北京师范大学燕化附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试卷

这是一份北京师范大学燕化附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知函数f（x）＝，则f'（x）＝（ ）
A．B．3x2+1
C．D．
2．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（ ）
A．24B．12C．8D．6
3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．数列{an}中，a1＝﹣2，，则a2020＝（ ）
A．﹣2B．C．D．3
5．从甲地到乙地共有A、B、C三条路线可走，走路线A堵车的概率为0.1，走路线B堵车的概率为0.3，走路线C堵车的概率为0.2，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则不堵车的概率为（ ）
A．0.2B．0.398C．0.994D．0.8
6．若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，则a+b＝（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
7．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3
C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3
8．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．在某一次招聘中，主考官要求应聘者从备选题中一次性随机抽取10道题，并独立完成所抽取的10道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响．记甲最后的得分为X，则D（X）＝（ ）
A．B．C．D．
10．设函数f（x）＝，若函数f（x）无最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）在的二项式展开式中，常数项等于 ．
12．（5分）已知等差数列{an}的公差d＝2，且a5＝4，则{an}的前5项和S5＝ ．
13．（5分）函数f（x）＝x+﹣lnx的单调递增区间是 ．
14．（5分）等比数列{an}满足如下条件：①a1＞0；②数列{an}的前n项和Sn＜1．试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 ．
15．（5分）函数f（x）＝ex﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数），关于函数f（x）有四个结论：
①∀a∈R，函数f（x）总存在零点；
②∀a＜0，函数f（x）在定义域内单调递增；
③∃a∈R，使函数f（x）存在2个零点；
④∃a＞0，使得直线y＝x为函数f（x）的一条切线．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（13分）已知等差数列{an}中，a1+a2＝3，a2+a3＝5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}中，bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．
17．（14分）某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：
（一般地，行业收益率一般指：×100%．）
（Ⅰ）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；
（Ⅱ）从7个分行业中任选3个，设X为选出的收益率高于50%的分行业的个数，求X的分布列及期望；
（Ⅲ）设7个分行业营业收入的方差为，营业成本的方差为，写出与的大小关系．
18．（14分）北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理、化学的学生330名，如表是物理、化学成绩等级和人数的数据分布情况：
（1）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为A，估计该生的化学成绩等级为A的概率；
（2）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取2人，以X表示这2人中物理、化学成绩等级均为A的人数，求X的分布列和数学期望（以上表中物理、化学成绩等级均为A的频率作为每名学生物理、化学成绩等级均为A的概率）；
（3）记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为s2，排名前50%的成绩方差为s12，排名后50%的成绩方差为s22，则s2不可能同时大于s12和s22，这种判断是否正确．（直接写出结论）．
19．（14分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ln（x+a）（a∈R）．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设φ（x）＝f（x）g（x），请判断φ（x）的单调性．
20．（15分）设函数f（x）＝x3﹣（b+1）x2+bx．
（1）当b＝0时，求f（x）的单调区间；
（2）若已知b＞1，且f（x）的图象与y＝﹣x相切，求b的值；
（3）在（2）的条件下，f（x）的图象与y＝﹣x+m有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）．
21．（15分）设数列{dn}（n∈N+），dn为1，2，3，…，n的满足下列性质T的排列a1，a2，…an的个数，性质T：排列a1，a2，…an中仅存在一个i，i∈{1，2，…，n﹣1}，使得ai＞ai+1．
（1）求d1，d2的值，并写出n＝3时其中一种排列的情形．
（2）若n＝4，求满足性质T的所有排列的情形．
（3）求数列{dn}的通项公式．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：（x）＝＝，
则f′（x）＝2x﹣＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
2．【分析】根据题意，分3步依次分析甲、乙和其他2人的站法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有2种，乙的站法有2种，
②，乙同学与老师相邻，则乙的站法有2种，
③，将剩下的2人全排列，安排在剩下的2个位置，有＝2种情况，
则不同站法有2×2×2＝8种；
故选：C．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．
3．【分析】根据条件概率能求出既刮风又下雨的概率．
【解答】解：记“该地区下雨”为事件A，“刮风”为事件B，
则P（A）＝，P（B）＝，P（B|A）＝，
∴既刮风又下雨的概率为P（AB）＝P（A）P（B|A）＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步求出结果．
【解答】解：数列{an}中，a1＝﹣2，，
当n＝1时，，
当n＝2时，，
当n＝3时，，
当n＝4时，，
故数列的周期为4，
所以a2020＝a505×4＝a4＝3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的周期，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
5．【分析】由题意可知走A，B，C三条路线的概率均为，先求出堵车的概率，从而求出不堵车的概率．
【解答】解：走A，B，C三条路线的概率均为，
∵走路线A堵车的概率为0.1，走路线B堵车的概率为0.3，走路线C堵车的概率为0.2，
∴堵车的概率P＝＝0.2，
∴不堵车的概率P＝1﹣0.2＝0.8，
故选：D．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率公式，属于基础题．
6．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数值，结合已知切线方程列式求解a与b的值，则答案可求．
【解答】解：由y＝x2+ax+b，得y′＝2x+a，
由题意，y′|x＝0＝a＝1，且0﹣b+1＝0，即b＝1．
∴a+b＝2．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
7．【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．
【解答】解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于﹣1，
由此可得r2＜r4＜r3＜r1．
故选：A．
【点评】本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近于1（或﹣1），此题是基础题．
8．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出他第2球投进的概率．
【解答】解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，
若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，
则他第2球投进的概率为：
p＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．【分析】由题意首先确定题目个数的方差，然后计算得分的方差即可．
【解答】解：由题意可知甲答对的题目数Y数服从二项分布，即，
由二项分布的方差公式可得．
注意到X＝10Y，故由方差的性质可知．
故选：D．
【点评】本题主要考查随机变量方差的计算，方差的性质等知识，属于基础题．
10．【分析】利用导数分析函数的单调性，然后对a分类分析，可得关于a的不等式组，求解得答案．
【解答】解：f（x）＝，则f′（x）＝，
令f′（x）＝0，得x＝±1，
当a＝﹣1时，f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，可得f（x）在x＝﹣1处取得最小值﹣2，不合题意，舍去；
则，或，
解得a＜﹣1或a∈∅，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查分段函数的应用，体现了分类讨论思想，是中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．
【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣1）rx6﹣2r
令6﹣2r＝0可得r＝3
常数项为（﹣1）3＝﹣20
故答案为：﹣20
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．
12．【分析】根据等差数列的定义结合下标和性质分析运算．
【解答】解：由题意可得：a3＝a5﹣2d＝0，
所以S5＝＝5a3＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，考查运算求解能力，属于基础题．
13．【分析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，即可得出答案．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝1﹣﹣＝＝，
令f′（x）＝0得x＝2或﹣1（舍），
所以在（0，2）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（2，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故答案为：（2，+∞）．
【点评】本题考查函数的单调性，解题关键是确定导函数得符号，属于中档题．
14．【分析】根据题意，分析可得{an}满足0＜a1＜1，0＜q＜1，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}满足如下条件：①a1＞0；②数列{an}的前n项和Sn＜1，
则有0＜a1＜1，0＜q＜1，
据此满足条件的一个数列的通项公式为（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）
【点评】本题考查等比数列通项公式和前n项和，关键是掌握等比数列的性质．
15．【分析】对①，举出反例判断即可；
对②，求导分析单调性即可；
对③，令f（x）＝0，参变分离得到，再根据函数的图象数形结合分析即可；
对④，设切点，再根据切点在函数、切线上，结合导数的几何意义分析即可．
【解答】解：对①，当a＝0时，f（x）＝ex＞0，不存在零点，故①错误；
对②，当a＜0时，在定义域（0，+∞）上恒成立，
故函数f（x）在定义域内单调递增，故②正确；
对③，显然x＝1不为零点，令f（x）＝0，即，
设函数，则，
令g′（x）＝0可得，易得为增函数，且，
故存在x0∈（1，2）使得成立，
又当x∈（0，1）时g（x）＜0，当x∈（1，+∞）时g（x）＞0，
故当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
故当x＝x0时g（x）有极小值，故当时，有两个零点，
故③正确；
对④，若a＞0，使得直线y＝x为函数f（x）的一条切线，则设切点为（t，t），
因为，故，即，
故et﹣t（el﹣1）lnt﹣t＝0，
当t＝1时，el﹣1（el﹣1）lnl﹣1＝e﹣1＞0，
当t＝e时，ee﹣e（ee﹣1）lne﹣e＝ee﹣ee+1＜0，
故存在t∈（1，e）使得et﹣t（et﹣1）lnt﹣t＝0成立，
故，有解，a＝t（et﹣1）＞0满足条件，故④正确；
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考査了利用导数分析函数的零点、单调性问题，同时也考査了根据导数的几何意义分析切线的问题，属于难题．
三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．【分析】（1）先设等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{an}的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式并进行转化即可发现数列{bn}是以2为首项，4为公比的等比数列，然后根据等比数列的求和公式即可计算出前n项和Sn．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则，
化简整理，得，
解得，
∴an＝1+1•（n﹣1）＝n，n∈N*．
（2）由（1）可得，
bn＝＝22n﹣1＝•4n＝2•4n﹣1，
故数列{bn}是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴Sn＝＝（4n﹣1）．
【点评】本题主要考查等差数列的基本运算，以及等比数列的判别与求和问题，考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列与等比数列通项公式的运用，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17．【分析】（1）求出7个分行业的行业收益率即可求出所需概率；
（2）根据X的取值，利用超几何分布即可计算求出分布列和数学期望；
（3）根据方程公式计算即可求出方差比较大小．
【解答】解：（1）分行业1行业收益率：，
分行业2行业收益率：，
分行业3行业收益率：，
分行业4行业收益率：，
分行业5行业收益率：，
分行业6行业收益率：，
分行业7行业收益率：，
行业收益率不低于50%的有4个行业，
故任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率为．
（2）有（1）可知X的取值有0、1、2、3，
，，
，，
分布列如下：
．
（3）7个分行业营业收入的平均值为：，
+（6﹣10.4）2+（3﹣10.4）2+（2﹣10.4）2+（0.8﹣10.4）2＝1176.65，
7个分行业营业成本的平均值为：，
+（2﹣8.2）2+（1﹣8.2）2+（0.4﹣8.2）2＝1088.48，
故＞．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．
18．【分析】（1）由表可知，样本中物理成绩等级为 A的人数为165，在该群体中化学成绩等级为 A的人数为110，即可估计该生的化学成绩等级为 A的概率；
（2）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生随机选取一名，物理、化学成绩等级均为 A的概率估计为，可知随机变量X的取值范围{0，1，2}，分别求出相应概率即可得到X分布列及其数学期望；
（3）假设排名前50%的成绩均为150分，排名后50%的成绩均为0分，即可判断．
【解答】解：（1）设事件 A为该生物理成绩等级为 A的情况下，化学成绩等级为 A，
样本中物理成绩等级为 A的人数为110+53+2＝165，
在该群体中化学成绩等级为 A的人数为110，所以频率为，
由样本估计总体可得，
故该生物理成绩等级为 A，估计该生化学成绩等级为 A的概率为．
（2）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生随机选取一名，物理、化学成绩等级均为 A的概率估计为．
由题意随机变量X的取值范围是{0，1，2}，
，
，
，
则X的分布列：
．
（3）不正确；
举例：排名前50%的成绩均为150分，方差为，排名后50%的成绩均为0分，方差为，显然s2＞0，所以，，故s2同时大于和．
【点评】本题主要考查随机变量及其分布列，随机变量的实际应用等知识，属于中等题．
19．【分析】（Ⅰ）由题意，对函数f（x）进行求导，得到f′（1）和f（1），代入切线方程中即可求解；
（Ⅱ）先得到函数φ（x）的解析式，对函数φ（x）进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）已知f（x）＝ex，函数定义域为R，
可得f′（x）＝ex，
此时f′（1）＝e，
又f（1）＝e，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e＝e（x﹣1），
即y＝ex；
（Ⅱ）若φ（x）＝f（x）g（x）＝exln（x+a），函数定义域为（﹣a，+∞），
可得φ′（x）＝exln（x+a）+＝ex[ln（x+a）+]，
不妨设h（x）＝ln（x+a）+，函数定义域为（﹣a，+∞），
可得h′（x）＝＝＝，
当0＜x+a＜1，即﹣a＜x＜1﹣a时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x+a＞1，即x＞1﹣a时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）≥h（1﹣a）＝1＞0，
则当x＞﹣a时，存在φ′（x）＞0恒成立，
即函数φ（x）在（﹣a，+∞）上单调递增．
【点评】本题考查利用导数研究函数单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力．
20．【分析】（1）代入b的值，求出f（x）的解析式，求出函数的导数，即可求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导数，设出求出方程，得到关于b的方程，解出即可；
（3）问题转化为m＝x3﹣4x2+5x，求出函数h（x）＝x3﹣4x2+5x的极值，结合图象，写出m的范围即可．
【解答】解：（1）当b＝0时，f（x）＝x3﹣x2，则f'（x）＝3x2﹣2x，
当x＜0或时，f'（x）＞0；
当时，f'（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．
（2）因f（x）＝x3﹣bx2﹣x2+bx，
则f'（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b，
设函数f（x）与直线y＝﹣x相切的切点是（x0，y0），
因为f'（0）＝b＞1，所以x0≠0，
所以有，
可得﹣（b+1）x0+b+1＝0，
又，相减得，
所以，所以，
解得：b＝3；
（3）m∈（0，）．
【点评】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
21．【分析】（1）由题意直接得出d1，d2的值，当n＝3时，写出所有的排列，再找到满足ai＞ai+1的排列有（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），写出其中一种即可；
（2）当n＝4时，将满足性质T的所有排列一一列举出来即可；
（3）由d1，d2，d3，d4的值，猜想出结论dn＝2n﹣n﹣1，再根据排列组合即可证明．
【解答】解：（1）由性质T的定义可知：当n＝1时，由1构成的排列不满足性质T，故d1＝0；
当n＝2时，由1，2构成的排列2，1满足性质T，故d2＝1；
当n＝3时，由1，2，3构成的所有排列为：
（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，2，1），（3，1，2），
其中满足仅存在一个i∈{1，2，3}，使得ai＞ai+1的排列有：
（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），从中任选一个即可；
（2）若n＝4，由1，2，3，4构成的所有＝24种排列中，
符合性质T的排列有：（1，2，4，3），（1，3，2，4），（1，3，4，2），（1，4，2，3），（2，1，3，4），
（2，3，1，4），（2，3，4，1），（2，4，1，3），（3，1，2，4），（3，4，1，2），（4，1，2，3），故d4＝11；
（3）由（1）、（2）可得：d1＝0，d2＝1，d3＝4，d4＝11，同理可得：d5＝26；
∴归纳出dn＝2n﹣n﹣1，
证明：∵在1，2，…，n的所有排列（a1，a2，…，an）中，
若ai＝n，（1≤i≤n﹣1），从n﹣1个数1，2，3，…，n﹣1中选i﹣1个数，
从小到大排列为：a1，a2，…，ai﹣1，
其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置，
∴满足题意的排列个数为，
若ai＝n﹣1，则满足题意的排列个数为dn﹣1，
综上：dn＝dn﹣1+＝dn﹣1+2n﹣1﹣1，即dn﹣dn﹣1＝2n﹣1﹣1，
∴dn＝（dn﹣dn﹣1）+（dn﹣1﹣dn﹣2）+…+（d2﹣d1）
＝21+22+…+2n﹣1﹣（n﹣1）×（﹣1）
＝+1﹣n
＝2n﹣n﹣1，
故数列{dn}的通项公式为dn＝2n﹣n﹣1．
【点评】本题考查了归纳推理和排列组合的问题，关键是转化，培养了学生的分析解决问题的能力，属难题．
营业情况
分行业
营业收入
营业成本单位（亿元）
分行业1
41
38
分行业2
12
9
分行业3
8
2
分行业4
6
5
分行业5
3
2
分行业6
2
1
分行业7
0.8
0.4
物理成绩等级
A
B
C
化学成绩等级
A
B
C
A
B
C
A
B
C
人数（名）
110
53
2
55
70
15
3
12
10
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
P