福建省福州晋安区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份福建省福州晋安区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列交通路口分流图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．的值是（ ）
A．B．9C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知三角形的两边的长分别为和，设第三边的长为，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
5．若是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．3B．6C．D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、D分别为AB、AC上的点，连接BD，DE，若AD＝DE＝BE，∠C＝70°，则∠BDC的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
7．已知，，则mn的值为（ ）
A．10B．﹣6C．﹣2D．2
8．若a，b为等腰△ABC的两边，且满足|a﹣5|+＝0，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．12C．15或12D．9或12
9．如图，在中，M，N分别是的中点，，则为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当ΔAEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．100°B．90°C．70°D．80°
二、填空题
11．点关于y轴对称所得点的坐标为 ．
12．已知时，分式无意义，则 ．
13．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000 000 007毫米，将数据0.000 000 007用科学记数法表示为 ．
14．两个边长分别为和的正方形如图1放置，其未重叠部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为，则可用含，的代数式表示为 ．
15．若解关于x的分式方程产生增根，则m＝ ．
16．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…记，，，，…那么的值是 ．
三、解答题
17．计算题和解方程：
(1)计算：；
(2)分解因式：；
(3)解分式方程：．
18．如图，点B，F，C，E在同一直线上，，相交于点M，，，，求证：．

19．先化简再求值：，其中a满足．
20．如图，在中，，交于点D．
(1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求证：．
21．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．
(1)若，求的度数；
(2)若，的周长为，求的长．
22．2023年3月17日，是新都区抗日民族英雄王铭章将军壮烈牺牲85周年纪念日．为了弘扬铭章精神，缅怀抗战英烈，某学校组织八年级学生代表乘大巴车赴距离学校11千米的王铭章墓园开展祭扫活动，大巴车实际行驶速度比原计划提高了，结果提前了2分钟到达，求大巴车原计划车速为多少千米/小时．
23．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
①；②；③；
(2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
24．如图，在长方形ABCD中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒．

(1)______；（用含的代数式表示）
(2)当为何值时，？
(3)如图，当点从点开始运动时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
25．（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，，试探究图1中线段、、之间的数量关系．
（2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】本题考查了负整数指数幂的意义与运算，解题的关键是理解负整数指数幂的含义：负指数幂等于把幂指数变号后所得的幂的倒数，也就是．
根据负整数指数幂的意义进行变形计算即可．
【详解】解：．
另解：．
故选：B．
3．C
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则分别计算即可．
【详解】解：A．不能合并，故错误，本选项不合题意；
B．，故错误，本选项不合题意；
C．，故正确，本选项符合题意；
D．，故错误，本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4．C
【分析】此题考查了三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和．
由三角形的两边的长分别为和，第三边的长为，根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案．
【详解】解：∵三角形的两边的长分别为和，第三边的长为，
∴根据三角形的三边关系，得：，
即：．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并能进行灵活变形是解题的关键，需注意要分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情况，否则容易遗漏答案．
根据完全平方公式，分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情况求解即可．
【详解】∵，
∴．
故选：C．
6．B
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=70°，利用三角形内角和定理求出∠A=40°，设
∠EBD=x°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出∠BDE=∠EBD=x°，
∠AED=∠A=2x°=40°，求出x=20，进而得到∠BDC的度数．
【详解】∵，，
∴，
∴，
设，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，设
∠EBD=x°，得到∠A=2x°=40°是解题的关键．
7．C
【分析】根据题意通过平方差公式进行化简，即可得到mn的值．
【详解】解：∵，，
∴两式相减得：=10-2，
∴(m-n+m+n)( m-n-m-n)=8，
∴2m(-2n)=8，
∴mn=-2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的相关计算方法是解决本题的关键．
8．B
【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：根据题意得a-5=0，b-2=0，
解得a=5，b=2，
（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，
不能组成三角形；
（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，
能组成三角形，
周长为2+5+5=12．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．
9．D
【分析】本题考查利用三角形中线求面积，根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算．
【详解】解： M，N分别是的中点，
，，
，
故选D．
10．A
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点分别为点G和点H，即可得出，，根据的内角和为，可得出；再根据四边形的内角和为可知，，即，建立方程组，可得到的度数，即可得出答案．
【详解】解：作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，
∵四边形的内角和为，
∴，
即①，
由作图可知：，，
∵的内角和为，
∴②，
方程①和②联立方程组，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称变换、最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理、四边形的内角和及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E、F的位置是解题关键．
11．
【分析】本题考查轴对称与点的坐标变化．根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数”进行解答即可．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查分式意义的条件，关键在于通过分式无意义算出a的值．
当分式无意义时分母为0，据此可求出a的值．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，此时，
即：
解得：．
故答案为：2．
13．7×10﹣9
【分析】直接用绝对值小于1的科学记数法表示即可．
【详解】0.000 000 007＝7×10﹣9．
故答案为：7×10﹣9．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟记科学记数法的形式是解题的关键 ．
14．
【分析】本题主要考查乘法公式与几何图形的结合，体现了数形结合的思想．分别用含a，b的式子表示，，即可得到答案．
【详解】解：如图1，；
图2：；
∴ ，
故答案为：．
15．-5
【详解】试题分析：根据分式方程增根的产生的条件，可知x+4=0，
解得x=-4，
然后把分式方程化为整式方程x-1=m，
解得m=-5
故答案为-5.
16．0
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出．
由已知数列得出规律，再依此计算出与，最后代入所求的代数式即可得出答案．
【详解】∵由已知
∴总结规律知，
∵，
∴
∴．
∴，
∴．
故答案为：0．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了含有正整数指数幂与零指数幂的有理数加减运算、分解因式、解分式方程，解题的关键是：（1）题计算时注意正负号；（2）题注意把因式分解彻底；（3）题注意验根．
（1）根据先进行乘方运算，然后进行加减法运算．
（2）先提公因式，然后用完全平方差公式进行因式分解．
（3）先去分母，然后去括号、移项、合并同类项，最后将未知数系数化为1．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
去分母得：
去括号得：
移项合并同类项得：
∴．
经检验是原方程的解．
∴原方程的解是．
18．见解析
【分析】根据线段间的数量关系得出，再由全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
19．
【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值等知识点，使用因式分解的方法将分式约分是解答本题的关键．
根据分式的四则混合运算法则化简可得，然后将代入即可求解．
【详解】
把代入，原式．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以点A和点B为圆心，以大于的同样长度为半径画弧交于两点，过两个点作直线交于点E，交于点F；
（2）利用余角的性质得到，又由，，可证得，即可得到．
【详解】（1）解：如图所示，直线满足要求，
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、三角形全等的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了等边对等角，垂直平分线的性质；
（1）根据等边对等角三角形内角和定理，得出，根据垂直平分线的性质可得，则，即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质可得，，进而根据周长为，即可求解．
【详解】（1），，
，
又垂直平分，
，
，
；
（2）垂直平分，
，，
，
又，周长为，
即
．
22．大巴车原来的速度是30千米/小时
【分析】设大巴车原来的速度为x千米/小时，根据题意，列出分式方程，进行求解即可．
【详解】解：设大巴车原来的速度为x千米/小时，2分钟小时，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，
答：大巴车原来的速度是30千米/小时．
【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
23．(1)①②
(2)，当时，该式的值为整数．
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
（1）根据“和谐分式”的定义判断即可；
（2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案．
【详解】（1），，
①②是“和谐分式”．
故答案为：①②．
（2）原式
，
且，
且且，
若该分式的值为整数，则，此时分式的值．
24．(1)；
(2)当时，；
(3)当或时，与全等．
【分析】（）根据点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长；
（）当时，，根据三角形全等的条件可得当时，再加上，可证明；
（）分两种情况当，时，；当，时，，然后分别计算出的值，进而得到的值；
本题考查了全等三角形的判断和性质，一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】（1）∵点从点出发，以的速度沿向点运动，点的运动时间为时，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）当时，．
理由：∵当时，，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（3）当，时，．
∵，
∴，
∴，
∴ ，
解得：，
∵，
∴ ，
解得：；
当，时，．
∵，
∴，
∴ ，
解得：，
∵ ，
∴ ，
解得：，
综上所述：当或时，与全等．
25．（1）
（2）成立，理由见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）延长至G，使，由可直接证明，即得出，．结合题意又易证，得出，进而得出；
（2）延长到点G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题．
【详解】（1）证明：延长至G，使，（如图）．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
（2）解：结论仍然成立；
理由：如图，延长到点G，使，连接．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．