江苏省常州市溧阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

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注意事项：
1.请将本试卷答案写在答题卡相应位置上；
2.考试时间为120分钟，试卷总分为150分.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘除法运算求出复数，再根据复数的几何意义可得答案.
【详解】因为，
所以复数所对应的点位于第一象限.
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘除法运算以及复数的几何意义，属于基础题.
2. 若向量，，则在上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量投影的定义计算在上的投影即可.
【详解】因为，，
所以向量在向量方向上的投影为：．
故选：A
3. 甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ）
A. 两人都做对的概率是0.72B. 恰好有一人做对的概率是0.26
C. 两人都做错的概率是0.15D. 至少有一人做对的概率是0.98
【答案】C
【解析】
【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B；至少有一人做对的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D.
【详解】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，
故两人都做对的概率是 ，所以A 正确；
恰好有一人做对的概率是 ，故B正确；
两人都做错的概率是，故C错误；
至少有一人做对的概率是，故D正确，
故选：C
4. 在中，若，则此三角形一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 既非等腰三角形也非直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦定理化简即可
【详解】由余弦定理，，即，即，故此三角形一定是等腰三角形
故选：A
5. 设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除.
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，，则或相交，故B错误；
对于C，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C正确；
对于D，若，，，当，不一定垂直于，
故D错误.
故选：C.
6. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出，，再利用三角函数变换展开求值.
【详解】由题意知，则．
故选：A
【点睛】本题考查三角函数的定义，三角函数给值求值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是三角变换.
7. 在棱长为的正方体中，直线BD到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面平行可得点到面的距离即为线到面的距离，根据等体积法即可求解.
【详解】因为,平面,平面,因此平面,故直线BD到平面的距离即为点到平面的距离；
为边长为2的等边三角形，故，,
设点到平面的距离为，由等体积法可得,即,
故选:B
8. 1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，（ ）
A. 2abB. C. D. ab
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，然后由正切的和差角公式即可得到，再由基本不等式即可得到结果.
【详解】有题意可知，是锐角且，
因为，
所以，
且，当且仅当，即时，等号成立，
故当，，此时最大.
故选:B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9. 某实验田种植甲､乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下：
则（ ）
A. 甲种水稻产量的众数为250
B. 乙种水稻产量的极差为70
C. 甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数
D. 甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据众数，极差，平均数，方差公式即可求解.
【详解】对于A，由上表数据可知，甲种水稻产量的众数为250，故A正确；
对于B, 由上表数据可知，乙种水稻产量的极差为，故B正确；
对于C，甲种水稻产量的平均数为，
乙种水稻产量的平均数为，
所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数，故C不正确；
对于D，甲种水稻产量的方差为
，
乙种水稻产量的方差为
.
所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D正确.
故选：ABD.
10. 正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为1，则下列结论正确的是（ ）
A. 该四棱台的体积为B. 该四棱台的侧棱长为
C. 与所成角的余弦值为D. 与平面所成的角大小为
【答案】AB
【解析】
【分析】求出四棱台的体积和侧棱长判断AB；利用几何法求出异面直线夹角余弦、线面角的余弦判断CD作答.
【详解】在正四棱台中，，令上下底面中心分别，连接，如图，

对于A，，A正确；
对于B，平面，在直角梯形中，，
取中点，连接，有，则，，B正确；
对于C，显然，则是与所成的角或其补角，
在等腰梯形中，，C错误；
对于D，由选项B知，平面，则是与平面所成的角，
因此，显然，D错误.
故选：AB
11. 已知，，分别是三个内角，，的对边，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于ACD，利用正弦定理结合三角函数恒等变换公式分析判断即可，对于B，举例判断.
【详解】对于A，因为，所以由大角对大边得，
所以由正弦定理得，所以A正确，
对于B，若，满足，则，
所以B错误，
对于C，因为，所以角为锐角，由正弦定理得，
所以，所以，
所以，
因为角为锐角，
所以若角为锐角，则，若为钝角，则，
综上，若，则成立，所以C正确，
对于D，因为，所以由正弦定理得，
所以，所以，
所以，所以D正确，
故选：ACD
12. 如图，正方体棱长为2，点M是其侧面上的动点（含边界），点P是线段上的动点，下列结论正确的是（ ）
A. 存在点P，M，使得平面与平面PBD平行
B. 当点P为中点时，过点的平面截该正方体所得的截面是梯形
C. 过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形
D. 当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】
【分析】找到点P，M使得平面与平面PBD平行肯定选项A；作出过点的平面截该正方体所得的截面判断选项B；作出过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面图形为五边形否定选项C；求得点M的轨迹长度判断选项D.
【详解】对于A选项，当M为中点，P为中点时，
连接、
，又平面PBD，平面PBD，则平面PBD，
，又平面PBD，平面PBD，则平面PBD，
又，则平面平面PBD. 故A正确；
对于B选项，取BC中点N，连接
则，，则，又则为梯形．
则梯形为截面，故B正确；
对于C选项，当M为中点，P为中点时，
在上取点Q ，使，在上取点T ，使
连接、，则，则四边形为平行四边形，则
在平面内过点M作，交于N，则
连接，则
则五边形为过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面.故C判断错误；
对于D选项，取中点E，连接PE，ME，PM，
则平面，，则，
则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧，
分别交AD、于、，则，
则，劣弧的长为．故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某校举行演讲比赛，10位评委给甲选手的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.1，8.3，8.3，8.7，则这组数据的75%分位数为___________.
【答案】8.3
【解析】
【分析】根据百分位数的定义和运算规则即可求解.
【详解】该数据已经从小到大排列， ，∴第75%位数是8.3；
故答案为：8.3.
14. 若复数满足，其中为虚数单位，则________.
【答案】
【解析】
【分析】设，代入，利用复数相等的条件求出、的值，即可求出的值.
【详解】设，由，得，即，
，，，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数的加法运算，同时也考查了复数相等以及复数模的计算，考查计算能力，属于基础题.
15. 18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中L，N，M，h分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，已知球的半径为R，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为a，高为h，可得该正四棱锥的体积为．类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O的表面积为，若用距离球心O都为2cm的两个平行平面去截球O，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，进而得出两个截面圆的半径，求出截面圆的面积，结合题意给的体积公式计算即可.
【详解】由球O的表面积为，得球O的半径为3，
则两个截面圆和的半径都为，
根据对称性，几何体的中截面为圆O，其面积为；
所以几何体的体积为．
故答案为：.
16. 已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，利用距离和的最值求解的最小值.
【详解】因为，所以，
整理可得，
因为对任意，上式恒成立，所以；
由题意知，所以，所以.
可以看作点与点的距离之和；
如图，点关于的对称点为，则；
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求得，从而可得，于是；
（2）由，可得，再由夹角公式计算即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，.
由，可得，即，
解得，所以，故.
【小问2详解】
因为向量，，所以，所以.
则，，
所以，
所以与夹角的余弦值为.
18. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为1，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：
，
即，
令，解得，
∴函数的单调递增区间为．
【小问2详解】
解：∵，∴，
则，∴，
∴函数的最大值为1，最小值为．
19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是线段，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）记平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析.
【解析】
分析】（1）推导出，，平面，从而，进而平面，由此能证明平面平面．
（2）推导出，平面，根据线面平行的性质，即能证明．
【详解】解：（1）因为平面，平面，
所以.
因为是以为直径的圆上的点，
所以．
又，
所以平面．
因为，分别是，的中点，
所以．
所以平面．
又平面，故平面平面．
（2）.
证明如下：由（1），.又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面平面，
所以．
20. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示
（1）求出a的值；
（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．
【答案】（1）；
（2）41.5岁，42.1岁；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积和为，列出关于的式子，即可求出.
（2） 平均数为每个小矩形中点的横坐标乘以相应矩形的面积全部相加为平均数；中位数则为使矩形面积左右两边分别为的横坐标，即可求出答案.
（3）利用分层抽样在第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，并进行标记为，，，，，再把总的基本事件列举出来，一共10个基本事件，这2人恰好在同一组的基本事件共4个，即可得到答案.
【小问1详解】
由，得.
【小问2详解】
平均数为：岁；
设中位数，则，∴岁.
【小问3详解】
第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为，，，，，设从5人中随机抽取2人，为，，，，，，，，，共10个基本事件，这2人恰好在同一组的基本事件，，，共4个，所以.
21. 如图，已知在矩形中，，，点是边中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：面；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）翻折前，利用勾股定理证明出，翻折后则有，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（3）过点在平面内作，垂足为点，连接，分析可知二面角的平面角为，证明出，计算出的长，即可求得的余弦值，即为所求.
【小问1详解】
证明：取线段的中点，连接、，
翻折前，在矩形中，为的中点，，则，
所以，，
翻折后，在三棱锥中，、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
为的中点，且，则，所以，为的中点，
又因为为的中点，所以，，
平面，平面，所以，平面，
，所以，平面平面，
因为平面，平面.
【小问2详解】
证明：在矩形中，，，
，，
因为，则，
因为，为的中点，所以，，则，
所以，，所以，，则，
在三棱锥中，则有，，
因为，所以，面.
【小问3详解】
解：在三棱锥中，，，，
所以，，，
过点在平面内作，垂足为点，连接，
平面，平面，，
因为，，平面，
平面，，所以，二面角平面角为，
在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，，所以，，
因为平面，平面，，
所以，，
故，因此，二面角的余弦值为.
22. 在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得.
（2）利用正弦定理、向量的数量积运算、三角恒等变换以及基本不等式的知识求得的最小值.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，，
由得，
所以或（舍去）
所以.
【小问2详解】
因为，由正弦定理得，
所以，
由（1）知，，且，
所以，，
所以
，
当且仅当时取等号，所以最小值为.甲/kg
260
250
210
250
280
乙/kg
220
260
230
250
290