1：2，
∴∠AOC＝∠AOB＝20°，
∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为：∠AOD-∠AOC=30°-20°=10°；
如图②，当OC在∠AOB的外部时，
∵∠AOB=60°，∠AOC：∠COB=1：2，
∴∠AOC=∠AOB=60°，
∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为：∠AOD+∠AOC=30°+60°=90°；
综上所述，OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为10°或90°．
故答案为：10°或90°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，利用分类讨论是解答本题的关键．
三、解答题
17．（1）见解析
（2）见解析
（3）AE
（4）BD⊥BE
（5）＞；直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短
【分析】（1）利用网格特点进而过点B画BD//AC；
（2）利用网格特点进而过点B画BE⊥AC，垂足为点E；
（3）根据点到直线的距离和线段定义即可求解；
（4）根据作图和垂直定义即可求解；
（5）根据垂线段最短即可判断求解．
（1）
如图所示：直线BD即为所求；
（2）
如图所示：直线BE即为所求；
（3）∵BE⊥AC，垂足为点E；∴AC⊥BE，垂足为点E；∴线段AE的长度即是点A到BE的距离，
故答案为：AE；
（4）∵BD//AC；又BE⊥AC，∴BD⊥BE，故答案为：BD⊥BE；
（5）
线段AB、BE的大小关系是：AB>BE（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短），
故答案为：＞，理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
【点睛】本题考查应用设计与作图，平行与垂直的定义，距离定义，垂线段最短性质，解题的关键是掌握基本的作图方法和相关定义及性质．
18．（1）60°；（2）；（3）图见解析，．
【分析】（1）利用OD、OE分别平分、，可知，，进一步可求出；
（2）利用即可求出；
（3）利用OM、ON分别平分、，可得，，进一步可得：．
（1）
解：∵OD、OE分别平分、，且，，
∴，，
∴，
（2）
解：由（1）可知：，
∵，
∴，
（3）
解：补充图形如下：
∵OM、ON分别平分、，且，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查角平分线，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，找出角之间的关系．
19．（1）见解析；（2）30°或150°
【分析】（1）分OC、OD在射线OA的同一侧与两侧两种情况分别作出即可；
（2）结合各图形，利用各角的度数分别进行计算即可．
（1）
解：如图所示：
（2）
如图1，∵∠AOB＝30°，射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，
∴∠AOB＋∠BOC＝90°，∠COD＋∠BOC＝90°，
∴∠AOB＝∠COD＝30°．
如图2，∵∠AOB＝30°，射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，
∴∠AOB＋∠AOC＋∠BOD＝30°＋90°＋90°＝210°，
∴∠COD＝360°−210°＝150°．
同理可得：图3，∠AOB＝∠COD＝30°，
图4，∠COD＝∠COA＋∠BOD−∠BOA＝90°＋90°−30°＝150°．
【点睛】本题考查了基本作图，角的计算，注意分OC、OD在OA的同一侧与两侧两种情况分别作图，注意不要漏解．
20．（1）20°；（2）ON平分∠AOD，见解析
【分析】（1）根据对顶角相等得到∠BOD＝50°，根据OE⊥CD，可得∠DOE＝90°，根据角平分线的性质可得：∠BOM＝∠BOE，进而利用角的和差即可求解；
（2）根据角的和差求得∠DON＝65°，∠AOD＝130°，继而根据角平分线的定义即可求证．
（1）
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝90°＋50°＝140°，
∵OM平分∠BOE，
∴∠BOM＝∠BOE＝×140°＝70°，
∴∠DOM＝∠BOM－∠BOD＝70°－50°＝20°，
（2）
如图，在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，则ON是∠AOD的平分线，
理由如下：
∵∠DOM＝20°，∠MON＝45°，
∴∠DON＝∠DOM＋∠MON＝45°＋20°＝65°
∵∠AOC＝50°
∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°
∴∠DON＝∠AOD
∴ON平分∠AOD．
【点睛】本题考查对顶角的性质、角平分线的定义、垂线，解题的关键是熟练掌握已学知识．
21．（1）∠DOF＝108°；（2）∠DOF＝112.5°
【分析】（1）先由OE⊥AB得出∠AOE＝90°，再由角平分线求出∠COF＝∠AOC＝72°，最后可得∠DOF．
（2）设∠EOF＝x°，则∠COE＝2x°，∠COF＝3x°，再由角平分线求出∠AOF＝∠COF＝3x°，所以∠AOE＝4x°，再由垂直定义列出式子，解出方程即可．
（1）
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°；
∵∠COE＝54°，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝144°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠COF＝∠AOC＝72°，
∴∠DOF＝180°－∠COF＝108°．
（2）
设∠EOF＝x°，则∠COE＝2x°，
∴∠COF＝3x°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠COF＝3x°，
∴∠AOE＝4x°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴4x＝90，解得x＝22.5，
∴∠COF＝3x°＝67.5°，
∴∠DOF＝180°－∠COF＝112.5°．
【点睛】本题考查了角的计算，根据垂直的定义、角的和差关系列出方程进行求解，难度适中．
22．（1）图见解析，99°
（2）当射线在的内部时，；当射线在的外部时，
【分析】（1）作出∠AOD的平分线OE，根据∠AOC:∠BOC=9:1求出∠BOC=18°，依据∠COD=2∠COB得∠COD=36°，从而可求∠AOD=126°，根据OE平分∠AOD得∠DOE=63°,从而可求出的度数；
（2）分两种情况考虑：当射线在的内部时，先求出∠AOD=∠AOC-∠COD=7α,，根据角平分线得出；当射线在的外部时，先求出∠AOD=∠AOC+∠COD=11α, 根据角平分线得出．
（1）
解：补全图形，如图所示：
∵点A，，在同一条直线上，
∴（平角的定义） ．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴（角平分线的定义）．
∴
（2）
解：当射线在的内部时，如图，
∵，
∴∠AOC=9α，
∵
∴
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=7α,
∵平分
∴∠DOE=∠AOD=α，
∴∠COE=∠COD+∠DOE=2α+α=α；
当射线在的外部时，如图，
∵，
∴∠AOC=9α，
∵
∴，∠BOD=α
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=11α,
∵平分
∴∠DOE=∠AOD=α，
∴∠COE=∠DOE -∠COD =α-2α=α．
【点睛】本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义、平角定义以及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想．
23．（1）58°；（2）126°
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOE，再根据垂线的定义求出∠EOF，从而可得∠BOF；
（2）设∠DOE=x，分别表示出∠COE和∠COF，根据∠COE：∠COF＝8：3，列出方程，求出x值，再根据∠AOF=∠COF+∠AOC=∠COF+∠BOD求出结果．
（1）
解：∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE=32°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°-∠BOE=58°；
（2）
设∠DOE=x，∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE=x，
∵OE⊥OF，
∴∠COF=90°-x，
∴∠COE=90°-x+90°=180°-x，
∵∠COE：∠COF＝8：3，
∴，
解得：，
∴∠AOF=∠COF+∠AOC=∠COF+∠BOD=90°-x+2x=126°．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键。