2024郑州高二上学期期末考试数学含答案

这是一份2024郑州高二上学期期末考试数学含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A.B.C.D.
2.已知点，，，则点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
3.已知数列的前项和为，且，则（ ）
A.20B.28C.32D.48
4.已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（ ）
A.1B.2C.3D.6
5.若关于，的方程组无解，则的值为（ ）
A.B.C.1D.0
6.已知，，且，则和可分别作为（ ）
A.双曲线和抛物线的离心率B.双曲线和椭圆的离心率
C.椭圆和抛物线的离心率D.两双曲线的离心率
7.人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆：的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点，连线的斜率之积为，则的值不可能为（ ）
A.B.C.0D.2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A.B.与所成角的余弦值为
C.，，，四点共面D.的面积为
10.已知两圆：，：，则下列说法正确的是（ ）
A.点在圆内
B.圆关于直线对称
C.圆与圆外切
D.点在圆上，点在圆上，则的最大值为6
11.已知数列中，，，，记的前项和为，则（ ）
A.中任意三项都不能构成等差数列B.
C.D.
12.抛物线：的焦点是，准线与对称轴相交于点，过点的直线与相交于，两点（点在第一象限），，垂足为，则下列说法正确的是（ ）
A.若以为圆心，为半径的圆经过点，则是等边三角形
B.两条直线，的斜率之和为定值
C.已知抛物线上的两点，到点的距离之和为8，则线段的中点的纵坐标是4
D.若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是________.
14.写出圆：与圆：的一条公切线方程________.
15.松脆辛香的品客薯片蕴藏着数学、物理、哲学的奥秘，它的形状叫双曲抛物面（马鞍面），其标准方程为（，），当时截线方程为：（，），如图从的一个焦点射出的光线，经过，两点反射后，分别经过点和，且反射光线的反向延长线交于的另一个焦点.已知，，则的离心率为________.
16.已知数列中，，，，设数列，则的通项公式为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.其中17题10分，1822题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，.
（I）求边上的高所在直线方程；
（II）求点到直线的距离.
18.已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2.
（I）求圆的标准方程；
（II）若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长.
19.（12分）
设等差数列的前项和为，已知，.
（I）求数列的通项公式；
（II）设数列的首项为，且对任意的都有，求数列的前项和.
20.（12分）
在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1.
（I）求点的轨迹的方程；
（II）已知直线过点，与轨迹交于，两点.求证：直线与直线的倾斜角互补.
21.（12分）
在三棱台中，平面，，，，为中点.
（I）求证：平面；
（II）求平面与平面夹角的余弦值.
22.（12分）
已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点.当垂直于长轴时，.
（I）求椭圆的方程；
（II）椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
郑州市2023—2024学年上学期期末考试
高中二年级数学参考答案
一、单项选择题，本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二、多项选择题，本大题共8小题，每小题5分，共40分.
三、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.；14.写出或或一条即可；15.；16..
四、解答题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）由题意可知，为的中点，
，，.
又，.
所在直线方程为，即.
（2）由，解得，所以.
又直线方程为，即.
点到直线的距离.
18.解：（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为，
由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值.
圆心到直线的距离.即.
.
圆的方程为.
（2）由圆：和圆：，
两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为.
圆心到直线的距离为.
弦长.
19.解：（1）设等差数列的公差为，则由题意得
解得
数列的通项公式为.
（2）由题意得，数列为等比数列，公比为，
所以的通项公式为.
.
当为偶数时，；
当为奇数时，.
综上所述，.
（的最终结果写成分段函数形式也可以.）
20.解：（1）曲线上的动点到点的距离比到直线的距离小1，
动点到直线的距离与它到点的距离相等.
故所求轨迹为以原点为顶点，开口向右的抛物线，且，
.
点的轨迹的方程为.
（2）证明：由题知直线的斜率存在且不为零，
设的方程为，
联立得，
，
设，，则，
，.
，
，.
即直线与直线的倾斜角互补.
21.解：（1）取的中点，连接，，得为的中位线，
，且.
而，，，则，，
四边形为平行四边形，.
又平面，平面，
平面.
（2）如图，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则，，，
所以，.
设平面的一个法向量为，
由得
可取.
易知平面平面的法向量为.
设平面与平面的夹角为，则
平面与平面的夹角余弦值为.
22.（1）解：由题意得解得
椭圆的标准方程为：.
（2）假设椭圆上是存在点，设为，使得四边形为平行四边形.
设直线的方程为：，
联立与消去得，
判别式，
设，，则，
则中点坐标为，中点坐标为，
则解得，
代入椭圆方程，解得.
此时，
所以椭圆上是存在点，使得四边形为平行四边形.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
B
C
A
B
D
题号
9
10
11
12
答案
ACD
BD
AC
ABD