2023届云南省“333”高三高考备考诊断性联考（二）数学试题含解析

2023届云南省“333”高三高考备考诊断性联考（二）数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数单调性可解不等式求得集合；结合二次函数性质可求得集合；根据交集定义可求得结果.

【详解】由得：，即；

由得：，此时，，即，

.

故选：D.

2．已知复数，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】法一：先计算，再求；

法二：先计算，再求.

【详解】法一：由复数乘法运算得，则，

法二：由，则，

故选：C

3．皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）是十七世纪法国律师和业余数学家．费马曾提出猜想：对任意大于2的正整数n，关于x，y，z的方程没有正整数解．经历了三百多年，1995年英国著名数学家、牛津大学教授安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出了证明，使它成为费马大定理．若三边的长为a，b，c且都为正整数，满足，则一定是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形

【答案】B

【分析】由题意知即可得到答案.

【详解】由题意知，n只能为1或2，由三角形两边之和大于第三边知，故三角形为直角三角形，

故选:B．

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将与1比较确定b最大，再构造函数比较大小.

【详解】因为，所以b最大，故排除选项C，D；

取对数得，

构造函数，则，在上单调递增，故，即，所以，即，所以，

故选：A．

5．函数的图象大致形如（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.

【详解】依题意，

为偶函数，则为偶函数，

又，则.

故选A．

6．三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】所有的涂色方案分3类，利用排列组合求出涂色方法，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.

【详解】所有的涂色方案分3类：

(1)用到三种颜色，为⑤一种颜色，①③同色，②④同色，涂色方法为；

(2)用到四种颜色，为⑤一种颜色，①③不同色，②④同色或⑤一种颜色，①③同色，②④不同色，涂色方法为；

(3)用到五种颜色，涂色方法为；

因此该方案恰好只用到三种颜色的概率是.

故选：B．

7．在梯形中，，,，为的中点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量数量积的运算在AB上的射影为AB中点可得.

【详解】如图，为的中点，连接，

，

，

，

，

所以在上的投影为，

所以,

又因，,所以四边形为矩形.

故，即.

故选：C．

8．已知，使恒成立的有序数对有（    ）

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

【答案】B

【分析】只需恒成立，设当和时，求出函数的最小值即得解.

【详解】由题得函数定义域为，

要想恒成立，即恒成立，

只需恒成立，

只需恒成立，

设，

所以当时，则，使恒成立的b可取1；

所以当，则，使恒成立的b可取1，2，3，

所以一共有共4种.

故选：B．

二、多选题

9．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕.国家统计局2023年1月17日发布了我国2022年居民收入和消费支出情况，根据统计图表如图甲、乙所示，下列说法正确的是（    ）

A．2022年城镇居民人均可支配收入增长额超过农村居民人均可支配收入增长额

B．2022年城镇居民收入增长率快于农村居民

C．从恩格尔系数看，可认为我国在2022年达到富裕

D．2022年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过

【答案】ACD

【分析】对于选项A，从图甲的柱状图分别计算2022年城镇居民、农村居民人均可支配收入增长额即可判断；对于选项B，从图甲的折线图即可看出；对于选项C，从图乙可看出2022年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，再结合题目所给的恩格尔系数的比例即可判断；对于选项D，从图乙可看出2022年食品烟酒和居住占比，相加即可判断.

【详解】对于选项A，从图甲可知，

2022年城镇居民人均可支配收入增长额为，

2022年农村居民人均可支配收入增长额为，

故A正确；

对于选项B，从图甲可知，

2022年城镇居民收入实际增速为，

2022年农村居民收入实际增速为，

故B错误.

对于选项C，从图乙可知，2022年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，属于的范围，故C正确.

对于选项D，从图乙可知，2022年食品烟酒和居住占比为，故D正确.

故选：ACD．

10．已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（    ）

A．周长为8 B．

C．面积为 D．

【答案】AD

【分析】根据椭圆方程，求出对应的，利用几何性质即可得出正确的选项

【详解】由题意，在椭圆中，，不妨设在轴上方，

则，，

所以，故B错；

的周长为，A正确；

设，

在中，

得，

所以，D正确；

，

所以，

故C不正确，

故选：AD．

11．将函数向左平移个单位，得到函数，下列关于的说法正确的是（    ）

A．关于对称

B．当时，关于对称

C．当时，在上单调递增

D．若在上有三个零点，则的取值范围为

【答案】ABC

【分析】，故选项A正确；当时，，是函数的最小值，故选项B正确；，所以在上单调递增，故选项C正确；得，所以，所以，故选项D错误.

【详解】，当时，得，，故选项A正确；

当时，，是函数的最小值，所以关于对称，故选项B正确；

当时，，得，所以在上单调递增，故选项C正确；

由，得，由于在上有三个零点，所以，所以，故选项D错误.

故选：ABC．

12．在正三棱锥中，，D为PC的中点，以下四个结论中正确的是（    ）

A．若平面ABD，则二面角余弦值为

B．若平面ABD，则三棱锥的外接球体积为

C．若，则三棱锥的体积为

D．若，则三棱锥的外接球表面积为

【答案】ABD

【分析】平面ABD，根据等边三角形三线合一的性质可判断出为正四面体形，根据正四面体形性质判断即可；，可判断出为PA，PB，PC两两垂直的正三棱锥，将其还原到正方体中即可计算判断.

【详解】A，B选项中，如图，因为平面ABD，所以 AD， BD，

因为D为PC的中点，所以，，

所以正三棱锥为正四面体，

设中点为E，则二面角的平面角为，

，，，根据余弦定理可知，

根据正四面体形外接球半径公式可知，外接球半径，

则外接球体积为，故A，B正确；

C，D选项中，根据条件可知，正三棱锥为PA，PB，PC两两垂直的正三棱锥，

所以体积为，故C错误；

其外接球半径，

故外接球表面积，故D正确.

故选：ABD．

三、填空题

13．函数的单调递增区间为____________．

【答案】/

【分析】通过二次求导，证明当时，，即得解.

【详解】由题得函数定义域为，

所以在上单调递增，又，

所以当时，，

故的单调递增区间为（或）．

故答案为：

14．在的展开式中，的系数为____________．（结果填数字）

【答案】32

【分析】求出的展开式的的系数和的系数，即得解.

【详解】设的展开式通项为，

当时，，的系数为；

当时，，的系数为；

所以的系数为.

故答案为：32

15．，其最大值和最小值的和为____________．

【答案】0

【分析】证明函数是奇函数即得解.

【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称.

所以是奇函数，故其最大值和最小值的和为0．

故答案为：0

16．双曲线的左、右焦点分别为，P为右支上一点，且，的内切圆圆心为I，与切于点A，直线PI交x轴于点Q，若，则双曲线的离心率为____________．

【答案】3

【分析】记c为双曲线半焦距，先求出，再利用双曲线的性质求出的坐标，再结合求解.

【详解】记c为双曲线半焦距，由角平分线定理，得，

设，则，

∴，

∴.

∵，∴，

解得．

故答案为：3.

四、解答题

17．正项数列的前n项和为，已知．

(1)求证：数列为等差数列，并求出，；

(2)若，求数列的前2023项和．

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）将代入递推公式即可求出答案；

（2）将通项公式代入，将展开并项求和即可得出答案.

【详解】（1）由可得，，

又因为为正项数列的前n项和，所以，

因为，所以，

所以，数列为等差数列，

所以 ，，，所以.

（2），

.

18．如图甲，已知是边长为6的等边三角形，D，E分别是AB，AC的点，且，将沿着DE翻折，使，点A到达点P处使得，得到四棱锥，如图乙．

(1)求证：平面平面BCED；

(2)求平面PDB与平面PEC所成锐二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取BC的中点F，连接AF交DB的中点O，连接OP，根据已知条件可得，再根据边长的关系和勾股定理得到，利用线面垂直的而判定得到平面BCED,最后利用面面垂直的判定即可求证；

（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面PDB与平面PEC的法向量，进而利用空间向量的夹角公式即可求解.

【详解】（1）如图，

取BC的中点F，连接AF交DB的中点O，连接OP，

由，所以，                               

由是边长为6的等边三角形，且，

所以是边长为2的等边三角形，

所以，

在直角中，，

在中，，                            

所以，又，所以平面BCED，

又因为平面，所以平面平面BCED.

（2）由（1）知：OF，DB，OP两两垂直，建立如下图所示坐标系，

在底面ABC中，由题意可知，且，

所以，

所以，

，                      

设为平面PBD的一个法向量，所以，

即，令，所以，

即，                                  

设为平面PCE的一个法向量，所以，

即，令，所以，

即，设平面PDB与平面PEC所成锐二面角的平面角为，

则，所以．

所以平面PDB与平面PEC所成锐二面角的平面角的正弦值为．

19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

(1)求B；

(2)若，当取最大值时，求外接圆的半径．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用切化弦、和差角的正弦和正弦定理化简已知等式即得解；

（2）由题得，平方得，再利用基本不等式求出，由余弦定理和勾股定理求出，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径.

【详解】（1），

即，

，

即，

则，又，

．

（2）由题得,

所以，

所以，所以，

所以（当且仅当时取等）

所以.

由余弦定理得.

所以，所以.

所以

设外接圆的半径为,所以

所以外接圆的半径为.

20．《密室逃脱》是一款实景逃脱类游戏，参与者被困在房间内，需要根据提示寻找线索，在规定时间内依次打开每一扇房门则游戏完成，否则失败．一密室店主统计了400个顾客参与主题密室逃脱的时间，得到顾客完成逃脱用时的频率分布直方图如图：

(1)若顾客用时均值大于60分钟，且标准差小于10分钟，则认为该主题密室逃脱成功难度大．请判断主题的成功难度；（参考数据：方差）

(2)店主计划至少的顾客能在规定时间m分钟内完成逃脱，试计算m；（四舍五入保留到个位）

(3)为吸引顾客，该店推出如下游戏规则：

①在（2）的条件下，参加单人任务，在规定时间m分钟内完成则奖励1元；

②组团参与者可购买一份10元组团券，3人同时进入主题的不同房间，若60分钟内所有人完成逃脱，则每人可获10元奖励，2人完成逃脱，则每人可获7元奖励，1人完成逃脱，则每人可获3元奖励．用频率估计概率，若你是顾客，会选择哪种方案？

【答案】(1)主题逃脱成功难度大

(2)70

(3)方案①

【分析】（1）先根据频率分布直方图求出用时的平均值，再根据参考数据计算出标准差，即可根据成功难度的要求得出结论.

（2）先根据频率分布直方图判断出m所在的区间范围，然后列式求解即可.

（3）先根据游戏规则计算出人均收益，然后选择收益大的方案即可.

【详解】（1）平均数，

标准差，故主题逃脱成功难度大．

（2）由频率分布直方图可知，

由得，．

（3）方案①：由频率分布直方图得，某人在70分钟内完成逃脱的概率为

，

则人均可获得奖励为（元）．                              

方案②：记随机变量X为三人进行一次组团活动的盈利，

某人在60分钟内完成逃脱的概率为，

由题意可得，，

，

．

X的分布列为

，

则人均收益为，

故该选择方案①．

21．已知椭圆的左焦点为，直线l过点F交椭圆于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，的面积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线上是否存在点C，使得为正三角形？若存在，求出点C的坐标及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，点C的坐标为，对应直线l的方程分别为．

【分析】（1）当直线l垂直于x轴时，求出，根据的面积为求得，写出椭圆方程即可；

（2）设直线AB方程为，联立椭圆方程得韦达定理，设的中点，根据求得值，进而求得坐标.

【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题得，且．

令，代入椭圆得，

故的面积为．

所以．结合，解得．

所以椭圆的方程为．

（2）

当直线l垂直于x轴时，，显然不满足为正三角形，

当直线l不垂直于x轴时，设直线AB方程为，与椭圆显然有两个交点，

由得，

设的中点，

则，，

，

因为为正三角形，所以，

而，

所以，

解得，

当时，所以，

所以直线所以，

同理当时，直线所以，

综上：存在点C，使得为正三角形，点C的坐标为，对应直线l的方程分别为．

【点睛】关键点点睛：为正三角形的用法：求出，根据等边三角形中高为边长的建立关系求出直线AB的斜率.

22．已知函数

(1)求在处的切线方程；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，再求出切点即得解；

（2）令，再对分和两种情况讨论，求出函数的单调性，分析函数图象即得解.

【详解】（1）当时，，所以切线的斜率为，

又，

所以切线方程为，

所以切线方程为.

（2）令，则

①当时，．

由得，故在上单调递减，在上单调递增．

若，即，则在上单调递增，故，符合题意；

若，即，则在单调递减，

故当时，，不符合题意．

所以当时，实数a需满足．                   

②当时，．

由①知，，故在上单调递增．

若，即，则，在上单调递减，

故，符合题意；

若，即，

由于，

故存在唯一，使得，则在上单调递增，

故当时，，不符合题意．

所以当时，实数a需满足．

综上，实数a的取值范围为．

【点睛】方法点睛：处理函数不等式的恒成立问题，常用的方法有：（1）转化为求函数的最值，解不等式；（2）分离参数求最值；（3）端点优先法.要结合已知条件灵活选择方法解答.