（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测第30讲不等式的性质及一元二次不等式（讲+练）原卷版+解析

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1．已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )
A．p≤q B．p≥q
C．pq
2．设c>0，则下列各式成立的是( )
A．c>2c B．c>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))c
C．2ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))c
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
4．若x，y满足－eq \f(π,4)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))
5．不等式2x2－x－3>0的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，1)) B．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))∪(1，＋∞)
6．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(15,2))) B．[2,8]
C．[2,8) D．[2,7]
7．若实数m，n满足m>n>0，则( )
A．－eq \f(1,m)<－eq \f(1,n) B.eq \r(m)＋eq \r(n)>eq \r(m＋n)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n D．m28．若aA.eq \f(1,a－b)>eq \f(1,b) B．a2C.eq \f(|b|,|a|)bn
9．若∀x∈R,2x2－mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．
10．a，b∈R，a＜b和eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)同时成立的条件是________．
【练提升】
1．(多选)设a，b为非零实数，且aA．a2>ab B．a2C.eq \f(1,ab2)2．不等式eq \f(x,2x－1)>1的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B．(－∞，1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
3．若关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
4．若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
5．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－1,3] D．[－2,4]
6．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥0，,2，x<0，))若不等式xf(x－1)≥a的解集为[3，＋∞)，则a的值为( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
7．若a＝eq \f(ln 3,3)，b＝eq \f(ln 4,4)，c＝eq \f(ln 5,5)，则( )
A．aC．c8．若存在x0∈[－2,3]，使不等式2x0－xeq \\al(2,0)≥a成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，－8]
C．[1，＋∞) D．[－8，＋∞)
9．若00的解集是________________．
10．函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．

第30讲不等式的性质及一元二次不等式
【练基础】
1．已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )
A．p≤q B．p≥q
C．pq
【答案】D
【解析】因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0，所以p>q，故选D.
2．设c>0，则下列各式成立的是( )
A．c>2c B．c>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))c
C．2ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))c
【答案】D
【解析】因为c>0时，2c>1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))c<1，所以2c>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))c.故选D.
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
【答案】A
【解析】∵－1<α<β<1，∴－1<α<1，－1<β<1，α－β<0，∴－2<α－β<0.
4．若x，y满足－eq \f(π,4)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))
【答案】A
【解析】由x5．不等式2x2－x－3>0的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，1)) B．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))∪(1，＋∞)
【答案】B
【解析】2x2－x－3>0可化为(x＋1)(2x－3)>0，
解得x>eq \f(3,2)或x<－1，所以不等式2x2－x－3>0的解集是(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).故选B.
6．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(15,2))) B．[2,8]
C．[2,8) D．[2,7]
【答案】C
【解析】因为4[x]2－36[x]＋45<0，所以eq \f(3,2)<[x]7．若实数m，n满足m>n>0，则( )
A．－eq \f(1,m)<－eq \f(1,n) B.eq \r(m)＋eq \r(n)>eq \r(m＋n)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n D．m2【答案】B
【解析】取m＝2，n＝1，代入各选择项验证A、C、D不成立，只有B项成立(事实上eq \r(2)＋1>eq \r(2＋1))．
8．若aA.eq \f(1,a－b)>eq \f(1,b) B．a2C.eq \f(|b|,|a|)bn
【答案】C
【解析】(特值法)取a＝－2，b＝－1，n＝0，逐个检验，可知A、B、D项均不正确；C项，eq \f(|b|,|a|)9．若∀x∈R,2x2－mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：由题意可知Δ＝m2－24≤0，解得－2eq \r(6)≤m≤2eq \r(6).
答案：[－2eq \r(6)，2eq \r(6)]
10．a，b∈R，a＜b和eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)同时成立的条件是________．
解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，即eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)；若ab＞0，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b).所以a＜b和eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)同时成立的条件是a＜0＜b.
答案：a＜0＜b
【练提升】
1．(多选)设a，b为非零实数，且aA．a2>ab B．a2C.eq \f(1,ab2)【答案】CD
【解析】对于A，当a＝2，b＝3时，a但22<2×3，故A中不等式不一定成立；
对于B，当a＝－2，b＝1时，a12，
故B中不等式不一定成立；
对于C，∵a故C中不等式恒成立；
对于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)
＝(a－b)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))2＋\f(3,4)b2))，
∵a0，
∴a32．不等式eq \f(x,2x－1)>1的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B．(－∞，1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
【答案】A
【解析】原不等式等价于eq \f(x,2x－1)－1>0，即eq \f(x－2x－1,2x－1)>0，整理得eq \f(x－1,2x－1)<0，不等式等价于(2x－1)(x－1)<0，解得eq \f(1,2)3．若关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】C
【解析】关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－eq \f(b,a)＝1，∴关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,a)))(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，∴不等式的解集为{x|14．若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，
解得－15．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－1,3] D．[－2,4]
【答案】C
【解析】因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.
当a>1时，不等式的解集为{x|1当a<1时，不等式的解集为{x|a当a＝1时，不等式的解集为∅.
要使得解集中至多包含1个整数，
则a＝1或1所以实数a的取值范围是[－1,3]，故选C.
6．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥0，,2，x<0，))若不等式xf(x－1)≥a的解集为[3，＋∞)，则a的值为( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
【答案】B
【解析】因为xf(x－1)≥a的解集为[3，＋∞)，所以3为方程xf(x－1)＝a的根，所以a＝3f(3－1)＝3×(2－1)＝3，故选B.
7．若a＝eq \f(ln 3,3)，b＝eq \f(ln 4,4)，c＝eq \f(ln 5,5)，则( )
A．aC．c【答案】B
【解析】对于函数y＝f(x)＝eq \f(ln x,x)(x>e)，
y′＝eq \f(1－ln x,x2)，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．
因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c8．若存在x0∈[－2,3]，使不等式2x0－xeq \\al(2,0)≥a成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，－8]
C．[1，＋∞) D．[－8，＋∞)
【答案】A
【解析】设f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，因为存在x0∈[－2,3]，使不等式2x0－xeq \\al(2,0)≥a成立，所以a≤f(x)max，所以a≤1，故选A.
9．若00的解集是________________．
解析：原不等式等价于(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))<0，
由0答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10．函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[－6,2]．
(2)对于任意x∈[－2,2]，f(x)≥a恒成立，
即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2,2]恒成立．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0，,－\f(a,2)＜－2，,g－2＝7－3a≥0))
或③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0，,－\f(a,2)＞2，,g2＝7＋a≥0.))
解①得－6≤a≤2，解②得a ∈∅，解③得－7≤a＜－6.
综上可知，实数a的取值范围是[－7,2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(h4≥0，,h6≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))
解得x≤－3－eq \r(6)或x≥－3＋eq \r(6).
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－eq \r(6)]∪[－3＋eq \r(6)，＋∞)．