高三数学知识点总结：27：空间向量

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1.空间直线与直线、直线与平面所成角、平面和平面所成的角
（1）直线与直线所成的角：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①异面直线的判定定理:过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②定义：异面直线所成的角
已知两条异面直线经过空间任一点作直线我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③异面直线所成角的范围：
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④空间两条直线所成角的范围：
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤异面直线所成角的求法：平移法，即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题.
（2）直线和平面所成的角
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①定义：直线和平面所成的角：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②斜线和平面所成的角的范围：
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③直线和平面所成的角的范围：
注：如果直线平行于平面或直线在平面内，则它和平面所成的角为
（3）平面和平面所成的角（二面角）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①二面角的平面角的定义：一般地，以二面角的棱上一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②二面角的范围：
2.三种距离.
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①点到平面的距离的定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离.
点到平面的距离的求法：
（方法一）构造三棱锥，运用等体积法来求；（方法二）利用已知的线面垂直转化.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直线和平面的距离的定义（前提是直线和平面平行）：这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③平面和平面的距离的定义（前提是两平面平行）：两个平面公垂线段的长度.
第二部分：与空间向量相关的定理和结论
1．共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.（应用：如果点在线段上，则可设）
2. 共面向量定理 ：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得.（应用：如果点是平面内一点，则可设
；结论：若四点共面，为空间中任一点，且
则）
3.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.
我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底（如果基向量的长度又为1，则称为单位正交基底）.
4.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系
第三部分：（重点）空间向量在立体几何中的应用
1.直线的方向向量：我们把直线上的向量以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量.
2.平面的法向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，此时我们把向量叫做平面的法向量.
3.设空间两条直线的方向向量分别为两个平面的法向量分别为
则有如下结论：
4.空间向量坐标运算公式
（1）设则
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④； = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤；
= 6 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑥； = 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦.
= 8 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑧
设则 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
5. 用向量求空间中角和距离的公式
（1）直线l1，l2夹角θ有cs θ＝|cs〈l1，l2〉|；
（2）直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cs〈l，n〉|(n是平面α的法向量)；
（3）平面α，β夹角θ有|cs θ|＝|cs〈n1，n2〉|，(n1，n2分别是平面α，β的法向量)+自行判断二面角是锐角还是钝角.（规律：同进同出，两角互补；一进一出，两角相等.）
（4）平面外一点到平面的距离为.（为平面内一点，是平面α的法向量）注：其中指直线的方向向量，指平面的法向量.
一些规范提醒：（1）一定是建立右手直角坐标系；（2）建系前要证明或说明三条直线两两垂直，才可以写上如以为坐标原点，以所在的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系；（3）直接用公式求角的问题前，要交待角的意义：如 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①设直线与所成角的大小为； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②设直线与平面所成角的大小为； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③设二面角的平面角为.平行
垂直
与
与
（且）
与