高三数学知识点总结：12：导数

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导数（瞬时变化率）的定义：设函数在区间上有定义，且若无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，则称在处可导，并称该常数为函数在处的导数，记作.
导数的几何意义：导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率.
设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度；
（2）设是速度函数，则表示物体在时刻的瞬时加速度.
导函数（导数）：若函数对于区间内任一点都可导，则在各点的导数也随着的变化而变化，因而也是自变量的函数，该函数称为的导函数，记作
注：函数在处的导数就是导函数在处的函数值.
5.了解曲线的切线的定义，即：过曲线上一点作曲线的割线当点沿着曲线无限趋近于点时，若割线趋近于某一确定的直线则这一确定的直线称为曲线在点处的切线.在解析几何中，求椭圆的切线时，用方程联立消元后一元二次方程的判别式来解的方法不能扩展到一般情况，曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定就一个.
6.基本初等函数的求导公式
；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.
补充：三个常用的公式：；；
7.导数的四则运算法则默写
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）.
8.复合函数求导的运算法则
设函数在点处有导数，函数在处有导数则复合函数在点处也有导数，且
如：（1）； （2）.
9.（重点）曲线y＝f(x)“在点处的切线”与“过点的切线”的区别与联系：
（1）曲线y＝f(x)在点处的切线是指P为切点，切线斜率为的切线，是唯一的一条切线，此时曲线在点处的切线方程为.
（2）曲线y＝f(x)过点的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
曲线过点的切线方程求法：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①设切点坐标为； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②则切线方程为；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③将的坐标代入式解出； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④将代入式得切线方程.
（十五）利用导数研究函数的单调性、极值和最值
1.函数的单调性
设函数在某个区间上可导，
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数在这个区间上单调递增在区间上恒成立且在区间的任意子区间上不恒为0；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数在这个区间上单调递减在区间上恒成立且在区间的任意子区间上不恒为0.
注1：若则函数在这个区间内为常值函数；
注2：一次分式型函数注意检查是否恒为0，如函数在区间上是减函数，则的取值范围为
注3：利用导数求函数单调区间的步骤:
（1）确定的定义域（定义域优先考虑）（2）求导数；（3）解不等式（或）；（4）取交集（求不等式解集与定义交集）；（5）下结论（若某个单调区间不只一个，中间不能用“”连接，用要“和”或“，”连接）
2.利用函数的单调性求参数的范围
方法小结：函数在某一区间上单调增（或减），即（或）在该区间上恒成立（且不恒等于0），然后通常利用分离参数或原函数性质转化成求函数的最值问题，求出参数的范围.
3.函数的极值（局部性质）
定义：若在函数的定义域内存在使得在附近的所有点，都有则称函数在点处取得极大值，那么是极大值，称为极大值点；若在附近的所有点，都有则称函数在点处取得极小值，那么是极小值，称为极小值点.
求极值方法：解方程当时， = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果的符号由正变负，则在附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么是极大值. = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②如果的符号由负变正，则在附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么是极小值.
4.函数的最值（整体性质）
（1）定义：如果在函数定义域内存在使得对任意的都有，则称为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域内存在使得对任意的都有，则称为函数在定义域上的最小值.
（2）求在区间上的最值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①求在内的极值；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②将的各极值与比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值.
注：解答题中求函数的极值和最值记得要列表，注意解题规范.
特殊情况：(1)若函数在区间上单调递增，则函数在区间上无极值，此时为最小值，为最大值；若函数在区间上单调递减，则函数在区间上无极值，此时为最大值，为最小值；
(2)函数在区间上有一个唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.