陕西省宝鸡市陈仓区2023--2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份陕西省宝鸡市陈仓区2023--2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的值是（ ）
A．B．1C．D．
2．榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6B．7.5C．8D．12.5
4．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的范围是（ ）
A．B．C．，且D．，且
6．如图，点是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点．已知，，则的长为（ ）
A．6B．12C．9D．4.5
7．如图，小明在M处用高（即）的测角仪测得旗杆顶端B的仰角为，将测角仪沿旗杆方向前进到N处，测得旗杆顶端B的仰角为，则旗杆的高度为（ ）
A．B．C． D．
8．把抛物线C1：y＝x2＋2x＋4先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜3，则（ ）
A．y1＜y2B．y1≤y2C．y1＞y2D．y1＝y2
二、填空题
9．若，则= ．
10．抛物线的顶点坐标为 ．
11．面积为，一条对角线长为，则这个菱形的周长是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点的坐标为 ．

13．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为 ．
14．如图，在中，，P是斜边上的动点，连接于点D，连接．则的最小值是 ．

三、解答题
15．计算：
16．解方程：
17．如图，在△ABC中，，，，求AB的长．

18．如图，已知中，，，点D为边上一点，请用尺规过点作一条直线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：．
20．如图，一次函数图象与反比例函数图象相交于点A和点．
(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)当时，求的取值范围．
21．2023年第19届亚运会在杭州举办，小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C．
(1)小蔡随机抽取一盒，她抽到A的概率为________．
(2)请用列表或画树状图的方法，求小蔡从中随机抽取两盒吉祥物恰是A和C的概率．
22．兴教寺塔(图1)位于陕西省西安市长安区少陵原畔兴教寺内，兴教寺塔并非单指玄奘舍利塔，而是兴教寺唯识宗祖师玄奘及其弟子窥基和圆测的三座灵塔的总称，是中国现存最古老的楼阁式塔．在一次综合实践活动中，某小组对其中最高的玄奘舍利塔进行了如下测量．如图，在处测得塔顶端的仰角为，沿方向移动到处有一棵树，在距地面高的树枝上处，测得塔顶端的仰角为，已知，，点、、在一条直线上．请你帮助该小组计算玄奘舍利塔的高度．结果保留根号

23．某特产专卖店销售一种核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克，当定价多少元时，该店销售核桃获得利润最大，最大利润是多少？
24．如图，在平面直角坐标系中，已知，点P从点O出发，沿方向以2个单位长度/秒的速度运动，点Q从点B出发，沿方向以1个单位长度/秒的速度运动，当点P到点A的位置时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

(1)当t为何值时，的面积为9；
(2)当t为何值时，与相似．
25．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面6m，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离．
(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
(2)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由，
26．问题提出：
（1）如图①，在等边三角形中，，为边上的高，点E为的中点，连接交于点O，则的长为___________；
问题探究：
（2）如图②，在正方形中，，点P为正方形内一点，当时，求的最小值；
问题解决：
（3）如图③，四边形是某现代农业生态园部分平面示意图，其中，，，，米，的中心O是一座有机蔬菜餐厅，生态园的入口M是上的中点，是一条有机蔬菜展览走廊，是一条循环生态河，现需要在边上取点E，上找点P，修建道路，为了节省成本需要修建的道路最短，即的值最小；是否存在这样的点E、P，使得的值最小？若存在请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据特殊角的三角函数值可得答案．
【详解】解：，
故选：A．
2．B
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案．
【详解】解：该几何体的主视图是：
故选：B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3．A
【分析】根据题意画出图形，然后根据三角函数的知识进行解答即可．
【详解】解：如图
∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知正弦的定义：对边比斜边，是解本题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于2，就在函数图象上．
【详解】解：，
A、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不合题意；
D、，本选项不合题意．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查根的判别式．根据方程有两个不相等的实数根得到，结合一元二次方程的二次项系数不为0，列出不等式进行求解即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：且，
解得：，且；
故选D．
6．C
【分析】由，，可得，，根据菱形的性质，可得，，列出比例关系，可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，求出，得到是等腰三角形，从而求出的长，然后在中，求出的长，然后求出的长．
【详解】如图，
∵，
∴，
∴米，
在中，，
即米，
∴
故选：D
8．C
【分析】根据抛物线C1得到抛物线C2的对称轴为直线x=3，根据抛物线的增减性得到答案．
【详解】解：∵y＝x2＋2x＋4=＝（x+1）2＋3，
∴抛物线C1：y＝x2＋2x＋4先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2的对称轴为直线x=3，抛物线的开口向上，
∴当x<3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜3，
∴y1＞y2，
故选：C．
【点睛】此题考查了抛物线的性质：增减性，对称轴，开口方向，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．
【分析】利用分式运算法则，进行计算即可解答.
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了分式的相关运算，属于基础题，解题的关键就是把目标式子转化为已知式子.
10．
【分析】本题考查了二次函数的顶点式；根据抛物线的顶点式可直接得出答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
11．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线的长度，再根据勾股定理可求出边长，继而可求出周长．
【详解】解：如图所示：
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，，，
∴，
在中，，
∴
∴菱形的周长．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
12．
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．先求解相似比为，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，
∴与的位似比为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标，即，
故答案为：．
13．
【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值．
【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点，
∴两点关于原点对称，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴，
又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点，
∴，解得，
∵该反比例函数图像在二、四象限，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键．
14．2
【分析】取中点M，连接，由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理求出的长，由三角形的三边关系即可求出的最小值．
【详解】解：取中点M，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最小值是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，勾股定理，关键是通过作辅助线构造，应用三角形的三边关系定理求的最小值．
15．
【分析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，零指数幂和负指数幂以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
16．，
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
或，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．
17．AB=9+4.
【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=，AD=9，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．

∵在Rt△CDA中，∠A=30°，
∴CD=AC•sin30°=3，AD=AC×cs30°=9，
∵在Rt△CDB中，
∴BD===4．
∴AB=AD+DB=9+4.
【点睛】本题考查了解直角三角形．解题时，通过作CD⊥AB于D构建Rt△ACD、Rt△BCD是解题关键．
18．见解析
【分析】本题考查作图复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．作出的角平分线即可解决问题．
【详解】解：作的角平分线交于，直线即为所求．
19．证明见解析
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键．
【详解】证明：∵，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
20．(1)，反比例函数的解析式为
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题
（1）把分别代入一次函数与反比例函数，即可求出的值和反比例函数的解析式；
（2）先求出点坐标，再根据图象即可得到时的取值范围．
【详解】（1）解：一次函数与反比例函数相交于点和点，
，，
解得，，
反比例函数的解析式为；
（2）解：解方程组，得或，
，
由图象可得当或时，．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，理解题意，正确画出树状图或者正确列出表格，掌握概率的公式是解题关键．
（1）根据概率公式进行计算求解；
（2）理解题意的基础上，分清此题属于“不放回”问题，从而画树状图分析求解．
【详解】（1）解：共3种等可能结果，小蔡随机抽取一盒，她抽到A的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是和的结果有2种，
∴小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是和的概率为．
22．玄奘舍利塔的高度为．
【分析】过点作，则四边形是矩形，设．在中，求得，在中，求得根据，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解∶过点作，则四边形是矩形．
设．在中，
，
四边形是矩形，
，
．

在中，


解得

故玄奘舍利塔的高度，为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
23．定价55元时，该店销售核桃获得利润最大，最大利润是2250元．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，利用二次函数的性质，求最值即可．正确的列出二次函数关系式，是解题的关键．
【详解】解：设每千克核桃应降价元，每天的总利润为元，则平均每天的销售量是千克，
，
当时，定价（元），最大，且（元），
答：当定价55元时，该店销售核桃获得利润最大，最大利润是2250元．
24．(1)当时，的面积为9
(2)或时，与相似
【分析】本题考查了一元二次方程、相似三角形的性质在动态几何中的应用．抓住动点的运动起点、运动方向和运动速度是解题关键．
（1）根据题意分别表示出，即可建立一元二次方程求解；
（2）根据，分类讨论和两种情况即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由题意知：，
∵的面积为9，
∴，
解得：，
即当时，的面积为9
（2）解：∵，
∴与相似时，有和两种情况，
①当时，，解得：
②当时，时，解得：
当或时，与相似．
25．(1)此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
(2)此船不能通过桥洞．理由见解析
【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可；
（2）求出当时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，，
设抛物线解析式为，
把代入解析式得，，
解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）解：此船不能通过，理由：
当时，，
解得或，
∵，
∴此船不能通过桥洞．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
26．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，通过解直角三角形可得由可得结论；
（2）过点作作点关于点的对称点，求出与的距离，可得由勾股定理得，根据“两点之间，线段最短”知的最小值为；
（3）作点关于的对称点，连接可知由“两点之间，线段最短”可知的最小值为再证明是直角三角形，由勾股定理求出即可
【详解】解：（1）是等边三角形，
是边上的高，
∵点是边的中点，
是边的中线，
在中，
在中，
，
，
故答案为：；
（2）过点作交于点，交于点，过点作，交于点，则四边形是矩形，
∵
作点关于点的对称点，连接此时由“两点之间，线段最短”可知的最小值为
在中，
由勾股定理得，
的最小值为；
（3）作点关于的对称点，连接则交于点交于点则有
由“两点之间，线段最短”可知的最小值为
是等边三角形，
又等边的中心，
连接则平分
，
，
是直角三角形，
为的中点，
是等边三角形，
由（1）的方法可得
在中，
最小值为
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键