海南省定安县定安中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

2023-2024学年度高三年级第一学期开学考试数学科

准考号:___________姓名：___________班级：____________

一、单选题

1．设集合，，（    ）

A． B． C． D．

2．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）

A．i B．－i C．1 D．－1

3．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

4．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务活动，则选中的2人都是女同学的方法数为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

5．函数在处的切线斜率为（    ）

A． B． C． D．

6．在等比数列中，若，则（    ）

A．8 B．6 C．4 D．3

7．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知圆：，则直线：被圆截得的弦长为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列函数中在单调递增的有（    ）

A． B．

C．  D．

10．下列函数是奇函数的是（    ）

A． B．

C．， D．

11．若，那么下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知,则（    ）

A．是偶函数 B．的最小正周期是

C．图象的一个对称中心是 D．上单调递增

三、填空题

13．已知，，，则向量与的夹角为        .

14．      .

15．在的展开式中，的系数为          ．

16．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝≈4.844，因为χ2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为          ．

附：

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，公比q>0的等比数列的前项和为，

(1)若，求数列的通项公式；

(2)若，求

18．如图，已知平面四边形存在外接圆（即对角互补），且，，．

(1)求的面积；

(2)若DC=DA，求的周长。

19．某中学有高一年级学生600人，高二年级学生400人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取100名学生，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图．

(1)求从该校高一年级、高二年级学生中各抽取的人数；

(2)根据频率分布直方图，估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数．

20．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.

21．如图，在直三棱柱中， ，分别为的中点．

(1)求证：CM；

(2)求证：平面；

(3)设为上一点，且，求点到平面的距离．

22.已知函数.

(1)若是的极值点，求的值；

(2)若a=1，讨论函数的单调性；

(3)若恒成立，求a的取值范围；

参考答案：

1．C

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意.

故选：C

2．C

【分析】利用复数四则运算法则计算得到，求出虚部.

【详解】因为，所以，

故，复数z的虚部为1.

故选：C

3．B

【分析】利用三角函数的定义可求得的值.

【详解】由三角函数的定义可得.

故选：B.

4．D

【分析】选中的2人都是女同学即从3名女同学中任选2人，即可得答案.

【详解】由题意可得选中的2人都是女同学的方法数为，

故选：D

5．B

【分析】利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率.

【详解】因为，则，所以，.

因此，函数在处的切线斜率为.

故选：B.

6．B

【分析】根据等比数列的性质可得，再根据对数的运算性质即可求得答案.

【详解】在等比数列中，由，根据等比中项可得，

所以，

故选：B．

7．C

【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可.

【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为，

所以平地降雪厚度的近似值为.

故选：C

8．A

【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形计算可得答案.

【详解】圆的圆心，半径为，

圆心到直线的距离为，

则直线被圆截得的弦长为.

故选：A.

9．AB

【分析】根据函数表达式直接讨论单调性即可求解.

【详解】对于A,因为，所以在单调递增，且在上单调递增，

所以在单调递增，所以A正确；

对于B，在单调递减，单调递增，

所以在单调递增，所以B正确；

对于C,因为在单调递增，在单调递增，

但，

所以在不是单调递增，所以C错误；

对于D, ，

所以函数在单调递减，单调递增，

所以D错误；

故选:AB.

10．BD

【分析】先要满足定义域关于原点对称，再满足，即为奇函数，

A选项，函数为偶函数；

BD选项，满足两个条件，为奇函数；

C选项，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数；

【详解】对于A选项，定义域为R，关于原点对称，，为偶函数，不满足题意．

对于B选项，定义域为，关于原点对称，当时，，

当时，，故为奇函数，满足题意．

对于C选项，定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不满足题意．

对于D选项，，定义域为R，关于原点对称，

且，故为奇函数，满足题意．

故选：BD

11．BD

【分析】利用不等式的性质即可讨论即可求解.

【详解】对于A,若则,故A不一定成立;

对于B,因为,所以,所以,

所以,所以B一定成立;

对于C,当,所以C不一定成立;

对于D, 因为,所以,所以D一定成立.

故选:BD.

12．ABC

【分析】因为,根据偶函数的定义判断A;根据最小正周期公式判断B;将代入验证C的正误;求解函数的单调递增区间即可判断D.

【详解】因为,定义域为,

,所以是偶函数,故A正确;

的最小正周期为,故B正确;

,所以是图象的一个对称中心,故C正确;

令,

解得,

即的单调递增区间为,故D错误.

故选:ABC.

13．

【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果.

【详解】设向量与的夹角为，

，

因为，所以.

故向量与的夹角为.

故答案为：

14．/

【分析】根据诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

15．10

【分析】根据二项式定理写出通项公式，令即可求的系数.

【详解】展开式的第项为，

令，则.

故答案为：10

16．5%

【分析】根据临界值表结合已知数据分析判断

【详解】因为，

所以依据小概率值的独立性检验，认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性最大为5%.

故答案为：5%.

17．(1)，

(2)或

【分析】（1）利用已知条件，结合等差数列和等比数列的通项即可得出公差和公比，即可求得结果.

（2）利用已知求出，再利用等差数列的前项和公式求解即可.

【详解】（1）设的公差为，的公比为，

由，得，

又，得，

与联立，解得（舍去）或，

因此数列的通项公式为.

（2）由，得，解得或，

当时，由得，则，

当时，由得，则，

综上，或.

18．(1)3

(2)

【分析】（1）根据四边形存在外接圆的几何性质可得，利用平方关系可得，再根据面积公式可得的面积；

（2）根据余弦定理求解的长，再由余弦定理与基本不等式可得的最值，从而得的周长的最大值．

【详解】（1）因为平面四边形存在外接圆，

所以，，

又，所以，

所以的面积．

（2）在中，由余弦定理得

，

解得．

在中，由余弦定理得，

即

．

由此得，当且仅当时，等号成立，

所以，故的周长．

19．(1)人、人

(2)人

【分析】（1）根据分层抽样计算方法计算可得；

（2）由频率分布直方图求出竞赛成绩在分（含分）的频率，即可估计人数.

【详解】（1）依题意从高一年级学生中抽取人，

从高二年级学生中抽取人，

（2）由频率分布直方图可得竞赛成绩在分（含分）的频率为，

所以估计该校这名学生中竞赛成绩在分（含分）以上的人数为人.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；

（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.

【详解】（1）由已知，，

又，则，

所以双曲线方程为.

（2）由，得，

则，

设，，则，，

所以.

21．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据得，并且得出四边形为正方形，进而即可求证；（2）利用等体积法的思想求点到平面的距离．

【详解】（1）证明：在直三棱柱中， ，分别为的中点，

∵∴，即，

又是直三棱柱，

所以平面，平面，所以,

平面,,

∴平面，平面,则，

∵分别为的中点，且

∴四边形为正方形，则，又，

平面，∴平面；

（2）由（1）知，即，又是直三棱柱，∴平面，

∴，则点M到平面GBC的距离即为，

∴，

由（1）知，，且，∴，

设点点到平面的距离为，则，∴，则，

即点点到平面的距离为．

22.(1)

(2)答案见解析

(3)；

【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值；

（2）求出函数的定义域，对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；

（3）将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，即可求出a的取值范围.

【详解】（1）由，得，

因为是的极值点，

所以，即，所以，经检验符合题意.

（2）.

当时，，所以在上单调递增；

当时，令，解得，

当时，；

当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；

（3）的定义域为，若恒成立，则恒成立，

即恒成立，

令，只需，又，

令得，

时，，则单调递增；

时，，则单调递减；

所以，解得：；

【点睛】关键点点睛：第（3）问解题的关键是分离参数后，构造函数，然后利用导数求出函数的最值即得.