浙江省杭州市淳安县汾口中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题

这是一份浙江省杭州市淳安县汾口中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，，由集合之间的关系得答案.
【详解】集合，
集合，.
故选B.
【点睛】本题考查了集合的运算和集合之间的关系，也考查了不等式的解法，属于基础题.
2. 已知0≤a≤3，则|1－ai|的取值范围为（ ）
A. [0，]B. [0，3]C. [1，]D. [1，10]
【答案】C
【解析】
【分析】由复数模的几何含义，得，根据参数的范围，求模的范围即可.
【详解】根据复数模的定义知，，又0≤a≤3，
∴.
故选：C
3. 已知实数，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】是函数与的交点的横坐标，是函数与的交点的横坐标，是与的交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系中，作出函数，，，，的图象，结合图象，能求出结果．
【详解】
∵实数，，，，
∴是函数与的交点的横坐标，
是函数与的交点的横坐标，
是与的交点的横坐标，
在同一个平面直角坐标系中，
作出函数，，，，的图象，
结合图象，得：．
故选：C．
4. 某高中社会实践小组为课题“高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研，利用课间分别对高一、高二、高三年级进行随机采访，按年级人数比例进行抽样，各年级分别有效采访56人、62人、52人，经计算各年级周末作业完成时间分别为（平均）3小时、3.5小时、4.5小时，则估计总体平均数是（ ）．
A. 3.54小时B. 3.64小时C. 3.67小时D. 3.72小时
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数定义求解.
【详解】三个年级抽样人数的总时长，
三个年级抽样人数的平均时长，
根据样本估计总体，总体的平均时长约为3.64（小时）；
故选：B.
5. 直线被椭圆所截得的线段的中点坐标为，则的方程为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线被椭圆所截得的线段的两个端点分别为，由点差法求出直线的斜率即可得方程.
【详解】解：设直线被椭圆所截得的线段的两个端点分别为，
则有，
且，
两式相减得：，
即，
所以，
即直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即.
故选：A.
6. 若，，，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量夹角公式求得，进而求出的面积，再求出平面的法向量，利用空间距离的向量求法求出三棱锥的高，根据棱锥体积公式即可求得答案.
【详解】由题意，，，
的，
故，
则，
又，故，
故,
设平面的法向量为，则，
即，令，则可取，
则O到平面的距离为，
即三棱锥的高为，
故三棱锥的体积为，
故选：A
7. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，且与轴相交于点，若，，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】过点，分别作抛物线准线的垂线，然后利用相似三角形的性质与抛物线的定义建立关于的方程，即可求出的值．
【详解】解：过点，分别作抛物线准线的垂线，，
垂足分别为，，且，与轴分别相交于，，
则，得．（相似三角形性质的应用）
由抛物线的定义知，，
则，解得，
故选：D．
8. 已知圆的圆心为，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，结合向量线性运算和数量积运算定义可求得，则当为圆心到直线的距离时，取得最小值，结合点到直线距离公式可求得结果.
【详解】由圆的方程可知：圆心为，半径；
；
，，
，
则当为圆心到直线的距离时，取得最小值，
，.
故选：B.
二、多选题
9. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的解集判断的关系，判断ABC的正误，然后根据参数间的关系将不等式转化为，求得解集即可.
【详解】由题知，方程的两个根为，4，且，故A正确；
由韦达定理知，，解得，，故B正确；
，故C错误；
不等式等价于，即，
解得解集为，故D正确；
故选：ABD
10. 某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）

A. 图中的值为0.020B. 这组数据的第80百分位数约为86.67
C. 这组数据平均数的估计值为82D. 这组数据中位数的估计值为75
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A选项，由频率直方图的各组频率之和等于，得到关于的方程，解方程即可；对于B选项，由百分位数的定义计算即可；对于C选项，频率分布直方图中，数据平均数的估计值等于各组区间中点值乘各组对应的频率之和；对于D选项，先计算中位数所在区间，再利用中位数对应频率为即可求解.
【详解】由频率之和为1得：，
解得：，A正确；
前三个矩形面积和为0.6，前四个矩形面积和为0.9，
所以这组数据的第80百分位数约为，故B正确；
这组数据平均数的估计值为，C不正确；
由频率分布直方图可知，的频率为，
的频率为，则中位数在内，
所以这组数据中位数的估计值为，所以D不正确；
故选：AB
11. 函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）．

A. 函数的周期是
B. 点是函数的图象的对称中心
C. 函数在上单调递减
D. 对于恒成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图象可确定最小正周期和最小值，由此可得，利用可求得，由此可得；验证可知A错误；利用代入检验法可知BC正确；根据正弦型函数值域求法可知D正确.
【详解】由图象可知：若的最小正周期为，则，
，；
又，，，
，，解得：，
，，；
对于A，设，
则，
，不是的周期，A错误；
对于B，当时，，此时，
是图象的对称中心，B正确；
对于C，当时，，
在上单调递减，在上单调递减，C正确；
对于D，当时，，
，D正确.
故选：BCD.
12. 已知圆，直线l过点，若将圆C向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到圆，则下列说法正确的有（ ）
A. 若直线l与圆C相切，则直线l的方程为
B. 若直线l与圆C交于A，B两点，且的面积为2，则直线l的方程为或
C. 若过点的直线与圆C交于M，N两点，则当面积最大时，直线的斜率为1或
D. 若Q是x轴上的动点，，分别切圆于R，S两点，则直线RS恒过定点
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A选项：利用直线l与圆C相切，求出切线方程即可;
对于B选项：利用面积为2，借助弦长公式建立方程，求出即可;
对于C选项：表示出当面积，借助基本不等式，从而求得斜率;
对于D选项：分别得到圆的方程和以为直径的圆的方程，两个方程相减求解即可.
【详解】对于A选项：当直线l垂直于x轴时，其方程为，符合题意．当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为，即，则，解得，所以直线l的方程为，即．综上，直线l的方程为或，所以A错误；
对于B选项：由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为，即．设圆心C到直线l的距离为，则，即，解得，则，解得或．所以直线l的方程为或，所以B正确；
对于C选项：可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
即，所以圆心到直线的距离．
因为,当且仅当，即时取等号.
由，得，解得或，所以C正确；
对于D选项：由题意知圆的方程为，圆心．设，则以为直径的圆的圆心为，半径为，
则圆D的方程为，
整理得，圆与圆D的公共弦所在直线即为直线RS，
将两式相减，
可得直线RS的方程为，即．
令解得即直线RS恒过定点，所以D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13. 点到直线的距离为____________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式求距离即可.
【详解】点到直线的距离为.
故答案为：1.
14. 在平面直角坐标系中，角终边过点，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得、的值，从而求得的值．
【详解】解：∵平面直角坐标系中，角终边过点，
∴，，，
∴，，
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
15. 在中，，是的中点，在直线上，且，则向量在向量上的投影为___________.
【答案】
【解析】
【分析】以为原点、所在直线为轴建立直角坐标系，设=，求得，根据，求得的值，结合向量的数量积的定义，即可求解.
【详解】以为原点、所在直线为轴建立直角坐标系，则，
所以，设，所以，
因为，所以，解得，
所以，所以，
所以向量在向量上的投影为.
故答案为：.
16. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：
①若，则或；
②若，则；
③若不垂直于平面，则不可能垂直于内的无数条直线；
④若，则.
其中正确的是__________.(填上所有正确的序号)
【答案】②④
【解析】
【分析】由，则这样的直线有无数条，可判定①错误；由线面平行的性质和平行公理，可判定②正确；若不垂直于平面，在平面可以有无数条直线与直线垂直，且这些直线相互平行，可判定③错误；利用线面平行、线面垂直的性质，可判定④正确.
【详解】对于①中，若，则这样的直线有无数条，所以与的位置关系不确定，所以①错误；
对于②中，由线面平行的性质和平行公理，可得若，则，
所以②正确；
对于③中，若不垂直于平面，但在平面可以有无数条直线与直线垂直，且这些直线相互平行，所以③错误；
对于④中，④若，则，又由，所以，所以④正确.
故答案为：②④.
四、解答题
17. 已知直线过点和两点．
（1）求出该直线的直线方程（用点斜式表示）
（2）将（1）中直线方程化成斜截式以及截距式且写出直线在轴和轴上的截距．
【答案】（1）或
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）先求斜率，再利用点斜式写出直线方程；
（2）根据（1）中求出的方程将直线方程分别化成斜截式以及截距式且写出直线在轴和轴上的截距即可.
【小问1详解】
直线的斜率为：，
故直线的点斜式方程为：
或.
【小问2详解】
由（1）直线的点斜式方程为：，
则直线的斜截式方程为：，
令，
所以直线的截距式方程为：，
所以直线在轴上的截距为：，在轴上的截距为：.
18. 设的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角后可求得角；
（2）由面积公式求得，再由余弦定理可求得，从而得三角形周长．
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
，，所以，即，
，则，所以，．
（2）由题意，，
又由余弦定理得，
所以，所以周长为．
19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，PA⊥底面ABCD，PA=4，AB=2.

（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）过AC的平面交PD于点M，若平面AMC把四面体P﹣ACD分成体积相等的两部分，求二面角M﹣AC﹣D的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）只需证明面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；
（2）由题意易得为的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出面和面的法向量，求出法向量夹角的余弦值结合图形即可得结果.
【详解】（1）在四棱锥中，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥底面ABCD，∴DB⊥PA，
又，∴BD⊥面PAC．
又平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.
（2）∵过AC的平面交PD于点M若平面AMC把四面体P-ACD分成体积相等的两部分，
∴M为PD的中点．
设，以为原点，为轴，为轴，过点与面垂直的线为轴建立空间直角坐标系，
依题意可得，AC=2，
，，，，，
设面的法向量为，
，，
由⇒
易知面的法向量为，
，
由图可知二面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查了空间面面位置关系中的面面垂直的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.
20. 中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温．某景区山下的海景酒店有50间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元()，则入住的房间数会相应减少x间．
（1）求该温泉酒店每天的收入y元关于x的函数解析式；
（2）若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？
【答案】（1）且；
（2）每间房住宿费用可定为元，当日收入为元.
【解析】
【分析】（1）根据题意有，展开并确定其定义域，即得解析式；
（2）利用二次函数性质求最大值，确定每间房的住宿费用和当日收入即可.
【小问1详解】
由题意，且.
【小问2详解】
由（1），，
所以，当时，元，
故每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元.
21. 已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点.
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点作两条斜率都存在且互相垂直直线，交抛物线于点、交抛物线于点，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）椭圆方程为，抛物线方程为；（Ⅱ）16．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）已知焦点坐标，即知，又椭圆过点，那么此点到两焦点的距离之和为椭圆长轴长，由此可得，从而易得，椭圆方程可得，要注意的椭圆标准方程的形式，正确得出椭圆标准方程后，右顶点易知，即抛物线的焦点变为已知了，标准方程也易得；（Ⅱ）过抛物线焦点作两条互相垂直的直线与抛物线相交，它们的斜率一定存在，因此可设他们的方程为：：设交点为.直线方程与抛物线方程联立方程组，由韦达定理可，类似地，把向量表示为，表示为，再求可以利用直线得，由抛物线定义可得
，最后由基本不等式可得最值．
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，焦距为，则由题意得，又由椭圆定义得，，则，所以椭圆方程为，椭圆的右顶点为，所以抛物线方程为.
（Ⅱ）设方程为：的方程为：设
.由消去得：，
所以，同理.
所以
，
当且仅当，即时，的最小值为.
考点：椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，直线与抛物线相交的综合问题．
【名师点睛】椭圆问题中的易错点：
1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＝1(a＞b＞0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
22. 已知函数．
（1）若在区间上单调递减，求的值；
（2）若，求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别在和的情况下得到的单调性，由此可构造不等式组求得的值；
（2）令，根据奇偶性定义可知为奇函数，结合二次函数单调性可确定为上增函数；将所求不等式化为，结合单调性可得自变量大小关系，进而解得结果.
【小问1详解】
由题意得：；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
，解得：.
【小问2详解】
当时，；
令，
的定义域为，，
为定义在上的奇函数，
当时，，在上单调递增，
又为奇函数，在上单调递增，则在上单调递增；
由得：；
即，，解得：，
不等式的解集为.