2024年1月“九省联考”数学试题带来的备考启示

这是一份2024年1月“九省联考”数学试题带来的备考启示，共38页。试卷主要包含了数学试题不分文理，题型结构发生变化，题目分值发生巨大变化，客观选择题考查内容比较，客观填空题考查内容比较，主观题考查内容比较， AC【解析】， BCD等内容，欢迎下载使用。
--2024年1月 “九省联考”数学试题带来的备考启示
命制背景和试题定位
2024年1月19日至1月21日，江西、安徽、黑龙江、甘肃、吉林、贵州、广西壮族自治区等第四批高考综合改革省份将要首考落地，为实现平稳过渡，相关省份组织进行了一场盛大联考——高考改革适应性演练测试，称之七省联考，后加入河南、新疆（或者称之为“九省联考”）参考考试人数为万众瞩目的410万人。
2024年适应性测试数学试卷由教育部教育考试院命制，试题遵循中国高考评价体系规定的考查内容和要求，充分发挥高考的核心功能，深化必备知识和关键能力的考查。试卷合理控制难度，与以往全国卷相比，减少试题数量，适度降低计算量，加强思维考查力度，试题设计追求创新，打破固化形式，有利于充分发挥服务人才选拔的功能。本次考试的突出变化如下：
1.数学试题不分文理。新高考改革第四批七省区将于2024年进入文理不分科的数学新高考模式。
2.题型结构发生变化。最明显的一个变化是题目数量的减少，全卷由过去的22个题减少到19个题。其中单项选择题数量不变，还是8个小题，多项选择题、填空题和解答题各减少1个小题，多项选择题和填空题分别由4个小题减少到3个小题，解答题由6个小题减少到5个小题，考生的作答时间随之变得更加充分。
3.考题的顺序安排也打破常规，有所变化。2024年测试卷的试卷结构特点是灵活、科学地确定试题的内容、顺序和难度。
4.题目分值发生巨大变化。最后两个压轴题保持较高的难度、能力要求和思维要求，以保持对高分段考生良好的区分，并且分值由过去的12分增加到17分，占分比例和重要性显著增加。由于整体难度的调整，考查思路的变化，需要考生灵活运用数学工具去分析、解决问题，综合考查考生的逻辑推理能力，对考生运用所学知识找到合理的解题策略提出了较高要求，突出了选拔功能。
传达信号意图解读
1.调整试卷结构的主要目的是给学生更多的思考时间，从而加强对思维能力的考查。总题数从22个变成了19个，减少了13.6%。除单选题的个数和分数（8个，40分）不变外，其他题型在个数和分数上均有所调整，将原来的4个多选题（20分）、4个填空题（20分）、6个解答题（70分）分别减少为3个多选题（18分）、3个填空题（15分）、5个解答题（77分），其中只有解答题增加了分数。由于调整试卷结构以后整卷题量减少，更有利于考生发挥创新能力——特别是在解答题中加强对思维的考查，也有利于提升压轴题的思维量与难度，注重考查思维过程和思维品质，服务拔尖创新人才选拔。
2.与以往试题相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。以往压轴的函数试题在测试卷安排在解答题的第1题，难度大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。这些变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作用。
3.引导考生“多想少算”，有利于考查理性思维和核心素养的水平。符合国家对高考改革的要求。 数学高考一直强调“多想一点，少算一点”的理念，从重考查知识回忆向重考查思维过程转变。在测试卷中，这一理念在解析几何的考核中体现得极其充分。这样的命题方式提醒考生“多想少算”，考查了思维能力，有效地避免了以前在解析几何的考核中计算量“居高不下”的现象，并且在考查考生数学运算素养的同时也考查了逻辑推理素养，也比较自然地体现了各核心素养的交融性。
4.引导考生从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，建构高中数学的知识体系。2024年测试卷各个主题的题目数量和分值比例大致与课程标准规定的课时一致（函数、几何与代数、概率与统计分别约占40%、40%、20%），符合课程标准的要求：在数学高考的命题中，要关注试卷的整体性和内容的分布。测试卷题目的设置层次递进有序，难度结构合理，大部分为常规题目。中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现了良好的区分性。第1、2、3、4、10、12、15题（共44分）属于简单题，主要考查基本概念和基本运算。特别是，第1题考查样本数据的中位数，第10题考查复数的共轭运算，既是基本内容，又略显新颖。
5.客观选择题考查内容比较
6.客观填空题考查内容比较
7.主观题考查内容比较
七省联考（“九省联考”）数学试题考查问题的特点
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【考查目标】样本数据中位数
【解题思路】排序再找中位数
【命题考向趋势】样本数据涉及到的概念【备考复习建议】样本数据相关概念
1.B 【解析】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.
2．椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．2
【考查目标】椭圆性质、离心率
【解题思路】 a、b、c关系及离心率公式
【命题考向趋势】椭圆的基本性质
【备考复习建议】灵活掌握椭圆基本性质
2.A【解析】由题意得，解得，
【知识链接】椭圆离心率专题
求离心率常用公式公式1：e
公式2:
公式3:已知椭圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形
,则椭圆的离心率e
证明,
由正弦定理得
由等比定理得,即
e
公式4:以椭圆两焦点及椭圆上任一点除长轴两端点外)为
顶点,则e
证明：由正弦定理有
公式5:点是椭圆的焦点，过的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线
AB的斜率，且,则e当曲线焦点在轴上时，e
注或者而不是或
3．记等差数列的前项和为，则（ ）
A．120 B．140 C．160 D．180
【考查目标】等差数列通项公式及前n项和公式
【解题思路】公式应用
【命题考向趋势】等差数列通项公式及前n项和公式综合运用
【备考复习建议】对等差数列通项公式及前n项和公式的理解
3. C【解析】因为，所以，所以，
所以
【知识链接】
1.等差数列的前项和公式
公式一
证明: (倒序相加法) ①,②, 由①+②得, 因为 , 所以 , 由此得
公式二:
证明: 将 代入 可得 .
2.前项和与函数关系
由, 令 ,则 ;
为常数).
当即时,是关于的一个一次函数;它的图像是 在直线上的一群孤立的点.
(2) 当即时,是关于的一个常数项为零的二次函数;它的图像是在抛物线上的一群孤立的点.
①当时,有最小值;
②当时,有最大值.
4．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【考查目标】空间线面的位置关系
【解题思路】空间线面位置关系简图或利用周边环境想象思考【命题考向趋势】空间线面的位置关系
【备考复习建议】理解空间线面位置关系
C【解析】对于A，可能平行，相交或异面，故A错误，
对于B，可能相交或平行，故B错误，
对于D，可能相交或平行，故D错误，
由线面平行性质得C正确，
5．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
【考查目标】排列组合
【解题思路】先排乙丙，再排甲
【命题考向趋势】排列组合应用【备考复习建议】排列组合灵活应用
5. B【解析】因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位，
①当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，
所以有种方法；
②当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，
所以有种方法；
由分类加法计数原理可知，一共有种排法，
【知识链接】
一、分类与计数原理
1、分类加法计数原理的概念
完成一件事可以有n类方案，各类方案相互独立，在第一类方案中m1种不同方法，在第二类方案中m2种不同方法⋯在第n类方案中mn种不同方法，那么完成这个件事共有N=m1+m2+⋯+mn种方法.
2、分步乘法计数原理的概念
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法⋯做第n步有mn种方法，那么，完成这个件事共有N=m1×m2×⋯×mn种方法.
3、两个计数原理的联系与区别
二、排列与排列数
1.排列与排列数：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按一定顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示.
2.排列数公式：Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)⋯(n-m+1)= n!(n-m)!（n、mϵN*且m≤n）.n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个的一个全排列.这个公式中m=n，即有
Ann= n!=nn-1n-2n-3⋯2×1.规定：0!=1.
三、组合与组合数
1.组合与组合数：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示.
2.组合数公式：Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)(n-3)⋯(n-m+1)m!= n!m!(n-m)!（n、mϵN*且m≤n）.n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个的一个全排列.这个公式中m=n，规定：Cn0=1.
3.组合数性质：
（1）Cnm=Cnn-m（n、mϵN*且m≤n）；
（2）=+（n、mϵN*且m≤n）；
【变式】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所有数字只有0和1则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）
A.10 B.11 C.12 D.15
【答案】 B
【解析】 当与信息0110对应位置上的数字各不相同时，这样的信息个数只有1个；当与信息0110对应位置上的数字只有1个相同时，这样的信息个数只有4个；当与信息0110对应位置上的数字只有2个相同时，只需从四个位置中选出两个位置使相应的数字相同，有种方法，剩下的两个位置上的数字对应不相同，只有1种可能，故此时共有个不同的信息.根据分类原理知共有：1+4+=11个不同信息.故选B.
6．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线
C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线
【考查目标】平面向量的坐标运算、平行线间的距离公式
【解题思路】先确定动点Q的坐标，再设点P,利用向量坐标运算建立等量关系，求出Р的轨迹E再用平行线间的距离公式求解即可
【命题考向趋势】平面向量的坐标运算、平行线间的距离公式【备考复习建议】平面向量的坐标运算、点到直线距离公式
6. C【解析】设，由，则，
由在直线上，故，
化简得，即轨迹为为直线且与直线平行，
上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.
【点评】将轨迹方程、平面向量的坐标运算、直线与直线的位置关系、两条平行直线间的距离公式等知识综合起来，考查直线与直线的位置关系、两条平行直线间的距离公式等基础知识、基本方法的理解和掌握。该题立足基础知识，计算量小，强调知识之间的综合和应用，很好检测了考生的知识体系和认知结构，有良好导向性，发挥了服务选才功能。
7．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
【考查目标】三角函数诱导公式
【解题思路】三角函数诱导公式化简，注意定义域【命题考向趋势】三角函数诱导公式化简
【备考复习建议】三角函数诱导公式灵活运用
7. A【解析】由题，
得，
则或，
因为，所以，
.
【点评】以简单三角恒等变换公式和同角三角函数关系为载体，该题题干简洁，注重基础，难度适中，考查考生对基础知识的理解、掌握及灵活应用。
【知识链接】
1.两角和与差的余弦
变形
变形
2.两角和与差的正弦
变形
变形
3.两角和与差的正切
；变形：
；；
.
【变式】已知,则（ ）
A.B.C.D.
[答案]
【解析】因为,所以,所以,故选.
8．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【考查目标】双曲线离心率与向量的结合
【解题思路】双曲线与向量的结合
【命题考向趋势】双曲线与平面向量有机结合
【备考复习建议】双曲线与平面向量有机结合
8.D【解析】由双曲线的对称性可知，
，有四边形为平行四边形，
令，则，
由双曲线定义可知，故有，
即，即，，
，则，即，故，则有，
即，即，则，由，故.
【点评】以双曲线为载体，考查双曲线、向量的基本概念和性质。该题深入考查逻辑思维能力、运算求解能力和数形结合思想，强调对知识的综合理解和灵活应用的能力。试题符合高中数学课程标准的基本要求，很好引导中学教学。需要从双曲线的定义出发进行分析，对直观想象与数学运算能力有一定要求。
【知识链接】双曲线的离心率专题
求离心率常用公式公式1：e=
公式2:
公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形
,则e=
证明,
由正弦定理得：
由等比定理得：即e
公式4:以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点除实轴
上两个端点外)为顶点的,则离心率e=
证明：由正弦定理，有
即e
公式5:点是双曲线焦点，过弦$AB$与双曲线焦点所在轴夹角为为直线
AB斜率，,则e
当曲线焦点在轴上时，e
注或者而不是或
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数 B．曲线的对称轴为
C．在区间单调递增 D．的最小值为-2
【考查目标】三角函数化简、三角函数图像性质
【解题思路】三角函数化简再结合图象分析【命题考向趋势】三角函数的图象性质
【备考复习建议】三角函数图象性质灵活运用
9. AC【解析】
，
即，
对于A，，易知为偶函数，所以A正确；
对于B，对称轴为，故B错误；
对于C，，单调递减，则
单调递增，故C正确；
对于D，，则，所以，故D错误；
故选：AC
10．已知复数均不为0，则（ ）
A． B． C． D．
10. BCD
【考查目标】复数的运算、共辄复数、复数的模
【解题思路】灵活运用复数的运算、共辄复数、复数的模解决问题【命题考向趋势】较复杂的复数的有关运算
【备考复习建议】灵活掌握复数的四则运算、复数的模、共辄复数
【解析】设、；
对A：设，则，
，故A错误；
对B： ，又，即有，故B正确；
对C：，则，
，，则，
即有，故C正确；
对D：
，
， 故，故D正确.
【点评】以复数为载体，考查复数、共轭复数和复数的模的概念及复数的代数运算，强调对高中数学基本概念、基本运算的掌握，体现了课程标准对复数学习的要求，较好引导复数教学，考查学生逻辑思维能力和运算求解能力。
【知识链接】
1.复数的定义
形如的数叫复数，其中叫复数的实部，叫复数的虚部，为虚数单位且规定.
要点诠释：（1）因为实数可写成，所以实数一定是复数；
（2）复数构成的集合叫复数集，记为
2.虚数单位的周期性
计算得 , 继续计算可知 具有周期性, 且最小正周期为 4 , 故有如下性质：
(1) ;
(2) .
3.复数核心运算
1.运算律：
2.模的性质:.
3.重要结论：
(1)
(2);
(3)或.
11．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是减函数
【考查目标】抽象函数性质
【解题思路】特殊值带入寻找解题路径【命题考向趋势】抽象函数变化
【备考复习建议】理清抽象函数的特点属性
11. ABD 【解析】令、，则有，
又，故，即，
令、，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
令，则有，
即，故函数是奇函数，
有，即，
即函数是减函数，
令，有，
故B正确、C错误、D正确.
【点评】解答过程应该是由题目条件得到f(0)=−1，再进一步得到f(-1/2)=0，由此导出f(x-1/2)的表达式，最后得到f(x)的表达式。有关抽象函数的试题很多都是在奇偶性、周期性的基础上设计，类似题目多了难以避开程式化的误区。第11题设计新颖，叙述简洁，选项设置符合题目内在逻辑，且形式优美对称，是试题规范性的极好示例。
【知识链接】
1.周期概念理解
1.定义:设的定义城为,若对,存在一个非零常数,有,则称函数是一个周期函数,称为的一个周期.
2.若是一个周期函数,则,那么,即也是的一个周期,进而可得也是的一个周期.
3.最小正周期:若为的一个周期, 也是的一个周期,则在某些周期函数中,往往存在周期中最小的正数,称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数就没有最小正周期.
2.常见周期性结论
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，若，则的最小值为__________．
【考查目标】集合交集运算、不等式
【解题思路】集合交集运算、不等式【命题考向趋势】集合相关运算
【备考复习建议】灵活掌握集合相关运算
12. 【解析】由，故， 由，得，
故有，即，即， 即的最小值为.
【点评】将集合、不等式、最值等知识有机结合起来，不仅考查了考生对集合的表示方法、集合的交集运算性质、集合间的关系、绝对值不等式等基础知识的掌握情况，而且考查了数学中重要的分类和数形结合思想。该题题面简洁，内涵丰富，强调数学知识之间的联系与融合。
【知识链接】
1.集合技巧全攻略
2.集合的互异性
对于一个给定的集合,它的任意两个元素是不能相同的.凡是出现含参数的集合,必须首先考虑集合的互异性,即集合中元苏不相等,例 如集合,则有
3.集合相等
对于两个集合与,如果,且,那么集合与相等,记作.
4.集合子集个数
真子集有个,非空真子集有个.
5.子集与交集
若,则;若,则.
6.子集与并集
若,则;若,则.
7.子集与空集
题目中若有条件,则应分和两种情况进行讨论.
8.并集与空集
由于,因此,中的可以为.
9.反演律（德摩根定律)
(交的补等于补的并)
（并的补等于补的交）
10.容斥原理
用 表示集合中的元素个数(有资料中用或其他符号)，则通过维恩图可理解其具备的二维运算性质.
已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是__________，圆锥的衣而积与球的表面积的比值是__________．
【考查目标】圆锥轴截面概念、圆锥表面积、体积公式、球体表面积、体积公式
【解题思路】根据题设条件建立等量关系
【命题考向趋势】圆锥轴截面概念、表面积、体积公式，球体体积、表面积公式
【备考复习建议】球体、锥体表面积、体积公式运用
13. 答案： ①. ②.
【解析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线，
由题可知：，所以球的半径
所以圆锥的体积为，
球的体积，
所以；
圆锥的表面积，
球的表面积，
所以，
【点评】以圆锥和球为载体，考查简单几何体的体积和表面积公式等基础知识。该题背景熟悉，计算量不大，要求考生能在已有知识的基础上进行推理、运算，融合考查了空间想象、逻辑思维、运算求解等数学关键能力。
【知识链接】
1.多面体的表面积和体积公式
要点诠释：表中表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长
2.旋转体的表面积和体积公式
要点诠释
表中分别表示母线、高，表示圆柱圆锥的底面半径，分别表示圆台的上下底面半径，表示球的半径.
3.公式法
柱体的体积公式：
锥体的体积公式：
台体的体积公式：
球的体积：
5.正四面体与球的组合
正四面体的棱长为，它的高为，体积为，外接球半径为，内接半径为.
6.表面积和体积最值问题
1.求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值.
2.求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值.
3.组合体中的最值问题一般思路：
(1)根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
(2)利用基本不等式或建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数或者导数方法解决.
以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为__________．
14. 或0.2
【考查目标】不等式
【解题思路】最大值变量中的最小值辩证关【命题考向趋势】不等式的灵活运用【备考复习建议】注重概念深层次理解。
【解析】令其中， 所以，
若，则，故，
令，
因此,故,则，
若，则，即，
，
则,故,则，
当时，等号成立，
综上可知的最小值为，
故答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
【考查目标】函数与导数
【解题思路】导数、切线、直线斜率垂直条件、利用导数求解函数的单调性、极值
【命题考向趋势】函数与导数，求单调性、极值
【备考复习建议】利用导数求解函数的单调性、极值
【知识链接】
1.导数的符号与丞数的单调性
一般地，设函数y =f(x)在某个区间内有导数，则在这个区间上，
（1）若f'（x）>0，则f（x）在这个区间上为增函数；
（2）若f'（x）