2023-2024学年浙江省山海联盟协作学校九年级上学期期中数学试题

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1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如的函数叫做二次函数”进行判断即可．
【详解】解：A、是二次函数，故本选项符合题意；
B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、右边分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A. 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
B. 打开电视机正在播放亚运会比赛
C. 在一个只装有白球的袋子里摸出红球
D. 正数大于负数
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、打开电视机正在播放亚运会比赛，是随机事件，不符合题意；
C、在一个只装有白球的袋子里摸出红球，是不可能事件，符合题意；
D、正数大于负数，是必然事件，不符合题意；
故选：C．
3. 已知的半径为2，，则点A在（ ）
A. 内B. 上C. 外D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内， （d即点到圆心的距离，即圆的半径）判断即可．
【详解】解：的半径为2，，
∴点A在上．
故选：B．
4. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ）
A. 顶点坐标为
B. 对称轴为直线
C. 当时，y随x的增大而增大
D. 开口向下
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式，根据二次函数的性质直接判断每个选项即可．
【详解】解：
抛物线的顶点坐标为，对称轴直线为直线，故选项A、B错误，不符合题意；
，
抛物线的开口向上，有最小值为3，且当时，随增大而增大，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意，
故选：C．
5. 在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ）
A. 4个B. 8个C. 12个D. 16个
【答案】D
【解析】
【分析】由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出红球个数即可.
此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键．
【详解】解：设袋中红球的个数为，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
所以口袋中红球可能有16个，
故选：D．
6. 如图，在中，点，分别在边，上，，已知，则的长是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】∵，
，即，
解得：，
故选：B．
7. 如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个圆，C为AB中点，杯内水面宽，则半径的长是（ ）
A. 6B. 5C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接、，先由垂径定理可得长，再由勾股定理列方程求得长，从而得到半径长．
【详解】如图，连接、，则，
，
，
在 中，
设，则，
，
解得：，
半径，
故选：B．
8. 如图，在中，，，，相交于点，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、平行线的性质、三角形外角和内角关系，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可计算出度数，再根据平行线的性质可得到，再根据三角形外角和内角的关系，即可求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9. 若二次函数的图象过不同的六点，，，，，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由解析式可知抛物线开口向上，点，，，求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【详解】由二次函数可知，抛物线开口向上，
，，，
点关于对称轴的对称点在5与6之间，
对称轴的取值范围为，
点到对称轴的距离最小，点到对称轴的距离最大，
，
故选：D．
10. 如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、折叠的性质、圆内接四边形的性质，根据题意，做出合适的辅助线，然后根据圆内接四边形对角互补和折叠的性质，可以求得的度数．
【详解】作点关于直线的对称轴点，连接，，如图，

为直径，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
故选：A．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共，24分）
11. 掷一枚硬币，正面朝上的概率是_____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据概率的意义分析即可得解．
【详解】解：∵掷一枚硬币的情况有2种，满足条件的为：正面一种，
∴正面朝上的概率是P=．
【点睛】本题考查了概率的意义．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，理解概率的意义是解题的关键．
12. 抛物线与y轴的交点坐标为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可．
【详解】把代入得，
所以抛物线与轴的交点坐标为．
故答案为：．
13. 已知点为线段的黄金分割点，且，则_________．
【答案】3－3
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义，知AC为较长线段，则AC＝AB，然后把AB＝6代入计算即可．
【详解】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段，
∴AC＝AB，
∵AB＝6，
∴AC＝×6＝3－3．
故答案为：3－3．
【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的相关概念及牢记黄金比是解题的关键．
14. 一个扇形的圆心角是，半径是4，则这个扇形的面积是________．
【答案】2π
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】扇形的面积，
故答案：2π．
【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积：．
15. 在关于x的二次函数中，当时，，则的值为 ______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质及顶点式，利用顶点式求出顶点坐标，分两种情形分别求解即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线，
∴顶点坐标为，
当时，
∵时，，
∴函数有最小值，
∴，
当时，
∵时，，
∴函数有最大值，
∴，
故答案为：或．
16. 如图，在中，直径弦，以为圆心，长为半径画弧，交直径于点，连结并延长交于点，连结，则___________°，若，则的长为 ___________．
【答案】 ①. 60 ②.
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，连接，过点作直径，连接，证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由勾股定理可得出答案．
【详解】连接，过点作直径，连接，
以为圆心，为半径画弧交直径于点，
，
直径弦，
是的垂直平分线，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
为直径，，
，，
，
，
故答案为：60，．
三、解答题（本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知实数x，y，z满足，试求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，然后把所求式子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案．
【详解】解：设，
∴，
∴
．
18. 2023年第19届亚运会在杭州举办．小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为，，．
（1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到（宸宸）的概率是 ___________．
（2）小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是（琮琮）和（莲莲）的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了树状图法，概率公式，熟练掌握树状图法及概率公式是解答本题的关键．
（1）利用概率公式，小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到（宸宸）的概率是；
（2）画出树状图得到所有可能结果数为，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的结果有种，由此得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，
恰好抽到B（宸宸）的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的结果有种，
小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是（琮琮）和（莲莲）的概率为：．
19. 如图，，是的两条弦，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等，据此求解即可．
【详解】，
，
，
．
20. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．

（1）将绕点逆时针旋转后对应得到，请写出点，，的坐标．
（2）请在图中画出绕点顺时针旋转后的，并求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留根号和．
【答案】（1），，．
（2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质可得答案．
（2）先利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，，；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
，
由勾股定理得，，
旋转过程中点所经过的路径长为．
21. 如图，为的直径，是弦，且于点．连结，，．

（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识；
（1）利用等角的余角相等以及等腰三角形的性质证明即可；
（2）利用相似三角形的性质求出，再利用勾股定理求解．
【小问1详解】
是直径，
，
，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
，是直径，
，
，，
∴，
，
，
，
．
22. 如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m．
（1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．
（2）通过计算判断此球能否过网．
（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离．
【答案】（1）y=
（2）能 （3）2米
【解析】
【分析】（1）根据题意，抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为，用待定系数法即可求得；
（2）将代入所求解析式中，求出的值与比较大小即可判断出结果；
（3）把代入所求解析式中，对方程求解，再减去5即可得到答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．
【小问1详解】
解：根据题意，抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为，
设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为，
把代入得：，
解得，
；
∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为
【小问2详解】
解：在中，
令得
，
∴此球能过网；
【小问3详解】
解：在中，
令得：
解得（舍去）或，
（米），
∴乙与球网的水平距离为2米．
23. 如图，在中，，为上一点，经过，，，交于点，过点作，交于点．
（1）求证：．
（2）连接、．求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质和判定，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题关键．
（1）根据等边对等角，可得，再由同弧所对的圆周角相等，得到，即可证明结论；
（2）连接，由同弧所对的圆周角相等可得，，再由可得，等量代换可得，可得，再根据可得，进而证得结论．
【小问1详解】
证明：，
，
，
；
【小问2详解】
证明：连接，
∵，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24. 新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示） ，顶点坐标为 ．
（2）对于和，当时，求的取值范围．
（3）若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】（1）；
（2）当时，或；当时，
（3）的值为或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；即可得顶点坐标为；
（2）由，得，即，当时，，可得或；当时，，得；
（3）求出当时，．当 时，；当 时，；分三种情况讨论：Ⅰ．当，即时，若，，若，，Ⅱ．当时，，Ⅲ．当时，，分别解方程可得答案．
【小问1详解】
根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；
，
顶点坐标为；
故答案为：；；
【小问2详解】
，
，
，
当时，，
或；
当时，，
；
综上所述，当时，或；当时，；
【小问3详解】
，
当时，．
当 时，；
当 时，；
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当，即时，
若，即，则；，
，
解得或（舍或（舍；
若，即时，；，
，
解得或（舍或（舍；
Ⅱ．当，即时，；．
，
解得（舍或（舍；
Ⅲ．当，即时，，，
，
解得（舍去）或（舍去），
综上所述，的值为或．