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2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第1讲 直线与圆
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这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第1讲 直线与圆，共9页。
基础回归
1．已知圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，那么两圆的位置关系是( B )
A．内含B．相交
C．外切D．外离
【解析】 圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y＋2)2＝22，所以|C1C2|＝eq \r(5)，且2－1＜eq \r(5)＜2＋1，所以两圆相交．
2．(2023·合肥期末)已知圆O：x2＋y2＝r2，直线l：2x＋3y＝r2，若l与圆O相离，则( C )
A．点P(2,3)在l上B．点P(2,3)在圆O上
C．点P(2,3)在圆O内D．点P(2,3)在圆O外
【解析】 由题意知l与圆O相离，则圆心到直线l的距离大于r，即eq \f(|r2|,\r(,22＋32))＝eq \f(r2,\r(,13))＞r，所以r＞eq \r(,13)．由于P(2,3)，因此|OP|＝eq \r(,13)，所以r＞|OP|，则点P(2,3)在圆O内．因为2×2＋3×3＝13＜r2，故点P(2,3)不在直线l上．
3．(多选)设圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列选项中正确的是( ABC )
A．圆A的半径为2
B．圆A截y轴所得的弦长为2eq \r(3)
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
【解析】 把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以圆A的圆心坐标为(1,0)，半径为2，A正确；圆A截y轴所得的弦长为2×eq \r(4－1)＝2eq \r(3)，B正确；圆心(1,0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为(4,4)，半径为3，根据 eq \r(4－12＋42)＝5可知，圆A与圆B相切，D错误．
4．(人A选必一P98习题8)圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为__x2＋y2－x＋7y－32＝0__．
【解析】 设经过两圆交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－28λ－4＝0，圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3,1＋λ)，\f(－3λ,1＋λ)))，将其代入直线x－y－4＝0，解得λ＝－7．所以圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
5．过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))作圆C：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为__x－eq \r(3)y－2＝0__．
【解析】 圆C：x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))2＝1，则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))在圆C上，即点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))为切点，则圆心到切点连线的斜率k＝eq \f(－\f(\r(3),2)－0,\f(1,2)－0)＝－eq \r(3)，可得切线l的斜率kl＝eq \f(\r(3),3)，故切线l的方程为y＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即x－eq \r(3)y－2＝0．
举题固法
目标引领
直线与圆
例1 (1) (2023·云南二模)若直线3x－4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36交于A，B两点，则|AB|＝( C )
A．2eq \r(37)B．12
C．2eq \r(35)D．2eq \r(33)
【解析】 由圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝36可知圆心为(2，－3)，半径r＝6，则圆心到直线3x－4y－13＝0的距离d＝eq \f(|6＋12－13|,\r(32＋42))＝1．根据圆的弦长公式可得|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(35)．
(2) (2023·新高考Ⅰ卷)若过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝( B )
A．1B．eq \f(\r(15),4)
C．eq \f(\r(10),4)D．eq \f(\r(6),4)
【解析】 方法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2,0)，半径r＝eq \r(5)．过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B．因为|PC|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，则|PA|＝eq \r(|PC|2－r2)＝eq \r(3)，可得sin∠APC＝eq \f(\r(5),2\r(2))＝eq \f(\r(10),4)，cs∠APC＝eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(6),4)，则sin∠APB＝sin2∠APC＝2sin∠APCcs∠APC＝2×eq \f(\r(10),4)×eq \f(\r(6),4)＝eq \f(\r(15),4)，cs∠APB＝cs2∠APC＝cs2∠APC－sin2∠APC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),4)))2＝－eq \f(1,4)＜0，即∠APB为钝角，所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝eq \f(\r(15),4)．
方法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2,0)，半径r＝eq \r(5)．过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得|PC|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，则|PA|＝|PB|＝eq \r(|PC|2－r2)＝eq \r(3)．因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cs∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cs∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cs∠APB＝5＋5－10cs(π－∠APB)，即3－3cs∠APB＝5＋5cs∠APB，解得cs∠APB＝－eq \f(1,4)＜0，即∠APB为钝角，则csα＝cs(π－∠APB)＝－cs∠APB＝eq \f(1,4)，且α为锐角，所以sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(15),4)．
(例1(2))
方法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2,0)，半径r＝eq \r(5)．若切线斜率不存在，则切线方程为y＝0，圆心到切线的距离d＝2＜r，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则eq \f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝eq \r(5)，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60＞0，设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝eq \r(k1＋k22－4k1k2)＝2eq \r(15)，所以tanα＝eq \f(|k1－k2|,1＋k1k2)＝eq \r(15)，即eq \f(sinα,csα)＝eq \r(15)，可得csα＝eq \f(sinα,\r(15))，则sin2α＋cs2α＝sin2α＋eq \f(sin2α,15)＝1，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sinα＞0，解得sinα＝eq \f(\r(15),4)．
变式1 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1) 求k的取值范围；
【解答】 由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与圆C交于两点，所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))＜1，解得eq \f(4－\r(7),3)＜k＜eq \f(4＋\r(7),3)，所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－\r(7) ,3)，\f(4＋\r(7) ,3)))．
(2) 若eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
【解答】 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0．由韦达定理易得x1＋x2＝eq \f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2)，所以eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8．由题设可得eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1，故圆心C在l上，所以|MN|＝2．
圆与圆
例2 已知圆C：x2＋(y－3)2＝8和动圆P：(x－a)2＋y2＝8交于A，B两点．
(1) 若直线AB过原点，求a；
【解答】 由圆C：x2＋(y－3)2＝8和动圆P：(x－a)2＋y2＝8，可得圆心坐标分别为C(0,3)，P(a,0)，半径都是r＝2eq \r(,2)．因为圆C：x2＋(y－3)2＝8和动圆P：(x－a)2＋y2＝8交于A，B两点，可得圆心距小于半径之和，即|PC|＜4eq \r(,2)，即a2＋9＜(4eq \r(,2))2，解得－eq \r(,23)＜a＜eq \r(,23)．又由两圆相减，可得公共弦AB的方程为－6y＋9＝－2ax＋a2．因为直线AB过原点，可得a2＝9，解得a＝±3，检验成立，所以实数a的值为±3．
(2) 若直线AB交x轴于点Q，当△PQC的面积最小时，求|AB|．
【解答】 由直线AB：－6y＋9＝－2ax＋a2，显然a≠0，令y＝0，即－2ax＋a2＝9，解得xQ＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(9,a)))，即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(9,a)))，0))，则|PQ|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(9,a)))－a))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(9,a)))，所以S△PQC＝eq \f(1,2)|PQ|·3＝eq \f(3,4)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(9,a)))≥eq \f(9,2)，当且仅当a＝±3时取等号，且满足a∈(－eq \r(,23)，eq \r(,23))，此时直线AB：y＝±x．又由圆心C到直线AB的距离为d＝eq \f(3,\r(,2))，所以弦长|AB|＝2eq \r(,8－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(,2))))2)＝eq \r(,14)．
当两圆相交，求公共弦时，消去二次项，得到关于x，y的一次式，进而利用半径、弦长、弦心距的关系式r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2求弦长．
变式2 (1) (2023·海门期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0,0)，点A(0,8)，点M满足|MA|＝eq \r(5)|MO|，又点M在曲线y＝eq \r(－x2＋2x＋4)上，则|MO|＝( B )
A．eq \r(5)B．2eq \r(2)
C．2eq \r(5)D．eq \r(10)
【解析】 设M(x，y)．因为点O(0,0)，点A(0,8)，且|MA|＝eq \r(5)|MO|，所以eq \r(x2＋y－82)＝eq \r(5)·eq \r(x2＋y2)，整理化简得x2＋(y＋2)2＝20．而点M在曲线y＝eq \r(－x2＋2x＋4)上，方程y＝eq \r(－x2＋2x＋4)平方后，整理为一个圆(x－1)2＋y2＝5，所以曲线y＝eq \r(－x2＋2x＋4)为圆(x－1)2＋y2＝5在x轴上方部分．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(－x2＋2x＋4)，,x2＋y＋22＝20，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2，,x＝2，))即M(2,2)，所以|MO|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)．
(2) (2023·诸暨三模)已知圆C1：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(105),2)))2＝eq \f(81,4)，圆心为C2(－2,0)，C3(4,0)的圆分别与圆C1相切．圆C2，C3的公切线(倾斜角为钝角)交圆C1于A，B两点，则线段AB的长度为( B )
A．eq \f(3,4)B．eq \f(3,2)
C．3D．6
【解析】 如图，由已知圆C1：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(105),2)))2＝eq \f(81,4)的圆心为C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(105),2)))，半径为r1＝eq \f(9,2)．设C2，C3的半径为r2，r3，由题意知圆C2，C3与C1需外切，否则圆C2，C3无公切线或公切线(倾斜角为钝角)与圆C1无交点．由题意知|C1C2|＝eq \r(－22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(105),2)))2)＝eq \f(11,2)，即r1＋r2＝eq \f(9,2)＋r2＝eq \f(11,2)，所以r2＝1；|C1C3|＝eq \r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(105),2)))2)＝eq \f(13,2)，即r1＋r3＝eq \f(9,2)＋r3＝eq \f(13,2)，所以r3＝2，故圆C2：(x＋2)2＋y2＝1，圆C3：(x－4)2＋y2＝4．设圆C2，C3的公切线方程为y＝kx＋b(k＜0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(|－2k＋b|,\r(1＋k2))＝1，,\f(|4k＋b|,\r(1＋k2))＝2，))解得k＝－eq \f(\r(3),3)，b＝0，即y＝－eq \f(\r(3),3)x．因为C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(105),2)))到y＝－eq \f(\r(3),3)x的距离为d＝eq \f(\f(\r(105),2),\r(1＋\f(1,3)))＝eq \f(3\r(35),4)，故|AB|＝2eq \r(r\\al(2,1)－d2)＝2eq \r(\f(81,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(35),4)))2)＝eq \f(3,2)．
(变式2(2))
隐形圆问题
例3 (1) 在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围为__[－5eq \r(2)，1]__．
【解析】 设点P(x，y)，由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，即(x＋6)2＋(y－3)2≤65，表示点P在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部(含边界)．又点P在圆O上，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋62＋y－32＝65，,x2＋y2＝50，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝－5))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝7，))结合圆O的最左边点为(－5eq \r(2)，0)，所以点P横坐标的取值范围是[－5eq \r(2)，1]．
(2) 已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝eq \r(2)|PT|，则实数k的取值范围是__eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(7) ,7)，\f(3\r(7),7)))__．
【解析】 由题意知A(－2,0)，C(2,0)，设P(x，y)，则由|PA|＝eq \r(2)|PT|，得|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，化简得(x－6)2＋y2＝36，所以满足|PA|＝eq \r(2)|PT|的点P在以(6,0)为圆心，6为半径的圆上．由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，所以d＝eq \f(|8k|,\r(k2＋1))≤6，解得－eq \f(3\r(7),7)≤k≤eq \f(3\r(7),7)．
(3) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点A(2,0)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是__eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,7),2)，\f(\r(,7),2)))__．
【解析】 设M(x，y)，因为|MA|2＋|MO|2≤10，所以(x－2)2＋y2＋x2＋y2≤10，化简得x2＋y2－2x－3≤0，则圆C：x2＋y2＋2x－1＝0与圆C′：x2＋y2－2x－3＝0有公共点，两圆公共弦所在直线的方程为x＝－eq \f(1,2)，代入x2＋y2－2x－3≤0，可得－eq \f(\r(,7),2)≤y≤eq \f(\r(,7),2)．
(4) 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是互相垂直的单位向量，且(a－c)·(eq \r(3)b－c)＝1，那么|c|的最大值是__eq \r(2)＋1__．
【解析】 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，eq \r(3)b－c＝(－x，eq \r(3)－y)．由题意得－x(1－x)－y(eq \r(3)－y)＝1，整理得x2＋y2－x－eq \r(3)y－1＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3) ,2)))2＝2，它表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))为圆心，eq \r(2)为半径的圆，则|c|表示该圆上的点到原点(0,0)的距离，从而|c|max＝eq \r(2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝eq \r(2)＋1．
发现隐圆的主要方法：
(1) 由定义可以判断(动点到定点的距离为定值)；
(2) 由两定点A，B，动点P满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝λ(λ是常数)，求出点P的轨迹方程确定圆；
(3) 由两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定圆；
(4) 由两定点A，B，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝λ(λ＞0，λ≠1)，确定圆(阿波罗尼斯圆)．
随堂内化
1．(2023·邢台期末)已知圆C：x2＋y2＝25与直线l：3x－4y＋m＝0(m＞0)相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为( D )
A．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
B．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
C．(x＋6)2＋(y－8)2＝16
D．(x＋6)2＋(y－8)2＝25
【解析】 由圆C：x2＋y2＝25的圆心为原点O，半径为5．又圆C与直线l相切，则点O到直线l的距离为d＝5，则d＝eq \f(m,\r(9＋16))＝5，解得m＝25．设过点O且与l垂直的直线为l0，则l0：4x＋3y＝0, 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝0，,3x－4y＋25＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝4，))得直线l与l0的交点为(－3,4)．设圆心O(0,0)关于点(－3,4)的对称点为(p，n)，由中点公式有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3＝\f(0＋p,2)，,4＝\f(0＋n,2)))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝－6，,n＝8，))所以圆心O(0,0)关于点(－3,4)的对称点为(－6,8)，因此圆C关于直线l对称的圆的方程为(x＋6)2＋(y－8)2＝25．
2．(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是( BD )
A．若圆C2与x轴相切，则m＝2
B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0
D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点
【解析】 因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，m＝±2，故A错误；当m＝－3时，|C1C2|＝eq \r(,1＋12＋3＋32)＝2eq \r(,10)＞eq \r(,11)＋2，两圆相离，故B正确；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2,1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5＜11，故点(2,1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．
3．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq \f(8,5)”的m的一个值__2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一个皆可以))__．
【解析】 设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2eq \r(4－d2)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×d×2eq \r(4－d2)＝eq \f(8,5)，解得d＝eq \f(4\r(5),5)或d＝eq \f(2\r(5),5)．由d＝eq \f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq \f(2,\r(1＋m2))，得eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(4\r(5),5)或eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(2\r(5),5)，解得m＝±eq \f(1,2)或m＝±2．
4．(2023·长沙期末)已知点A(－1,0)，B(2,0)，直线l：kx－y－5k＝0上存在点P，使得|PA|2＋2|PB|2＝9成立，则实数k的取值范围是__eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),15)，\f(\r(15),15)))__．
【解析】 由题意得直线l：y＝k(x－5)，因此直线l经过定点(5,0)．设点P的坐标为(x0，y0)，因为|PA|2＋2|PB|2＝9，所以(x0＋1)2＋yeq \\al(2,0)＋2(x0－2)2＋2yeq \\al(2,0)＝9，化简得xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－2x0＝0，因此点P为x2＋y2－2x＝0与直线l：y＝k(x－5)的交点，所以应当满足圆心(1,0)到直线l的距离小于等于半径，即eq \f(|－4k|,\r(k2＋1))≤1，解得k∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),15)，\f(\r(15),15)))．
基础回归
1．已知圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，那么两圆的位置关系是( B )
A．内含B．相交
C．外切D．外离
【解析】 圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y＋2)2＝22，所以|C1C2|＝eq \r(5)，且2－1＜eq \r(5)＜2＋1，所以两圆相交．
2．(2023·合肥期末)已知圆O：x2＋y2＝r2，直线l：2x＋3y＝r2，若l与圆O相离，则( C )
A．点P(2,3)在l上B．点P(2,3)在圆O上
C．点P(2,3)在圆O内D．点P(2,3)在圆O外
【解析】 由题意知l与圆O相离，则圆心到直线l的距离大于r，即eq \f(|r2|,\r(,22＋32))＝eq \f(r2,\r(,13))＞r，所以r＞eq \r(,13)．由于P(2,3)，因此|OP|＝eq \r(,13)，所以r＞|OP|，则点P(2,3)在圆O内．因为2×2＋3×3＝13＜r2，故点P(2,3)不在直线l上．
3．(多选)设圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列选项中正确的是( ABC )
A．圆A的半径为2
B．圆A截y轴所得的弦长为2eq \r(3)
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
【解析】 把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以圆A的圆心坐标为(1,0)，半径为2，A正确；圆A截y轴所得的弦长为2×eq \r(4－1)＝2eq \r(3)，B正确；圆心(1,0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为(4,4)，半径为3，根据 eq \r(4－12＋42)＝5可知，圆A与圆B相切，D错误．
4．(人A选必一P98习题8)圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为__x2＋y2－x＋7y－32＝0__．
【解析】 设经过两圆交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－28λ－4＝0，圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3,1＋λ)，\f(－3λ,1＋λ)))，将其代入直线x－y－4＝0，解得λ＝－7．所以圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
5．过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))作圆C：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为__x－eq \r(3)y－2＝0__．
【解析】 圆C：x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))2＝1，则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))在圆C上，即点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))为切点，则圆心到切点连线的斜率k＝eq \f(－\f(\r(3),2)－0,\f(1,2)－0)＝－eq \r(3)，可得切线l的斜率kl＝eq \f(\r(3),3)，故切线l的方程为y＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即x－eq \r(3)y－2＝0．
举题固法
目标引领
直线与圆
例1 (1) (2023·云南二模)若直线3x－4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36交于A，B两点，则|AB|＝( C )
A．2eq \r(37)B．12
C．2eq \r(35)D．2eq \r(33)
【解析】 由圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝36可知圆心为(2，－3)，半径r＝6，则圆心到直线3x－4y－13＝0的距离d＝eq \f(|6＋12－13|,\r(32＋42))＝1．根据圆的弦长公式可得|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(35)．
(2) (2023·新高考Ⅰ卷)若过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝( B )
A．1B．eq \f(\r(15),4)
C．eq \f(\r(10),4)D．eq \f(\r(6),4)
【解析】 方法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2,0)，半径r＝eq \r(5)．过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B．因为|PC|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，则|PA|＝eq \r(|PC|2－r2)＝eq \r(3)，可得sin∠APC＝eq \f(\r(5),2\r(2))＝eq \f(\r(10),4)，cs∠APC＝eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(6),4)，则sin∠APB＝sin2∠APC＝2sin∠APCcs∠APC＝2×eq \f(\r(10),4)×eq \f(\r(6),4)＝eq \f(\r(15),4)，cs∠APB＝cs2∠APC＝cs2∠APC－sin2∠APC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),4)))2＝－eq \f(1,4)＜0，即∠APB为钝角，所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝eq \f(\r(15),4)．
方法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2,0)，半径r＝eq \r(5)．过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得|PC|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，则|PA|＝|PB|＝eq \r(|PC|2－r2)＝eq \r(3)．因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cs∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cs∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cs∠APB＝5＋5－10cs(π－∠APB)，即3－3cs∠APB＝5＋5cs∠APB，解得cs∠APB＝－eq \f(1,4)＜0，即∠APB为钝角，则csα＝cs(π－∠APB)＝－cs∠APB＝eq \f(1,4)，且α为锐角，所以sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(15),4)．
(例1(2))
方法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2,0)，半径r＝eq \r(5)．若切线斜率不存在，则切线方程为y＝0，圆心到切线的距离d＝2＜r，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则eq \f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝eq \r(5)，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60＞0，设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝eq \r(k1＋k22－4k1k2)＝2eq \r(15)，所以tanα＝eq \f(|k1－k2|,1＋k1k2)＝eq \r(15)，即eq \f(sinα,csα)＝eq \r(15)，可得csα＝eq \f(sinα,\r(15))，则sin2α＋cs2α＝sin2α＋eq \f(sin2α,15)＝1，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sinα＞0，解得sinα＝eq \f(\r(15),4)．
变式1 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1) 求k的取值范围；
【解答】 由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与圆C交于两点，所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))＜1，解得eq \f(4－\r(7),3)＜k＜eq \f(4＋\r(7),3)，所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－\r(7) ,3)，\f(4＋\r(7) ,3)))．
(2) 若eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
【解答】 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0．由韦达定理易得x1＋x2＝eq \f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2)，所以eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8．由题设可得eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1，故圆心C在l上，所以|MN|＝2．
圆与圆
例2 已知圆C：x2＋(y－3)2＝8和动圆P：(x－a)2＋y2＝8交于A，B两点．
(1) 若直线AB过原点，求a；
【解答】 由圆C：x2＋(y－3)2＝8和动圆P：(x－a)2＋y2＝8，可得圆心坐标分别为C(0,3)，P(a,0)，半径都是r＝2eq \r(,2)．因为圆C：x2＋(y－3)2＝8和动圆P：(x－a)2＋y2＝8交于A，B两点，可得圆心距小于半径之和，即|PC|＜4eq \r(,2)，即a2＋9＜(4eq \r(,2))2，解得－eq \r(,23)＜a＜eq \r(,23)．又由两圆相减，可得公共弦AB的方程为－6y＋9＝－2ax＋a2．因为直线AB过原点，可得a2＝9，解得a＝±3，检验成立，所以实数a的值为±3．
(2) 若直线AB交x轴于点Q，当△PQC的面积最小时，求|AB|．
【解答】 由直线AB：－6y＋9＝－2ax＋a2，显然a≠0，令y＝0，即－2ax＋a2＝9，解得xQ＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(9,a)))，即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(9,a)))，0))，则|PQ|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(9,a)))－a))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(9,a)))，所以S△PQC＝eq \f(1,2)|PQ|·3＝eq \f(3,4)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(9,a)))≥eq \f(9,2)，当且仅当a＝±3时取等号，且满足a∈(－eq \r(,23)，eq \r(,23))，此时直线AB：y＝±x．又由圆心C到直线AB的距离为d＝eq \f(3,\r(,2))，所以弦长|AB|＝2eq \r(,8－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(,2))))2)＝eq \r(,14)．
当两圆相交，求公共弦时，消去二次项，得到关于x，y的一次式，进而利用半径、弦长、弦心距的关系式r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2求弦长．
变式2 (1) (2023·海门期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0,0)，点A(0,8)，点M满足|MA|＝eq \r(5)|MO|，又点M在曲线y＝eq \r(－x2＋2x＋4)上，则|MO|＝( B )
A．eq \r(5)B．2eq \r(2)
C．2eq \r(5)D．eq \r(10)
【解析】 设M(x，y)．因为点O(0,0)，点A(0,8)，且|MA|＝eq \r(5)|MO|，所以eq \r(x2＋y－82)＝eq \r(5)·eq \r(x2＋y2)，整理化简得x2＋(y＋2)2＝20．而点M在曲线y＝eq \r(－x2＋2x＋4)上，方程y＝eq \r(－x2＋2x＋4)平方后，整理为一个圆(x－1)2＋y2＝5，所以曲线y＝eq \r(－x2＋2x＋4)为圆(x－1)2＋y2＝5在x轴上方部分．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(－x2＋2x＋4)，,x2＋y＋22＝20，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2，,x＝2，))即M(2,2)，所以|MO|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)．
(2) (2023·诸暨三模)已知圆C1：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(105),2)))2＝eq \f(81,4)，圆心为C2(－2,0)，C3(4,0)的圆分别与圆C1相切．圆C2，C3的公切线(倾斜角为钝角)交圆C1于A，B两点，则线段AB的长度为( B )
A．eq \f(3,4)B．eq \f(3,2)
C．3D．6
【解析】 如图，由已知圆C1：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(105),2)))2＝eq \f(81,4)的圆心为C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(105),2)))，半径为r1＝eq \f(9,2)．设C2，C3的半径为r2，r3，由题意知圆C2，C3与C1需外切，否则圆C2，C3无公切线或公切线(倾斜角为钝角)与圆C1无交点．由题意知|C1C2|＝eq \r(－22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(105),2)))2)＝eq \f(11,2)，即r1＋r2＝eq \f(9,2)＋r2＝eq \f(11,2)，所以r2＝1；|C1C3|＝eq \r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(105),2)))2)＝eq \f(13,2)，即r1＋r3＝eq \f(9,2)＋r3＝eq \f(13,2)，所以r3＝2，故圆C2：(x＋2)2＋y2＝1，圆C3：(x－4)2＋y2＝4．设圆C2，C3的公切线方程为y＝kx＋b(k＜0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(|－2k＋b|,\r(1＋k2))＝1，,\f(|4k＋b|,\r(1＋k2))＝2，))解得k＝－eq \f(\r(3),3)，b＝0，即y＝－eq \f(\r(3),3)x．因为C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(105),2)))到y＝－eq \f(\r(3),3)x的距离为d＝eq \f(\f(\r(105),2),\r(1＋\f(1,3)))＝eq \f(3\r(35),4)，故|AB|＝2eq \r(r\\al(2,1)－d2)＝2eq \r(\f(81,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(35),4)))2)＝eq \f(3,2)．
(变式2(2))
隐形圆问题
例3 (1) 在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围为__[－5eq \r(2)，1]__．
【解析】 设点P(x，y)，由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，即(x＋6)2＋(y－3)2≤65，表示点P在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部(含边界)．又点P在圆O上，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋62＋y－32＝65，,x2＋y2＝50，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝－5))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝7，))结合圆O的最左边点为(－5eq \r(2)，0)，所以点P横坐标的取值范围是[－5eq \r(2)，1]．
(2) 已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝eq \r(2)|PT|，则实数k的取值范围是__eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(7) ,7)，\f(3\r(7),7)))__．
【解析】 由题意知A(－2,0)，C(2,0)，设P(x，y)，则由|PA|＝eq \r(2)|PT|，得|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，化简得(x－6)2＋y2＝36，所以满足|PA|＝eq \r(2)|PT|的点P在以(6,0)为圆心，6为半径的圆上．由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，所以d＝eq \f(|8k|,\r(k2＋1))≤6，解得－eq \f(3\r(7),7)≤k≤eq \f(3\r(7),7)．
(3) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点A(2,0)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是__eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,7),2)，\f(\r(,7),2)))__．
【解析】 设M(x，y)，因为|MA|2＋|MO|2≤10，所以(x－2)2＋y2＋x2＋y2≤10，化简得x2＋y2－2x－3≤0，则圆C：x2＋y2＋2x－1＝0与圆C′：x2＋y2－2x－3＝0有公共点，两圆公共弦所在直线的方程为x＝－eq \f(1,2)，代入x2＋y2－2x－3≤0，可得－eq \f(\r(,7),2)≤y≤eq \f(\r(,7),2)．
(4) 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是互相垂直的单位向量，且(a－c)·(eq \r(3)b－c)＝1，那么|c|的最大值是__eq \r(2)＋1__．
【解析】 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，eq \r(3)b－c＝(－x，eq \r(3)－y)．由题意得－x(1－x)－y(eq \r(3)－y)＝1，整理得x2＋y2－x－eq \r(3)y－1＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3) ,2)))2＝2，它表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))为圆心，eq \r(2)为半径的圆，则|c|表示该圆上的点到原点(0,0)的距离，从而|c|max＝eq \r(2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝eq \r(2)＋1．
发现隐圆的主要方法：
(1) 由定义可以判断(动点到定点的距离为定值)；
(2) 由两定点A，B，动点P满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝λ(λ是常数)，求出点P的轨迹方程确定圆；
(3) 由两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定圆；
(4) 由两定点A，B，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝λ(λ＞0，λ≠1)，确定圆(阿波罗尼斯圆)．
随堂内化
1．(2023·邢台期末)已知圆C：x2＋y2＝25与直线l：3x－4y＋m＝0(m＞0)相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为( D )
A．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
B．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
C．(x＋6)2＋(y－8)2＝16
D．(x＋6)2＋(y－8)2＝25
【解析】 由圆C：x2＋y2＝25的圆心为原点O，半径为5．又圆C与直线l相切，则点O到直线l的距离为d＝5，则d＝eq \f(m,\r(9＋16))＝5，解得m＝25．设过点O且与l垂直的直线为l0，则l0：4x＋3y＝0, 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝0，,3x－4y＋25＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝4，))得直线l与l0的交点为(－3,4)．设圆心O(0,0)关于点(－3,4)的对称点为(p，n)，由中点公式有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3＝\f(0＋p,2)，,4＝\f(0＋n,2)))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝－6，,n＝8，))所以圆心O(0,0)关于点(－3,4)的对称点为(－6,8)，因此圆C关于直线l对称的圆的方程为(x＋6)2＋(y－8)2＝25．
2．(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是( BD )
A．若圆C2与x轴相切，则m＝2
B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0
D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点
【解析】 因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，m＝±2，故A错误；当m＝－3时，|C1C2|＝eq \r(,1＋12＋3＋32)＝2eq \r(,10)＞eq \r(,11)＋2，两圆相离，故B正确；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2,1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5＜11，故点(2,1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．
3．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq \f(8,5)”的m的一个值__2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一个皆可以))__．
【解析】 设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2eq \r(4－d2)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×d×2eq \r(4－d2)＝eq \f(8,5)，解得d＝eq \f(4\r(5),5)或d＝eq \f(2\r(5),5)．由d＝eq \f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq \f(2,\r(1＋m2))，得eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(4\r(5),5)或eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(2\r(5),5)，解得m＝±eq \f(1,2)或m＝±2．
4．(2023·长沙期末)已知点A(－1,0)，B(2,0)，直线l：kx－y－5k＝0上存在点P，使得|PA|2＋2|PB|2＝9成立，则实数k的取值范围是__eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),15)，\f(\r(15),15)))__．
【解析】 由题意得直线l：y＝k(x－5)，因此直线l经过定点(5,0)．设点P的坐标为(x0，y0)，因为|PA|2＋2|PB|2＝9，所以(x0＋1)2＋yeq \\al(2,0)＋2(x0－2)2＋2yeq \\al(2,0)＝9，化简得xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－2x0＝0，因此点P为x2＋y2－2x＝0与直线l：y＝k(x－5)的交点，所以应当满足圆心(1,0)到直线l的距离小于等于半径，即eq \f(|－4k|,\r(k2＋1))≤1，解得k∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),15)，\f(\r(15),15)))．
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