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2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第3讲 直线与双曲线
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这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第3讲 直线与双曲线，共7页。
1．(人A选必一P120例1)已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( D )
A．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1B．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1(x≥4)
C．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1D．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)
2．(多选)下列双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x的是( AD )
A．eq \f(x2,4)－y2＝1B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1
C．eq \f(y2,4)－x2＝1D．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,16)＝1
3．(多选)已知双曲线C过点(3，eq \r(,2))且渐近线方程为y＝±eq \f(\r(,3),3)x，则下列结论正确的是( AC )
A．双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1
B．双曲线C的离心率为eq \r(,3)
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－eq \r(,3)y－1＝0与C有两个公共点
【解析】 对于A，由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(,3),3)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,3)－y2＝λ(λ≠0)，把点(3，eq \r(,2))代入，得eq \f(9,3)－2＝λ，即λ＝1，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1，故A正确；对于B，由a2＝3，b2＝1，得c＝eq \r(,a2＋b2)＝2，所以双曲线C的离心率为eq \f(2,\r(,3))＝eq \f(2\r(,3),3)，故B错误；对于C，取x－2＝0，得x＝2，y＝0，曲线y＝ex－2－1过C的右焦点(2，0)，故C正确；对于D，双曲线的渐近线方程为x±eq \r(,3)y＝0，直线x－eq \r(,3)y－1＝0与双曲线的一条渐近线平行，所以直线x－eq \r(,3)y－1＝0与C有1个公共点，故D不正确．
4．(人A选必一P127习题6)经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为__eq \f(x2,15)－eq \f(y2,15)＝1__．
【解析】 设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝±1(a＞0)，把点A(4,1)代入，得a2＝15(负值舍去)，故所求方程为eq \f(x2,15)－eq \f(y2,15)＝1．
5．(人A选必一P127练习3)若直线y＝eq \f(2,3)x与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,8)＝1(a＞0)相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则双曲线的离心率为__eq \f(\r(,21),3)__．
【解析】 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,3)x，,\f(x2,a2)－\f(y2,8)＝1，))消去y得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－\f(1,18)))x2－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝eq \f(－1,\f(1,a2)－\f(1,18))＝eq \f(18a2,a2－18)＝－9，解得a2＝6，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(,1＋\f(b2,a2))＝eq \r(,1＋\f(8,6))＝eq \f(\r(,21),3)．
举题固法0
目标引领
轨迹方程
例1 (1) 如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为__x2－eq \f(y2,3)＝1(x≤－1)__．
(例1(1))
【解析】 因为圆E：(x＋2)2＋y2＝4，所以圆心为E(－2，0)，半径r＝2．设动圆圆心为P(x，y)．因为动圆与圆E内切于点M，所以|PF|－|PE|＝|ME|＝2＜|EF|，所以点P的轨迹是以E，F为焦点的双曲线的左支，其中2a＝2，得a＝1，而c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，故所求轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1(x≤－1)．
(2) (多选)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，则下列说法正确的是( BC )
A．当m＞0时，点C的轨迹是双曲线
B．当m＞0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)
C．当m＝－1时，点C在圆x2＋y2＝25(除去点(5,0)，(－5,0))上运动
D．当m＜－1时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大
【解析】 设C(x，y)(y≠0)，则eq \f(y,x＋5)·eq \f(y,x－5)＝m⇒eq \f(x2,25)－eq \f(y2,25m)＝1(y≠0)．当m＞0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)，A错误，B正确；当m＝－1时，方程为x2＋y2＝25(y≠0)，则点C在圆x2＋y2＝25(除去点(5,0)，(－5,0))上运动，C正确；当m＜－1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆(不含左、右顶点)，则离心率e＝eq \r(1－\f(25,－25m))＝eq \r(1＋\f(1,m))，此时e随着m的增大而减小，D错误．
变式1 已知椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，其左、右顶点分别为A，B，一条垂直于x轴的直线l交椭圆C于E，F两点，直线AE与直线BF相交于点M，则点M的轨迹方程为__eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1(x≠±2)__．
【解析】 由题意知A(－2,0)，B(2,0)，设直线l：x＝x0(x0≠±2)，E(x0，y0)，F(x0，－y0)，M(x，y)，由A，E，M三点共线及B，F，M三点共线，得eq \f(y,x＋2)＝eq \f(y0,x0＋2)，eq \f(y,x－2)＝eq \f(－y0,x0－2)，两式相乘，得eq \f(y2,x2－4)＝－eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－4)，又eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),2)＝1，所以eq \f(y2,x2－4)＝－eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－4)＝eq \f(1,2)，即eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1，又x2－4≠0，即x≠±2，所以点M的轨迹方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1(x≠±2)．
简单几何性质
例2 (1) (2023·开封二模)已知圆(x－2)2＋y2＝3与双曲线C：x2－eq \f(y2,m)＝1(m＞0)的渐近线相切，则双曲线C的焦距为( D )
A．2B．eq \f(4\r(3),3)
C．2eq \r(3)D．4
【解析】 双曲线x2－eq \f(y2,m)＝1的渐近线方程为eq \r(m)x±y＝0，根据圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2,0)到切线的距离等于半径eq \r(3)，可得eq \f(|2\r(m)|,\r(m＋1))＝eq \r(3)，解得m＝3，从而求得双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，所以a2＝1，b2＝3，c2＝4，即c＝2，故此双曲线的焦距为2c＝4．
(2) (2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率为__eq \f(3\r(5),5)__．
【解析】 如图，依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m．在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cs∠F1AF2＝eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，所以在△AF1F2中，cs∠F1AF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(4,5)，整理得5c2＝9a2，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5)．
(例2(2))
变式2 (1) 设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，过F2的直线与C的右支交于P，Q两点，则|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝( C )
A．5B．6
C．8D．12
【解析】 已知双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1，则a2＝4，a＝2，由双曲线的定义知|F1P|－|PF2|＝2a＝4，|F1Q|－|QF2|＝2a＝4，|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，所以|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|＋|F1Q|－(|PF2|＋|QF2|)＝|F1P|－|PF2|＋|F1Q|－|QF2|＝4a＝8．
(2) (2023·重庆三模)设双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足|OP|＝b，且|PF1|＝3|PF2|，则b＝( A )
A．eq \r(2)B．eq \r(3)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
【解析】 已知双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)，则a＝1．因为|PF1|＝3|PF2|且|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1．如图，设∠POF2＝α，则∠POF1＝π－α，在△POF2中，|PF2|2＝|OF2|2＋|OP|2－2|OF2|·|OP|csα，即1＝c2＋b2－2bccsα①，在△POF1中，|PF1|2＝|OF1|2＋|OP|2－2|OF1|·|OP|cs(π－α)，即9＝c2＋b2＋2bccsα②，①＋②得10＝2(c2＋b2)，则c2＋b2＝5．又c2＝1＋b2，解得b2＝2，所以b＝eq \r(2)．
(变式2(2))
直线与双曲线
例3 (2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2eq \r(5)，0)，离心率为eq \r(5)．
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】 设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由焦点坐标可知c＝2eq \r(5)，则由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，得a＝2，b＝eq \r(c2－a2)＝4，故双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1．
(2) 记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，点M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．求证：点P在定直线上．
【解答】 由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－eq \f(1,2)＜m＜eq \f(1,2)，与eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)＞0，则y1＋y2＝eq \f(32m,4m2－1)，y1y2＝eq \f(48,4m2－1)，直线MA1的方程为y＝eq \f(y1,x1＋2)(x＋2)，直线NA2的方程为y＝eq \f(y2,x2－2)(x－2)，联立直线MA1与直线NA2的方程可得eq \f(x＋2,x－2)＝eq \f(y2x1＋2,y1x2－2)＝eq \f(y2my1－2,y1my2－6)＝eq \f(my1y2－2y1＋y2＋2y1,my1y2－6y1)＝eq \f(m·\f(48,4m2－1)－2·\f(32m,4m2－1)＋2y1,m×\f(48,4m2－1)－6y1)＝eq \f(\f(－16m,4m2－1)＋2y1,\f(48m,4m2－1)－6y1)＝－eq \f(1,3)，由eq \f(x＋2,x－2)＝－eq \f(1,3)可得x＝－1，即xP＝－1，据此可得点P在定直线x＝－1上．
(例3)
随堂内化
1．(2023·义乌调研)双曲线eq \f(y2,2a2)－eq \f(x2,a2)＝1(a≠0)的渐近线方程为( C )
A．y＝±2xB．y＝±eq \f(1,2)x
C．y＝±eq \r(2)xD．y＝±eq \f(\r(2),2)x
【解析】 双曲线eq \f(y2,2a2)－eq \f(x2,a2)＝1(a≠0)的焦点在y轴上，所以渐近线斜率为k＝±eq \f(\r(2)|a|,|a|)＝±eq \r(2)，则其渐近线方程为y＝±eq \r(2)x．
2．(2023·南京、盐城期末)某研究性学习小组发现，由双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y＝eq \f(5,x)的离心率为( A )
A．eq \r(,2)B．2
C．eq \r(,5)D．5
【解析】 因为双曲线y＝eq \f(5,x)的渐近线互相垂直，所以其为等轴双曲线，e＝eq \r(,2)．
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(,3),3)x，左焦点为F(－2,0)．
(1) 求双曲线C的标准方程；
【解答】 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(,3),3)x，左焦点为F(－2,0)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝2，,\f(b,a)＝\f(\r(,3),3)，,c2＝a2＋b2，))解得c＝2，a＝eq \r(,3)，b＝1，所以双曲线C的标准方程为eq \f(x2,3)－y2＝1．
(2) 过点Q(2,0)作直线l与双曲线C右支交于A，B两点，若eq \(AQ,\s\up6(→))＝2eq \(QB,\s\up6(→))，求直线l的方程．
【解答】 设直线l的方程为x－2＝my，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为eq \(AQ,\s\up6(→))＝2eq \(QB,\s\up6(→))，所以y1＝－2y2①，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝my，,\f(x2,3)－y2＝1，))化简并整理，可得(m2－3)y2＋4my＋1＝0，Δ＝12m2＋12＞0，显然m2≠3，由根与系数的关系，可得y1＋y2＝eq \f(－4m,m2－3)②，y1y2＝eq \f(1,m2－3)③，由①②③得m＝±eq \f(1,\r(,11))，经检验符合题意，所以直线l的方程为y＝±eq \r(,11)(x－2)．
1．(人A选必一P120例1)已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( D )
A．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1B．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1(x≥4)
C．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1D．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)
2．(多选)下列双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x的是( AD )
A．eq \f(x2,4)－y2＝1B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1
C．eq \f(y2,4)－x2＝1D．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,16)＝1
3．(多选)已知双曲线C过点(3，eq \r(,2))且渐近线方程为y＝±eq \f(\r(,3),3)x，则下列结论正确的是( AC )
A．双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1
B．双曲线C的离心率为eq \r(,3)
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－eq \r(,3)y－1＝0与C有两个公共点
【解析】 对于A，由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(,3),3)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,3)－y2＝λ(λ≠0)，把点(3，eq \r(,2))代入，得eq \f(9,3)－2＝λ，即λ＝1，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1，故A正确；对于B，由a2＝3，b2＝1，得c＝eq \r(,a2＋b2)＝2，所以双曲线C的离心率为eq \f(2,\r(,3))＝eq \f(2\r(,3),3)，故B错误；对于C，取x－2＝0，得x＝2，y＝0，曲线y＝ex－2－1过C的右焦点(2，0)，故C正确；对于D，双曲线的渐近线方程为x±eq \r(,3)y＝0，直线x－eq \r(,3)y－1＝0与双曲线的一条渐近线平行，所以直线x－eq \r(,3)y－1＝0与C有1个公共点，故D不正确．
4．(人A选必一P127习题6)经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为__eq \f(x2,15)－eq \f(y2,15)＝1__．
【解析】 设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝±1(a＞0)，把点A(4,1)代入，得a2＝15(负值舍去)，故所求方程为eq \f(x2,15)－eq \f(y2,15)＝1．
5．(人A选必一P127练习3)若直线y＝eq \f(2,3)x与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,8)＝1(a＞0)相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则双曲线的离心率为__eq \f(\r(,21),3)__．
【解析】 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,3)x，,\f(x2,a2)－\f(y2,8)＝1，))消去y得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－\f(1,18)))x2－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝eq \f(－1,\f(1,a2)－\f(1,18))＝eq \f(18a2,a2－18)＝－9，解得a2＝6，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(,1＋\f(b2,a2))＝eq \r(,1＋\f(8,6))＝eq \f(\r(,21),3)．
举题固法0
目标引领
轨迹方程
例1 (1) 如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为__x2－eq \f(y2,3)＝1(x≤－1)__．
(例1(1))
【解析】 因为圆E：(x＋2)2＋y2＝4，所以圆心为E(－2，0)，半径r＝2．设动圆圆心为P(x，y)．因为动圆与圆E内切于点M，所以|PF|－|PE|＝|ME|＝2＜|EF|，所以点P的轨迹是以E，F为焦点的双曲线的左支，其中2a＝2，得a＝1，而c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，故所求轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1(x≤－1)．
(2) (多选)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，则下列说法正确的是( BC )
A．当m＞0时，点C的轨迹是双曲线
B．当m＞0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)
C．当m＝－1时，点C在圆x2＋y2＝25(除去点(5,0)，(－5,0))上运动
D．当m＜－1时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大
【解析】 设C(x，y)(y≠0)，则eq \f(y,x＋5)·eq \f(y,x－5)＝m⇒eq \f(x2,25)－eq \f(y2,25m)＝1(y≠0)．当m＞0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)，A错误，B正确；当m＝－1时，方程为x2＋y2＝25(y≠0)，则点C在圆x2＋y2＝25(除去点(5,0)，(－5,0))上运动，C正确；当m＜－1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆(不含左、右顶点)，则离心率e＝eq \r(1－\f(25,－25m))＝eq \r(1＋\f(1,m))，此时e随着m的增大而减小，D错误．
变式1 已知椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，其左、右顶点分别为A，B，一条垂直于x轴的直线l交椭圆C于E，F两点，直线AE与直线BF相交于点M，则点M的轨迹方程为__eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1(x≠±2)__．
【解析】 由题意知A(－2,0)，B(2,0)，设直线l：x＝x0(x0≠±2)，E(x0，y0)，F(x0，－y0)，M(x，y)，由A，E，M三点共线及B，F，M三点共线，得eq \f(y,x＋2)＝eq \f(y0,x0＋2)，eq \f(y,x－2)＝eq \f(－y0,x0－2)，两式相乘，得eq \f(y2,x2－4)＝－eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－4)，又eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),2)＝1，所以eq \f(y2,x2－4)＝－eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－4)＝eq \f(1,2)，即eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1，又x2－4≠0，即x≠±2，所以点M的轨迹方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1(x≠±2)．
简单几何性质
例2 (1) (2023·开封二模)已知圆(x－2)2＋y2＝3与双曲线C：x2－eq \f(y2,m)＝1(m＞0)的渐近线相切，则双曲线C的焦距为( D )
A．2B．eq \f(4\r(3),3)
C．2eq \r(3)D．4
【解析】 双曲线x2－eq \f(y2,m)＝1的渐近线方程为eq \r(m)x±y＝0，根据圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2,0)到切线的距离等于半径eq \r(3)，可得eq \f(|2\r(m)|,\r(m＋1))＝eq \r(3)，解得m＝3，从而求得双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，所以a2＝1，b2＝3，c2＝4，即c＝2，故此双曲线的焦距为2c＝4．
(2) (2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率为__eq \f(3\r(5),5)__．
【解析】 如图，依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m．在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cs∠F1AF2＝eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，所以在△AF1F2中，cs∠F1AF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(4,5)，整理得5c2＝9a2，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5)．
(例2(2))
变式2 (1) 设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，过F2的直线与C的右支交于P，Q两点，则|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝( C )
A．5B．6
C．8D．12
【解析】 已知双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1，则a2＝4，a＝2，由双曲线的定义知|F1P|－|PF2|＝2a＝4，|F1Q|－|QF2|＝2a＝4，|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，所以|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|＋|F1Q|－(|PF2|＋|QF2|)＝|F1P|－|PF2|＋|F1Q|－|QF2|＝4a＝8．
(2) (2023·重庆三模)设双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足|OP|＝b，且|PF1|＝3|PF2|，则b＝( A )
A．eq \r(2)B．eq \r(3)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
【解析】 已知双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)，则a＝1．因为|PF1|＝3|PF2|且|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1．如图，设∠POF2＝α，则∠POF1＝π－α，在△POF2中，|PF2|2＝|OF2|2＋|OP|2－2|OF2|·|OP|csα，即1＝c2＋b2－2bccsα①，在△POF1中，|PF1|2＝|OF1|2＋|OP|2－2|OF1|·|OP|cs(π－α)，即9＝c2＋b2＋2bccsα②，①＋②得10＝2(c2＋b2)，则c2＋b2＝5．又c2＝1＋b2，解得b2＝2，所以b＝eq \r(2)．
(变式2(2))
直线与双曲线
例3 (2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2eq \r(5)，0)，离心率为eq \r(5)．
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】 设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由焦点坐标可知c＝2eq \r(5)，则由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，得a＝2，b＝eq \r(c2－a2)＝4，故双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1．
(2) 记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，点M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．求证：点P在定直线上．
【解答】 由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－eq \f(1,2)＜m＜eq \f(1,2)，与eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)＞0，则y1＋y2＝eq \f(32m,4m2－1)，y1y2＝eq \f(48,4m2－1)，直线MA1的方程为y＝eq \f(y1,x1＋2)(x＋2)，直线NA2的方程为y＝eq \f(y2,x2－2)(x－2)，联立直线MA1与直线NA2的方程可得eq \f(x＋2,x－2)＝eq \f(y2x1＋2,y1x2－2)＝eq \f(y2my1－2,y1my2－6)＝eq \f(my1y2－2y1＋y2＋2y1,my1y2－6y1)＝eq \f(m·\f(48,4m2－1)－2·\f(32m,4m2－1)＋2y1,m×\f(48,4m2－1)－6y1)＝eq \f(\f(－16m,4m2－1)＋2y1,\f(48m,4m2－1)－6y1)＝－eq \f(1,3)，由eq \f(x＋2,x－2)＝－eq \f(1,3)可得x＝－1，即xP＝－1，据此可得点P在定直线x＝－1上．
(例3)
随堂内化
1．(2023·义乌调研)双曲线eq \f(y2,2a2)－eq \f(x2,a2)＝1(a≠0)的渐近线方程为( C )
A．y＝±2xB．y＝±eq \f(1,2)x
C．y＝±eq \r(2)xD．y＝±eq \f(\r(2),2)x
【解析】 双曲线eq \f(y2,2a2)－eq \f(x2,a2)＝1(a≠0)的焦点在y轴上，所以渐近线斜率为k＝±eq \f(\r(2)|a|,|a|)＝±eq \r(2)，则其渐近线方程为y＝±eq \r(2)x．
2．(2023·南京、盐城期末)某研究性学习小组发现，由双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y＝eq \f(5,x)的离心率为( A )
A．eq \r(,2)B．2
C．eq \r(,5)D．5
【解析】 因为双曲线y＝eq \f(5,x)的渐近线互相垂直，所以其为等轴双曲线，e＝eq \r(,2)．
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(,3),3)x，左焦点为F(－2,0)．
(1) 求双曲线C的标准方程；
【解答】 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(,3),3)x，左焦点为F(－2,0)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝2，,\f(b,a)＝\f(\r(,3),3)，,c2＝a2＋b2，))解得c＝2，a＝eq \r(,3)，b＝1，所以双曲线C的标准方程为eq \f(x2,3)－y2＝1．
(2) 过点Q(2,0)作直线l与双曲线C右支交于A，B两点，若eq \(AQ,\s\up6(→))＝2eq \(QB,\s\up6(→))，求直线l的方程．
【解答】 设直线l的方程为x－2＝my，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为eq \(AQ,\s\up6(→))＝2eq \(QB,\s\up6(→))，所以y1＝－2y2①，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝my，,\f(x2,3)－y2＝1，))化简并整理，可得(m2－3)y2＋4my＋1＝0，Δ＝12m2＋12＞0，显然m2≠3，由根与系数的关系，可得y1＋y2＝eq \f(－4m,m2－3)②，y1y2＝eq \f(1,m2－3)③，由①②③得m＝±eq \f(1,\r(,11))，经检验符合题意，所以直线l的方程为y＝±eq \r(,11)(x－2)．
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