西南名校联盟2025届“333“高考备考诊断性联考（一）数学试题

这是一份西南名校联盟2025届“333“高考备考诊断性联考（一）数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，未知，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在复平面内，向量对应的复数为，向星对应的复数为，则向量对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ）
A．8B．C．28D．
4．已知数列满足，且，则（ ）
A．3B．C．D．
5．已知直线与直线互相垂直，则为（ ）
A．B．或0C．D．或0
6．已知圆锥的母线长度为4，一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发，绕着圆锥侧面运动一周，再回到出发点的最短距离为，则此圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，内角所对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，可以作为基底，则B．若，则
C．若，则D．若与的夹角为，则或9
10．已知幕函数，则（ ）
A．B．的定义域为
C．为非奇非偶函数D．不等式的解集为
三、未知
11．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的第2项小于1B．
C．为等比数列D．中存在大于100的数
四、填空题
12．已知双曲线，其渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．
13．已知，函数有最小值，则 ．
14．已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致．现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将取出的2个球全部放入甲袋中，若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响，按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有4个小球的概率是 ．
五、解答题
15．已知抛物线，过抛物线上点且斜率为的直线与抛物线仅有一个交点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求的值．
16．如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．
(1)求的值和两点间的距离；
(2)若，求折线段赛道的长度．
六、未知
17．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）．
(1)当与重合时，证明：平面平面；
(2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
七、解答题
18．函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围．
19．为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升．
(1)经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数）
(2)在独立重复实验中，为事件在试验中出现的概率，为试验总次数，随机变量为事件发生的次数．若较小，较大，而的大小适中，不妨记，则，经计算，当时，．若随机变量的概率分布密度函数为，称服从参数为的泊松分布，记作．（其中，为自然对数底数）
①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明：；
②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少？
参考数据：
（Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为，
（Ⅱ），，，，，
大肠杆菌数/升
0
1
2
3
4
5
升数
17
20
10
2
1
0