江苏省泰州市姜堰区四校联考2023届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份江苏省泰州市姜堰区四校联考2023届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 从单词“”中随机抽取一个字母，抽中的概率为( )
A. B. C. D.
2. 若两个相似三角形的相似比是：，则它们的面积比等于( )
A. ：B. ：C. ：D. ：
3. 将抛物线向左移动个单位，再向上移动个单位后，抛物线的顶点为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在圆内接四边形中，：：，则的度数等于( )
A. B. C. D.
5. 若点，，在抛物线上，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在等腰中，，，点是边上一点，且，点是边上一动点，作，射线交边于点，当时，则满足条件的点的个数是( )
A.
B.
C.
D. 以上都有可能
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 一组数据，，，的极差是______．
8. 已知，，则，的比例中项为______ ．
9. 已知线段，如果点是线段的黄金分割点，且，那么的值为______．
10. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是______．
11. 若是方程的一个根，则的值为______．
12. 如图，是的直径，弦垂直于点，若，，则的半径等于______．
13. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是______．
14. 如图，点为的重心，，若，则______．
15. 如图，在平行四边形中，点是中点，与相交于点，如果的面积是，那么的面积是______．
16. 如图，点是以为直径的半圆上一个动点不与点、重合，且，若为整数，则整数的值为______．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
求的值；
求顶点坐标和对称轴．
18. 本小题分
已知关于的方程．
求证：不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
若方程有一个根为，求的值．
19. 本小题分
某学校开展防疫知识线上竞赛活动，九年级、班各选出名选手参加竞赛，两个班选出的名选手的竞赛成绩满分为分如图所示．
九班竞赛成绩的众数是______，九班竞赛成绩的中位数是______．
哪个班的成绩较为整齐，试说明理由．
20. 本小题分
一只不透明的袋子中装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后小明从中先摸出个球，不放回，再从袋中摸出个球．
小明第一次摸到白球的概率等于______；
用树状图或列表的方法求小明两次都摸到白球的概率．
21. 本小题分
学校打算用米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙如图，墙足够长．
如果边长为米，求边长用含的代数式表示；
若两间兔舍的总面积是平方米，求的长．
22. 本小题分
小亮晚上在广场散步，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置．
请你在图中画出小亮站在处的影子；
小亮的身高为，当小亮离开灯杆的距离为时，影长为，若小亮离开灯杆的距离时，则小亮的影长为多少米？
23. 本小题分
如图，在▱中，点为边的中点．
试仅用一把无刻度的直尺确定边的中点；保留作图痕迹，不写作法
将中的与相连，若的面积为，求▱的面积．
24. 本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，连接．
求点、点的坐标；
点是上方抛物线上的一点，点的横坐标为，求四边形的面积．
25. 本小题分
如图，四边形是矩形，点是对角线上的一个动点不与、重合，过点作于点，连接，已知，，设．
当时，求的长；
连接，试问点在运动的过程中，能否使得≌？请说明理由；
如图，过点作交边于点，设，试判断的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
26. 本小题分
如图，直线与相切于点，点为上异于点的一动点，的半径为，于点，设．
若，求证：四边形为正方形；
若，求的长；
当取最大值时，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：单词“”中有两个，
抽中的概率为：．
故选C．
由单词“”中有两个，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
2.【答案】
解析：解：两个相似三角形的相似比是：，
这两个三角形们的面积比为：，
故选：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3.【答案】
解析：解：抛物线的顶点坐标为，把向左移动个单位，再向上移动个单位后所得对应点的坐标为，即平移后的抛物线的顶点坐标为．
故选：．
先确定抛物线的顶点坐标为，然后根据点平移的坐标规律求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4.【答案】
解析：解：设、分别为、，
四边形是圆内接四边形，
，
解得，，即，
故选：．
设、分别为、，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5.【答案】
解析：解：时，，
时，，
时，，
，
．
故选C．
把点、、的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键．
6.【答案】
解析：解：为等腰三角形，
，
，
即，
而，
，
而，
∽，
，
设，则，当时，
，
，
，原方程只有一个实数根，
点有且只有一个，
故选：．
由已知得，再证明，则可判断∽，利用相似比得到：：，设，则，时，所以，根据判别式的意义得到，即原方程只有一个实数根即可选出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及能灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系是解题的关键．
7.【答案】
解析：解：．
故一组数据，，，的极差是．
故答案为：．
一组数据中最大数据与最小数据的差为极差，据此求出极差为．
本题考查了极差的概念，是基础题，熟记定义是解决本题的关键．
8.【答案】
解析：解：设、的比例中项为，
，，
，
即，
，
，的比例中项为，
故答案为：．
根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．
本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果：：，即，那么叫做与的比例中项．
9.【答案】
解析：
解：点是线段的黄金分割点，且，
．
故答案为．
10.【答案】
解析：解：圆锥的侧面积．
故答案为．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11.【答案】
解析：解：由题意可知：，
，
原式．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
12.【答案】
解析：解：连接，，．

，是直径，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
连接，，证明是等边三角形，可得结论．
本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
13.【答案】或
解析：解：如图，
∽，相似比为：，，
，根据对称性可知，在第三象限时，，
满足条件的点的坐标为或．
故答案为或．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，注意一题多解．
14.【答案】
解析：解：点为的重心，
：：，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据三角形重心的性质得到：：，然后根据平行线分线段成比例定理求出，从而得到的长．
本题考查了三角形重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了平行线分线段成比例定理．
15.【答案】
解析：解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
的面积是，
的面积为，的面积为，
的面积为．
故答案为．
首先证明，，利用等高模型解决问题即可．
本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】或
解析：解：设，则，
点是以为直径的半圆上一个动点不与点、重合，
，
，
，

点是以为直径的半圆上一个动点不与点、重合，
，
，
，
又为整数，
当或时，为整数或，
故答案为：或．
根据题意，可知，再根据点是以为直径的半圆上一个动点不与点、重合，且，可知，然后利用勾股定理和分类讨论的方法可以得到的值，本题得以解决．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的思想解答．
17.【答案】解：根据题意得且，解得，，
二次函数当时，随的增大而增大，
二次函数的图象的开口向下，即，
；
由得，
顶点坐标为，对称轴为轴．
解析：根据二次函数的定义得到且，解得，，由于当时，随的增大而增大，根据二次函数的性质则有，于是得到；
根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的定义：形如、、为常数的函数叫二次函数．也考查了二次函数的性质：二次函数的二次项系数，则抛物线开口向下；函数有最大值，顶点是最高点，利用公式法的顶点坐标公式为，对称轴是直线．
18.【答案】证明：，
不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
解：将代入原方程得：，
则
解得或，
，的值为或．
解析：根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；代入，求出的值．
19.【答案】分 分
解析：解：由图知，九班成绩为、、、、，
九班成绩为、、、、，
所以九班成绩的众数为分，九班成绩的中位数为分；
故答案为：分，分．
九班成绩较为整齐，理由如下：
九班成绩的平均数为分，九班成绩的平均数为分，
九班成绩的方差为，
九班成绩的方差为，
九班成绩较为整齐．
根据众数和中位数的概念求解即可；
根据方差的定义和意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数和方差的定义及方差的意义．
20.【答案】
解析：解：小明第一次摸到白球的概率；
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中两次都是白球的结果数为，
所以小明两次都摸到白球的概率．
直接利用概率公式求解；
先画树状图展示所有种等可能的结果，再找出两次都是白球的结果数，然后利用概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
21.【答案】解：设边长为米，则米，
所以米；
根据题意得：，
解得：或，
答：的长为米或米．
解析：用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得的长；
根据矩形的面积公式列式求解即可．
考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出的长，难度不大．
22.【答案】解：如图，为所作；

延长交于，如图，则为小亮站在处的影子，，，，，
，
∽，
，即，解得，
，
∽，
，即，解得
答：小亮的影长为．
解析：延长交于，则为小亮站在处的影子；
延长交于，如图，则为小亮站在处的影子，先证明∽，利用相似比得到，再证明∽，利用相似的性质得到，然后根据比例的性质求出即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．也考查了中心投影．
23.【答案】解：如图，点即为所求；

，，
，，
∽，
，
，
．
解析：连接，交于点，连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求；
利用三角形中位线定理，证明，，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识．
24.【答案】解：把代入得，
解得或，
，，
把代入得，
点坐标为，
作轴于点，

把代入得，
点坐标为，，
．
解析：分别将，代入二次函数解析式求解．
作轴于点，由求解．
本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求图形面积的方法．
25.【答案】解：连接，
由已知：在中，，
当时，，
，
，
，
∽，
，
即，
；
如图，当≌时，
，
，则，
由得：∽，
，
，
由，即，
解得：，
，
，
与不全等，
不能使得≌；
如图，延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
由得：∽，，
，
即，
，
，
，
．
解析：根据勾股定理得出，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；
根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理进行解答．
26.【答案】解：如图，连接，，
，，
是等腰直角三角形，
与相切于，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形；
如图，连接并延长，交于，边接，
为的直径，
，
，
，
，
又，
∽，
，
设，则，
的半径为，
，
，
解得，，，
或；
由知，，
则，
，
，
根据二次函数的性质可知，当时，取最大值，
如图，当时，，连接，，
则与是等边三角形，
，
在中，，，
，
，
的度数为或．
解析：连接，，可先证四边形是矩形，再证其为正方形；
连接并延长，交于，连接，证与相似，利用相似三角形对应边的比相等即可求出的长；
利用第问的相似，可用函数的思想求最大值，再通过解直角三角形等即可求出的度数．
本题考查了切线的性质定理，相似三角形的性质，用函数思想求最大值等，解题关键是要会灵活运用函数思想求极值．