专题05 导数选择、填空（6类题型 理科）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）

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TOC \ "1-1" \h \u 题型一：导数的概念及其几何意义 PAGEREF _Tc7254 \h 1
题型二：导数与函数的单调性8
题型三：导数与函数的极值、最值9
题型四：导数与函数的零点14
题型五：导数的综合应用16
题型六：定积分20
题型一：导数的概念及其几何意义
一、选择题
1．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析:在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则．
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点,故选D．
2．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第0题)函数的图像在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即．
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第0题)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为( )
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
【答案】D
解析：设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，(舍)，
则直线的方程为，即．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．
4．(2019·全国Ⅲ·理·第6题)已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，根据导数的几何意义易得，解得，从而得到切点坐标为，将其代入切线方程，得，解得，故选D．
【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。
5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第5题)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：，故选D．
6．(2014高考数学课标2理科·第8题)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
解析：因为，所以切线的斜率为，解得，选D
7．(2014高考数学大纲理科·第7题)曲线在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2eB．C．2D．1
【答案】C
解析：因为，所以，根据导数的几何意义可知曲线在点处切线的斜率，故选C．
8．(2016高考数学四川理科·第9题)设分别是函数图像上的点处的切线，与互相垂直并相交于点，且分别与轴相交于点，则的面积的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设知：不妨设点的坐标分别为：，其中，
则由于分别是点处的切线，直线的斜率分别为而，
得：的斜率为，的斜率为；又与垂直，且，
由题意易知
，
则
直线联立的方程可得
当且仅当即时等号成立
而，所以
所以的面积的取值范围．
9．(2017年高考数学浙江文理科·第7题)函数的导函数的图象如图所示,则函数的图象可能是
x
y
O
x
y
O
(第7题图)
x
y
O
A B
x
y
O
x
y
O
C D
【答案】 D
【解析】(定义法)导数大于零,原函数递增,导数小于零,原函数递减,对照导函数图象和原函数图象．故选D．
(特例法)取导函数,勾画原函数图象．故选D．
二、填空题
1．(2021年高考全国甲卷理科·第0题)曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
解析：由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
2．(2022新高考全国II卷·第14题)曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】①． ②．
解析： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；
3．(2022新高考全国I卷·第15题)若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
解析：∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
4．(2019·全国Ⅰ·理·第13题)曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】答案：
解析：，
所以曲线在点处的切线方程为．
5．(2019·江苏·第11题)在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点(为自然对数的底数)，则点的坐标是______.
【答案】
【解析】设切点，因为，所以切线的斜率，
又切线过点，所以，即，解得，则点的坐标是.
6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第14题)曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
【答案】
解析：记，则
依题意有，即，解得．
7．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第13题)曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
解析：因为，所以，切线方程为，即．
8．(2014高考数学江西理科·第14题)若曲线上点处的切线平行于直线,则点的坐标是________．
【答案】
分析:设切点,则由得:,所以点的坐标是．

9．(2014高考数学广东理科·第10题)曲线在点处的切线方程为
【答案】答案：．
解析：，故切线方程为．本题易错点在符合函数求导忘记乘以．
10．(2014高考数学江苏·第11题)在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 ．
【答案】
解析：曲线过点，则①，
又，所以②，由①、②解得 所以．
11．(2015高考数学陕西理科·第15题)设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
【答案】
解析：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为()，则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．
12．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.
【答案】
【解析】当时,,则.又因为是偶函数,所以,所以,则切线斜率为,所以切线方程为,即.
13．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第16题)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
【解析】设直线与曲线的切点为 ，与曲线的切点为 则 ，所以
所以，所以，所以．
题型二：导数与函数的单调性
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第6题)已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为( )．
A．B．eC．D．
【答案】C
解析：依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．(2015高考数学福建理科·第10题)若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
解析：由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项A,B无法判断，故选C．
3．(2014高考数学大纲理科·第16题)若函数在区间是减函数，则的取值范围是 ．
【答案】
解析：因为，而时，函数单调递减，所以在恒成立，即恒成立，因为，所以即在恒成立，从而，因为的值域为即，所以．
题型三：导数与函数的极值、最值
1．(2021年高考全国乙卷理科·第0题)设，若为函数的极大值点，则( )
A B． C． D．
【答案】D
解析：若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的．
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．
综上所述，成立．
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答．
2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第6题)当时，函数取得最大值，则( )
A B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B．
3．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题)若是函数的极值点，则的极小值为( )
A．B．C．D．1
【答案】A
【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运
算求解能力．
【解析】解法一：常规解法
∵ ∴ 导函数
∵ ∴
∴ 导函数
令，∴ ，
当变化时，，随变化情况如下表：
从上表可知：极小值为．
二、多选题
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第11题)若函数既有极大值也有极小值，则( )．
A．B．C．D．
【答案】BCD
解析：函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确．
故选：BCD
三、填空题
1．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第16题)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
解析：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为．
2．(2018年高考数学江苏卷·第11题)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】–3
解析：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此，，从而函数在上，单调递增，在上单调递减，所以，，最大值与最小值的和为．
3．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第16题)已知函数,则的最小值是 ．
【答案】
解法一：先求的最大值，设
，
即，
故根据奇函数知，
解法二：导数法+周期函数
当；；
解法三：均值不等式法
当且仅当时，
此时，
题型四：导数与函数的零点
1．(2014高考数学课标1理科·第11题)已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为( )
A．(2,+∞)B．(-∞,-2)C．(1,+∞)D．(-∞,-1)
【答案】B
解析1:由已知,,令,得或,
当时,;
且,有小于零的零点,不符合题意．
当时,
要使有唯一的零点且>0,只需,即,．选B
解析2:由已知,=有唯一的正零点,等价于
有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记,,由,,,
,要使有唯一的正零根,只需,选B

2．(2015高考数学新课标2理科·第12题)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
解析：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．
3．(2015高考数学新课标1理科·第12题)设函数,其中，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方．
因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，
当时，=-1，，直线恒过(1,0)斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D．
考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
4．(2015高考数学安徽理科·第15题)设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 ．(写出所有正确条件的编号)
①；②；③；④；⑤．
【答案】①③④⑤
解析：令，求导得，当时，，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故④⑤正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以，
，要使方程仅有一根，则或者
，解得或，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤．
题型五：导数的综合应用
1．(2014高考数学辽宁理科·第11题)当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析:
当0≤x≤1时，ax3-x2+4x+3≥0可化为，
令，则，
当0≤x≤1时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1]上单调递增，f(x)max=f(1)=-6，∴a≥-6；
当-2≤x＜0时，ax3-x2+4x+3≥0可化为，
当-2≤x＜-1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当-1＜x＜0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，f(x)min=f(-1)=-2，∴a≤-2；
综上所述，实数a的取值范围是-6≤a≤-2，即实数a的取值范围是[-6，-2]．
2．(2016高考数学山东理科·第10题)若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的积为．当时，,有,所以在函数图像存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A．
二、多选题
25．(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数，则( )
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
解析: 由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误
故选：AC．
三、填空题
1．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第16题)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥．当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________．
【答案】
【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则．
,
三棱锥的体积 ．
令,则,
令, ,,
．


2．(2016高考数学北京理科·第14题)设函数．
= 1 \* GB3 ①若，则的最大值为____________________；
= 2 \* GB3 ②若无最大值，则实数的取值范围是_________________．
【答案】，．
解析：由，得
如下图，是的两个函数在没有限制条件时的图象．
⑴ ；
⑵ 当时，有最大值；
当时，在时无最大值，且，所以，．
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第16题)已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
【答案】
解析:由题意，，则，
所以点和点，,所以，所以，所以，
同理,所以．故答案为．
题型六：定积分
1．(2014高考数学陕西理科·第3题)定积分的值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析: ，故选C．
2．(2014高考数学山东理科·第6题)直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】
解析：由题意知．
3．(2014高考数学江西理科·第8题)若则( )
A．B．C．D．1
【答案】 B
分析:设,则因此

4．(2014高考数学湖北理科·第6题)若函数、满足，则称、在区间上的一组正交函数，给出三组函数：①，；②，；③，．其中为区间上的正交函数的组数是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
解析：对于①，
＝
＝
＝0．
故①为一组正交函数；
对于②，
＝
＝，
故②不是一组正交函数；
对于③，．
故③为一组正交函数，故选C．
二、填空题
1．(2015高考数学天津理科·第11题)曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 ．
【答案】
解析：在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积
．
考点：定积分几何意义与定积分运算．
2．(2015高考数学湖南理科·第11题) ．
【答案】．
分析：．
考点：定积分的计算．
【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解．
+
0
-
0
+
极大值
极小值