四川省成都市经开区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份四川省成都市经开区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．分别从正面、上面、左面观察下列每个物体，得到的平面图形完全相同的物体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．下列各点在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．(1，3)B．(﹣3，﹣1)C．(﹣1，3)D．(3，1)
4．为了估计湖里有多少条鱼，小刚先从湖里捞出了100条鱼做上标记，然后放回湖里去．经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捞出200条鱼，如果其中15条有标记，那么估计湖里有鱼（ ）
A．1333条B．3000条C．300条D．1500条
5．大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
6．如图，点P在的边上，要判定，还需要添加一个条件，下列不正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对角线相等C．对边相等D．对角线互相平分
8．在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearsn）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ．
10．2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则参赛的队伍有 支．
11．如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于18，则这个反比例函数的表达式为 ．
12．如图，小明探究北师大教材综合实践“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为 ．
13．如图，在四边形中，对角线与相交于点，且，已知，，，，则的长为 ．
三、解答题
14．解方程：
(1)；
(2)．
15．已知关于x的一元二次方程有，两个实数根
（1）若，求及m的值；
（2）若，求m的值，并求，的值．
16．2023年10月24日，十四届全国人大常委会第六次会议表决通过《中华人民共和国爱国主义教育法》，自2024年1月1日起施行．法律颁布后受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示两幅不完整的统计图．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人；
(2)抽查的学生中达到“基本了解”的学生有______人，如何提高A的占比，请你提出至少一条合理化建议：______；
(3)若从对《中华人民共和国爱国主义教育法》达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加《中华人民共和国爱国主义教育法》知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
17．如图，中，，作，，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象的一个交点为，另一个交点为点．
(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点在反比例函数第一象限的图像上，且的面积为，求点的坐标；
(3)是第二象限内一点，连接，以为位似中心画，使它与位似，相似比为．若点恰好都落在反比例函数图象上，求出点的坐标．
四、填空题
19．若是方程的两个实数根，则的值为 ．
20．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
图 图
21．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，为的黄金分割点（），长度为，则的长度为 （结果保留根号）．
22．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，且，，分别交，，于点，，．则 ．
23．如图，现有一张含的直角三角形纸片，最短边，分别以为菱形的一个内角折出三个面积最大的菱形，则这三个最大菱形的面积最大值和最小值和为 ．
五、解答题
24．年月日至年月日，第届世界大学生夏季运动会在成都成功举办，美丽的东安湖体育公园给国内外朋友留下了深刻的印象；在公园建设过程中，准备在一块草地上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植单价（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米元．
(1)直接写出当和时，与的函数关系式；
(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，最终花费为元，那么甲、乙两种花卉的种植面积分别为多少？
25．利用尺规作图将一个角三等分已经被数学家证明不可能完成，但是数学家帕普斯利用反比例函数图象完成了将一个角三等分，具体方法如下：
第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点；
第二步：以为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点；
第三步：分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接，得到（如图1），这时．为什么呢？小静想要证明这个结论却没有思路，老师便组织同学们进行了研究讨论．
讨论后有以下思路：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点（如图2），此时，四边形便构成了一个矩形；如果我们能再证明三点共线，就可以利用矩形性质证明这个结论了．研究讨论后，小静采用代数设点，设，．请你和小静一起完成下列问题．
图1 图2
(1)请你写出的坐标（用含的式子表示）；
(2)请你在第（）问的基础上证明三点共线；
(3)请证明．
26．问题提出：如图，在中，，，，点为中点，在边上，沿着折叠使刚好落在边上，落点为点．那么随着的变化，点的位置是否发生变化呢？让我们来进行探索．
【初步感知】
（）我们先来探究点的位置，先将问题特殊化．如图，当时，求出的值；
【深入探究】
（）再探究一般情形．如图，请证明（）中的结论仍然成立，并求出的值（结果用含的代数式表示）；
【拓展运用】
（）如图，当时，请直接写出的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：A、，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、 ，是一元二次方程，故该选项符合题意；
C、 ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、 ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据正面、上面、左面观察到的形状分析即可．
【详解】解：图①、图②、图③、图④可以近似的看作正方体，圆锥体，长方体、圆柱体，
正方体的三视图都是正方形的，
圆锥体的主视图、左视图是三角形的，而俯视图是圆形的，
长方体的三视图虽然都是长方形的，但它们的大小不相同，
圆柱的主视图、主视图是长方形的，但俯视图是圆形的，
因此从正面、上面、左面看所得到的平面图形完全相同的是正方体，
故选：A．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，良好的空间想象能力是解答本题的关键．
3．C
【分析】根据y＝﹣得k＝xy＝−3，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于−3，就在函数图象上．
【详解】解：k＝xy＝−3，
A．xy＝1×3≠k，不符合题意；
B．xy＝−3×（−1）＝3≠k，不合题意；
C．xy＝−1×3＝−3＝k，符合题意；
D．xy＝3×1＝3≠k，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
4．A
【分析】在样本中“捕捞200条鱼，发现其中15条有标记”，即可求得有标记的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
【详解】设湖中有x条鱼，则：
15：200=100：x
解得：x=≈1333（条）．
故选A．
【点睛】本题考查了通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
5．A
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
，解得：x=6，
即蜡烛火焰的高度为6cm，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
6．A
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A．当，不符合相似判定，故无法判断，故本选项符合题意；
B．当，又，满足两边对应成比例且夹角相等，则，故本选项不符合题意；
C．当，又，满足两组对角相等，则，故本选项不符合题意；
D．当，又满足两组对角相等，则，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．B
【分析】根据矩形和菱形的性质判断即可.
【详解】解：矩形具有对角相等、对角线相等、对边相等与对角线互相平分的性质，而菱形具有对角相等、对边相等与对角线互相平分的性质，但不一定有对角线相等的性质；
故选：B.
【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，明确矩形的对角线相等是解题的关键.
8．D
【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键．
9．0.5/
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．
【详解】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5．
故答案为：0.5．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键．
10．
【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了55场”列一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得或（舍），
∴共有11支队伍参加比赛，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意确定等量关系是解题的关键．
11．
【分析】如图，利用正方形的性质得四边形AEOF为正方形，则由点P（3a，a）可得点A的坐标为（3a，3a），根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得正方形AEOF的面积=阴影部分的面积=18，则3a•3a=18，解得或（舍去），所以P（，），然后根据反比例函数图象的坐标特征可求出k的值．
【详解】解：如图，
∵正方形ABCD的中心在原点O，且AD∥x轴，
∴四边形AEOF为正方形，
∵点P（3a，a），
∴点A的坐标为（3a，3a），
∵反比例函数的图象以及正方形都关于原点中心对称，
∴正方形AEOF的面积=阴影部分的面积=18，
∴3a•3a=18，
解得或（舍去），
∴P（，），
∴ ．
∴这个反比例函数的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象的对称性与正方形的性质．
12．
【分析】根据条件可得，根据相似三角形的性质即可求解．本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
【详解】解：由题意可得：，
∴
设测试距离为时，最大的“E”字高度为，
，
，解得：，
∴当测试距离为时，最大的“E”字高度为；
故答案为：．
【点睛】
13．
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的判定方法得出，得到，代入已知条件求出，即可得到的长，正确得出是解题关键．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．(1)，
(2)，
【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（2）先求出的值，再代入公式求出答案即可．
【详解】（1）解：，
方程整理得，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
（2），
∴，，，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
15．（1），；（2），
【分析】（1）直接把代入原方程中求出m的值，然后解一元二次方程即可；
（2）根据，可得该方程有两个相等的实数根，即可利用一元二次方程根的判别式求出m的值，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）把代入，得
∴，
∴此时该一元二次方程为，即，
解得，，
∴，．
（2）∵，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
此时该一元二次方程为，即
解得．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
16．(1)
(2)；开展普法讲座或学法知识竞赛等活动
(3)
【分析】（1）根据样本容量＝频数÷频率即可求解；
（2）利用总数和另外三种程度人数求得“基本了解”的学生人数，从而作出合理化建议；
（3）根据概率的定义和画树状图法即可求解．
【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有（人），
故答案为：；
（2）解： “基本了解”的人数为：（人），
加大宣传《中华人民共和国爱国主义教育法》力度和方式，通过开展普法讲座或学法知识竞赛等活动增加对《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解人数，从而提高占比．
故答案为：；开展普法讲座或学法知识竞赛等活动；
（3）解：画树状图为

由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，
∴P（选中一男一女）．
【点睛】本题主要考查统计图分析和概率计算，解决本题的关键是要熟练掌握统计图分析方法和画树状图求概率的方法．
17．(1)证明详见解析
(2)
【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理、等量代换、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．
结合题中条件推出即可证得；
设长为，结合勾股定理解直角三角形可得，列方程即可得解．
【详解】（1）证：，
，
中，
，
，
，
，
．
（2）解：设长为，则，
，
中有，
，
解得，
．
18．(1)，反比例函数的表达式为；
(2)或；
(3)，．
【分析】（）求出点坐标，利用待定系数法即可求解；
（）设，过点作轴平行线交直线 于，根据，即可求解；
（）由题意可得，，直线的解析式为，点，，根据两点间距离公式求得，整理得，进而得到，由点恰好都落在反比例函数图象上得到与反比例函数的交点方程为，即，由根和系数的关系得，求出的值即可求解．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为，
将代入得，
解得，
∴，
将代入得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立两个函数得，
解得或，
∴，
设，过点作轴平行线交直线 于，
则点，
∵ ，
∴，
∴，
解得或(已舍负 值)，
∴点的坐标为或；
（3）解：∵点，，
∴，
∵与位似，相似比为，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，点，，
∴，
整理得，，
∴，
∵点恰好都落在反比例函数图象上，
∴与反比例函数的交点方程为，
即，
由根与系数的关系得，，
解得或(不合，舍去)，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再将计算得，代入即可得到答案．
【详解】解：是方程的两个实数根，
，，
，
故答案为：．
20．
【分析】此题考查了几何概率，根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，
∴，
∴，
则中间小正方形的面积为，
小正方形的外阴影部分的，
∴阴影部分的面积为，
∴针尖落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
21．
【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∵长度为，
∴，
∴，
故答案为：．
22．/0.5
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明得到，，证明得到，证明得到，进而得到，把所求线段代入计算即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，是三个全等的等腰三角形，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
23．
【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，三角函数，勾股定理，根据题意，画出图形，分别求出以为菱形的一个内角折出最大的菱形的面积，再判断出这三个最大菱形的面积的最大值和最小值，把最大值和最小值相加即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
如图，以为菱形的一个内角折出的最大菱形，
设菱形的边长为，则，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，以为菱形的一个内角折出的最大菱形，
∵，
∴菱形为正方形，
设正方形的边长为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，以为菱形的一个内角折出的最大菱形，
设菱形的边长为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴三个最大菱形中面积最大值为，最小值为，
∴最大值和最小值和为，
故答案为：．
24．(1)；
(2)甲、乙两种花卉的种植面积分别为和．
【分析】（）根据函数图象用待定系数法求分段函数解析式；
（）分当和时两种情况，根据总费用两种花卉费用之和列出方程，解方程即可求解；
本题考查一次函数的应用，求出分段函数的表达式是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，
把，代入解析式得，
，
解得，
∴；
当时，，
∴当时，；
∴与的函数关系式为；
（2）解：当时，
由题意得，，
解得，(不合，舍去)；
当时， ，
解得(不合，舍去)；
∴甲、乙两种花卉的种植面积分别为和．
25．(1)，；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析．
【分析】（）由矩形的性质可直接求解；
（）设直线的解析式为，将代入求出直线的解析式，然后将代入可判断三点共线；
（）设和交于点，由四边形是矩形，得到，进而证明出，然后结合等边对等角证明即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，
∴，；
（2）证明：设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点在直线上，即三点共线；
（3）证明：设和交于点，
∵ 轴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，等边对等角性质，一次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26．（）；（）证明见解析，；（）．
【分析】（）由得到为等边三角形，由等边三角形的性质得到，进而得到，即可求得；
（）根据点为中点，得到 ，得到，求得，于是得到，再证明得到，设，由得到，，，，代入计算即可求解；
（）过作于，连接交于，根据点为中点，得到，根据折叠的性质得到，，，得到，求得 ，设，得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（）∵点为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
不妨设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）如图，过作于，连接交于，
∵点为中点，
∴，
∵ 沿着折叠使刚好落在边上，
∴，， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，折叠的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．