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高二下学期期末押题卷01-高二数学同步教学题型讲义(人教A版选择性必修)
展开【分析】首先求出二项式展开式的通项,再令求出,再代入计算可得;
【详解】解:二项式展开式的通项为,令,解得,所以,故的系数为;
故选:A
2.A
【分析】根据分布列的性质求出a,再根据随机变量之间的函数关系即可求解.
【详解】由分布列的性质可知: 解得 ,
由 , 等价于 ,由表可知 ;
故选:A.
3.D
【分析】由题意可得,求出的值,即可求出,再对求导,得到单调性,即可求出答案.
【详解】由,得,
又是函数的极大值点,,,
则,,
令,得或,
令,解得或;令,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
则当时,的极小值为.
故选:D.
4.B
【分析】根据给定条件,利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于170cm的概率,即可计算作答.
【详解】因为高二男生身高h(cm)近似服从正态分布,且,
于是,因此,
所以高二男生身高不低于170cm的人数约为.
故选:B.
5.B
【分析】根据题设应用排列组合数求{数学不排第一节,物理不排最后一节}、{化学排第四节}的安排方法数,求出、,应用条件概率公式求目标概率.
【详解】事件:数学不排第一节,物理不排最后一节.
若物理安排在第一节,其它4节课安排4科,作全排有种;
若物理不在第一节,中间3节课任选一节上物理,余下的4节课去掉第1节课的3节课中任选一节上数学,最后剩下的3节课安排3科,做全排有种;
综上,事件A的安排数有种;
事件:化学排第四节.
若物理安排在第一节,其它3节课安排3科,作全排有种;
若物理不在第一节,中间前2节课任选一节上物理,余下的1节课和最后一节课任选一节上数学,最后剩下的2节课安排2科,做全排有种;
综上,事件B的安排数有种;
5科任意排有种,所以,,
故满足条件的概率是.
故选:B
6.D
【分析】利用二项式定理展开二项式,找出含有的项,即可求得项的系数.
【详解】在的展开式中,
含项的系数为.
故选:D
7.B
【分析】求出两个加数都大于2的情况,即两个加数都为素数的情况,即可得出概率.
【详解】记“两个加数都大于2”为事件A,“两个加数都为素数”为事件B,
在加数都大于2的条件下则事件A有这5种情况
事件B有这3种情况,故.
故选:B.
8.C
【解析】引入函数,利用导数确定它的单调性,然后由单调性判断各选项.
【详解】考查函数
由,得
由得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
选项,
,,
故本选项正确,不符合题意;
选项:
即
故本选项正确,不符合题意;
选项
即
故本选项错误,符合题意;
选项
即
故本选项正确,不符合题意.
故选:.
【点睛】关键点点睛:本题考查实数的比较大小.解题关键是引入函数,由导数确定它的单调性,由单调性可判断各选项.
9.ACD
【分析】由椭圆的几何性质分别判断即可.
【详解】由椭圆方程知:,,;
对于A,离心率,A正确;
对于B,为椭圆左焦点,,B错误;
对于C,当为椭圆上下顶点时,,,
,,
则当在椭圆上运动时,,则大小可以是,C正确;
对于D,当为椭圆上下顶点时,,满足为等腰三角形;
,即,
能成立,根据椭圆对称性知:此时有点满足题意;
同理可知:时,有点满足题意;
满足为等腰三角形的点有个,D正确.
故选:ACD
10.AD
【分析】由对数函数的性质直接判断A,利用导数确定函数的单调性与最值判断BC,D选项中,不等式变形为,然后引入函数,由导数求得最小值判断D.
【详解】对于选项A,当时,;当时,,故选项A正确;
对于选项B,,令,
可得,有,可知函数的减区间为,增区间为,故选项B错误;
对于选项C,由上可知,
趋近正无穷时,趋近正无穷,选项C不正确;
对于选项D,,
令,有,
令可得,令可得,
故函数的增区间为,减区间为,
可得,选项D正确.
故选:AD.
11.ABD
【分析】令,将式子化成,然后利用赋值法分别求出选项对应的系数
【详解】令,则,
令,可得,即,故A正确;
令,可得,又,
所以,故B正确;
令,所以,
所以,所以,故C错误;
由题可知1798,故D正确.
故选:ABD.
12.BCD
【分析】利用二项分布的期望方差公式计算,求得p,q的值,从而判断A;
利用间接法计算,可以判定B;
利用超几何分布,写出分布列,计算期望,可以判定C;
利用二项分布的性质可以判定D.
【详解】A:,可得,A错;
B:利用间接法有,B对;
C:,,,
,则期望,故C正确;
D:,所以,当时概率最大,所以D对.
故选:BCD.
13.
【分析】根据题意可得出关于的方程,结合可求得的值.
【详解】由题意可得,则,
上述两个等式作商可得,即,
因为,解得.
故答案为:.
14.450
【分析】安排方案可以分为两类,第一类,每个舱各安排2人,第二类,分别安排3人,2人,1人,结合分堆分配问题解决方法求解即可.
【详解】满足条件的安排方案可以分为两类,
第一类,每个舱各安排2人,共有(种)不同的方案;
方案二:一个实验舱安排3人,一个实验舱2人,一个实验舱1人,
共有(种)不同的方案.
所以共有不同的安排方案.
故答案为:450.
15.12
【分析】根据三角形重心坐标公式以及抛物线的定义求解.
【详解】设三角形的三个顶点,
由条件可知,,
根据三角形的重心坐标公式,可得,所以,
根据抛物线的定义,可得
所以,
故答案为:12.
16.
【分析】求导函数,求出函数的极值,利用函数恰有三个零点,即可求实数的取值范围.
【详解】解:函数的导数为,
令,则或,
可得函数在上单调递减,和上单调递增,
或是函数的极值点,函数的极值为:,.
函数恰有三个零点,则实数的取值范围是:.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题.
17.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由勾股定理证明,再用线面垂直的判定定理证明平面,从而得到,即可证明平面ABM,最后由面面垂直的判定定理证明即可;
(2)以点B为坐标原点,以BA,BC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,利用向量求解即可
【详解】(1)不妨设,则,.
因为点M是的中点,
所以,
所以.
因为,
所以.
由直棱柱的性质可得平面ABC,
因为平面ABC,
所以.
因为,即,
又,,平面,
所以平面,
因为平面,
所以.
因为,,,AB,平面ABM,
所以平面ABM.
因为平面,
所以平面平面.
(2)以点B为坐标原点,以BA,BC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
不妨设,则,,,,,
所以,,.
设为平面ABM的一个法向量,则
令,得,,此时.
所以,
所以直线与平面ABM所成角的正弦值是.
18.(1)(2)50
【详解】(1)由,得.
将上述两式相减,得.
所以 . ①
所以 . ②
①-②,得 ,
所以 .
故数列为等差数列.
又由,及,得,的公差.
所以.
(2)由(1)知,.
所以
.
所以
.
由,得.所以,,.
所以使成立的最小正整数的值为50.
19.(1)
(2)分布列见解析,数学期望为
【分析】(1)先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数,再利用古典概型求解即可;
(2)先求出从这批牛排中随机抽取1盒,抽到菲力牛排的概率,由题意可得服从二项分布,再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可.
【详解】(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒,
其中T骨牛排有3盒,非T骨牛排有7盒,
再从中随机抽取4盒,设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A,
则;
(2)这100盒牛排中菲力牛排有20盒,所以菲力牛排的频率为,
设从这批牛排中随机抽取1盒,抽到菲力牛排的事件为B,
将频率视为概率,用样本估计总体可得,
从这批牛排中随机抽取3盒,抽到的菲力牛排的数量X满足,
,
.
所以X的分布列为
所以.
20.(1);(2)证明见解析.
【解析】(1)首先根据题意得到,再根据,即可得到,,即可得到答案.
(2)首先设直线,与椭圆联立得到,根据直线、的倾斜角互补和根系关系即可得到,从而得到直线恒过定点.
【详解】(1)依题意:,∴,
由,,∴,,
∴,∴,
∴求椭圆的方程为.
(2)依题意可设直线,,,
由消去得:,
∴
由、的倾斜角互补可得:,
∴,∴,
即,
∴,
化简得:,
则直线过.
【点睛】方法点睛:定点问题,一般从三个方法把握:
(1)从特殊情况开始,求出定点,再证明定点、定值与变量无关;
(2)直接推理,计算,在整个过程找到参数之间的关系,代入直线,得到定点.
21.(1)71(分)
(2)5
(3)分布列见解析,
【分析】(1)X近似服从正态分布,根据正态分布的对称性可得,即可求解;
(2)随机变量服从且即可求出分布列,由二项分布的期望公式即可计算期望;
(3)求出的可能值,分别求出对应的概率值,写出分布列,进而计算期望作答.
【详解】(1)由,
又,,
所以该校预期的平均成绩大约是(分);
(2)由得,,
即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生,该生笔试成绩76.5以上的概率为.
所以随机变量服从二项分布,所以;
(3)X的可能取值为0,1,2,3,4.
,
,
,
,
,
所以.
22.(1)在上递减;(2).
【解析】(1)求出导函数,令,利用导数确定,从而可得的单调性;
(2)由可得,求出,由令递增,并确定存在零点,是的极小值点,由得与的关系,这样可化简为,求出的范围,再由求得的范围.
【详解】解:(1)时,,
,
令,则,
当,;当,;
∴在递增,在上递减,∴,
∴,∴在上递减.
(2)(隐零点代换)
,
由,,∴可得,
令,则在上递增,
由,且当时,,
∴,
∴使得,
且当时,即;
当时,即,
∴在递减,在递增,
∴,
由,∴,
由得即,
由得,∴,
设,则,
可知在上递增∴,
∴,∴,
综上.
【点睛】关键点点睛:本题考查用导数研究函数的单调性,研究不等式恒成立问题.不等式恒成立中参数范围问题,在的解不容易确定时,可利用零点存在定理确定存在零点,由零点定义得出与参数的关系,由是的极值点,得出(需把参数用表示)的范围,然后再求得参数范围X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
4
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