湖北省武汉市第三中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

2023-2024学年度武汉三中高一月考

一、单选题

1.已知全集，，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.若命题“，成立”为真命题，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

3.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（    ）

A.    B.

C.   D.

4.如果，，那么下列不等式成立的是（    ）

A.    B.

C.    D.

5.已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（    ）

A.    B.    C.    D.

6.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A.     B.

C.     D.

8.已知，是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.

C.      D.

二、多选题

9.集合，与对应关系如下图所示：下列说法正确的是（    ）

A.：是从集合到集合的函数

B.：不是从集合到集合的函数

C.：的定义域为集合，值域为集合

D.

10.已知，，且，则（    ）

A. 的最小值为4    B. 的最小值为

C. 的最大值为     D. 的最小值为

11.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数，以下结论正确的有（    ）

A.      B.f

C. 的最大值为1，最小值为  D. 与的图象有2个交点

12.已知函数，，下列判断中，正确的有（    ）

A.存在，函数有4个零点

B.存在常数，使为奇函数

C.若在区间上最大值为，则的取值范围为或

D.存在常数，使在上单调递减

三、填空题

13.已知集合，，且，则的值为_____________.

14.函数的定义域为_____________.

15.函数的最小值为____________.

16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，对任意的，恒有，则实数的最大值为___________.

四、解答题

17.求下列函数的值域

（1）；

（2）.

18.设全集，集合，集合，其中.

（1）当时，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

19.已知函数.

（1）若在上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）若，解关于的不等式.

20.某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元

（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人?

（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值.

21.定义在上的函数满足对所有的正数、都成立，，且当，.

（1）求的值并证明函数在上的单调性；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

22.已知函数，.

（1）当时，求的最小值；

（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.

参考答案

1.D  2.A  3.B  4.D  5.D  6.A  7.C  8.B  9.AD  10.ACD

11.AB【详解】对于A，由题意得，所以A正确，

对于B，，所以B正确，

对于C，由选项B可知，是周期为1的周期函数，则当时，，

当时，，当时，，

综上，的值域为，即的最小值为0，无最大值，所以C错误，

对于D，由选项C可知且的周期为1.

作出与的图象，由图象可知与的图象有无数个交点

12.BC【详解】函数函数图像如图所示.

由图像可知，函数的图像与直线不可能有4个交点，所以不存在使函数有4个零点，A选项错误；

当时，，函数定义域为，，此时为奇函数，B选项正确；

当或时，在区间上单调递增，最大值为；

当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值为，不合题意；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若最大值为，则有，即，由，所以，解得；综上，在区间上最大值为，则的取值范围为或.

若在上单调递减，则有，不等式组无解，故不存在常数使在上单调递减，D选项错误；

13.0  14.   15.   16.

【详解】由于函数是定义在上的奇函数，当时，，

∴，易知函数在上单调递减，

又，由，得，

即在上恒成立，则，

化简得，解得，因此，实数的最大值为 ，故答案为.

17.（1）  （2）

18.（1）  （2）

【详解】（1）由得：，解得：，即，

∴；当时，，解得：，即；∴.

（2）由（1）知：；由得：，即，∴，∴且等号不会同时取到，解得：

【详解】（1）当，即时，在上是单调递增函数，符合题意；

当，即时，二次函数对称轴为，

要想函数在上是单调函数，只需①或②，

解①得：或，

解②得，

∴，综上：实数的取值范围是.

（2）不等式，

变形为，，当时，，解得：，

当时，，的两根为和1，

当时，，此时，解得：，

当时，原不等式即可化为，解得，

当时，，解得，

综上所述：当时，原不等式的解集为.

当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

20.（1）75人；（2）7.

【详解】（1）依题意得解得，所以调整后的技术人员的人数最多75人

（2）由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：

得整理得

故有当且仅当时等号成立，所以.

21.（1）；在上单调递减；（2）.

【详解】（1）∵，取，得：；∴

在上单调递减，设，则，，

所以，所以在上单调递减；

（2）∵，；

由得又在上单调递减，

∴，∴，

时，，当且仅当时等号成立，

∴，∴.

22.【详解】（1）令，，不妨设，

，

若，则，，，

∴，

∴在是减函数.

若，则，，，∴

∴在是增函数，

∴，，

.

（2）要使在上有解，则需恒成立.

对于，，由（1）可知在递减，在递增，

同理可求得，当时，，

解得或，

当时，，解得，

当时，，解得，

综上得或，

因此，当时，不等式在上有解.