高三数学知识点总结：26：立体几何

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1.平面的基本性质及其作用
（1）公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 它是判断点和直线是否在平面内的依据.
（2）公理2： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.它是判断点在直线上的依据，也是作两个平面的公共直线的依据.
（3）公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2： 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3： 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理3及它的三个推论是确定点、线共面的依据.
注1：等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
注2：平面上的结论不一定在空间上成立，如：对边相等的四边形不一定为平行四边形.
2.空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及其判定
（1）直线与直线
直线与直线的位置关系： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①平行直线； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②相交直线； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③异面直线.
直线与直线的特殊位置关系的判定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直线与直线平行的判定：
（方法一）公理4： 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（方法二）直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 线面平行线线平行
符号语言：
（方法三）直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.线面垂直线线平行
符号语言：
（方法四）平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行.面面平行线线平行
符号语言：
注：其他方法 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①平行四边形的对边分别平行； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②中位线的性质； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③对应边成比例.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直线和直线垂直的判定：
（方法）直线和平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面，记作 线面垂直线线垂直
符号语言：
注：其他方法： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①菱形（正方形）的对角线互相垂直；矩形的邻边互相垂直；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②勾股定理的逆定理；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③“三线合一”：中，若是的中点，则
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④规则的平面图形中也可利用平面向量的数量积为0，说明两直线垂直.
（2）直线与平面
直线与平面的位置关系： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①平行； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②相交； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③在平面内.（注：直线在平面外：直线和平面平行或相交.）
直线和平面特殊位置关系的判定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直线与平面平行的判定：
（方法一）直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. 线线平行线面平行
符号语言：
（方法二）平面与平面平行的定义： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面.面面平行线面平行
符号语言：
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直线与平面垂直的判定：
（方法一）直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
（方法二）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.线线垂直线面垂直
符号语言：
（方法三）平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.面面垂直线面垂直
符号语言：
（3）平面与平面
平面与平面的位置关系： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①平行 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②相交.
平面与平面的特殊位置关系的判定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①平面与平面平行的判定：
（方法）平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.线线平行面面平行
符号语言：
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②平面与平面垂直的判定：
（方法一）平面与平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.
（方法二）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.线面垂直面面垂直
符号语言：
3.考试常用定理

（1） （2）
（4）

（5）
（6）
（7） （8）


（10）
注意点：（1）不要人为的创造结论，有些结论虽然对，但不能用于证明，如平面
则平面但平面平面，则（这个结论可以用，是线面垂直的性质定理）；（2）一个常用的结论可以直接使用：（线线垂直的定义）；
（3）证明时不能漏条件，尤其是线在面内和线不在面内都要写清楚.
第二部分:熟记常见空间几何体的性质和其表面积体积公式
棱柱、棱锥、棱台
棱柱的定义：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱.平移起止位置的两个平面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的平面叫做棱柱的侧面.
棱柱的性质：两个底面是全等的多边形且对应边互相平行，侧面是平行四边形，棱柱的侧棱都平行.
直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱.
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.
正棱锥的性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形.(这是两个重要的直角三角形）
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①正三棱锥的各侧棱相等，对棱还垂直.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.（四个面都是等边三角形）
正棱台的定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台.
正棱台的性质：侧面是全等的等腰梯形；侧棱延长后相交于一点.
2.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.
3.圆柱、圆锥、圆台
概念
将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.
性质
轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圆.
4.圆柱、圆锥、球体的表面积和体积
5.柱、锥和球的侧面积和体积
（1）侧面积
圆柱：；圆锥：；球：.
体积
柱体：；锥体：；球：
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①圆台的侧面积公式：，分别是上底面和下底面的圆的半径，为母线长；台体的体积公式：，分别是上底面和下底面的面积，为高.（这两个公式需要了解）
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②台体可以补成锥体，也可以借助锥体的侧面积和体积公式求台体.
6.立体几何中的转化和化归的思想
化“空间”到“平面”：立体几何的核心方法是降维,即化空间问题为平面问题.
化“难”为“易”（等体积法）：三棱锥求体积要选择合适的底面，关键“高”要好求.
化“锥”为“柱”：锥体在求外接球的半径时要会补成柱体，如侧棱两两垂直的三棱锥可以补成长方体；正四面体可以补成正方体.
化“曲”为“直”（侧面展开）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面圆的周长，矩形的宽是母线长；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长是底面圆的周长，扇形的半径等于母线长.
与球有关的切、接问题
（1）球的截面的性质：①球的任何截面是圆面；②球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝．
（2）正方体与球：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则有
①若球为正方体的外接球，则R＝；②若球为正方体的内切球，则R＝；
③若球与正方体的各棱相切，则R＝．
（3）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则R＝．
（4）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点；
直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
（5）正棱锥的外接球的球心在顶点与底面正多边形中心的连线上.
（6）已知正四面体的边长为,则其外接球半径为，其内切球的半径为．侧面展开图
表面积
体积
圆柱
长方形
S＝2πr2＋2πrl
V＝πr2·l
圆锥
扇形
S＝πr2＋πrl
V＝eq \f(1,3)πr2·h
球
S＝4πr2
S＝eq \f(4,3)πr3