四川省绵阳市江油市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

四川省绵阳市江油市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，对其对称性表述，正确的是（  ）A．轴对称图形 B．中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形2．下列事件中必然发生的事件是（　　）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数3．若点，关于原点对称，则m、n的值为（    ）A．， B．，C．， D．，4．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（　　）A．85° B．75° C．70° D．55°5．用配方法解方的配方过程正确的是（ ）A．将原方程配方 B．将原方程配方C．将原方程配方 D．将原方程配方6．关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是（　　）A．2 B．3 C．4 D．57．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线，其解析式是（　　）A．y＝2（x+3）2+1 B．y＝2（x﹣3）2﹣1C．y＝2（x+3）2﹣1 D．y＝2（x﹣3）2+18．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（    ）A． B．C． D．9．如图，将绕点顺时针旋转角，得到，此时点，点，点在一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ）A．79° B．80° C．78° D．81°10．已知，，是抛物线上的点，则（　　）A． B． C． D．11．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上．将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（    ）A．2cm B．12cm C．6cm D．3cm12．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题13．一个不透明的布袋里装有个红球，个黑球，若干个白球；从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，袋中白球共有 个．14．若、是一元二次方程的两个不相等的根，则的值是 ．15．如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为 米．16．如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于 ．17．如图，正方形内点P到A，B，C三点的距离分别为，，，则度数是 ．18．如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，⊙M是的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则的最小值是 ．三、解答题19．（1）解方程：（2）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标是，请解答下列问题．（画图不要求写作法）①将绕点逆时针旋转，画出旋转后的．②在①的条件下，求线段扫过的面积．20．数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校同学们就对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：根据统计图的信息，解答下列问题：(1)本次共调查 　 　名学生，条形统计图中m＝　 　；(2)若该校初三共有学生1500名，则该校约有 　 　名学生不了解“概率发展的历史背景”；(3)调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．21．已知关于的方程．(1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．22．三台县教育和体育局为帮助万福村李大爷“精准脱贫”，在网上销售李大爷自己手工做的竹帘，其成本为每张40元，当售价为每张80元时，每月可销售100张.为了吸引更多顾客，采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5张.设每张竹帘的售价为元（为正整数），每月的销售量为张．（1）直接写出与的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）李大爷深感扶贫政策给自己带来的好处，为了回报社会，他决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元，求销售单价应该定在什么范围内？23．如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若．(1)求证：是的切线；(2)若，，求阴影部分的面积．24．如图1，已知，是等边三角形，点P为射线上任意一点（点P与点A不重合），连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于点E．  (1)如图1，猜想______；(2)如图2，若是锐角，其它条件不变，猜想的度数，并加以证明；(3)如图3，若，，且，求的长．25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），与y轴相交于N（0，3），抛物线的顶点为D．经过点A的直线y＝kx+1与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．参考答案：1．B【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念判断即可．【详解】“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选：B．【点睛】本题主要考查轴对称和中心对称，会判断轴对称图形和中心对称图形是解题的关键．2．C【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．3．C【分析】直接利用关于原点对称点的性质：横纵坐标互为相反数，得出答案．【详解】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于对称，∴m=-3，n=-2．故选：C．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．4．D【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠CAB，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝35°，∴∠CAB＝55°，∴∠BDC＝∠CAB＝55°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论．5．D【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【详解】由移项，得，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得，.故选：.【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.6．C【分析】根据方程有实数根得出△≥0且m-5≠0，求出不等式的解集即可．【详解】∵关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，∴△=22-4（m-5）×2≥0且m-5≠0，解得：m≤5.5且m≠5，m的最大整数解为4，故选C．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．7．A【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【详解】解：抛物线y＝2x2先向左平移3个单位得到解析式：y＝2（x+3）2，再向上平移1个单位得到抛物线的解析式为：y＝2（x+3）2+1．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的平移. 抛物线的平移口诀：自变量加减左右移（左加右减），函数值加减上下移（上加下减）.8．D【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够表示出第二玩耍和第三天的票房，设增长率为，则第二天的票房为，第三天的票房为，然后根据三天后累计票房收入达达18亿元列出方程即可．【详解】解：设增长率为，则第二天的票房为，第三天的票房为，由题可得：，故选：D．9．A【分析】根据旋转的性质可知，用180°减去的度数再除以2即可求出旋转角的度数．【详解】∵绕点顺时针旋转角，得到，∴，∵，∴，∴，故选：A【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练地掌握对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角是解题的关键．10．D【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据距离对称轴越远的点的纵坐标越大，从而可得答案.【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线，∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大，∵，，是抛物线上的点，又∵，∴．故选：D．11．D【分析】由圆的直径为，，求出AB的长度，用弧长公式可求得的长度，圆锥的底面圆的周长是的长度列方程求解，即可得到答案．【详解】解： 的长度 故选：【点睛】本题考查的是扇形的弧长的计算，圆锥的底面圆的周长与扇形弧长的关系，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．12．C【分析】由题意可知：对称轴为，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在与之间，从而可判断出①正确；抛物线对称轴为直线，得，则，把代入得，，从而可判断出②正确；由抛物线顶点坐标为，则有两个相等实数根，所以，则，从而可判断出③正确；根据的最大函数值为，则有实数根，从而可判断出故④错误．【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，∴抛物线对称轴为直线，∵图象与x轴的一个交点在，之间，∴图象与x轴另一交点在，之间，∴时，，即，故①正确，符合题意．∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴时，，故②正确，符合题意．∵抛物线顶点坐标为，∴有两个相等实数根，∴，∴，故③正确，符合题意．∵的最大函数值为，∴有实数根，故④错误，不合题意．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据图象求出对称轴以及a，Δ与0的大小关系，本题属于中等题型．13．【分析】本题考查了概率公式，设白球有个，根据摸出的球是红球的概率是，利用概率公式列出方程即可求解，掌握概率所求情况数总情况数是解题的关键．【详解】解：设白球有个，由题意可得，，解得，经检验，是原方程的解，∴袋中白球有个，故答案为：．14．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，由是一元二次方程的根得到，再根据一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于，两根之积等于得到，由得到，代入计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个不相等的根，∴，，∴，∴，故答案为：．15．14【分析】设抛物线的解析式为，将点代入求出的值即可得到解析式，求出时的值即可得．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，将点代入，得：，解得：，则抛物线的解析式为；当时，，解得：（舍，，所以足球第一次落地点距守门员14米，故答案是：14．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及将实际问题转化为二次函数问题的能力．16．π﹣【分析】根据题意可以得出三角形ACD是等边三角形，进而求出∠AOD，再根据直角三角形求出OE、AD，从而从扇形的面积减去三角形AOD的面积即可得出阴影部分的面积．【详解】解：连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E，∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵AD＝CD，∴△ACD是正三角形，∴∠AOD＝120°，OE＝2×cos60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝2，∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣，故答案为：π﹣．【点睛】本题主要考查扇形的面积和三角形的面积，熟练掌握面积公式及计算法则是解题关键.17．/135度【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆反定理，正方形性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是本题关键．将绕点B顺时针旋转，使得与重合，根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，然后求出，再根据勾股定理逆定理判定出是直角三角形，然后求出的度数，再根据旋转的性质可得．【详解】解：如图，将绕点B顺时针旋转，使得与重合，则，是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴是直角三角形，，∵是绕点B顺时针旋转得到，∴．故答案为：．18．4【分析】作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，此时BP+PN取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式分析计算．【详解】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ，∵点B与点B′关于x轴对称，∴PB+PN=PB′+PN，当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值．在Rt△ABC中，AC==5，由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r，∴S△AOC=（3r+4r+5r）=×3×4，解得r=1，∴ME=MN=1，∴QB′=4-1=3，QM=3+1=4，∴MB′=5，∴PB′+PN=5-1=4，即PB+PN最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，三角形内切圆，理解“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题关键．19．（1），；（2）①画图见解析；②．【分析】（1）先提取公因式，再利用因式分解的方法解方程即可；（2）①确定，，绕逆时针旋转后的对应点，，，再顺次连接即可；②先利用勾股定理求解的长，再利用扇形面积公式进行计算即可．【详解】解：（1），∴，即，∴，，解得：，；（2）①如图 即为所求作的三角形；②∵，，由旋转的性质可得线段扫过的面积为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，画旋转图形，求解扇形的面积，熟记一元二次方程的解法与扇形的面积公式是解本题的关键．20．(1)60，18(2)300(3)【分析】（1）根据了解很少的有24人，占40%，即可求得总人数；再利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得m的值；（2）利用1500乘以不了解“概率发展的历史背景”的人所占的比例即可求解；（3）画出树状图即可求出恰好抽中一男生一女生的概率．【详解】（1）解：由题目图表提供的信息可知总人数为：24÷40%=60（名），m=60-12-24-6=18，故答案为：60，18；（2）1500×=300（名），即该校初三共有学生1500名，则该校约有300名学生不了解“概率发展的历史背景”，故答案为：300；（3）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一男生一女生的共有4种情况，∴恰好抽中一男生一女生的概率为．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识，读懂统计图，正确画出树状图是解题的关键．21．(1)见解析(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可判断；（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．【详解】（1），∵，∴，该方程总有两个不相等的实数根；（2）方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，，∵，∴解得：，∴，∴，即．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．22．（1）；（2）当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）．【分析】（1）根据“销售单价每降1元，则每月可多销售5张”写出与的函数关系式即可；（2）根据题意，利用利润=每件的利润×数量即可得出w关于x的表达式，再利用二次函数的性质即可得到最大值；（3）先求出每月利润为4220元时对应的两个x值，再根据二次函数的图象和性质即可得出答案．【详解】（1）由题意可得：整理得；（2）由题意，得：∵.∴有最大值即当时，∴应降价（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）由题意，得：解之，得：，，∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质以及一元二次方程的解法是解题的关键．23．(1)见解析(2)【分析】（1）连接、，易得，证明，即可得证；（2）连接，利用，进行求解即可．【详解】（1）证明：连接、，∵D为弧的中点， ∴，∴，  ∴，∵，    ∴，∵，∴，   ∴，∵为半径，∴是切线；（2）解：连接，∵，∴，∴，∵，∴，在中，  ∴，在中，，  ∴，，∴．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理的推论，切线的判定和性质，求阴影部分的面积．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．24．(1)，证明见解析；(2)，理由见解析；(3)【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出解答即可； （2）根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则，可证明，得到，然后利用三角形内角和定理可得到； （3）作于H，与（2）一样可证明，则，由，，易得，，则可判断为等腰直角三角形，所以，在中，根据含30度的直角三角形三边的关系得，于是可计算出 ，所以．【详解】（1）解：； 理由如下：如图1，记与相交于M点，   ∵，且，∴， 在和中，， ∴， ∴， 又因为， ∴．（2）． 如图2，   ∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴；（3）作于H，如图3， 同理可得：，   ∴， ∵，， ∴，， ，∴为等腰直角三角形， 而，∴， 在中，，， ∴， ∴．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算等．25．(1)y＝﹣x2+2x+3(2)当t＝时，PM的长最大，最大值为(3)能，点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）【分析】（1）将A（-1，0），N（0，3）代入y=-x2+bx+c，列方程组求出b、c的值即可；（2）先求出直线AB的解析式，再用含t的式子分别表示点P、点M的坐标，再由PM与y轴平行且点P在点M的上方，用点P、点M的纵坐标的差表示线段PM的长，再根据二次函数的性质求出当t为何值时，线段PM的值最大，同时求出线段PM的最大值；（3）当线段EF=BD时，以B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，先求出BD的长，按点P在直线AC的上方或下方分类讨论，再根据（2）中的方法用点E的横坐标表示EF的长，列方程求出相应的点E的坐标即可．【详解】（1）解：分别把A（﹣1，0），N（0，3）代入得，解得：抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）解：将A（﹣1，0），代入y＝kx+1得：-k+1=0，解得：k=1，∴直线AC的解析式为y＝x+1；∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，横坐标为t，∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）；∵PM∥y轴，点M在AC上，∴点M的坐标为（t，t+1），∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣t2+t+2＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，PM的长最大，最大值为；（3）解：能．设点E的横坐标为t，则点F的横坐标为t，当-1＜t＜3，如图2，由（2）得，EF=-t2+t+2；∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为（1，4），直线AC：y=x+1，当x=1时，y=2，∴B（1，2），∴BD=4-2=2，∵EFBD， ∴当EF=BD=2时，四边形BDNE是平行四边形，∴-t2+t+2=2，解得t1=0，t2=1（不符合题意，舍去），对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴E（0，1）；当x＜-1或x＞3时，如图3，EFBD或E′F′∥BD，则EF=（t+1）-（-t2+2t+3）=t2-t-2，∴t2-t-2=2，解得t1=，t2=，直线y=x+1，当x=时，y=；当x=时，y=，∴E（，），E′（，），综上所述，点E的坐标为（0，1）或（，）或（，）．【点睛】此题是二次函数的综合题，重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、平行四边形的判定与性质等知识与方法，解第（3）题时应分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题难度较大，属于考试压轴题．