2024汉中汉台区高三上学期1月期末考试数学（文）含答案

这是一份2024汉中汉台区高三上学期1月期末考试数学（文）含答案，共8页。

注意事项：
1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟．
2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ ）
1．已知复数（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
2．设全集，集合，，则的值为（ ）
A． B． C．和 D．2
3．设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．某工厂生产，，三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本．若样本中型号的产品有20件，则样本容量为（ ）
A．50 B．80 C．100 D．200
5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．或
6．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方体中，为线段AC的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．若实数，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．在三棱锥中，已知底面ABC，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．若函数在区间恰有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面向量，，若，则_______．
14．一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，则当你到达该路口时，看见黄灯的概率为________．
15．已知为第二象限角，满足，则_________．
16．过四点、、、中的三点的一个圆的方程为_________．（写出一个即可）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
设等差数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求．
18．（本小题满分12分）
大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：
并计算得，．
（Ⅰ）估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；
（Ⅱ）求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）．
附：相关系数；．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）求证：．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积．
（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为4．
（Ⅰ）写出的一个参数方程；
（Ⅱ）直线与相切，且与轴和轴的正半轴分别交于A，B两点，若，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围．
2024届高三第四次校际联考
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．D 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．
16．（或，或，或）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，
∵，，∴解得，，
故． （6分）
（Ⅱ）∵，∴，，，
∴
． （12分）
18．解：（Ⅰ）样本中10个这种零件的横截面积的平均值，
样本中10个这种零件的耗材量的平均值，
由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为，平均一个零件的耗材量为． （6分）
（Ⅱ）
． （12分）
19．解：（Ⅰ）证明：∵，，
∴，∴，
∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，
又，∴平面，
又平面ACE，∴平面平面． （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，
∴AC为三棱锥的高，且，
又，∴． （12分）
20．解：（Ⅰ）∵，∴，
当时，，当时，，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为，
∴的极小值为，无极大值． （6分）
（Ⅱ）证明：设函数，
则，，
易得在上单调递增，且，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴，故，
即得证． （12分）
21．解：（Ⅰ）由题意，焦距为，∴，
又离心率，∴，
再由，得，∴椭圆的标准方程为：． （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：左焦点为，直线的方程为：，设，，
联立整理可得：，
显然，且，，
由弦长公式得，
又点到直线AB的距离，
∴． （12分）
（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．解：（Ⅰ）由题意可知，的标准方程为，
∴的一个参数方程为（为参数）． （5分）
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率为，设其方程为，即，
∵圆心到直线的距离为4，∴，
化简得，解得，或，
∴直线的直角坐标方程为或，
根据得直线的极坐标方程为或． （10分）
23．解：（Ⅰ）
由，得，∴不等式的解集为． （5分）
（Ⅱ）二次函数，
故知函数在处取得最大值，
又在处取得最小值2，
∴要使二次函数与函数的图象恒有公共点，
只需，即． （10分）
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
零件的横截面积
0.03
0.05
0.04
0.07
0.07
0.04
0.05
0.06
0.06
0.05
0.52
耗材量
0.24
0.40
0.23
0.55
0.50
0.34
0.35
0.45
0.43
0.41
3.9