2024长沙明德中学高一上学期期末考试数学试卷含答案

这是一份2024长沙明德中学高一上学期期末考试数学试卷含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟满分150
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）
1.（ ）
A.B.C.D.
2.以下五个式子中，错误的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤.
A.5B.2C.3D.4
3.设，定义符号函数则函数的图象大致是（ ）
A.B.C.D.
4.一块电路板的线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（ ）
A.4次B.6次C.8次D.30次
5.下列说法中正确的是（ ）
A.
B.若是第二象限角，则是第一象限角
C.“”的充分不必要条件是“”
D.命题：，的否定是：，
6.若函数是奇函数，且函数在上有最大值8，则函数在上有（ ）
A.最大值B.最小值C.最小值D.最小值
7.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则等于（ ）
A.B.0C.D.
8.已知定义在上的非常数函数满足：对于每一个实数，都有，则的周期为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分。共20分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分。选错得0分，部分选对得2分）
9.以下关于数的大小的结论中正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ ）
A.若，则为偶函数
B.若，则为单调函数
C.若，，则函数的零点为0和
D.若，则函数的最小值为2
11.函数，则下列说法不正确的是（ ）
A.若的最小正周期为，则
B.若，且，则
C.当，时，在单调且在不单调，则
D.当时，若对任意的有成立，则的最小值为
12.设函数，则（ ）
A.是的一个周期B.是偶函数
C.函数存在无数个零点D.存在，使得
三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13.计算：______.
14.已知函数为奇函数，则______.
15.若幂函数在上单调递减，则______.
16.给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”.设函数，若是的一个“点”，则实数的值为______；若为“函数”，则实数的取值范围为______.
四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤。）
17.（本小题10分）
已知函数，
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并证明.
18.（本小题12分）
当解关于的不等式
19.（本小题12分）
已知，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
20.（本小题12分）
已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，求函数在上的单调递减区间.
21.（本小题12分）
勒洛三角形是由19世纪工程师勒洛在研究机械分类时发现的.如图1，以等边三角形的每个顶点为圆心、边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.受此启发，某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形.如图2，分别以正五边形的顶点为圆心、对角线长为半径，在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧，五段圆弧围成的曲边五边形就是勒洛五边形.设正五边形的边长为1.
图1图2
（1）求勒洛五边形的周长；
（2）设正五边形外接圆周长为，试比较与大小，并说明理由.（注：）
22.（本小题12分）
定义在区间上的函数（，且）为奇函数.
（1）求实数的值，并且根据定义研究函数的单调性；
（2）不等式对恒成立，求实数的取值范围.
明德中学2023年下学期期末考试
高一年级数学答案及评分标准
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）
1.A2.C3.C4.B5.D6.D
7.B解析由的图象可知，，，
故，又且，则可得出，故.
又根据函数的对称性可知，，，
所以，
所以
8.C解：根据题意，，
则有，
变形可得，
则有，
联立可得：，
又由，故，
则有，即，
即的周期为.故选C.
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分。共20分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分。选错得0分，部分选对得2分）
9.略
10.ABC【解答】解：若，，则，
所以，所以是偶函数，正确；
若，，，
若，则为单调递增函数；若，则为单调递减函数，B正确；
由得或，
所以函数的零点为0和，C正确；
若，设时，显然，D错误；
11.ABD【解答】解：A选项，，解得：，故A错误；
B选项，若，且，则的最小正周期为，
则，解得：，故B错误；
C选项，当时，，因为在单调，
则，则，
又，所以，则，
则在单调且在不单调，故C正确；
D选项，当时，，因为对任意的有成立，
所以，，所以，，
因为，所以当时，有最小值，故D错误.
12.BC【解析】解：对于A，，
所以不是的一个周期，故A错误；
对于B，定义域为，
又，
所以是偶函数，故B正确；
对于C，因为时，有，又，
所以有无数多个解，所以函数存在无数个零点，故C项正确；
对于D，当时，有，所以，
所以有在上恒成立，
又，是偶函数，
所以当时，有恒成立，故D错误.故选：BC.
三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13.214.15.
16.3；
【解答】解：因为是的一个“点”，且，
所以，解得，，
因为关于原点对称的函数为，若为“函数”，
则在其定义域内存在，使得有解，
即方程有解，所以有解，即有解，
因为（当且仅当时取等号），所以.
四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤。）
17.解：（1）由且，得或
的定义域为
（2）是奇函数
证明：的定义域关于原点对称.
，所以为奇函数.
18.解：当时，代入不等式可得，解得；
当时，化简不等式可得，由解不等式可得，
当时，化简不等式可得，解不等式可得或，
综上可知，当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
19.解：（1），，
，解得，
；
（2），且，，.
，
又，.
20.解：（1）依题意得，解得，，
又的图象关于直线对称等价于当时，取到最值，
则有，，即，，
又，得，所以.
（2），
由，，
得，，
所以，函数的单调递减区间是，.
故在上的单调递减区间和
21.解：（1）因为正五边形，所以，
因为为等腰三角形，所以，
所以，又因为，
所以的长度，勒洛五边形的周长，
又因为，；
（2）设正五边形的中心为，连接，，，设的延长线交于点，
则，所以，
所以
，
所以.
22.解：（1）由题意得：，即，解得，
此时，
又，则为奇函数，
实数的值为1；
取，，且，
，
，，，
当时，，即，
，则，在上单调递增；
当时，，即，，则，
在上单调递减，
综上，实数的值为1；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；
（2）不等式，
可化为，
即，对恒成立，
由（1）知，当时，，
化简整理得，
则，对恒成立，
，则，，
的最大值为3；的最小值为1，则，
当时，；
当时，，
即，对恒成立，
，则，，
的最大值为；的最小值为，则，
当时，，
综上，当时，实数的取值范围为；