陕西省汉中市校际联考2023-2024学年高三上学期期末考试理科数学试卷

这是一份陕西省汉中市校际联考2023-2024学年高三上学期期末考试理科数学试卷，共13页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，在等比数列中，，则，执行如图所示的程序框图，输出的，已知，则，已知为奇函数，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
第I卷
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，则（ ）
A. B.
C. D.
2.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，则（ ）
A. B. C.16 D.8
5.某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.2 B.4 C. D.
6.执行如图所示的程序框图，输出的（ ）
A.18 B.22 C.25 D.
7.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知为奇函数，则（ ）
A.-14 B.14 C.-7 D.7
9.如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（ ）
A. B. C. D.3
10.下图是由两个边长不相等的正方形构成的，在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知是球的直径上一点，平面为垂足，截球所得截面的面积为为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量满足，则__________.
14.若满足约束条件则目标函数的最大值为__________.
15.已知函数.若存在，使不等式成立，则的取值范围是__________.
16.某网店统计了商品近30天的日销售量，日销售量依次构成数列，已知，且，则商品近30天的总销量为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
在三棱锥中，.
（1）证明：.
（2）若，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18.（12分）
的内角的对边分别为，已知的周长为.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
19.（12分）
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于60分，则被认定为成绩合格，低于60分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取5人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.
20.（12分）
已知椭圆经过两点.
（1）求的方程；
（2）斜率不为0的直线与椭圆交于两点，且点不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求.
21.（12分）
已知函数.
（1）求的极值；
（2）已知，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数），（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和的极坐标方程；
（2）已知直线，且与曲线相交于两点，与曲线相交于两点，则当取得最大值时，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
汉中市高三校际联考
数学试题参考答案（理科）
1.B ，所以.
2.D 依题意得或，则.
3.D 由题意可知，所以.
4.A 设等比数列的公比为，则，即，
由，可得，即，所以.
5.D 设圆锥的母线长为，底面半径为，即侧面展开图的半径为，侧面展开图的弧长为.又圆锥的底面周长为，所以，即圆锥的母线长.所以圆锥的侧面积为，解得.
6.C 执行该程序框图，成立，成立，成立，，不满足，输出的.
7.D 因为，所以，因为，所以，故.
8.C 因为为奇函数，所以，即，所以，所以.
9.D 由，可得，即，所以.
10.A 设，从而，因为，所以，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.
11.C 如图，设截得的截面圆的半径为，球的半径为，因为，
所以.由勾股定理，得，由题意得1，所以，解得，
此时过点作球的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.设球心到所求截面的距离为，所求截面的半径为，则，
所以只需球心到所求截面的距离最大即可，而当且仅当与所求截面垂直时，球心到所求截面的距离最大，即，所以.
12.B 当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以，由题可知恒成立，即.令，则，所以在上单调递增，由，可得，即，所以，所以，当时，，不符合题意，故的取值范围是.
13. .
14.12 画出可行域（图略）知，当平移到过点时，取得最大值，最大值为12.
15. 当时，，则，所以，因此在上的值域为.若存在，使不等式成立，则，所以的取值范围是.
16.1020 当时，，当时，，所以，所以.
17.（1）证明：取的中点，连接.
因为，所以，
又因为平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）解：因为平面平面，且平面平面，
，所以平面.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图
所示的空间直角坐标系，设，则，
.
设平面的法向量为，
则取，则，所以，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.解：（1），
即.
因为的周长为6，所以，
解得.
（2）由（1）可知.
，当且仅当时，等号成立.
故当时，取得最大值.
19.解：（1）100份样本数据的平均值为
（2）竞赛成绩不低于60分的频率为，
低于60分的频率为.
的所有可能取值为，则，
所以的分布列为
期望.
20.解：（1）因为椭圆过点和点，所以
解得
则椭圆的方程为.
（2）当直线轴时，为钝角三角形，且，不满足题意.
设，由，可得，
所以，
所以直线的斜率存在.设直线的方程为，
由化简得，
.
，
所以
，
则，
整理得，因为，所以，
所以直线的方程为，恒过点.
由题意可知，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
21.（1）解：，令，可得.
令，可得，
所以在上单调递增，在和上单调递减.
所以的极大值为的极小值为.
（2）证明：由，可得，
所以.
由对称性，不妨设，则，当且仅当时，等号成立，
所以.
由（1）可知在上的最大值为，
所以，当且仅当时，等号成立，因为等号不能同时取到，所以.
22.解：（1）由得，即，
将代入上式，得.
由得，即，
将代入上式，得，
即曲线和的极坐标方程分别为.
（2）由题可设直线的极坐标方程为，
将代入，得，
将代入，得，
所以，
当时，取得最大值.
此时.
23.解：（1）若，则，解得，故；
若，则，解得，故无解；
若，则，解得，故.
故不等式的解集为或.
（2）
可知，故，即实数的取值范围为.0
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