2024年四川省中考数学二轮备考之真题演练反比例函数

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一、选择题
1．（2023·宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y，x轴上，BC⊥x轴．点M、N分别在线段BC、AC上，BM=CM，NC=2AN，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且OP：BP=1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）
A．454B．458C．14425D．7225
【答案】B
【解析】【解答】解：过点N作QN⊥x轴于点Q，如图所示；
由题意得设点N（m，n），M（5b，c），A（0，a），
∴C（5b，2c），AO=a，BO=5b，
∵OP：BP=1：4，
∴PB=4b，PO=b，
∵NC=2AN，
∴n−2c=23a−2c5b−m=2m，解得m=5b3n=2a+2c3，
∴N（5b3，2a+2c3），
∴NQ=2a+2c3，QO=5b3，
∴QP=2b3，
∵△APN的面积为3，
∴S梯形QNAO−S△QPN−S△POA=3，
∴5b3×a+2a+2c32−12×2a+2c3×2b3−12×a×b=3，
∴bc+2ab=9，
将点M和点N代入y=kx(x>0)整理得7c=2a，
∴bc=98，
∴k=5bc=458，
故答案为：B
【分析】过点N作QN⊥x轴于点Q，设点N（m，n），M（5b，c），A（0，a），则C（5b，2c），AO=a，BO=5b，再根据题意即可得到PB=4b，PO=b，根据NC=2AN即可得到n−2c=23a−2c5b−m=2m，进而即可得到点N的坐标，再根据S梯形QNAO−S△QPN−S△POA=3即可得到bc+2ab=9，再运用反比例函数的性质将点M和点N代入y=kx(x>0)即可得到7c=2a，进而根据k=5bc即可求解。
二、填空题
2．（2023·成都）若点A(−3，y1)，B(−1，y2)都在反比例函数y=6x的图象上，则y1 y2（填“>”或“<”）.
【答案】＞
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=6x，k=6＞0，
∴反比例函数y=6x在一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小，
∵-3＜-1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞.
【分析】根据题意先求出反比例函数y=6x在一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小，再比较大小即可。
3．（2023·达州）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=2x的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y=kx的图象过点C，则k的值为 ．
【答案】−6
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接CO，如图所示：
∵一次函数y=2x与反比例函数y=2x的图象相交于A、B两点，
∴y=2xy=2x，解得x=±1，
∴点A（1，2），点B（-1，-2），
∴OD=1，DA=2，
由勾股定理得OA=22+12=5，
∴BO=5，AB=25，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=CA=25，∠COA=90°，
由勾股定理得OC=252−52=15，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
∴sin∠OAD=sin∠COE=ODOA=CEOC，
∴CE=3，
由勾股定理得OE=23，
∴C（3，−23），
将点C代入y=kx，得k=-6，
故答案为：-6
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接CO，先联立方程进而即可求出A和B的坐标，再运用勾股定理结合等边三角形的定义得到OC=15，再根据锐角三角函数的定义结合勾股定理求出点C，最后代入即可求解。
4．（2023·内江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△EAF=14，则k的值为 ．
【答案】−6
【解析】【解答】解：连接BO，设对称轴NM与x轴交于点G，如图所示：
由题意得△ABC与△EDO关于MN对称，
∴OA=EC，CA=EO，GE=GA，
∵点A为OE的中点，
设GE=GA=m，则OA=CE=EA=2m，
∴CA=4m=EO，
∵S△EAF=14，
∴S△FGE=18，
∵OD∥FG，
∴△ODE∽△GFE，
∴S△FEGS△DOE=EGEO2，
∴S△DOE=S△ABC=2，
∵CA=4m，OA=2m，
∴S△BCO=3，
∴12k=3，
∵k＜0，
∴k=-6，
故答案为：-6
【分析】连接BO，设对称轴NM与x轴交于点G，先根据轴对称图形的性质即可得到OA=EC，CA=EO，GE=GA，进而GE=GA=m，则OA=CE=EA=2m，然后即可得到CA=4m=EO，进而运用相似三角形的判定与性质证明△ODE∽△GFE即可得到S△DOE=S△ABC=2，再根据题意即可得到S△BCO=3，最后根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
三、综合题
5．（2023·眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，2)，与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C(6，a)．
（1）求反比例函数的表达式：
（2）当kx+b>mx时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线y=mx上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把A(4，0)，B(0，2)代入y=kx+b中得：4k+b=0b=2，
∴k=−12b=2，
∴直线y=kx+b的解析式为y=−12x+2，
在y=−12x+2中，当x=6时，y=−12x+2=−1，
∴C(6，−1)，
把C(6，−1)代入y=mx中得：−1=m6，
∴m=−6，
∴反比例函数的表达式y=−6x；
（2）解：联立y=−12x+2y=−6x，解得x=6y=−1或x=−2y=3，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为(6，−1)、(−2，3)，
∴由函数图象可知，当x<−2或0∴当kx+b>mx时，x<−2或0（3）解：如图所示，
设直线AP交y轴于点M(0，m)，
∵A(4，0)，B(0，2)，
∴BM2=|2−m|2=m2−4m+4，AB2=22+42=20，AM2=42+m2=m2+16，
∵△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴∠BAM=90°，
∴BM2=BA2+AM2，
∴m2−4m+4=20+m2+16，
解得m=−8，
∴M(0，−8)，
同理可得直线AM的解析式为y=2x−8，
联立y=2x−8y=−6x，解得x=4y=−2或x=1y=−6，
∴点P的坐标为(4，−2)或(1，−6)．
【解析】【分析】（1）先运用待定系数法求一次函数解析式，再运用待定系数法求反比例函数即可求解；
（2）联立解析式即可得到一次函数与反比例函数的交点坐标，再根据一次函数的图象和反比例函数的图象即可求解；
（3）设直线AP交y轴于点M(0，m)，先根据A和B的坐标结合坐标系中两点间的距离即可得到BM2=|2−m|2=m2−4m+4，AB2=22+42=20，AM2=42+m2=m2+16，进而根据勾股定理即可求出m的值，进而得到点M的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式即可求解。
6．（2023·自贡）如图，点A(2，4)在反比例函数y1=mx图象上．一次函数y2=kx+b的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且△OAC与△OBC的面积比为2：1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出y1≥y2时，x的取值范围．
【答案】（1）解：将A(2，4)代入y1=mx得，4=m2，解得m=8，
∴反比例函数解析式为y1=8x；
当x=0，y2=b，则C(0，b)，OC=|b|，
当y2=0，x=−bk，则B(−bk，0)，OB=|bk|，
∵△OAC与△OBC的面积比为2：1，
∴OC×xA2OC×OB2=21，整理得xAOB=2，即2|bk|=2，解得b=k或b=−k，
当b=k时，将A(2，4)代入y2=kx+b得，4=2k+k，解得k=43，则y2=43x+43；
当b=−k时，将A(2，4)代入y2=kx+b得，4=2k−k，解得k=4，则y2=4x−4；
综上，一次函数解析式为y2=43x+43或y2=4x−4；
∴反比例函数解析式为y1=8x，一次函数解析式为y2=43x+43或y2=4x−4；
（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：
①当一次函数解析式为y2=43x+43时，如图1，
联立y1=8xy2=43x+43，解得x=−3y=−83或x=2y=4，
由函数图象可知，y1≥y2时，x的取值范围为x≤−3或0②当一次函数解析式为y2=4x−4时，如图2，
联立y1=8xy2=4x−4，解得x=−1y=−8或x=2y=4，
由函数图象可知，y1≥y2时，x的取值范围为x≤−1或0综上，当一次函数解析式为y2=43x+43时，x的取值范围为x≤−3或0【解析】【分析】（1）将A(2，4)代入即可求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得到C(0，b)，OC=|b|，B(−bk，0)，OB=|bk|，再结合题意即可得到b=k或b=−k，再分类讨论即可求出一次函数的解析式；
（2）先分别求出一次函数的解析式与反比例函数的交点坐标，进而即可画出它们的图像，再观察图像即可求解。
7．（2023·乐山）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=4x的图象交于点A(m，4)，与x轴交于点B， 与y轴交于点C(0，3)．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数y=4x图象上的一点，S△OBP=2S△OAC，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点A(m，4)在反比例函数y=4x的图象上，
.∴4=4m， ∴m=1，∴A(1，4)．
又∵点A(1，4)、C(0，3)都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴4=k+b，3=b解得k=1，b=3.
∴一次函数的解析式为y=x+3．
（2）解：对于y=x+3，当y=0时，x=−3，∴OB=3．
∵C(0，3)，∴OC=3．
过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示．
∵S△OBP=2S△AOC，
∴12OB⋅PD=2×12OC⋅AH．
∴12×3×PD=2×12×3×1，解得PD=2．
∴点P的纵坐标为2或−2．
将y=2或−2代入y=4x得x=2或−2．
∴点P(2，2)或(−2，−2)
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数的性质即可求出m的值，进而得到点A的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可求解；
（2）先根据题意得到OB和OC的长，过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，再根据三角形的面积即可求出PD的长，进而得到点P的纵坐标为2或−2，接着分别代入反比例函数的解析式即可求解。
8．（2023·遂宁）如图，一次函数y=k1x+b的图像与反比例函数y=k2x的图像交于A(−4，1)，B(m，4)两点．（k1，k2，b为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图像直接写出不等式k1x+b>k2x的解集；
（3）P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．
【答案】（1）解：将点A(−4，1)代入y=k2x得1=k2−4，
∴k2=−4，
∴反比例函数的解析式为y=−4x；
将点B(m，4)代入y=−4x得4=−4m，
∴m=−1，
将点A(−4，1)、B(−1，4)分别代入y=k1x+b得1=−4k1+b4=−k1+b，
解得k1=1b=5，
∴一次函数的解析式为y=x+5；
（2）−40.
（3）解：一次函数的解析式为y=x+5交y轴于点C(0，5)
设P(0，m)，
S△PAB=S△PAC−S△PBC
=12PC⋅xA−12PC⋅xB
=125−m×4−125−m×1
=125−m×3
∵△PAB的面积为3，
∴125−m×3=3，
∴m=3或m=7，
即P点的坐标为(0，3)或(0，7)．
【解析】【解答】解：（2）由题意得当−4k2x，
∴不等式k1x+b>k2x的解集为−4【分析】（1）运用待定系数法求一次函数的解析式和待定系数法求反比例函数的解析式即可求解；
（2）直接根据一次函数的图象和反比例函数的图象即可求解；
（3）将坐标系中的"斜三角形"转化为直三角，即S△PAB=S△PAC−S△PBC，进而利用代数式表达并解得即可.
9．（2023·宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3，0)，顶点A、B(6，m)恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．
（1）分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，
则∠AEC=∠CDB=90°，
∵点C(3，0)，B(6，m)，
∴OC=3，OD=6，BD=m，
∴CD=OD−OC=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∴△ACE≌△CBD(AAS)，
∴CD=AE=3，BD=EC=m，
∴OE=OC−EC=3−m，
∴点A的坐标是(3−m，3)，
∵A、B(6，m)恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．
∴3(3−m)=6m，
解得m=1，
∴点A的坐标是(2，3)，点B的坐标是(6，1)，
∴k=6m=6，
∴反比例函数的解析式是y=6x，
设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=px+q，把点A和点B的坐标代入得，
2p+q=36p+q=1，解得p=−12q=4.
∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=−12x+4，
（2）解：延长AE至点A′，使得EA′=AE，连接A′B交x轴于点P，连接AP，
∴点A与点A′关于x轴对称，
∴AP=A′P，A′(2，−3)，
∵AP+PB=A′P+PB=A′B，
∴AP+PB的最小值是A′B的长度，
∵AB=(2−6)2+(3−1)2=25，即AB是定值，
∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A′B最小，
设直线A′B的解析式是y=nx+t，
则2n+t=−36n+t=1，
解得n=1t=−5，
∴直线A′B的解析式是y=x−5，
当y=0时，0=x−5，解得x=5，
即点P的坐标是(5，0)，
此时AP+PB+AB=AB+A′B=25+(2−6)2+(−3−1)2=25+42，
综上可知，在x轴上存在一点P(5，0)，使△ABP周长的值最小，最小值是25+42．
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，先根据等腰直角三角形的性质即可得到∠ACB=90°，AC=BC，进而得到∠ACE=∠CBD，再根据三角形全等的判定与性质即可得到CD=AE=3，BD=EC=m，进而得到点A的坐标，再将A和B点代入反比例函数即可得到解析式，进而得到点A和点B的坐标，再根据待定系数法求一次函数即可求出直线AB的解析式；
（2）延长AE至点A′，使得EA′=AE，连接A′B交x轴于点P，连接AP，先根据点关于坐标轴对称的性质即可得到AP=A′P，A′(2，−3)，进而得到AP+PB的最小值是A′B的长度，再运用勾股定理即可得到AB的长，进而得到此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A′B最小，设直线A′B的解析式是y=nx+t，运用待定系数法即可求出解析式，进而得到点P的坐标，再结合题意即可求解。
10．（2023·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B(a，4)，过点B作AB的垂线l.
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.
【答案】（1）点A的坐标为(0，5)，反比例函数的表达式为y=4x；
（2）点C的坐标为(6，9)或(−4，−1)；
（3）点P的坐标为(−14，114)；m的值为3.
【解析】【解答】解：（1）∵直线y=−x+5与y轴交于点A，
∴当x=0时，y=5，
∴点A的坐标为（0，5），
又∵点B（a，4）在直线y=−x+5上，
∴-a+5=4，
解得：a=1，
∴点B的坐标为（1，4），
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为y=4x；
（2）解：∵过点B作AB的垂线l，
∴设直线l的解析式为：y=x+b，
∵点B在直线l上，
∴1+b=4，
∴b=3，
∴直线l的解析式为：y=x+3，
设C（m，m+3），
∵点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（1，4），
∴AB=0−12+4−52=2，BC=m−12+m−12=2m−12，
∵△ABC的面积为5，
∴12×2×2m−12=5，
解得：m=6或m=-4，
∴点C的坐标为(6，9)或(−4，−1)；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，设为E点，
则点A的对应点为D，
由题意可得：y=4xy=x+3，
解得：x=1y=4或x=−4y=−1，
∴E (-4，-1)，
如图所示：
∵△PAB~△PDE，
∴∠PAB=∠PDE，
∴AB//DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y=-x+b2，
∴-1=- (-4) +b2，
∴b2=-5，
∴直线DE的解析式为y=-x-5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴由题意可得：y=4xy=−x−5，
解得：x=−1y=−4或x=−4y=−1，
∴D（-1，-4），
∴直线AD的解析式为y=9x+5，
由题意可得：y=9x+5y=x+3，
解得：x=−14y=114，
∴P−14，114，
∴BP=−14−12+114−42=524，EP=−14−−42+114−−12=1524，
∴m=EPBP=3.
【分析】（1）先求出当x=0时，y=5，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线l的解析式为：y=x+3，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出E (-4， -1)，再结合图象，利用相似三角形的性质计算求解即可。
11．（2023·凉山）阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=12，则tanβ=13．
证明：设BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，
易证△AEB≌△EFC(AAS)
∴EC=2k，CF=k，
∴FD=k，AD=3k
∴tanβ=DFAD=k3k=13，
若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．
同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y=3x−9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．
【答案】（1）将y=0代入y=3x−9得，x=3，
∴B(3，0)，
∵直线y=3x−9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，
∴设A(a，3a−9)，
∵AM⊥x，OA=5，
∴在Rt△AOM中，OM2+AM2=AO2，
∴a2+(3a−9)2=52，
∴解得a1=4，a2=75，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
∴a2=75应舍去，
∴a=4，
∴A(4，3)，
∴将A(4，3)代入y=mx(x>0)，解得m=12；
∴反比例函数的解析式为y=12x(x>0)；
（2）∵A(4，3)，B(3，0)，
∴MO=4，BO=3，
∴MB=1，AM=3，
∵AM⊥x，
∴tan∠BAM=BMAM=13，
∵AN⊥y，∠NOM=90°，
∴四边形NOMA是矩形，
∴∠NAM=90°，
∵将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，
∴∠BAE=45°，
∴∠BAM+∠NAE=45°，
∵tan∠BAM=13，
∴tan∠NAE=12；
（3）∵四边形NOMA是矩形，
∴AN=OM=4，NO=AM=3，
∵AN⊥y，tan∠NAE=12，
∴NEAN=12，即NE4=12，
∴解得NE=2，
∴OE=ON−NE=1，
∴E(0，1)，
∴设直线AE的解析式为y=kx+b，
∴将E(0，1)和A(4，3)代入得，b=14x+b=3，
∴解得b=1x=12，
∴直线AE的解析式为y=12x+1．
【解析】【分析】（1）先求出点B，设A(a，3a−9)，再运用勾股定理结合题意即可得到a1=4，进而得到A(4，3)，再将A(4，3)代入y=mx(x>0)即可求解；
（2）先根据A和B点坐标得到MO=4，BO=3，再根据正切值的定义得到tan∠BAM=BMAM=13，再根据矩形的判定与性质结合旋转的性质即可求解；
（3）先根据矩形的性质得到AN=OM=4，NO=AM=3，再运用NEAN=12得到NE的值，进而得到E点坐标，再运用待定系数法即可求出直线AE的解析式。
12．（2023·泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx(x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵OA=1，
∴A(−1，0)，
∵直线y=kx+2经过点A(−1，0)，
∴0=−k+2，解得，k=2，
∴直线的解析式为y=2x+2，
∵点C的横坐标为2，
∴y=2×2+2=6，
∴C(2，6)，
∵反比例函数y=mx(x>0)的图象经过点C，
∴m=2×6=12；
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为y=12x，
令x=0，则y=2×0+2=2，
∴点B(0，2)，
设点D(a，2a+2)，则点E(a，12a)，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴DE=OB=2，
∴|2a+2−12a|=2，整理得2a+2−12a=2或2a+2−12a=−2，
由2a+2−12a=2得2a2+2a−12=2a，
整理得a2=6，
解得a=±6，
∵a>0，
∴a=6，
∴点D(6，26+2)；
由2a+2−12a=−2得2a2+2a−12=−2a，
整理得a2+2a−6=0，
解得a=±7−1，
∵a>0，
∴a=7−1，
∴点D(7−1，27)；
综上，点D的坐标为(6，26+2)或(7−1，27)．
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出 DE=OB=2， 再求出 a=±7−1， 最后求点的坐标即可。