2023-2024学年浙江省杭州市淳安县汾口中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市淳安县汾口中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
2．若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2B．2或C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.
【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得，
所以实数的值为.
故选：C
3．在正三棱柱中，所有棱长均为2，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】平移一条线，找到异面直线所成角，然后用余弦定理可得余弦值.
【详解】如图，延长MB到P，使得因为M是中点，则，又所以ABPM是平行四边形，
所以异面直线与所成的角是 (或其补角)
又N是BC中点，所以
三棱柱是正三棱柱，
所以
故选：D
4．函数是
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
【详解】分析：由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，得出结论．
详解：函数y=2sin2（x﹣）﹣1=﹣[1﹣2sin2（x﹣）]=﹣cs（2x﹣）=﹣sin2x，
故函数是最小正周期为=π的奇函数，
故选A．
点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式，正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
5．“忽登最高塔，眼界穷大千．卞峰照城郭，震泽浮云天．”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”飞英塔．某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C处测得飞英塔顶端A的仰角，则飞英塔的高度约是（ ）（参考数据：，，）

A．45米B．50米C．55米D．60米
【答案】C
【分析】应用和角正弦公式求，在△中应用正弦定理求，再由求建筑物的高．
【详解】，
由题设得，在△中，
所以，
则米．
故选：C．
6．已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据，求得点的轨迹是圆，然后由两圆相切求解.
【详解】设，因为，
所以 ，
整理得 ，
所以满足点的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆，
由题意可得，当两圆相切即可，
当两圆相外切时， ，解得 ，
当两圆相内切时，，解得 ，
故选：A
7．已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理，总综合可得，进而即可求解．
【详解】不妨设，
在△中，由余弦定理知，，
因为，
则，
两式联立得，
因为，，
整理得，化简得，
所以离心率．
故选：．

8．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.
【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.
可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.
在点D处建立如图所示空间直角坐标系，
则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,
又点F距平面的距离为1，所以,
的最小值为.
故选：D
二、多选题
9．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则
D．若与夹角为锐角，则
【答案】ABD
【分析】对于A：结合向量垂直的性质即可求解；
对于B：结合向量的四则运算即可求解；
对于C：利用投影的几何意义即可求解；
对于D：根据向量的夹角公式即可求解.
【详解】对于A：，，
即：，
解得：.
故A选项正确；
对于B：，
，解得：.
故B选项正确；
对于C：在上的投影向量为：，
即，代入坐标化简可得：，无解，
故C选项错误；
对于D：与夹角为锐角，
，解得：，
且与不共线，即，解得：，
所以与夹角为锐角时，解得：.
故D选项正确；
故选：ABD.
10．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A、B，满足，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．A与B互斥D．A与B相互独立
【答案】ABD
【分析】根据概率的基本概念和独立事件的基本运算求解即可.
【详解】因为，，，，所以，故A选项正确；
作出示意图如下，
则A与B不互斥，故C选项错误；
又，，,
所以事件A与B相互独立，故B、D选项正确；
故选：ABD.
11．设函数，则（ ）
A．函数是偶函数B．函数是奇函数
C．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到D．函数在区间上单调递增
【答案】BC
【分析】AB选项，，为奇函数；C选项，化简得到，根据左加右减得到答案；D选项，，画出的图象，整体法得到答案.
【详解】AB选项，，
由于为奇函数，故为奇函数，A错误，B正确；
C选项，
，
函数的图象向左平移个单位得到，C正确；
D选项，，
当时，，
画出的图象，如下：
时，单调递减，
故在区间上单调递减，D错误.
故选：BC
12．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ）
A．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
B．设点，则的最大值为
C．点到直线的最小距离为
D．点到直线与点到轴距离之和的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据直线与抛物线有一个交点，求出直线的方程，可判断A选项；数形结合求出的最大值，可判断B选项；设点，其中，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可判断C选项；利用抛物线的定义以及数形结合思想求出点到直线与点到轴距离之和的最小值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，设过点的直线为，若直线方程为，此时直线与抛物线只有一个公共点，
若直线的方程为，此时直线与抛物线只有一个公共点，
若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，
联立可得，
若直线与抛物线相切，则，解得，
此时，直线的方程为，
综上所述，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A错；
对于B选项，如下图所示：
易知点，，
当且仅当点为射线与抛物线的交点时，等号成立，
故的最大值为，B对；
对于C选项，设点，其中，
则点到直线的距离为，
当且仅当时，等号成立，故点到直线的最小距离为，C对；
对于D选项，如下图所示：
抛物线的准线为，过点作，垂足为点，设交轴于点，
过点作直线的垂线，垂足为点，连接，
则，
当与直线垂直时，取最小值，
且最小值为点到直线的距离，
因此，，
故点到直线与点到轴距离之和的最小值为，D对.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知直线，直线，若，则 .
【答案】/
【分析】根据两条直线垂直的充要条件算出答案即可.
【详解】因为，所以，解得，
故答案为：.
14．已知，，，，若四点共面，则＝ ．
【答案】8
【分析】四点共面，则存在唯一的λ、μ使得，据此即可求出x.
【详解】∵，，，，
∴，，，
∵四点共面，则有，即
解得．
故答案为：8.
15．在三棱锥中，已知，，若点是线段延长线上的一动点，则直线与平面所成的角的正弦值的最大值为 .
【答案】/
【分析】设是直线与平面所成的角，设是平面与平面所成夹角，取中点，可得，求出，由最大角定理即可求解.
【详解】设是直线与平面所成的角，设是平面与平面所成夹角，取中点，

因为，所以.
因为平面,
所以平面.
因为，，
所以,所以，，
所以.
设，则,
所以,
因为,所以,
所以.
又因为平面，所以由最大角定理可知，，
于是，当时取得“＝”，满足条件.
故答案为:.
16．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为 .
【答案】/
【分析】利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，则，再根椭圆的定义，由离心率的公式得到，即可求解答案.
【详解】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B、F为其右焦点，
设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为长方形，
根据椭圆的定义，且，则，
所以，
又由离心率的公式得，
由，则，
所以，即椭圆的离心率的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：把椭圆的离心率转化为的三角函数，利用三角函数的值域求解是解答的关键.
四、解答题
17．已知点，圆C：.
(1)若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；
(2)当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用点在圆外代入得到不等式，结合曲线方程表示圆即可解答；
（2）首先得到，再根据点到直线的距离公式求出的最小值，最后得到四边形面积的最小值.
【详解】（1）由题意得在圆外，则，即
又，即或
所以或.
（2）时，圆方程为，则圆的半径，圆心，
直线方程为，设圆心到直线的距离为，
，
18．在中，角所对的边分别为，．
(1)求A的大小；
(2)若，求边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可得解；
（2）由余弦定理求出，再由面积等积法求解即可.
【详解】（1）由正弦定理
得，
，
，
，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）在中，因为，
所以，
所以.
解得，或（舍），
设边上的高为，
因为，
所以.
19．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示
(1)求出a的值；
(2)求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
(3)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．
【答案】(1)；
(2)41.5岁，42.1岁；
(3).
【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积和为，列出关于的式子，即可求出.
（2） 平均数为每个小矩形中点的横坐标乘以相应矩形的面积全部相加为平均数；中位数则为使矩形面积左右两边分别为的横坐标，即可求出答案.
（3）利用分层抽样在第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，并进行标记为，，，，，再把总的基本事件列举出来，一共10个基本事件，这2人恰好在同一组的基本事件共4个，即可得到答案.
【详解】（1）由，得.
（2）平均数为：岁；
设中位数为，则，∴岁.
（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为，，，，，设从5人中随机抽取2人，为，，，，，，，，，共10个基本事件，这2人恰好在同一组的基本事件，，，共4个，所以.
20．如图，在四边形ABCD中（如图1），，，，，F分别是边BD，CD上的点，将沿BC翻折，将沿EF翻折，使得点与点重合（记为点），且平面平面BCFE（如图2）

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得平面PBC，从而可得.
（2）根据题意，取BC中点，连接PO，以为原点，CB，CF所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，然后由空间向量的坐标运算即可得到结果.
【详解】（1）证明：∵平面平面，
平面平面BCFE，又∵平面BCFE，且
∴平面PBC，且平面，∴
（2）取BC中点，连接PO，
∵，∴
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面BCFE
以为原点，CB，CF所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，设，
由得，解得，所以，
设，由得，解得，
∴，则，，
平面BEF的一个法向量，设平面PEF的一个法向量，
，令，得，
设二面角的平面角为，易知为锐角，则，
∴二面角的余弦值为．
21．近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：
设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
(1)求的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)利用问题（2）中的函数，求的最小值.
【答案】(1)
(2)选择函数模型②，
(3)961
【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得的值.
（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得，从而求得的解析式.
（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.
【详解】（1）因为第15天的日销售收入为1057元，
所以，解得.
（2）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②.
由，解得，，.
所以日销售量与时间的变化关系为.
（3）由（2）知
所以
即.
当，时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立.
当，时，单调递减，
所以.
综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.
22．已知离心率为的椭圆过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于不同的两点,直线分别交直线于点.当面积为8时,求的值.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1)根据离心率和点,建立等式,结合,解出即可;
(2)设出点坐标,写出直线的方程,取,解得的纵坐标,将直线与椭圆联立,解得,代入中化简,根据,使其等于8,即可求得的值.
【详解】（1）由题意:,又,
解得,所以椭圆的方程为:;
（2）设,则,
令,得,同理,
联立,得,
则,
所以,
则,
求得.
【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线综合题,属于中难题,关于此类问题的思路有:
(1)根据题意考虑直线与圆锥曲线的两个交点,即设有两个交点的直线方程;
(2)分情况讨论直线斜率是否存在;
(3)设直线方程,联立方程组;
(4)判别式大于零,韦达定理;
(5)根据题意建立关于的等式,化简即可.
15
20
25
30
105
110
105
100