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专题32 圆锥曲线中的轨迹问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）
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这是一份专题32 圆锥曲线中的轨迹问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用），文件包含专题32圆锥曲线中的轨迹问题原卷版docx、专题32圆锥曲线中的轨迹问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设满足：，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．线段D．不存在
【解析】∵表示为到定点的距离之和为5，即，∴点的轨迹为椭圆.故选：B.
2．已知点F1（，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是（ ）
A．双曲线的右支B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线
【解析】依题意得，
当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；
当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选：D.
3．若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线B．线段C．直线D．射线
【解析】动点满足抛物线定义，则其轨迹为抛物线.故选：A.
4．已知，，为坐标原点，动点满足，其中、，且，则动点的轨迹是（ ）
A．焦距为的椭圆B．焦距为的椭圆
C．焦距为的双曲线D．焦距为的双曲线
【解析】设动点，因为点满足，其中、，
且，所以，所以，，
所以，，所以，
即，表示焦距为的双曲线.故选：D
5．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【解析】解：建立以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴的直角坐标系，
设，，，设M的坐标为，由题意可得，
则，，，
所以，，
由，可得，
整理可得：，所以，，故动点M的轨迹是双曲线.
故选：D.
6．已知圆与圆，圆与圆均相切，则圆的圆心的轨迹中包含了哪条曲线（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【解析】由圆可得，圆心，半径；
由圆可得，圆心，半径.
又，且，
所以两圆内含，又.
设圆的半径为.由题意结合图象可得，圆应与圆外切，与圆内切.
则有，所以，
根据椭圆的定义可得，圆的圆心的轨迹为椭圆.故选：B.
7．正方体中，是棱的中点，是底面内一动点，且、与底面所成角相等，则动点的轨迹为（ ）
A．圆的一部分B．直线的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分
【解析】正方体如图所示，连接，，
由底面，底面，
可得、分别为直线、与底面所成的角，
由，可得，由，．
在平面内，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，设，
由，则，
化简得，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆位于正方形内的部分.
故选：A
8．如图，直三棱柱的所有棱长均相等，P是侧面内一点，若点P到平面的距离，则点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【解析】如图，作，做，连接.
因几何体为直三棱柱，则平面，又平面，
则，又平面，平面，
，则平面.又由题可得平面，则.
因，，则.又平面EPD，平面EPD，，
平面，平面，，
则平面EPD平面.因平面平面EPD，平面平面，则.
故，结合平面，平面，可得
，则.又，则.
由题又有，结合，则，即为点P到直线距离.故点P到定点距离等于点P到直线距离，则点P轨迹为抛物线的一部分.故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（ ）
A．当时，点的轨迹为一直线
B．当时，点的轨迹为一射线
C．当时，点的轨迹不存在
D．当时，点的轨迹是双曲线
【解析】对于A选项，当时，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对；
对于B选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，
且射线的端点为，方向为轴的正方向，B对；
对于C选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，
且射线的端点为，方向为轴的负方向，C错；
对于D选项，当时，，且，
所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，D错.
故选：AB.
10．关于、的方程表示的轨迹可以是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．直线D．抛物线
【解析】当时，该方程表示的轨迹是直线；
当时，该方程表示的轨迹是直线；
当且时，原方程可化为.
当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线；
当，又，则，此时方程为，该方程表示圆；
综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.故选：BC.
11．以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（ ）
A．设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线
B．过定圆O上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆
C．过点作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线有2条
D．若曲线C：为双曲线，则或
【解析】对于A，根据双曲线的定义，当时，，则动点P的轨迹是双曲线，当或时轨迹不存在，当时，P点的轨迹是两条射线，A错误；
对于B，如图：
不妨设圆O的半径为r，，圆O的方程为，，
显然根据条件P是AB的中点，，，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，B错误；
对于C，如图：
过点 可以做出三条与抛物线只有一个交点的直线，其中，MA和MO是过M点的两条切线，MB是平行与x轴的直线，C错误；
对于D，显然方程表示双曲线的充分必要条件是，即或，D正确；
故选：ABC.
12．下列命题中正确的是（ ）
A．若平面内两定点，则满足的动点的轨迹为椭圆
B．双曲线与直线有且只有一个公共点
C．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则
D．过椭圆一焦点作椭圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆
【解析】对于A，根据椭圆定义，若平面内两定点，则满足且
的动点的轨迹为椭圆，故A错误；
对于B，由得，所以双曲线与直线有且只有一个公共点，故B正确；
对于C，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，方程组无解，故C错误；
对于D，不妨设椭圆方程为，，
则，弦的中点为，当直线与轴不垂直时，设弦方程为，
与椭圆方程联立可得，
所以动弦的中点横坐标为，中点纵坐标为，
所以，可得，代入可得，当直线与轴垂直时，弦的中点为在上，综上弦的中点的轨迹为椭圆，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知点A，B，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是，则动点P的轨迹C的方程为 .
【解析】设，由，
整理得，故动点P的轨迹C的方程为，
14．折纸是很多人喜爱的游戏，通过自己动手折纸，可以激发和培养审美情趣，锻炼双手，开发智力，提高实践技能．一张圆形纸片的半径为，圆心到定点的距离为，在圆周上任取一点，将圆形纸片折起，使得与重合，折痕记为直线，直线与直线的交点为．将此操作多次重复，则点的轨迹
是 （填“圆”、“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”）
【解析】在圆周上任取一点，将圆形纸片折起，使得与重合，折痕记为直线，
直线与直线的交点为，则，
由题意可知，圆的半径为，且，
所以，，
所以，点的轨迹为椭圆.
15．已知点为上的动点，点满足.则点的轨迹的方程为 ；
【解析】设，则
又由有，则，又在椭圆上，
所以，，所以，，即点的轨迹的方程为
16．已知点到定点的距离比它到x轴的距离大．则点P的轨迹C的方程为 ；
【解析】依题意，得，即①，
则，两边平方得，
则②，
两边平方得，
整理得，即，可得或，
当时，②转化为，所以，
此时①转化为，所以，
所以点的轨迹的方程为或.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知动点到原点的距离与它到点的距离之比为，记动点M的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线与曲线交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）
【解析】（1）由已知，化简得，化为．
所以曲线的方程为：；
（2）设，，
联立直线与圆的方程，，消去，得，
∴，，由解得，
则，，
∴，
∴，∴，
∴，.
18．如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)点分别是轨迹上两点，且，求面积的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
设，则（是参数），消去得，
即曲线的方程为；
（2），，当直线或的斜率不存在时，易得，
当直线和的斜率都存在时，设，则，
由得，，
同理可得
，令
故.
19．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.
(1)求轨迹为的方程
(2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围.
【解析】（1）设是轨迹上的任意一点，
因为点到点的距离比它到的距离多，可得，
即，整理得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）在点轨迹中，记，
因为斜率的直线过定点，不妨设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
当时，，此时，可得直线与轨迹恰好有一个公共点；
当时，可得，不妨设直线与轴的交点为，
令，解得，
若直线与轨迹恰好有一个公共点，则满足，解得或，
综上，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点.
20．已知圆，动点在轴的右侧，到轴的距离比它到的圆心的距离小1．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过圆心作直线与轨迹和圆交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若，求及直线的方程．
【解析】（1）化为，可得半径，圆心，
因为动点在轴的右侧，到轴的距离比它到的圆心的距离小1，
所以点到定点的距离与到定直线的距离相等，
由抛物线的定义得的轨迹方程为；
（2）如图所示：
由圆的半径为1，可得，
又，，
当直线的斜率为时，直线与抛物线只有1个交点，不合题意；
所以直线的斜率不为，可设直线，联立，
恒成立，，因为，
所以，解得，
所以直线的方程为．
21．在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且．
(1)求动点M的轨迹；
(2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．
【解析】（1）设，则，由题意知－4＜x＜4．
∵，∴，即，故动点M的轨迹为．
（2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下：
当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1．
设，，，则，，，由此知．
将y＝kx＋1代入，得，于是
，．①
条件即，也即．
将，代入得．
显然不在直线y＝kx＋1上，∴，从而得，即．
将，代入得．将式①代入得
，解得．
当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意．
因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．
22．在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．
【解析】（1）设动点，则直线、的斜率分别为，
于是，整理得，显然点不在轨迹上，
所以的方程为（）.
（2）设直线上的点，显然，
依题意，直线的斜率满足，
且，直线斜率，则，有，
设，，则（且），
当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，
消去y得，
则，，
又，即，
则，整理得，
解得或，此时方程中的，
当时，直线：恒过点，
当时，直线：，由于舍去，
当直线时，则有，即有，而，解得，
直线：过点，
所以直线恒过点．
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设满足：，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．线段D．不存在
【解析】∵表示为到定点的距离之和为5，即，∴点的轨迹为椭圆.故选：B.
2．已知点F1（，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是（ ）
A．双曲线的右支B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线
【解析】依题意得，
当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；
当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选：D.
3．若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线B．线段C．直线D．射线
【解析】动点满足抛物线定义，则其轨迹为抛物线.故选：A.
4．已知，，为坐标原点，动点满足，其中、，且，则动点的轨迹是（ ）
A．焦距为的椭圆B．焦距为的椭圆
C．焦距为的双曲线D．焦距为的双曲线
【解析】设动点，因为点满足，其中、，
且，所以，所以，，
所以，，所以，
即，表示焦距为的双曲线.故选：D
5．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【解析】解：建立以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴的直角坐标系，
设，，，设M的坐标为，由题意可得，
则，，，
所以，，
由，可得，
整理可得：，所以，，故动点M的轨迹是双曲线.
故选：D.
6．已知圆与圆，圆与圆均相切，则圆的圆心的轨迹中包含了哪条曲线（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【解析】由圆可得，圆心，半径；
由圆可得，圆心，半径.
又，且，
所以两圆内含，又.
设圆的半径为.由题意结合图象可得，圆应与圆外切，与圆内切.
则有，所以，
根据椭圆的定义可得，圆的圆心的轨迹为椭圆.故选：B.
7．正方体中，是棱的中点，是底面内一动点，且、与底面所成角相等，则动点的轨迹为（ ）
A．圆的一部分B．直线的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分
【解析】正方体如图所示，连接，，
由底面，底面，
可得、分别为直线、与底面所成的角，
由，可得，由，．
在平面内，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，设，
由，则，
化简得，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆位于正方形内的部分.
故选：A
8．如图，直三棱柱的所有棱长均相等，P是侧面内一点，若点P到平面的距离，则点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【解析】如图，作，做，连接.
因几何体为直三棱柱，则平面，又平面，
则，又平面，平面，
，则平面.又由题可得平面，则.
因，，则.又平面EPD，平面EPD，，
平面，平面，，
则平面EPD平面.因平面平面EPD，平面平面，则.
故，结合平面，平面，可得
，则.又，则.
由题又有，结合，则，即为点P到直线距离.故点P到定点距离等于点P到直线距离，则点P轨迹为抛物线的一部分.故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（ ）
A．当时，点的轨迹为一直线
B．当时，点的轨迹为一射线
C．当时，点的轨迹不存在
D．当时，点的轨迹是双曲线
【解析】对于A选项，当时，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对；
对于B选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，
且射线的端点为，方向为轴的正方向，B对；
对于C选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，
且射线的端点为，方向为轴的负方向，C错；
对于D选项，当时，，且，
所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，D错.
故选：AB.
10．关于、的方程表示的轨迹可以是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．直线D．抛物线
【解析】当时，该方程表示的轨迹是直线；
当时，该方程表示的轨迹是直线；
当且时，原方程可化为.
当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线；
当，又，则，此时方程为，该方程表示圆；
综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.故选：BC.
11．以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（ ）
A．设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线
B．过定圆O上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆
C．过点作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线有2条
D．若曲线C：为双曲线，则或
【解析】对于A，根据双曲线的定义，当时，，则动点P的轨迹是双曲线，当或时轨迹不存在，当时，P点的轨迹是两条射线，A错误；
对于B，如图：
不妨设圆O的半径为r，，圆O的方程为，，
显然根据条件P是AB的中点，，，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，B错误；
对于C，如图：
过点 可以做出三条与抛物线只有一个交点的直线，其中，MA和MO是过M点的两条切线，MB是平行与x轴的直线，C错误；
对于D，显然方程表示双曲线的充分必要条件是，即或，D正确；
故选：ABC.
12．下列命题中正确的是（ ）
A．若平面内两定点，则满足的动点的轨迹为椭圆
B．双曲线与直线有且只有一个公共点
C．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则
D．过椭圆一焦点作椭圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆
【解析】对于A，根据椭圆定义，若平面内两定点，则满足且
的动点的轨迹为椭圆，故A错误；
对于B，由得，所以双曲线与直线有且只有一个公共点，故B正确；
对于C，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，方程组无解，故C错误；
对于D，不妨设椭圆方程为，，
则，弦的中点为，当直线与轴不垂直时，设弦方程为，
与椭圆方程联立可得，
所以动弦的中点横坐标为，中点纵坐标为，
所以，可得，代入可得，当直线与轴垂直时，弦的中点为在上，综上弦的中点的轨迹为椭圆，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知点A，B，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是，则动点P的轨迹C的方程为 .
【解析】设，由，
整理得，故动点P的轨迹C的方程为，
14．折纸是很多人喜爱的游戏，通过自己动手折纸，可以激发和培养审美情趣，锻炼双手，开发智力，提高实践技能．一张圆形纸片的半径为，圆心到定点的距离为，在圆周上任取一点，将圆形纸片折起，使得与重合，折痕记为直线，直线与直线的交点为．将此操作多次重复，则点的轨迹
是 （填“圆”、“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”）
【解析】在圆周上任取一点，将圆形纸片折起，使得与重合，折痕记为直线，
直线与直线的交点为，则，
由题意可知，圆的半径为，且，
所以，，
所以，点的轨迹为椭圆.
15．已知点为上的动点，点满足.则点的轨迹的方程为 ；
【解析】设，则
又由有，则，又在椭圆上，
所以，，所以，，即点的轨迹的方程为
16．已知点到定点的距离比它到x轴的距离大．则点P的轨迹C的方程为 ；
【解析】依题意，得，即①，
则，两边平方得，
则②，
两边平方得，
整理得，即，可得或，
当时，②转化为，所以，
此时①转化为，所以，
所以点的轨迹的方程为或.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知动点到原点的距离与它到点的距离之比为，记动点M的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线与曲线交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）
【解析】（1）由已知，化简得，化为．
所以曲线的方程为：；
（2）设，，
联立直线与圆的方程，，消去，得，
∴，，由解得，
则，，
∴，
∴，∴，
∴，.
18．如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)点分别是轨迹上两点，且，求面积的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
设，则（是参数），消去得，
即曲线的方程为；
（2），，当直线或的斜率不存在时，易得，
当直线和的斜率都存在时，设，则，
由得，，
同理可得
，令
故.
19．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.
(1)求轨迹为的方程
(2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围.
【解析】（1）设是轨迹上的任意一点，
因为点到点的距离比它到的距离多，可得，
即，整理得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）在点轨迹中，记，
因为斜率的直线过定点，不妨设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
当时，，此时，可得直线与轨迹恰好有一个公共点；
当时，可得，不妨设直线与轴的交点为，
令，解得，
若直线与轨迹恰好有一个公共点，则满足，解得或，
综上，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点.
20．已知圆，动点在轴的右侧，到轴的距离比它到的圆心的距离小1．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过圆心作直线与轨迹和圆交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若，求及直线的方程．
【解析】（1）化为，可得半径，圆心，
因为动点在轴的右侧，到轴的距离比它到的圆心的距离小1，
所以点到定点的距离与到定直线的距离相等，
由抛物线的定义得的轨迹方程为；
（2）如图所示：
由圆的半径为1，可得，
又，，
当直线的斜率为时，直线与抛物线只有1个交点，不合题意；
所以直线的斜率不为，可设直线，联立，
恒成立，，因为，
所以，解得，
所以直线的方程为．
21．在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且．
(1)求动点M的轨迹；
(2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．
【解析】（1）设，则，由题意知－4＜x＜4．
∵，∴，即，故动点M的轨迹为．
（2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下：
当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1．
设，，，则，，，由此知．
将y＝kx＋1代入，得，于是
，．①
条件即，也即．
将，代入得．
显然不在直线y＝kx＋1上，∴，从而得，即．
将，代入得．将式①代入得
，解得．
当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意．
因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．
22．在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．
【解析】（1）设动点，则直线、的斜率分别为，
于是，整理得，显然点不在轨迹上，
所以的方程为（）.
（2）设直线上的点，显然，
依题意，直线的斜率满足，
且，直线斜率，则，有，
设，，则（且），
当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，
消去y得，
则，，
又，即，
则，整理得，
解得或，此时方程中的，
当时，直线：恒过点，
当时，直线：，由于舍去，
当直线时，则有，即有，而，解得，
直线：过点，
所以直线恒过点．
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